5 OMINAISARVOT JA OMINAISVEKTORIT Ominaisarvo-ongelma Käsitellään neliömatriiseja: olkoon A n n-matriisi. Luku on matriisin A ominaisarvo (eigenvalue), jos on olemassa vektori x siten, että Ax = x () Yhtälön () toteuttavat vektorit x ovat ominaisarvoon liittyviä ominaisvektoreita. Yhtälö () voidaan kirjoittaa Ax = Ix eli (A I)x = ()
Ominaisarvojen joukkoa kutsutaan A:n spektriksi. Jos x ja y ovat ominaisarvoa vastaavia ominaisvektoreita, x -y ja c on skalaari, niin myös x + y ja cx ovat ominaisarvoa vastaavia ominaisvektoreita. Yleisesti: ominaisarvoon liittyvien ominaisvektoreiden nollasta eroavat lineaarikombinaatiot ovat :aan liittyviä ominaisvektoreita. Ominaisvektori, jonka pituus on, on normalisoitu tai normaali ominaisvektori. Ominaisarvoon liittyvä ominaisavaruus E on tähän ominaisarvoon liittyvien ominaisvektorien ja -vektorin muodostama joukko = vastaavien ominaisvektorien virittämä vektoriavaruus: E = {x R n Ax = x }
Ominaisarvojen ja vektorien määrittäminen 3 Esimerkki 5.. Määrää matriisin A = 5 ominaisarvot ja ominaisvektorit. 5 x x Ax = x = λ x x 5x + x = x x x = x ( 5 )x + x = x + ( )x = (A I) x =
Ryhmällä (A I) x = on ei-triviaaleja ratkaisuja x jos ja vain jos 4 eli rank(a I) < det(a I) =. 5 λ det (A I) = = λ ( 5 )( ) 4 = + 7 + 6 = Ratkaisut: = - = -6
5 Ominaisarvoon = - liittyvät ominaisvektorit: (A I)x = 4x + x = x x = Ratkaisut: x = x. Eräs ominaisarvoon = - liittyvä ominaisvektori on x = Kaikki ominaisarvoon = - liittyvät ominaisvektorit: x = t missä t R, t
6 Ominaisarvoon = -6 liittyvät ominaisvektorit: (A I) x = x + x = x + 4x = Ratkaisut: x = -x. Ominaisarvoon = -6 liittyvä ominaisvektori on x = Kaikki ominaisvektorit: x = t, t R, t
7 Ominaisvektoreiden x = ja x = pituus on 5 Normalisoidut ominaisvektorit: / / 5 5 ja / 5 / 5
Yleisesti: 8 (A I)x = (4) on A:n ominaisarvo eli tällä homogeeni-ryhmällä on ratkaisu x A I on singulaarinen det (A I) = (5) Tämä on matriisin A karakteristinen yhtälö ja sen ratkaisut ovat A:n ominaisarvot. Determinantti D( ) = det (A I) kehittämällä saadaan :n n:nnen asteen polynomi, joka on A:n karakteristinen polynomi.
OMINAISARVO-ONGELMAN RATKAISEMINEN 9 Laskentajärjestys: ) Ensin lasketaan ominaisarvot, jotka ovat karakteristisen yhtälön juuret. det (A I) = ) Eri ominaisarvoja vastaavat ominaisvektorit x lasketaan ratkaisemalla homogeeninen yhtälöryhmä (A I)x = (esim. Gaussin eliminoinnilla).
Määritelmiä: Ominaisarvon algebrallinen kertaluku M on karakteristisen yhtälön juuren kertaluku. Ominaisarvon geometrinen kertaluku m on :aan liittyvien lineaarisesti riippumattomien ominaisvektorien lukumäärä eli sen ominaisavaruuden dimensio. Jos jollekin ominaisarvolle m < M, sanotaan että matriisi A on defektiivinen. Kokoa n n olevalla matriisilla on vähintään yksi ja enintään n erisuurta ominaisarvoa. Reaalilukumatriisilla voi olla myös kompleksisia ominaisarvoja ja vektoreita.
Esimerkki 5.. Laske matriisin cosθ sin θ sin θ cos θ ominaisarvot.
Esimerkki 5..3 Etsi matriisin A = 6 3 ominaisarvot ja ominaisvektorit. Karakteristinen yhtälö: D( ) = det(a I) = det( I A) = 6 3 = λ λ λ +
3 Kehittämällä. sarakkeen suhteen: + )[( ) ] ( )( 6) + ( 3( ) = 3 + 45 = Yksi juuri on = 5. Jaa polynomi tekijällä 5 muut juuret toisen asteen yhtälöstä + 6 + 9 = Tällä on yksi kaksinkertainen juuri = 3.
4 Ominaisarvoon = 5 liittyvät ominaisvektorit: Ratkaistaan homogeeniryhmä (A 5I)x = (5I A)x =. 5 6 4 3 7 ~ 3 7 6 4 5 ~ 3 6 6 8 5 ~ 5 Kun valitaan x 3 = -, saadaan sijoituksilla ominaisvektori x = [ -] T. (Tai yleisesti, asetetaan vaikkapa x 3 = -t ja ratkaistaan muut muuttujat.) Ominaisarvoon = 5 liittyvät ominaisvektorit ovat muotoa t[ -] T, t R, t
5 Ominaisarvoon = -3 liittyvät ominaisvektorit: Ratkaistaan homogeeniryhmä (A + 3I)x =. 3 6 4 3 ~ 3 Ratkaisut eli ominaisvektorit yhtälöstä x + x 3x 3 = x = -x + 3x 3.
6 rank(a + 3I) = (ei-nollarivien määrä redusoidussa matriisissa) Dimensiolauseen mukaan dim N(A + 3I) = eli homogeeniryhmällä on kaksi lineaarisesti riippumatonta ratkaisua. Esim. kun valitaan x =, x 3 = ja toiseksi x =, x 3 = saadaan lineaarisesti riippumattomat ratkaisut eli ominaisarvoon = -3 liittyvät ominaisvektorit x = [- ] T x 3 = [3 ] T.
Toinen tapa: 7 Merkitään vapaiden muuttujien arvoja x = s, x 3 = t, jolloin x = -s + 3t. Ominaisvektorit ovat silloin muotoa x = s + s t 3t = s + 3 t = sx + tx 3 s,t R, ainakin toinen missä x = [- ] T ja x 3 = [3 ] T ovat lineaarisesti riippumattomat ominaisvektorit.
8 Ominaisarvoon = -3 liittyvä ominaisavaruus sisältää kaikki vektorien x ja x 3 lineaarikombinaatiot. Ominaisarvoon = -3 liittyvät algebrallinen ja geometrinen kertaluku ovat M = m =.
Ominaisarvot & matriisin ominaisuudet 9 Lause 5.3. Olkoot matriisin A ominaisarvot,, n. a) det(a) = n eli ominaisarvojen tulo. b) A säännöllinen kaikki i. c) Diagonaalimatriisin ja kolmiomatriisin ominaisarvot ovat sen diagonaalialkiot. d) Matriisin A ja sen transpoosin A T ominaisarvot ovat samat. e) Jos A on säännöllinen, käänteismatriisin A - ominaisarvot ovat /,,/ n. f) Jos A on symmetrinen, sen ominaisarvot ovat reaalisia.