Seuraavissa kappaleissa tarvitaan aina silloin tällöin taitoa jakaa voima komponentteihin sekä myös taitoa suorittaa sille vastakkainen operaatio eli voimien resultantin eli kokonaisvoiman laskeminen. Otan siksi tässä kohdassa johdannoksi lyhyen yleiskatsauksen asiaan. Kyseessä on oikeastaan vain perustrigonometrian kertaus. Aloitan valitsemalla koordinaatiston. Koordinaatisto olkoon tavallinen karteesinen koordinaatisto, jonka x akseli on vaakasuorassa ja kasvaa oikealle sekä y akseli pystysuorassa ja se kasvakoon ylöspäin. Olkoon tässä koordinaatistossa voima F, jonka suuruus on F ja joka muodostaa positiivisen x akselin kanssa kulman α. Tällöin sanotaan, että voiman vaihekulma on α. Jaetaan tämä voima koordinaattiakselien suuntaisiin komponentteihinsa. Merkitään näitä komponentteja :llä ja F y :llä. Oheinen kuva esittää tätä tilannetta. F F y α Piirrän aluksi mustalla katkoviivalla kohtisuorat voimaa F esittävän vektorin kärjestä koordinaattiakseleille. Näin saan aikaan suorakulmaiset kolmiot ja niistä edelleen tarvittavien funktioitten määritelmistä F y = F cos 90 = F sin = F cos, missä siis F = F. Tangenttifunktion avulla saadaan voiman suunta positiivisen x akselin suuntaan verrattuna eli vektorin suuntakulma: tan = F y. Pythagoraan lauseen nojalla on vielä 1(7)
F = 2 2. Vektori F on nyt siis myös F = i F y j= F cos i F sin j. Kun vaihekulmaa haetaan, niin joissakin tilanteissa tieto esimerkiksi pelkästä vaihekulman sinistä ei riitä. Jos vaihekulman sini on vaikkapa 0,866, niin et tiedä, onko vaihekulman suuruus 60 astetta vai 120 astetta. Huomaa, että kun valitaan voiman F suuntainen yksikkövektori olkoon se r, niin tämä voima voidaan kirjoittaa myös muodossa F r. Esimerkki 22 Oletetaan Esimerkin 21 tilanne muuten, mutta nyt voima vaikuttaa 15 asteen kulmassa ylhäältä alaspäin. Piirrä vapaakappalekuvio (free-body diagram). Ratkaisu Aloitan piirtämällä tilannekuvan. Laitan ihan vaan täydellisyyden vuoksi mukaan myös kuorman 150 kilon massan sekä kelkan oman 20 kilon massan aiheuttaman yhteenlasketun, alaspäin suuntautuvan voiman G=m g sekä sen vastavoiman eli voiman, jolla jää kannattaa kelkkaa (punainen nuoli ja symboli N ). Pitkä, vinossa oleva 15 astetta! sininen nuoli on kelkkaa työntävä voima. G=m g F N Huomaa, että G = N =170 kg 9,80665 m s 2 1670 N. Merkitään 500 newtonin voimaa F :lla. Jaetaan F kahteen komponenttiin: pinnan suuntaiseen ja pintaa vastaan kohtisuoraan komponenttiin. Oman kuvan piirtäminen kelkkaa työntävästä voimasta helpottanee asian hahmottamista. Sinisen vektorin vaihekulma on siis 195 astetta, joten sen ja sen x komponentin välinen kulma on 15 astetta. Täydennän kuviota vielä lisäämällä kolmioista puuttuvat sivut vihreillä katkoviivoilla. 2(7)
x y Trigonometrian avulla saan nyt: Täten cos 15 = x F sin 15 = y F x = 483 N y = 129 N. Pythagoraan lauseen nojalla pitäisi olla: x 2 y 2 = 500 N. Tarkista, että niin myös on! Miksi kaikki tämä vaiva? Koska pintaa vastaan kohtisuora komponentti kumoutuu, niin kelkkaa kuormineen liikuttaa vain pinnan suuntainen voima, jonka suuruus on siis noin 483 newtonia. Koska loppunopeus v on kiihtyvyyden ja kiihtymisajan tulo ja kiihtyvyys on puolestaan voima jaettuna massalla, niin v =a t= F 483N t= m 170kg 120 s 341 m s Lopuksi piirrän pyydetyn vapaakappalekuvan kelkan ja sen kuorman kannalta. Tilanteen mukaan saattaa olla parempi ajatus piirtää vapaakappalekuva heti aluksi. Tällä kertaa toimin toisin. 500 N v 1667 N 1667 N 3(7)
Vastaus: Kelkka saavuttaa nopeuden 341 metriä sekunnissa. Huomaa, että vapaakappalekuviota sanotaan myös voimakuvioksi. Tarkastelenpa tässä välissä tilannetta, missä kappaleeseen vaikuttaa kolme erisuuntaista voimaa. Sen jälkeen menen eteenpäin toisenlaisilla esimerkeillä. Esimerkki 23 Vaakasuoralla, kitkattomalla pinnalla on kappale m, jonka massa on 25 kg. Siihen vaikuttaa kolme voimaa, joiden suuruudet ovat: F 1 = F 1 = 2 N, F 2 = F 2 = 3 N ja F 3 = F 3 = 5 N. Niitten vaihekulmat ovat vastaavasti α 1 = 15, α 2 = 20 ja α 3 = 30. Laske mainittujen voimien resultanttivektori, resultanttivektorin suuruus F ja kappaleen kiihtyvyys. Ratkaisu m Valitaan koordinaatisto siten, että x akseli on vaakasuora ja kasvaa oikealle ja y akseli on pystysuora ja kasvaa ylöspäin. Kuten edellä todettiin, niin yleisesti on voimassa F y = F sin = F cos joten F 1 = ; F y = F 1 cos 1 ; F 1 sin 1 = 2 N cos 15 ;2 N sin 15 = 1,93 N ; 1,04 N =1,93 N i 1,04 N j. Vastaavalla tavalla kaavaan sijoittamalla saadaan, että 4(7)
F 2 =2,82 N i 1,03 N j F 3 =4,33 N i 2,50 N j Näitten kolmen voiman resultantti on, kun sitä merkitään F :llä F = F 1 F 2 F 3 =9,08 N i 4,04 N j ja sen pituus eli voiman F suuruus on F = 9,08 N 2 4,04 N 2 =9,94 N. Kappaletta m kiihdyttää resultanttivoiman vaakasuora komponentti, joka laskettiin edellä. Se oli 9,08 newtonia. Kysytty kiihtyvyys on niin ollen a= m i= 9,08 N 25kg i =0,36 m s 2 i. Vastaus: Resultanttivektori on F =9,08 N i 4,04 N j, sen suuruus on 9,94 newtonia ja kappaleen saamaa kiihtyvyys on 0,36 m s 2 vasemmalta oikealle. Esimerkki 24 Olkoon meillä 10 kilon punnus, joka roikkuu kahden massattoman langan varassa oheisen kuvan mukaisesti. Laske voimat, joilla kukin lanka kannattaa yhteistä painoa. α β G = mg = 98 N Kuvion kulmat ovat seuraavat: α = 60,83 astetta, β = 83,27. 5(7)
Ratkaisu Kymmenen kilon massa vaatii kannattavan voiman, jonka suuruus on noin 98 newtonia kuten kuvaankin on merkitty. Tämä 98 newtonin voima on siis saatava aikaan noitten kahden langan kannattavien voimien resultanttina. Merkitään piirroksen α:n oikeaa kylkeä F a :lla ja β:n oikeaa kylkeä F b :lla sekä näitten voimien resultanttia F :lla. Resultanttivektori F on yhtä suuri, mutta vastakkaissuuntainen kuin pystysuora, massan aiheuttama alaspäin suuntautunut voima G. Huomaa, muuten, että kuvassa tätä vetovoimaa merkitään todellakin G:llä, vaikka se pitäisi oikeasti esittää vektorina G, jota se myös on. Kerätään nyt nämä tiedot yhteen kuvaan. Koska kulmat ovat hankalan kokoisia, niin väärennetään kuvan kulmat, jotta se säilyisi lukukelpoisena. Pitää siis olla F = F a F b, missä kulmat ovat yllä mainitut. F a α β 90 α 90 β F b F Kolmion poikki pystysuoraan kulkeva punainen, katkottu apuviiva osoittaa aloituskuvan katon suunnan. Kulma α ei ole ainoastaan yhtä suuri kuin ensimmäisen kuvan α kulma, vaan juuri se sama kulma. Kulma β tässä kuvassa on yhtä suuri kuin ensimmäisessä kuvassa ja tarkoittaakin samaa kulmaa vaikka eri paikassa. Varmista, että ymmärrät, mistä mikin kulma tulee! Miksi kuvassa F b on yhtäkkiä tuolla, kun F a ja F ovat muuten kuten edellä, ainoastaan kallistettuna 90 astetta? Muista, että vektoria saa siirtää samassa koordinaatistossa mielivaltaisesti eli sillä ei ole mitään yhtä ainoaa oikeaa sijaintia, mutta sen suuntaa ei saa muutta. Mutta nythän niitä käännettiin 90! Huomaa, että koko koordinaatistoa käännettiin ja vektorit kääntyivät mukana, jotta ne eivät käänny koordinaatiston suhteen. Nyt tärkeitä ovat tällä tavalla aikaansaadun kolmion kulmat ja varsinkin sivujen pituudet. Sinilauseesta saadaan 6(7)
F a F b F sin = sin 90 = sin 90, joten { sin 90 F a = sin F =19,6 N N} F. sin 90 b = sin F =81,5 Vastaus: Vasemmanpuoleinen lanka kannattaa yhteistä painoa 19,6 newtonin voimalla ja oikeanpuoleinen 81,5 newtonin voimalla. 7(7)