Algebran perusteet Harjoitus 4, ratkaisut kevät 2016 1 a) Koska 105 = 5 21 = 3 5 7 ja 44 = 2 2 11, niin syt(44, 105) = 1 Lisäksi ϕ(105) = ϕ(3 5 7) = (3 1)(5 1)(7 1) = 2 4 6 = 48, joten Eulerin teoreeman nojalla Näin ollen 44 ϕ(105) = 44 48 1 (105) 44 49 = 44 44 48 44 (105) Siispä jakojäännös on 44, kun luku 44 49 jaetaan luvulla 105 b) Koska luku 41 on alkuluku ja 100 = 2 2 5 2, niin syt(41, 100) = 1 Lisäksi ϕ(100) = ϕ(5 2 2 2 ) = 5(5 1)2(2 1) = 40 Eulerin teoreeman nojalla 41 ϕ(100) = 41 40 1 (100), joten 41 82 = (41 40 ) 2 41 2 41 2 = 1681 81 (100) Näin ollen luvun 41 82 kaksi viimeistä numeroa ovat 8 ja 1 c) Koska 50 = 2 5 2 ja luku 3 on alkuluku, niin syt(3, 50) = 1 Lisäksi ϕ(50) = ϕ(5 2 2) = 5(5 1)2 = 20, joten Eulerin teoreeman nojalla Nyt Lisäksi, koska 49 1 (50), niin Edellä olevan nojalla 3 ϕ(50) = 3 20 1 (50) 3 64 (3 20 ) 3 3 4 1 3 81 31 (50) 49 29 = ( 1) 29 1 (50) 3 64 49 29 31 ( 1) 31 19 (50) Siispä jakojäännös on 19, kun luku 3 64 49 29 jaetaan luvulla 50
2 a) 1 Koska kaikilla a, b R summa a + b R, niin (+) on binäärinen joukossa R 2 Koska kaikilla a, b, c R pätee (a+b)+c = a+b+c = a+(b+c), niin (+) on assosiatiivinen joukossa R 3 Koska kaikilla a R pätee a + 0 = a = 0 + a ja 0 R, niin 0 on neutraalialkio 4 Koska kaikilla a R pätee a + ( a) = 0 = ( a) + a ja a R, niin jokaisella reaaliluvulla a on käänteisalkiona vastaluku a Näin (R, +) on ryhmä b) 3 Positiivisilla reaaliluvuilla ei ole yhteenlaskun suhteen neutraalialkiota, sillä 0 ei ole positiivinen reaaliluku Näin (R +, +) ei ole ryhmä c) 1 Kahden nollasta eroavan reaaliluvun yhteenlaskusta ei aina tule nollasta eroavaa reaalilukua: Kun luku ja sen vastaluku lasketaan yhteen, niin siitä tulee 0, joka ei ole nollasta eroava reaaliluku Täten (+) ei ole binäärinen joukossa R Näin (R, +) ei ole ryhmä d) 4 Reaaliluvulla 0 ei ole käänteisalkiota: Ei ole olemassa sellaista reaalilukua a, että 0 a = 1 (luku 1 on neutraalialkio), sillä 0 a = 0 kaikilla a R Näin (R, ) ei ole ryhmä e) 1 Koska kaikilla a, b R + tulo a b R +, niin ( ) on binäärinen joukossa R + 2 Koska kaikilla a, b, c R + pätee (a b) c = a b c = a (b c), niin ( ) on assosiatiivinen joukossa R + 3 Koska kaikilla a R + pätee a 1 = a = 1 a ja 1 R +, niin 1 on neutraalialkio 4 Kaikilla a R + pätee a 1 a a a R +, joten jokaisella positiivisella reaaliluvulla a on käänteisalkiona käänteisluku 1 a Näin (R +, ) on ryhmä f) 1 Koska kaikilla a, b R tulo a b R, niin ( ) on binäärinen joukossa R 2 Koska kaikilla a, b, c R pätee (a b) c = a b c = a (b c), niin ( ) on assosiatiivinen joukossa R 3 Koska kaikilla a R pätee a 1 = a = 1 a ja 1 R, niin 1 on neutraalialkio 4 Kaikilla a R pätee a 1 a a a R, joten jokaisella nollasta eroavalla reaaliluvulla a on käänteisalkiona 1 a Näin (R, ) on ryhmä
( ) a b 3 Oletus: M = {A =, a, b, c, d R ja det A 0} c d Väite: (M, ) on ryhmä ( ) ( ) ( ) a b e f i j Todistus Olkoot A =, B =, C = M mielivaltaisia (matriisien alkiot reaalilukuja) c d g h k l 1 Koska matriisien A ja B tulon ( ) ( ) ( ) a b e f ae + bg af + bh A B = =, c d g h ce + dg cf + dh alkiot ovat reaalilukuja ja det (AB) = det }{{ A} det }{{ B} 0 0 binäärioperaatio joukossa M 0, niin ( ) on 2 Koska ( ) ( ) ae + bg af + bh i j (A B) C = ce + dg cf + dh k l ( ) aei + bgi + afk + bhk aej + bgj + afl + bhl = cei + dgi + cfk + dhk cej + dgj + cfl + dhl ( ) ( ) a b ei + fk ej + fl = = A (B C), c d gi + hk gj + hl niin ( ) on assosiatiivinen ( ) 1 0 3 Matriisi I = M, sillä det I = 1 0 Lisäksi I A = A I = A, 0 1 joten I on neutraalialkio 4 Jokaisella matriisilla A M on käänteismatriisi A 1, sillä det A 0 Täten on voimassa A A 1 = A 1 A = I Lisäksi det A 1 = 1 0, det A joten A 1 M Näin kaikilla A M on olemassa käänteisalkio A 1 Kaikki ryhmän ehdot toteutuvat, joten (M, ) on ryhmä 5 Ryhmä (M, ) ei ole Abelin ryhmä, sillä matriisien kertolasku ei ole vaihdannainen Esimerkiksi ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 0 3 2 3 0 3 1 2 0 3 = ja = 0 1 1 0 1 0 1 0 0 1 1 2
4 a) Oletus: G on ryhmä Väite: Ryhmän G neutaalialkio e on yksikäsitteinen Todistus Oletetaan, että myös e on ryhmän G neutraalialkio Tällöin e = e e Toisaalta koska e on neutraalialkio, niin e e = e Näin ollen e = e Siispä ryhmän G neutraalialkio on yksikäsitteinen b) Oletus: G on ryhmä ja a G Väite: (a 1 ) 1 = a Todistus Koska a 1 G, niin (a 1 ) 1 G on olemassa Nyt aa 1 = e aa 1 (a 1 ) 1 = e(a 1 ) 1 ae = a = (a 1 ) 1 (a 1 ) 1 Siispä (a 1 ) 1 = a c) Oletus: G on ryhmä, a, b G ja (ab) 2 = a 2 b 2 Väite: ab = ba Todistus Nyt (ab) 2 = a 2 b 2 (ab)(ab) = (aa)(bb) Assosiatiivisuuden nojalla sulut voidaan poistaa, joten abab = aabb Kun tämä yhtälö operoidaan vasemmalta puolelta alkion a käänteisalkiolla a 1 ja oikealta puolelta alkion b käänteisalkiolla b 1, niin saadaan eli väite on tosi a 1 ababb 1 = a 1 aabbb 1 ebae = eabe ba = ab 5 a) Olkooon ryhmän G operaatio Oletaan, että neutraalialkion e lisäksi ryhmään G kuuluu alkiot a ja b Nyt e e = e, e a = a = a e ja e b = b = b e eli e a b e e a b a a b b Alkio a b voi olla e tai b Jos a b = b, niin supistamislain nojalla a = e, mikä on ristiriita eli a b = e Näin e a b e e a b a a e b b
Koska jokaisella vaaka- ja pystyrivillä esiintyy jokainen alkio tasan kerran, niin e a b e e a b a a b e b b e a b) Oletus: G on ryhmä ja g 2 = e kaikilla g G Väite: G on Abelin ryhmä eli ab = ba kaikilla a, b G 1 tapa: Todistus Olkoon a, b G mielivaltaisia Koska g 2 = e kaikilla g G, niin g 1 = g kaikilla g G Erityisesti siis a 1 = a ja b 1 = b Lisäksi binäärisyyden nojalla ab G, joten (ab) 1 = ab Toisaalta (ab) 1 = b 1 a 1, joten ab = (ab) 1 = b 1 a 1 = ba 2 tapa: Todistus Olkoon a, b G mielivaltaisia Koska ab G (laskutoimitus binäärioperaatio), niin (ab) 2 = e Assosiatiivisuuden nojalla sulut voidaan poistaa, joten e = (ab) 2 = (ab)(ab) = abab Tällöin abab = e b (b 2 = e) abae = b aba = b a (a 2 = e) abe = ba ab = ba 6 a) i) Z 7 = {[0], [1], [2], [3], [4], [5], [6]} Nyt [a]+[b] = [a+b], joten esimerkiksi [3]+[5] = [3+5] = [8] = [1] Ryhmän (Z 7, +) ryhmätaulu: + [0] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [0] [0] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [1] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [0] [2] [2] [3] [4] [5] [6] [0] [1] [3] [3] [4] [5] [6] [0] [1] [2] [4] [4] [5] [6] [0] [1] [2] [3] [5] [5] [6] [0] [1] [2] [3] [4] [6] [6] [0] [1] [2] [3] [4] [5]
Käänteisalkiot: [0] 1 = [0], [1] 1 = [6], [2] 1 = [5], [3] 1 = [4], [4] 1 = [3], [5] 1 = [2], [6] 1 = [1] ii) Z 12 = {[1], [5], [7], [11]} Nyt [a][b] = [a b], joten esimerkiksi [5][7] = [5 7] = [35] = [11] Ryhmän (Z 12, ) ryhmätaulu: [1] [5] [7] [11] [1] [1] [5] [7] [11] [5] [5] [1] [11] [7] [7] [7] [11] [1] [5] [11] [11] [7] [5] [1] Käänteisalkiot: [1] 1 = [1], [5] 1 = [5], [7] 1 = [7], [11] 1 = [11] iii) Z 14 = {[1], [3], [5], [9], [11], [13]} Nyt [a][b] = [a b], joten esimerkiksi [3][9] = [3 9] = [27] = [13] Ryhmän (Z 14, ) ryhmätaulu: [1] [3] [5] [9] [11] [13] [1] [1] [3] [5] [9] [11] [13] [3] [3] [9] [1] [13] [5] [11] [5] [5] [1] [11] [3] [13] [9] [9] [9] [13] [3] [11] [1] [5] [11] [11] [5] [13] [1] [9] [3] [13] [13] [11] [9] [5] [3] [1] Käänteisalkiot: [1] 1 = [1], [3] 1 = [5], [5] 1 = [3], [9] 1 = [11], [11] 1 = [9], [13] 1 = [13] b) Ryhmän Z 980 alkioiden lukumäärä on Z 980 = ϕ(980) = ϕ(2 2 5 7 2 ) = 2(2 1)(5 1)7(7 1) = 336 Eukleideen algoritmilla saadaan 980 = 25 39 + 5 5 = 980 25 39 39 = 7 5 + 4 4 = 39 5 7 5 = 1 4 + 1 1 = 5 4 4 = 4 1 Näin ollen syt(980, 39) = 1, joten [39] Z 980 Koska 1 = 5 4 = 5 (39 7 5) = 8 5 39 = 8(980 25 39) 39 = 8 980 201 39, niin yhtälön 39x 1 (980) eräs ratkaisu on x = 201, joten kaikki ratkaisut ovat x 201 779 (980) Siispä [39] 1 = [779]