MAA11 Koe 8.4.013 5 5 1. Luvut 6 38 ja 43 4 jaetaan luvulla 17. Osoita, että tällöin jakojäännökset ovat yhtäsuuret. Paljonko tämä jakojäännös on?. a) Tutki onko 101 alkuluku. Esitä tutkimuksesi tueksi jonkinlainen selitys vastauspaperille, pelkkä kyllä/ei vastaus ei riitä! b) Onko lause ( A B) ( A ( C B)) tautologia? 3. Opettaja tarjoaa lukiolaisille karkkia, jäätelöä ja limpparia. Onko mahdollista toteuttaa jokainen näistä kolmen oppilaan toiveesta? Paavo toivoo: En halua, että Elina saa jäätelöä, enkä halua, että Markus saa limpparia! Elina toivoo: En halua, että Markus saa limpparia ja jos minä saan jäätelöä, niin sitten Paavo ei saa saada karkkia. Markus toivoo: En halua, että Elina saa jäätelöä ja haluan, että Paavo saa karkkia. 4. a) Määritä lukujen 78078 ja 374374 suurin yhteinen tekijä ja pienin yhteinen jaettava alkulukuhajotelman avulla. b) Osoita, että parittoman kokonaisluvun neliö on aina pariton. 5. a) Määritä lukujen 341 ja 666 suurin yhteinen tekijä Eukliden algoritmin avulla. b) Määritä kaikki positiiviset kolminumeroiset kokonaisluvut, jotka ovat jaollisia sekä luvulla 7 että 11. 6. a) Määritä yhtälön 11x + 73y = 5 ratkaisu. b) Todista, että jos n on kokonaisluku, niin luku n 3 n on jaollinen luvulla 6. 7. Osoita, että jokaisella kokonaisluvulla n luku n ( n ) on jaollinen luvulla 3. 8. Olkoon n sellainen positiivinen kokonaisluku, että n+1 on kokonaisluvun neliö. Osoita, että n+1 on kahden peräkkäisen kokonaisluvun neliöiden summa.
MAA11 Koe 8.4.013 RATKAISUT: 1. 6 9(mod17) 38 4(mod17) 38 16 1(mod17) 4 5 5 4 (mod17) (4 6 38 5 5 (mod17) 9 4 ) 5 1 4(mod17) 16 1 4(mod17) ( 1) (mod17) 9 1 4(mod17) 13(mod17) 1 4(mod17) 43 9(mod17) 4 4(mod17) 4 5 (mod17) (4 43 4 5 9 4 5 ) 1 Jakojäännös on siis 13! 4(mod17) 16 1 4(mod17) ( 1) (mod17) 9 1 4(mod17) 13(mod17) 1 4(mod17). a) Täytyy tutkia, onko 101 jaollinen alkuluvuilla, jotka ovat pienempiä kuin 101 3 Tätä pienempiä alkulukuja ovat:,3,5, 7, 11, 13, 17, 19, 3, 9, 31. 101 ei ole jaollinen millään noista, joten se on alkuluku. b) ( A B) ( A ( C B)) A B C A A B C B A ( C B) ( A B) ( A ( C B)) 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 0 0 1 0 1 1 1 0 1 0 0 0 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 1 1
MAA11 Koe 8.4.013 0 1 0 1 1 0 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 1 Lause on aina tosi kaikilla A, B ja C:n totuusarvoilla, joten se on tautologia! 3. Lauseet voi formalisoida seuraavasti: A= Elina saa jäätelöä B=Markus saa limpparia C=Paavo saa karkkia Toiveet voi formalisoida: Paavo:D= A B, Elina: E= B (A C) ja Markus F= A C. Kaikki kolme toivetta pitää olla voimassa yhtä aikaa, eli siis: D E F D E F A B C A B B (A C) A C D E F 1 1 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 1 0 1 1 1 0 0 0 1 1 1 0 1 0 1 0 0 1 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0
MAA11 Koe 8.4.013 0 0 1 1 1 1 1 0 0 0 1 1 0 0 D E F on tosia ainoastaan, jos A ja B epätosia ja C tosi, eli siis Rehtori toteuttaa oppilaiden toiveet jos hän ei anna Elinalle jäätelöä, Markukselle ei limpparia, ja antaa Paavolle karkkia. 4. a) Ratkaisu: Jaetaan luvut ensin alkulukutekijöihin. 78078 39039 3 13013 3 7 1859 3 7 11 169 3 7 11 13 374374 187187 7 6741 7 11 431 7 11 13 187 7 11 13 11 17 7 11 13 17 syt(78078,374374) 7 11 13 00 pyj (78078,374374) 3 7 11 13 17 14600586 b) Ratkaisu: Olkoon pariton kokonaisluku muotoa k + 1, missä k on kokonaisluku. Nyt. Koska (k k) on parillinen, niin (k k) 1on (k 1) 4k 4k 1 (k k) 1 pariton. Siis parittoman kokonaisluvun neliö on aina pariton. 5. a) 341 = 4 x 666 + 577 666 = 1 x 577 + 89 577 = 6 x 89 + 43 89 = x 43 + 3 43 = 14 x 3 + 1 3 = 3 x 1 => SYT(341, 666) = 1 b) Ratkaisu: Jos luku on jaollinen sekä luvulla 7 että luvulla 11, niin se on jaollinen luvulla 77 (koska 7 ja 11 ovat alkulukuja). Haetaan väliltä kaikki luvulla 77 jaolliset luvut.
MAA11 Koe 8.4.013 77 1 77,77 154 77 3 31,77 4 308 77 5 385,77 6 46 77 7 539,77 8 616 77 9 693,77 10 770 77 11 847,77 1 94 77 13 1001 Vastaus: Luvut ovat 154, 31, 308, 385, 46, 539, 616, 693, 770, 847 ja 94. 6. a) Ratkaisu: Tehdään Eukleideen algoritmi. 11 1 73 39 73 1 39 34 39 1 34 5 34 6 5 4 5 1 4 1 4 4 1 syt( 11,73) =1 Ja sitten takaperin: 1 5 1 4 5 1 (34 6 5) 7 5 1 34 7 (39 1 34) 1 34 7 39 8 34 7 (11 1 73) 8 (73 1 39) 7 11 15 73 8 39 7 11 15 73 8 (11 1 73) 11 15 73 ( 3) Nyt 1 11 15 73 ( 3) 5 5 11 15 5 73 ( 3) 5 5 11 75 73 ( 115) x=75 ja y= -115
MAA11 Koe 8.4.013 b) n 3 n n( n 1) n( n 1)( n 1) ( n 1) n( n 1) ovat kolme peräkkäistä kokonaislukua. Jonkin kolmesta peräkkäisestä kokonaisluvusta on oltava parillinen, siis jaollinen luvulla. Jonkin kolmesta peräkkäisestä kokonaisluvusta on oltava jaollinen luvulla 3. siis jaollinen luvuilla ja 3. Se on siis jaollinen luvulla 6 = x 3. n n 3 on 7. Oletus: n on kokonaisluku Väite: n( n ) on jaollinen luvulla 3. Todistus: Jokainen kokonaisluku n voidaan esittää muodoilla 3q, 3q+1 tai 3q+ missä q on jokin kokonaisluku. Nyt: Eli oli n minkä muotoinen kokonaisluku hyvänsä, n ( n ) on aina jaollinen luvulla 3. 8. Oletuksen nojalla n 1 p, missä p on kokonaisluku. Koska n+1 on pariton, on p pariton, joten p on muotoa q+1 pariton luku, missä q on kokonaisluku.
MAA11 Koe 8.4.013 Siis n 1 (q 1) n 1 4q 4q 1 1 n 4q 4 q : n q q Ja tästä taas seuraa se, että n:stä seuraava luku n+1 on muotoa: n q q 1 1 n q q q 1 1 n 1 q ( q 1) eli n on kahden peräkkäisen kokonaisluvun q ja q+1 neliöiden summa!