Predikaattilogiikan malli-teoreettinen semantiikka

Predikaattilogiikan malli-teoreettinen semantiikka February 4, 2013 Muistamme, että predikaattilogiikassa aakkosto L koostuu yksilövakioista c 0, c 1, c 2,... ja predikaattisymboleista P, R,... jne. Ekstensionaalisia relaatioita Olkoon D joukko. Silloin: - 1-paikkainen relaatio joukossa D on mikä tahansa D:n osajoukko. - 2-paikkainen relaatio joukossa D on mikä tahansa joukko, jonka jäsenet ovat järjestettyjä pareja (kahden pituisia jonoja; 2-jonoja) (a, b), missä a ja b ovat D:n alkioita. Ts. 2-paikkainen relaatio on mikä tahansa D 2 :n osajoukko. - 3-paikkainen relaatio joukossa D on mikä tahansa joukko, jonka jäsenet ovat 3-jonoja (a, b, c), missä a, b ja c ovat D:n alkioita, eli 3-paikkainen relaatio on mikä tahansa D 3 :n osajoukko.... - n-paikkainen relaatio joukossa D on mikä tahansa joukko, jonka jäsenet ovat n-jonoja (a 1, a 2,..., a n ), missä jokainen a i on D:n alkio, eli n-paikkainen relaatio on mikä tahansa D n :n osajoukko. Esimerkkinä, olkoon D luonnollisten lukujen joukko, D = {0, 1, 2, 3,... }. - 1-paikkaisia relaatioita ovat muun muassa: on pariton: {1, 3, 5, 7,... } on parillinen: {0, 2, 4, 6,... } on jaollinen kolmella: {0, 3, 6, 9,... } on eri kuin 0: {1, 2, 3, 4,... } - Mutta myös {0}, {1}, {2},... ovat 1-paikkaisia relaatioita joukossa D, kuten myös tyhjä joukko, 1

- 2-paikkaisia relaatioita ovat esimerkiksi: on pienempi kuin: {(0, 1), (0, 2), (1, 2), (0, 3), (1, 3), (2, 3),... } on suurempi kuin: {(1, 0), (2, 0), (2, 1), (3, 0), (3, 1), (3, 2),...} - Myös {(0, 1)}, {(0, 2)}... ovat 2-paikkaisia relaatioita. - 3-paikkaisia relaatioita ovat esim.: on pienempi kuin... ja suurempi kuin... {(1, 2, 0), (1, 3, 0), (2, 3, 0), (1, 4, 0),... } on luvun... ja luvun... summa {(0, 0, 0), (1, 0, 1), (1, 1, 0), (2, 1, 1)... } jne. Huomautus. Tyhjä joukko on myös 2-paikkainen relaatio universumissa D, sillä D 2 (koska tyhjä joukko on minkä tahansa joukon osajoukko). Yleisesti ottaen, kaikille n, tyhjä joukko on n-paikkainen relaatio. Tyhjä joukko on se relaatio, johon mikään n-jono ei kuulu. Mallin käsite Logiikassa malli on matemaattinen struktuuri, joka esittää jokaisen sellaisen maailman piirteen, joka on relevantti lauseen totuuden ja epätotuuden kannalta. Kun aakkosto L on annettu, L-mallin tehtävä on spesifioida: Universumi D Aakkoston L yksilövakioiden ja predikaattisymbolien tulkinnat Määritelmä (L-malli) Olkoon L aakkosto. L-malli M = (D, I) koostuu kahdesta elementistä: universumista D, joka on epätyhjä joukko alkioita (ts. D ), sekä tulkintafunktiosta I, joka liittää jokaiseen L:n yksilövakioon ja predikaattisymboliin tulkinnan seuraavasti: 1. Jos c on L:n yksilövakio, niin c:n tulkina I(c) on jokin universumin alkio, eli I(c) D 2. Jos P on L:n n-paikkainen predikaattisymboli, niin P :n tulkinta I(P ) on jokin n-paikkainen relaatio universumissa D (I(P ) D n ) ) Huomaa, että P voi myös olla tyhjä, ts. on mahdollista, että I(P ) =. Esimerkki 1 Olkoon L = {c 0, c 1, c 2, c 3, P, R}, jossa P on 1-paikkainen ja R on 2-paikkainen. Rakennamme L-mallin M = (D, I) valitsemalla universumiksi D = {Lontoo, P ariisi, P raha, Rooma} 2

ja tulkintafunktion I seuraavalla tavalla: I(c 0 ) = Lontoo I(c 1 ) = Lontoo I(c 2 ) = P ariisi I(c 3 ) = Rooma ja I(P ) = {Lontoo, P ariisi} I(R) = {(P ariisi, Lontoo)(Lontoo, P ariisi)} Kun L-malli M = (D, I) on annettu, jokainen 1-paikkainen predikaattisymboli P jakaa universumin D kahteen osaan: alkiot, joilla on ominaisuus P (ts. alkiot jotka kuuluvat P :n ekstensioon I(P )) ja alkiot, joilla ei ole ominaisuutta P. Samalla tavalla jokainen 2-paikkainen predikaattisymboli R jakaa kaikki universumin parien joukot kahteen osaan: pareihin, jotka ovat keskenään relaatiossa R (ts. parit jotka kuuluvat R:n ekstensioon I(R)) ja pareihin, jotka eivät ole keskenään relaatiossa R. Malliteoreettiselle tulkinnalle on ominaista se, että aakkoston symbolien tulkinta muuttuu mallista toiseen. Tyypillinen tapaus on sellainen, että universumi pysyy samana mutta tulkintafunktio muuttuu. Esimerkki 2 Olkoon L = {c 0, c 1, P } missä P on 1-paikkainen predikaattisymboli. Olkoon D = {Aatami, Eeva}. Tässä on taulukko L-malleista, jotka saadaan kun L:n symbolien tulkinta muuttuu (tässä D 1 = D 2 =... = D 5 = D): M c 0 c 1 P (D 1, I 1 ) Aatami Eeva (D 2, I 2 ) Aatami Eeva {Aatami} (D 3, I 3 ) Aatami Eeva {Eeva} (D 4, I 4 ) Aatami Eeva {Aatami, Eeva} (D 5, I 5 ) Eeva Eeva jne.......... - Tulkinnan M 1 = (D 1, I 1 ) mukaan yksilövakio c 0 viittaa Aatamiin ja yksilövakio c 1 viittaa Eevaan. - Tulkinnan M 5 = (D 5, I 5 ) mukaan yksilövakio c 0 viittaa Eevaan ja yksilövakio c 1 viittaa myös Eevaan. - Tulkinnan M 2 = (D 2, I 2 ) mukaan predikaattisymbolin P ekstensio koostuu Aatamista. - Tulkinnan M 3 = (D 3, I 3 ) mukaan predikaattisymbolin P ekstensio koostuu Eevasta. 3

jne. Toinen tyypillinen esimerkki on sellainen, että jonkun annetun mallin universumi muuttuu. Silloin luonnollisesti myös tulkintafunktio muuttuu. Esimerkiksi universumissa D = {Aatami} mikään kielen L yksilövakio ei voi viitata Eevaan, joka ei kuulu universumiin. Atomilauseiden totuus mallissa Oletamme, että aakkosto L on annettu ja myös L-malliM = (D, I) on annettu. Muistamme, että L-atomilauseet ovat muotoa R(t 1, t 2,..., t n ), missä R on n-paikkainen predikaattisymboli ja jokainen termi t i on yksilövakio (atomilauseissa ei esiinny muuttujia lainkaan). Sanomme, että atomilause R(t 1, t 2,..., t n ) on tosi mallissa M joss jono, joka koostuu termien tulkinnasta kuuluu predikaattisymbolin R ekstensioon eli jos Tarkastellaan, mitä se tarkoittaa seuraavissa erity- Tämä on yleinen muoto. istapauksissa: (I(t 1 ), I(t 2 ),..., I(t n )) I(R) n = 1 : Kun R on 1-paikkainen predikaattisymboli ja t 1 on yksilövakio, R(t 1 ) on tosi mallissa M joss (I(t 1 )) I(R). Koska voimme korvata (a):n tässä a:lla (siis poistaa sulut, sillä voimme samaistaa 1-jonot (a) ja alkiot a), tämä tarkoittaa, että R(t 1 ) on tosi mallissa M joss I(t 1 ) I(R). n = 2 : Kun R on 2-paikkainen predikaattisymboli ja t 1 ja t 2 ovat yksilövakioita, R(t 1, t 2 ) on tosi mallissa M joss (I(t 1 ), I(t 2 )) I(R). n = 3 : Kun R on 3-paikkainen predikaattisymboli ja t 1, t 2 ja t 3 ovat yksilövakioita, R(t 1, t 2, t 3 ) on tosi mallissa M joss ((I(t 1 ), I(t 2 ), I(t 3 )) I(R). jne. Esimerkki 3 Olkoon L = {c 0, c 1, c 3, P, R} ja L-malli M = (D, I) kuten esimerkissä 1. a) Kysymys: Onko atomilause P (c 0 ) tosi mallissa M? Vastaus: Määritelmän mukaan P (c 0 ) on tosi mallissa M joss I(c 0 ) I(P ). Huomaamme, että I(c 0 ) = Lontoo ja I(P ) = {Lontoo, P ariisi}, ja siten I(c 0 ) I(P ). Siispä atomilause P (c o ) on tosi mallissa M. b) Kysymys: Onko atomilause R(c 0, c 2 ) tosi mallissa M? Vastaus: Määritelmään mukaan lause R(c 0, c 2 ) on tosi mallissa M joss (I(c 0 ), I(c 2 )) I(R) Tiedetään, että I(c 0 ) = Lontoo, I(c 2 ) = P ariisi ja I(R) = {(P ariisi, Lontoo), (Lontoo, P ariisi)}, joten (I(c 0 ), I(c 2 )) I(R). Siispä lause R(c 0, c 2 ) on tosi mallissa M. 4

c) Kysymys: Onko atomilause P (c 3 ) tosi mallissa M? Vastaus: Määritelmän perusteella P (c 3 ) on tosi mallissa M joss I(c 3 ) I(P ). I(c 3 ) = Rooma. Koska Rooma / I(P ), lause P (c 3 ) ei ole tosi mallissa M. Kun aakkosto L on annettu, atomilauseiden joukko aakkostossa L (L-atomilauseet) on myös annettu. Myös aakkoston L totuusfunktionaalisten lauseiden joukko on annettu. Olemme nyt valmiina määritelemään sellaisten lauseiden totuus mallissa M: Määritelmä. Olkoon L aakkosto ja M = (D, I) L-malli. Määritellään relaatio lause A on tosi mallissa M jossa A on totuusfunktionaalinen lause: 1. Atomilause R(t 1, t 2,..., t n ) on tosi mallissa M joss (I(t 1 ), I(t 2 ),..., I(t n )) I(R) 2. A on tosi mallissa M joss ei pidä paikkaansa, että A on tosi mallissa M (ts. A ei ole tosi mallissa M) 3. A B on tosi mallissa M joss A tai B on tosi mallissa M. 4. A B on tosi mallissa M joss A on tosi mallissa M ja B on tosi mallissa M. 5. A B on tosi mallissa M joss jos A on tosi mallissa M, niin myös B on tosi mallissa M (ekvivalenttisti: jos A ei ole tosi mallissa M tai B on tosi mallissa M) Esimerkki 4 Olkoon L ja M kuten aiemmassa esimerkissä 1. Olemme nähneet esimerkissä 6, että atomilause P (c 3 ) ei ole tosi mallissa M. Edellisen määritelmän kohdan (2) perusteella päättelemme, että lause P (c 3 ) on tosi mallissa M. Tutkimme atomilauseen R(c 0, c 3 ) totuutta mallissa M kohdan (1) perusteella. R(c 0, c 3 ) on tosi mallissa M joss (I(c 0 ), I(c 3 )) I(R). Koska I(c 0 ) = Lontoo, I(c 3 ) = Rooma ja I(R) = {(P ariisi, Lontoo), (Lontoo, P ariisi)} näemme, että (I(c 0 ), I(c 3 )) / I(R). Kohdan (2) perusteella päättelemme, että lause R(c 0, c 3 ) on tosi mallissa M. Olemme nähneet aikaisemmin, että atomilauseet P (c 0 ) ja R(c 0, c 2 ) ovat tosia mallissa M. Kohdan (4) perusteella päättelemme, että lause P (c 0 ) R(c 0, c 2 ) on tosi mallissa M. Koska lause P (c 3 ) ei ole tosi mallissa M, päättelemme kohdan (4) perusteella, että lause P (c 3 ) R(c 0, c 2 ) ei ole tosi mallissa M. Kohdan (2) perusteella, päättelemme, että lause (P (c 3 ) R(c 0, c 2 )) on tosi mallissa M. Atomikaavojen totuus mallissa Oletetaan, että predikaattilogiikan aakkosto L on kiinnitetty, kuten myös aakkoston malli M = (D, I). Olkoon L = {c 0, c 1, P } ja M = M 4 = (D 4, I 4 ) kuten 5

esimerkissä 2. Yritämme määritellä lauseen xp (x) totuuden mallissa M. Intuitiivisesti se on tosi silloin, kun kaavat P (Aatami) ja P (Eeva) ovat tosia mallissa M. Toisin sanoen, lause xp 0 (x) on tosi mallissa M joss kaikki universumin alkiot kuuluvat predikaattisymbolin P ekstensioon. Ajatus on oikea, mutta sen toteutus ei toimi tässä muodossa, sillä P (Aatami) ja P (Eeva) eivät ole L-kaavoja: 1-paikkainen L-atomikaava saadaan ainoastaan 1-paikkaisesta predikaattisymbolista ja yksilövakoista. Aatami ja Eeva eivät kuitenkaan ole yksilövakioita. Parempi strategia on sanoa: xp (x) on tosi mallissa M joss P (c 0 ) ja P (c 1 ) ovat tosia mallissa M ja nämä puolestaan ovat tosia mallissa M joss sekä Aatami että Eeva kuuluvat predikaattisymbolin P ekstensioon. Lopputulos on intuitiivisesti oikea: xp (x) on tosi mallissa M joss kaikki universumin alkiot kuuluvat predikaattisymbolin P ekstensioon. Nyt voimme yrittää määritellä kaavan xp (x) totuuden mallissa M seuraavalla tavalla: (*) L-kaava xp (x) on tosi mallissa M joss kaikille aakkoston L yksilövakioille c pätee, että kaava P (c) on tosi mallissa M ( P (c) saadaan kaavasta P (x) sijoittamalla x:n tilalle yksilövakio c.) Vaikka tämä strategia toimii tässä esimerkissä, se ei toimi yleisessä tapauksessa, sillä kaikilla universumin alkiolla a ei välttämättä ole nimeä (eli kieleen kuuluvaa yksilövakiota c, siten että I(c) = a). Esimerkiksi jos L = {c 0, c 1, P } ja M = (D, I), missä D = {P irjo, Jaana, Risto} I(c 0 ) = {P irjo} I(c 1 ) = {Risto} I(P ) = {P irjo, Risto} sekä P (c 0 ) että P (c 1 ) ovat tosia mallissa M, mutta oikesti lause xp (x) ei ole tosi mallissa M (vaikka jos käyttäisimme (*)-tyylistä määritelmää, se olisi tosi!). Siksi tarvitsemme yleisen tavan kuvata kielen muuttujia mallin universumin alkiolle. Tätä tarkoitusta palvelee tulkintajonon käsite. Kun M = (D, I) on L-malli, tulkintajono w mallissa M on funktio, joka kuvaa jokaisen L:n muuttujan x i jollekin universumin D alkiolle: siis w(x i ) D. Tulee huomata, että tulkintajono on eri käsite kuin tulkintafunktio. Aiemmin esitetty tulkintafunktio antaa tulkinnan kielen yksilövakioille ja predikaattisymboleille. Tulkintajono sen sijaan antaa arvot muuttujille. Esimerkki 5 Olkoon L,M = (D, I),D = {P irjo, Jaana, Risto} kuten edellä. Seuraavalla tavalla määritelty funktio w on eräs D:n tulkintajono: w(x) = P irjo w(y) = Jaana w(z) = Risto w(t) = Risto, kaikille muille muttujille 6

Tulkintajonon käsitteen avulla voimme nyt antaa yleisen määritelmän kaikille jonkin kielen ei-loogisten vakioiden tulkinnalle kielen mallissa. Määritelmä Olkoon M = (D, I) L-malli ja w tulkintajono mallissa M. L- termin t tulkinta mallissa M tulkintajonolla w (merkitään t M,v ) on: t M,w = w(x), jos ton muuttuja x t M,w = I(c), jos ton yksilövakio c. Predikaattisymbolin P tulkinta mallissa M tulkintajonolla w (merkitään P M,w ) on: P M,w = I(P ) Esimerkki 6 Tutkitaan aakkostoa L = {c 0, c 1, c 2, c 3, P, R} olkoon M = (D, I) L-malli, missä D = {F in, Swer, N or, Den} ja tulkinnalle I pätee seuraava: I(c 0 ) = F in, I(c 1 ) = Swe, I(c 2 ) = Nor, I(c 3 ) = Den, I(P ) = {F in, Den} ja I(R) = {(F in, Nor), (Swe, Den), (Nor, Den), Den, Den)}. Olkoon lisäksi w sellainen D:n tulkintajono, että w(x) = F in, w(y) = Swe, w(z) = Nor ja w(t) = Den, kaikille muille muttujille. Nyt voimme luetella tulkinnat kaikille kielen L ei-loogisille simboleille mallissa M tulkintajonolla w : c M,w 0 = I(c o ) = F in Myös: c M,w 1 = I(c 1 ) = Swe c M,w 2 = I(c 2 ) = Nor c M,w 3 = I(c 3 ) = Den x M,w = w(x) = F in y M,w = w(y) = Swe z M,w = w(z) = Nor t M,w = w(t) = Den P M,w = I(P ) = {F in, Den} R M,w = I(R) = {(F in, Nor), (Swe, Den), (Nor, Den), Den, Den)} 7

Ennen kuin siirrymme tarkastelemaan tulkintajonon hyödyllisyyttä predikaattilogiikan totuusarvojen ratkaisemisassa, on hyvä ottaa käyttöön uusi merkintätapa sille, että haluamme muuttaa tulkintajonoa. Olkoon M malli, w sen tulkintajono ja a D. Merkitsemme nyt w[x/a] tarkoittaen sitä tulkintajonoa, joka on muuten sama kuin w, mutta muuttujalla x se saa arvon a. Siis { w(y), kun x y w[x/a](y) = a, kun x = y Esimerkki 7 Olkoon L, M ja w kuten edellisessä esimerkissä. Nyt tulkintajono w[t/n or] antaa seuraavat tulkinnat kielen L muuttujille mallissa M: x M,w[t/Nor] = w[t/nor](x) = w(x) = F in y M,w[t/Nor] = w[t/nor](y) = w(y) = Swe t M,w[t/Nor] = w[t/nor](t) = Nor Näillä käsitteillä ja merkintätavoilla voimme määritellä toteuttamisrelaation ja sen avulla totuuden predikaattilogiikan kielelle L. Määritelmä (Tarskin toteuttamisrelaatio). Olkoon M = (D, I) kielen L malli sekä A ja B kielen L kaavoja. Mallin M tulkintajono w toteuttaa kaavan C tulkinnassa M, w (merkitään M, w C) kun: 1. Jos C on P (t 1,..., t n ), niin M, w C joss (t M,w 1,..., t M,w n ) P M,w. 2. Jos C on A, niin M, w C joss M, w A. 3. Jos C on A B, niin M, w C joss M, w A tai M, w B. 4. Jos C on A B, niin M, w C joss M, w A tai M, w B. 5. Jos C on A B, niin M, w C joss M, w A, tai M, w B. 6. Jos C on xa, niin M, w C joss M, w[x/a] A kaikilla a D. 7. Jos C on xa, niin M, w C joss M, w[x/a] A jollakin a D. Määritelmä (Lauseen totuus mallissa) 1. Sanomme, että L-lause C on tosi L-mallissa M (merkitään M C), jos M, w C jokaiselle mallin M tulkintajonolle w. 2. Sanomme, että lausejoukko X on tosi mallissa M (merkitään M X), jos M A jokaiselle A X. Esimerkki 8 Olkoon L, M ja w kuten esimerkissä 6. 1. Toteuttaako w kaavan P (c 0 )? 2. Toteuttaako w kaavan P (x)? 3. Toteuttaako w kaavan P (y)? 8

4. Toteuttaako w kaavan R(c 1, c 3 )? 5. Toteuttaako w kaavan P (z) P (t)? 6. Toteuttaako w kaavan yp (y)? 7. Toteuttaako w kaavan yp (y)? 8. Toteuttaako w kaavan y zr(y, z)? 1. Toteuttamisrelaation määritelmän 1. kohdasta saamme, että M, w P (c 0 ) joss c M,w 0 P M,w joss I(c 0 ) I(P ) joss F in {F in, Den}. Koska selvästi F in {F in, Den}, päättelemme, ettäm, w P (c 0 ). 2. Vastaavalla tavalla kuin kohdassa 1. saamme seuraavan väittämäketjun määritelmän kohdasta 1: M, w P (x) joss x M,w P M,w joss w(x) I(P ) joss F in {F in, Den}. Koska viimeinen ehto pitää paikkansa, päättelemme, että M, w P (x). 3. Edellisen kohdan tavalla saamme, että M, w P (y) joss y M,w P M,w joss w(y) I(P ) joss Swe {F in, Den}. Koska viimeinen näistä ei pidä paikkaansa, päättelemme että M, w P (y) ja siten M, w P (y). 4. Määritelmästä saamme, että M, w R(c 1, c 3 ) joss (c M,w 1, c M,w 3 ) R M,w joss joss (I(c 1 ), I(c 3 )) I(R) (Swe, Den) {(F in, Nor), (Swe, Den), (Nor, Den), (Den, Den)}. Viimeinen näistä pätee, joten M, w R(c 1, c 3 ). 5. Määritelmän kohdan 5. nojalla M, w P (z) P (t) joss M, w P (z) tai M, w P (t) joss w(z) / {F in, Den} tai Den {F in, Den}. Koska itseasiassa molemmat ehdot pätevät, M, w P (z) P (t). 6. Määritelmän kohdan 7. nojalla M, w yp (y) joss jollakin a D: M, w[y/a] P (y) joss jollakin a D: a I(P ) joss jollakin a D: a {F in, Den}. Valitaan a = F in, jolloin päättelemme, että M, w yp (y). 7. Määritelmän kohdan 6. nojalla M, w yp (y) joss kaikilla a D: M, w[y/a] P (y) joss kaikilla a D: a I(P ) joss kaikilla a D: a {F in, Den}. Koska Swe / {F in, Den}, päättelemme, että M, w yp (y). 9

8. Määritelmän kohdan 7. nojalla M, w y zr(y, z) joss jollakin a D: M, w[y/a] zr(y, z) joss jollakin a D: jollakin b D : joss jollakin a D, jollakin b D: joss jollakin a D, jollakin b D: M, w[y/a][z/b] R(y, z) (y M,w[y/a][z/b], z M,w[y/a][z/b] I(R) (a, b) {(F in, Nor), (Swe, Den), (Nor, Den), (Den, Den)}. Valitaan a = F in ja b = Nor ja päättelemme, että M, w y zr(y, z). Esimerkki 9. Olkoon aakkosto L = {P } ja L-malli M = (D, I), missä D = {Aatami, Eeva}, I(P ) = {Aatami} ja I(G) = {Eeva}. Olkoon w tulkintajono mallissa M siten että w(x) = Aatami ja w tulkintajono siten, että w (x) = Eeva. Määritelmän mukaan: M, w P (x) joss w(x) I(P ) joss Aatami {Aatami}. Päättelemme, että M, w P (x). Toisaalta: M, w P (x) joss w (x) I(P ) joss Eeva {Aatami}. Päättelemme, että M, w P (x). Huomaamme siis, että tulkintajono w toteuttaa kaavan P (x) mutta tulkintajono w ei toteuta sitä. Tämä ei koskaan voi tapahtua lauseiden kohdalla. Osoitamme, että M, w xp (x): M, w xp (x) joss jollakin a D : M, w[x/a] P (x) joss jollakin a D : x w[x/a] I(P ) joss jollakin a D : a I(P ) joss jollakin a D : a {Aatami}. Valitaan a = Aatami, jolloin päättelemme, että M, w xp (x). Osoitamme nyt, että myös M, w xp (x) (oikeastaan kaikki tulkintajonot mallissa M toteuttavat lauseen xp (x) ). M, w xp (x) joss jollakin a D : M, w [x/a] P (x) joss jollakin a D : x w [x/a] I(P ) joss jollakin a D : a I(P ) joss jollakin a D : a {Aatami}. Valitaan a = Aatami, jolloin päättelemme, että M, w xp (x). Esimerkin tarkoitus on osoittaa (todistamme tämän myöhemmin), että lauseiden kohdalla aina pätee: jos jokin tulkintajono toteuttaa lauseen mallissa M, niin kaikki tulkintajonot toteuttavat sen. Olemme nähneet, että tilanne on erilainen kaavoissa, joissa on vapaita muuttujia. On hyvin mahdollista, että jokin tulkintajono toteuttaa kaavan P (x) mutta toinen ei. Määritelmä (Looginen seuraus). 1. L-lause A on validi (loogisesti tosi, tautologia), merkitään A, jos A on tosi kaikissa L-malleissa M = (D, I), (M A) 2. Olkoon X joukko L-lauseita. L-lause A on lausejoukon X looginen seuraus, merkitään X A, jos kaikissa L-malleissa, joissa X on tosi (M X), myös A on tosi (M A). 10

(1) on selvästi (2):n erikoistapaus, missä X =. Määritelmästä seuraa, että X A (A ei ole X:n looginen seuraus) joss on olemassa L-malli M siten, että M X mutta M A. Vastaavasti L-lause A ei ole validi, (merk. A), joss on olemassa L-malli M siten, että M A. Esimerkki 10 Osoitetaan, että { xp (x)} P (c). Oletetaan, että M = (D, I) on sellainen malli, että M { xp (x)}, ja olkoon w sen tulkintajonon. Määritelmän mukaan tällöin M xp (x), ja siten myös M, w xp (x). Mutta M, w xp (x) joss kaikille a D : M, w[x/a] P (x), jolloin erityisesti M, w[x/i(c)] P (x). Edelleen M, w[x/i(c)] P (x) joss x w[x/i(c) I(P ) joss I(c) I(P ). Mutta jos I(c) I(P ), niin M, w P (c) ja edelleen M P (c), sillä P (c) on lause. Siispä { xp (x)} P (c). Esimerkki 11 Osoitetaan, että { xp (x) xg(x)} x(p (x) G(x)): Tämä tehdään rakentamalla malli M siten, että M xp (x 1 ) xp (x), ja M x(p (x) G(x)). Olkoon M = (D, I), missä D = {u, v}, I(P ) = {u} ja I(G) = {v}. On selvää, että jokaiselle tulkintajonolle w pätee, M, w xp (x) xg(x), sillä sekä M, w xp (x), että M, w xg(x) pätevät. Kuitenkaan millekään tulkintajonolle w ei päde, että M, w x(p (x) G(x)), sillä jos näin olisi, niin olisi sellainen a D, että M, w[x/a] P (x) G(x), mistä seuraisi, että a {u} ja a {v}, mikä on mahdotonta, sillä sellaista a ei ole olemassa. Lause Olkoon M = (D, I) kielen L malli ja A kielen L kaava. Jos w ja w ovat mallin M universumin tulkintajonoja siten, että w(x) = w (x) aina, kun x esiintyy vapaana kaavassa A, niin pätee, että w toteuttaa kaavan joss w toteuttaa kaavan A. Todistus. Induktiolla kaavan rakenteen suhteen. TapausA on muotoa R(t 1,..., t n ). Olkoon w ja w tulkintajonoja siten, että w(x) = w (x) aina, kun x esiintyy vapaana kaavassa A. Tiedämme, että t M,w = t M,w kaikilla i {1, 2,..., n}, sillä jos t i on vakio c j, niin selvästi c M,w j = c M,w j = I(c j ) Jos taas t i on muuttuja y, niin oletuksemme nojalla w(y) = w (y) ja siten y M,w = y M,w. Tästä saadaan seuraava väiteketju: M, w = R(t 1,..., t n ) joss (t M,w 1,..., t M,w ) I(R) joss (t M,w 1,..., t M,w n ) I(R) joss M, w = R(t 1,..., t n ). Tapaus A on muotoa B. Induktio-oletus on: (*) Kaikille tulkintajonoille s, s mallissa M: Jos s(y) = s (y) aina, kun y esiintyy vapaana kaavassa B, niin M, s = B joss M, s = B. Oletetaan, että w(x) = w (x) aina, kun x esiintyy vapaana kaavassa B. Silloin pätee myös, että w(x) = w (x) aina, kun x esiintyy vapaana kaavassa B (kaavoilla B ja B on samat vapaat muuttujat). Siten induktio-oletuksen 11

etujäsen on tosi (kun s:n tilalle laitetaan w ja s :n tilalle laitetaan w ), joten myös sen takajäsenen täytyy olla tosi, eli (a) M, w = B joss M, w = B mistä seuraa, että (b) M, w B joss M, w B mistä määritelmän nojalla seuraa, että (c) M, w = B joss M, w = B. Tapaukset A on muotoa B C, B C, ja B C todistetaan samalla tavalla. Tapaus A on muotoa xb. Induktio-oletus on (*). Oletetaan, että w(x) = w (x) aina, kun x esiintyy vapaana kaavassa A. Oletamme aluksi, että M, w = xb eli M, w[x/a] = B, jollakin a D. Selvästi tulkintajonot w[x/a] ja w [x/a] yhtyvät kaikilla kaavassa B vapaina esiintyvillä muuttujilla, eli induktio-oletuksen etujäsen on tosi (kun s:n tilalle laitetaan w ja s :n tilalle laitetaan w ). Siispä myös sen takajäsen on tosi, eli M, w[x/a] = B joss M, w [x/a] = B. Mutta M, w[x/a] = B, joten M, w [x/a] = B. Tästä seuraa toteuttamisrelaation määritelmän mukaan, että M, w = xb. Käänteinen implikaatio (oletetaan ensin, että M, w = xb ja todistetaan, että M, w = xb ) todistetaan samalla tavalla. Tapaus A on muotoa xb todistetaan samalla tavalla. Nyt meidän on mahdollista vakuuttumisen lisäksi todistaa, että jos jokin tulkintajono w toteuttaa lauseen A, niin kaikki tulkintajonot toteuttavat. Korollaari. Olkoon A L-lause. Seuraavat ehdot ovat ekvivalentteja: 1. M A 2. M, w A jollakin M:n tulkintajonolla w. 3. M, w A kaikilla M:n tulkintajonoilla w. Todistus. ehdot 1. ja 3. ovat määritelmän mukaan ekvivalentteja. On enää osoitettava, että 2. ja 3. ovat ekvivalentteja. Selvästi ehdosta 3. seuraa 2. ehto, joten riittää osoittaa, että ehdosta 2. seuraa 3. ehto. Oletetaan, että M, w A jollakin w, ja olkoon w mielivaltainen tulkintajono. Koska A:ssa ei ole vapaita muuttujia (A on lause), niin triviaalisti w(x) = w (x) aina, kun x on vapaana kaavassa A. Siten edellisen lauseen nojalla meillä on: M, w = A joss M, w = A. Koska oletimme, että M, w = A, pätee myös M, w = A w, ja koska w oli mielivaltainen tulkintajono, M, w A kaikilla tulkintajonoilla w. Huomaamme, että korollarista seuraa, että seuraavatkin ehdot ovat ekvivalentteja - M A - M, w A jollakin universumin D tulkintajonolla w. 12

- M, w A kaikilla universumin D tulkintajonoilla w. Esimerkki 12. Olkoon x A ja xa L-lauseita. Osoitetaan, että { x A} xa Määritelmän mukaan väite pitää kaikkansa, joss jokaiselle L-malllille M, jolle pätee M x A, pätee myös M xa. Oletetaan, että M x A. Siis (i) jokaiselle w : M, w x A. Olkoon w mielivaltainen M:n tulkintajono. Osoitetaan, että M, w xa, mikä on sama kuin M, w xa. Tämän todistamiseksi teemme vastaoletuksen: M, w xa. Siis M, w [x/a] A jollakin a D. Olkoon b tällainen D:n alkio. Väitteestä (i) seuraa, että M, w x A ja tästä edelleen, että M, w [x/a] A kaikilla a D. Mutta tällöin erityisesti M, w [x/b] A, mikä on ristiriita. Siis ei voi olla niin, etttä M, w xa, joten M xa. Esimerkki 13. Olkoon x A ja xa kuten edellisessä esimerkissä. Osoitetaan, että { xa} x A. Olkoon M sellainen L-malli, että M xa. Osoitamme, että M, w x A, kun w on mielivaltainen tulkintajono mallissa M. Eli osoitamme, että M, w[x/a] A jokaisella a D. Olkoon a mielivaltainen D:n alkio. Meidän on siis osoitettava, että M, w[x/a] A. Mutta näin on oltava, sillä jos olisikin niin, että M, w[x/a] A, niin toteuttamisrelaation määritelmän nojalla M, w xa, mikä on ristiriidassa sen kanssa, että M xa. Siispä M x A. Harjoitus 5. 1. Olkoon L = {P, R}. Luo sellainen L-malli M = (D, I) jossa lauseet xp (x) ja x yr(x, y) ovat tosia, ts. M xp (x) ja M x yr(x, y) mutta lause x yr(x, y) on epätosi, ts. M x yr(x, y) 2. Osoita että { x yr(x, y)} xr(x, x). 3. Osoita, että { xp (x) xg(x)} x(p (x) G(x)) 4. Osoita että { x(p (x) G(x))} xp (x) xg(x) 5. Ratkaise tehtävät (3) ja (4) semanttisten puitten menetelmän avulla. 6. Osoita, että x(x = x) 7. Osoita, että x y(x = y) 8. *(Ekstratehtävä)*: Rakenna malli lausejoukolle { x yr(x, y), x R(x, x), x y z((r(x, y) R(y, z)) R(x, z))} 13