Miten opit parhaiten? Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla! n Harjoittelu tehdään aktiivisesti tehtäviä ratkomalla. Tehtävät kattavat kaikki yo-kokeessa tarvittavat asiat. n Lasket kynällä ja paperilla, mutta Mafynetti opettaa ja neuvoo videoiden ja ratkaisujen avulla. n Mafynetti huolehtii kertauksesta, joten et unohda oppimiasi asioita. n Mafynetti on nyt kokonaan ilmainen! Lataa ilmaiseksi mafyvalmennus.fi/mafynetti
Pitkä matematiikka, kevät 010 Mallivastaukset Mallivastausten laatimisesta ovat vastanneet filosofian maisteri Teemu Kekkonen ja diplomi-insinööri Antti Suominen. Teemu Kekkonen opettaa lukiossa pitkää ja lyhyttä matematiikkaa sekä fysiikkaa. Hän on tarkastanut matematiikan ja fysiikan yo-kokeita neljän vuoden ajan. Teemu Kekkonen ja Antti Suominen toimivat opettajina MA-FY Valmennus Oy:ssä. Nämä mallivastaukset ovat MA-FY Valmennus Oy:n omaisuutta. MA-FY Valmennus Oy on Helsingissä toimiva, matematiikan ja fysiikan valmennuskursseihin erikoistunut yritys. Palveluitamme ovat TKK-pääsykoekurssit abikurssit yksityisopetus Tästä keväästä alkaen olemme julkaisseet internet-sivuillamme kaiken palautteen, jonka asiakkaat antavat kursseistamme. Näin varmistamme, että palveluistamme kiinnostuneilla ihmisillä on mahdollisuus saada tarkka ja rehellinen kuva siitä, mitä meiltä voi odottaa. Tämä asiakirja on tarkoitettu yksityishenkilöille opiskelukäyttöön ja omien yo-vastausten tarkistamista varten. Kopion tästä asiakirjasta voi ladata MA-FY Valmennuksen internet-sivuilta www.mafyvalmennus.fi. Käyttö kaikissa kaupallisissa tarkoituksissa on kielletty. Lukion matematiikan opettajana voit käyttää näitä mallivastauksia oppimateriaalina lukiokursseilla. MA-FY Valmennus Oy:n yhteystiedot: internet: www.mafyvalmennus.fi s-posti: info@mafyvalmennus.fi puhelin: 050 8 7098 TKK-pääsykoekurssit abikurssit yksityisopetus
1. a) Ratkaise yhtälö 7x 7 + 6x 6 = 0. b) Sievennä lauseke ( a + 1) a 1. c) Millä x:n arvoilla pätee x < 0? Ratkaisu. a) Tulon nollasäännön mukaan 7x 7 + 6x 6 = 0 x 6 (7x + 6) = 0 x 6 = 0 tai 7x + 6 = 0 x = 0 7x = 6 : 7 x = 6 7 b) ( a + 1 ) a 1 = a + a 1 + 1 a 1 V: x = 0 tai x = 6 7 c) (1) Määrittelyehto = a + a + 1 a 1 = a x 0 x < 0 x : ( ) V: a x Epäyhtälön (1) vasen puoli on negatiivinen, kun nimittäjä on negatiivinen, eli x < 0 x < x > : ( ) V: x > TKK-pääsykoekurssit abikurssit yksityisopetus 1
. a) Laske integraali 1 0 (ex + 1) dx. b) Derivoi funktio x sin x. c) Minkä luvun -kantainen logaritmi on 5? Ratkaisu. a) 1 0 (e x + 1) dx = 1/ (e x + x) 0 = e 1 + 1 ( e 0 + 0 ) = e + 1 1 = e b) V: e D (x sin x) = D x sin x + x D sin x = 1 sin x + x cos x c) Logaritmin määritelmän mukaan log x = 5 V: sin x + x cos x 5 = x = x V: Luvun -kantainen logaritmi on 5 TKK-pääsykoekurssit abikurssit yksityisopetus
. a) Kolmion sivujen pituudet ovat, ja 5. Laske kolmion suurin kulma asteen kymmenesosan tarkkuudella. b) Määritä toisen asteen yhtälön x +px+q = 0 kertoimet p ja q, kun yhtälön juuret ovat 6 ja + 6. Ratkaisu. a) Kolmion suurin kulma on pisimmän sivun vastainen kulma. Kosinilauseen mukaan 5 = + cos α 5 = 0 16 cos α 16 cos α = 5 : 16 cos α = 5 16 α = 108,09956... V: 108, b) Tekijälauseen mukaan polynomilla on tekijät [ x ( 6 )] ja [ x ( + 6 )], koska sillä on nollakohdat 6 ja + 6. Tekijöiden tulo on [ ( x )] [ ( 6 x + )] 6 ( = x + ) ( 6 x + + ) 6 = x + x + 6x + x + + 6 6x 6 6 6 = x + x + 6 = x + x V: Kertoimet ovat p = ja q = TKK-pääsykoekurssit abikurssit yksityisopetus
. Puolipallon sisällä on kuutio siten, että sen yksi sivutahko on puolipallon pohjatasolla ja vastakkaisen sivutahkon kärkipisteet ovat pallopinnalla. Kuinka monta prosenttia kuution tilavuus on puolipallon tilavuudesta? Ratkaisu. Kuva 1. Tilanne ylhäältä päin katsottuna. Kuva. Pystysuuntainen leikkaus. TKK-pääsykoekurssit abikurssit yksityisopetus
Merkitään kuution särmää a:lla, jolloin sen sivutahkon lävistäjä on a. Merkitään ympyrän sädettä r:llä. Kuvasta 1. saadaan Pythagoraan lauseen nojalla ( ) a + a = r a + a = r a = r Tilavuuksien suhde V kuutio V puolipallo = = = = = r = ( + ) r = a a 1 πr a ( ) π a ( ) 1 ) π ( ) 1 a a π ( ) a 1 π ) 1 = π 6 = π Suhde prosentteina 6 π 100% = 5,98989... % V: Kuution tilavuus on 6,0 % puolipallon tilavuudesta TKK-pääsykoekurssit abikurssit yksityisopetus 5
5. Vektoreiden ā ja b summa on vektori ī + j ja niiden pistetulo on ā b =. Vektori b on yhdensuuntainen vektorin ī kanssa. Määritä vektorit ā ja b. Ratkaisu. Vektoreiden b ja ī yhdensuuntaisuudesta seuraa, että Merkitään lisäksi Tehtävänannon ehdot ovat (1) () b = tī, jollakin t R. ā = xī + y j, jossa x, y R. { ā + b = ī + j ā b = { xī + y j + tī = ī + j (xī + y j) tī = { (x + t) ī + y j = ī + j x t + y 0 = Yhtälöstä (1) seuraa vektorien komponenttien yksikäsitteisyyslauseen nojalla { x + t = () y = 1 Yhtälöstä () seuraa () x = t Sijoitetaan () yhtälöön (), saadaan ( t)t = t t = t + t = 0 t t + = 0 (t )(t ) = 0 : ( 1) Tulon nollasäännön mukaan t = 0 t = TKK-pääsykoekurssit abikurssit yksityisopetus 6
Sijoitetaan edellinen yhtälöön (), saadaan Vektorit ovat siis x = = ā = ī + j b = ī ja V: ā = ī + j ja b = ī TKK-pääsykoekurssit abikurssit yksityisopetus 7
6. a) Laatikossa on kaksi eriväristä palloa. Laatikosta nostetaan umpimähkään yksi pallo, pannaan se takaisin ja nostetaan taas umpimähkään pallo. Mikä on todennäköisyys, että nostetut pallot ovat eriväriset? b) Mikä on vastaava todennäköisyys, jos laatikossa onkin kolme keskenään eriväristä palloa ja samalla tavalla nostetaan kaksi palloa? Ratkaisu. a) Ensimmäinen nostettava pallo voi olla kumpaa tahansa väriä. Toisena nostettavan pallon täytyy olla eri väriä. Suotuisia tapauksia toisessa nostossa on siis yksi ja alkeistapauksia molemmat värimahdollisuudet eli kaksi. Kysytty todennäköisyys on P = 1 V: Todennäköisyys, että pallot ovat eriväriset on 1. b) Ensimmäinen nostettava pallo voi olla mitä tahansa väriä. Toisena nostettavan pallon täytyy olla jotakin kahdesta muusta väristä. Suotuisia tapauksia toisessa nostossa on siis kaksi ja alkeistapauksia kaikki kolme väriä. Kysytty todennäköisyys on P = V: Todennäköisyys, että pallot ovat eriväriset on. TKK-pääsykoekurssit abikurssit yksityisopetus 8
7. Suorakulmion kaksi kärkeä on x-akselilla ja kaksi käyrällä y = + x. Mitkä ovat suorakulmion sivujen pituudet, kun sen pinta-ala on suurin mahdollinen? Ratkaisu. Kuvaaja on symmetrinen y-akselin suhteen, koska Lasketaan y(x) arvoja y( x) = + ( x) = + x = y(x) x y = +x 0 1 1,... 0,66... 0,6... 0,... Kuvaaja Suorakulmien sivumitat ovat x ja, jossa x > 0. + x TKK-pääsykoekurssit abikurssit yksityisopetus 9
Pinta-ala A(x) = x + x = 8x + x Funktioiden osamäärän derivaatta Derivaatan nollakohdat 16 8x A (x) = 8 ( + x ) 8x x ( + x ) = 16 + 8x 16x ( + x ) 16 8x = ( + x ) ( + x ) = 0 ( + x ), + x 0 x R 16 8x = 0 8x = 16 x = x = ± : ( 8) Tehdään kulkukaavio A 16 8 1 (1) = ( + 1 ) = 0,88... > 0 A 16 8 () = ( + ) = 0,... < 0 0 A (x) + A(x) Kulkukaaviosta nähdään, että pinta-ala on suurin, kun x =. Sivujen pituudet ovat: x = ja + x = + = + = 1 V: Kun pinta-ala on suurin, niin x-akselin suuntaisen sivun pituus on ja y-akselin suuntaisen sivun pituus on 1. TKK-pääsykoekurssit abikurssit yksityisopetus 10
8. Tietunnelin poikkileikkaus on osa alaspäin aukeavaa paraabelia. Tien leveys on 10 m, ja tunnelin poikkileikkauksen pinta-ala on 5,0 m. Määritä tunnelin korkeus senttimetrin tarkkuudella. Ratkaisu. Sijoitetaan paraabeli koordinaatistoon niin, että se on symmetrinen y-akselin suhteen, joten se on muotoa y = ax + h, jossa h on y-akselin leikkauspiste. Paraabeli kulkee pisteen (5, 0) kautta, joten lukupari (5, 0) toteuttaa paraabelin yhtälön, eli (1) Paraabelin yhtälö on siis Paraabelin pinta-ala on 0 = a 5 + h 0 = 5a + h h = 5a y = ax + 5a A = 5 TKK-pääsykoekurssit abikurssit yksityisopetus 11
Toisaalta pinta-ala voidaan laskea määrätystä integraalista 1 a 5 + 5a 5 5 5 / 5 5 ( ax + 5a) dx = 5 ( 1 ax + 5ax ( 1 ) a ( 5) + 5a ( 5) 15 Sijoitetaan yhtälöön (1), saadaan h = 5 ) = 5 = 5 15 a + 15a a + 15a = 5 500 0 =,75 (m). a = 5 500 a = 0 V: Tunnelin korkeus on 75 cm. TKK-pääsykoekurssit abikurssit yksityisopetus 1
9. Tutki kuinka monta juurta yhtälöllä on välillä ] π/, π/[. tan x 1 = x Ratkaisu. Funktio tan x on määritelty koko avoimella välillä ] π, π [, joten myös yhtälö on määritelty tällä välillä. tan x 1 = x tan x x 1 = 0 Merkitään f(x) = tan x x 1. Tehdään funktion f(x) kulkukaavio Derivaatan nollakohdat f (x) = (1 + tan x) = + tan x = tan x 1 tan x 1 = 0 tan x = 1/ tan x = 1/ tai tan x = 1/ x = π 6 + nπ, tai x = π 6 + nπ, jossa n N jossa n N Välillä ] π, π [ olevat nollakohdat Välin päätepisteiden likiarvot Derivaatan merkki x 1 = π 6 0,5 ja x = π 6 0,5 π 1,57 ja π 1,57 f ( 1) = tan ( 1) 1 = 6,77... > 0 f (0) = tan 0 1 = 1 < 0 f (1) = tan 1 1 = 6,77... > 0 TKK-pääsykoekurssit abikurssit yksityisopetus 1
π π π 6 6 f (x) + + f(x) Funktion arvot ääriarvokohdissa ( f π ) = tan 6 = 0,676... < 0 ( π ) ( π ) f = tan 6 6 π ( π ) ( π ) 1 6 6 = 1,6... < 0 π 6 1 Välillä ] π, π ] funktio saa kulkukaavion mukaan suurimman arvonsa kohdassa π. Suurin arvo on f ( ) 6 π 6 6 = 0,676..., joten funktio saa välillä ] π, π [ vain negatiivisia arvoja, eikä sillä voi olla nollakohtia ko. välillä. 6 Välillä [ π, π [ funktio f(x) on aidosti kasvava, joten sillä voi olla ko. välillä 6 korkeintaan yksi nollakohta. f(1,5) = tan 1,5 1,5 1 5, > 0 ja toisaalta ( π ) f 1,6 < 0, 6 joten funktio vaihtaa merkkiään välillä [ π, π [ ja sillä on siis Bolzanon lauseen 6 mukaan nollakohta ko. välillä. Yhtälöllä on siis yksi juuri välillä ] π, π[. V: Yhtälöllä on yksi juuri välillä ] π, π [. TKK-pääsykoekurssit abikurssit yksityisopetus 1
10. Kolmio K 1 on tasakylkinen kolmio, jonka kanta on a ja korkeus b. Kolmio K on suorakulmainen kolmio, jonka kateettien pituudet ovat a ja b. Kummalla kolmiolla on pidempi piiri? Ratkaisu. Piirit: ( a c = b + ) c = ( + b + a ) d = a + b d = ( + ) a + b K 1 : K : p 1 = a + c p 1 = a + p = a + b + d b + a, a, b Z + p = a + b + a + b, a, b Z + Oletetaan, että p > p 1. Nyt a + b + a + b > a + b + a b + a + b > b + a () b + b ) a + b + a + b > (b + a a + b + b a + b > b + a b a + b > b : b TKK-pääsykoekurssit abikurssit yksityisopetus 15
a + b > b () a + b > b a > 0 tosi kaikilla a > 0, joten p > p 1. V: K :n piiri on pidempi. TKK-pääsykoekurssit abikurssit yksityisopetus 16
11. Määritä ne geometriset sarjat, joiden summa on ja toinen termi on 8. Anna vastauksena sarjan ensimmäinen termi ja sarjan suhdeluku. Ratkaisu. Summa S. S = a 1 q, q = a n+1 a n Sarjan ensimmäinen termi on a ja toinen termi 8, joten Nyt q = 8 a a = 8q S = a 1 q = 8q 1 q = (1 q) 8q = q 16q 16q + = 0 = 16q 16q 8q q = 16 ± 16 16 16 q = { 1 Kun q = 1, a = 8 1 q =, a = 8 = = 1. V: Sarjat a = ja q = 1 sekä a = 1 ja q =. TKK-pääsykoekurssit abikurssit yksityisopetus 17
1. Osoita, että muotoa p 1 oleva luku on jaollinen luvulla 1, kun p on alkuluku ja suurempi kuin. Ratkaisu. Oletus: r = p 1, p on alkuluku ja p >. Väite: r = 1l, l Z Todistus: r = p 1 = (p 1)(p + 1) Koska p on alkuluku, eli se on jaollinen vain itsellään ja 1:llä, ja p >, niin p pariton ja näin ollen p 1 ja p + 1 ovat parillisia: p 1 = s, s Z p + 1 = t, t Z. Kolmesta peräkkäisestä luonnollisesta luvusta yksi on aina jaollinen :lla, joten jokin luvuista p 1, p tai p + 1 on jaollinen kolmella. p ei voi olla jaollinen :lla, koska se on alkuluku, ja tällöin olisi p =, joten joko p 1 = u tai p + 1 = u, u Z. Toinen luvuista p 1 ja p + 1 on siis jaollinen sekä kahdella että kolmella. Luku, joka on jaollinen kahdella ja kolmella on muotoa: v, v Z. Näin ollen joko tai joten p 1 = 1l (p 1)(p + 1) = v t = 1vt = 1l (p 1)(p + 1) = s v = 1sv = 1l, TKK-pääsykoekurssit abikurssit yksityisopetus 18
1. Funktion f kuvaajan kaarenpituus välillä [a, b] on b a 1 + f (x) dx. Laske funktion ln x kuvaajan kaarenpituus välillä [1, ] puolisuunnikassäännöllä jakamalla väli neljään osaväliin. Anna vastaus kolmen desimaalin tarkkuudella. Ratkaisu. d = b a f(x) = ln x f (x) = 1 x Puolisuunnikasssääntö: b a g(x) dx = h 1 + f (x) dx, [a, b] = [1, ] Neljä osaväliä: h = 1 = 1 x 0 = 1, x 1 = 5, x = 6 =, x = 7, x = d = 1 + ( 1 x) dx 1 d = 1 [ 1 1 + 1 + 1 + ( 5 d = 1,508... 1,5 [ 1 g(x 0) + g(x 1 ) + g(x ) + g(x ) + 1 ] g(x ) ) + 1 + ( ) + 1 + ( 7 ) 1 + 1 + ( 1 ) ] V: Kaaren pituus on 1,5. TKK-pääsykoekurssit abikurssit yksityisopetus 19
1. Tarkastellaan lukujonoa a 1 = 9 10, a = 99 100, a = 999 1000,.... a) Määritä luvun a n lauseke indeksin n avulla lausuttuna. ( p.) b) Osoita, että lukujono on kasvava ja että a n < 1 kaikilla n = 1,,,.... ( p.) c) Määritä lim n a n. ( p.) d) Mikä luku on päättymätön desimaalikehitelmä 0,999...? ( p.) Ratkaisu. a 1 = 9 10, a = 99 100, a = 999 1000 a) a 1 = 101 1 10 1 = 9 10 a = 10 1 10 = 99 100 a = 10 1 10 = 999 1000 a n = 10n 1 10 n b) Lukujono on kasvava, jos a n+1 a n 1. Tutkitaan epäyhtälöä a n+1 a n = 10 n+1 1 10 n+1 10 n 1 = (10n+1 1) 10 n 10 (10 n 1) n 10 n+1 = 10n+1 1 10(10 n 1) = 10n+1 1 10 n+1 10 10 n+1 1 10 n+1 10 1 (10n+1 10), 10 n+1 10 > 0 n Z + 10 n+1 1 10 n+1 10 Jono a n on siis kasvava. 1 10 tosi n Z + TKK-pääsykoekurssit abikurssit yksityisopetus 0
Osoitetaan vielä, että kaikki jonon jäsenet ovat pienempiä kuin 1. a n < 1 10n 1 < 1 10 n, 10 n > 0 n Z 10 n + 10 n 1 < 10 n 1 < 0 Viimeinen epäyhtälö on aina tosi, joten kaikki lukujonon jäsenet ovat pienempiä kuin yksi. c) d) 0,99999... = lim n a n = 1 lim a 10 n 1 n = lim n n 10 n = lim 1 1 n }{{} 10 n 0 = 1 0 = 1 TKK-pääsykoekurssit abikurssit yksityisopetus 1
15. Funktio f : [0, [ R määritellään seuraavasti: f(x) = 1 n sin x, kun x [(n 1)π, nπ[, n = 1,,,.... a) Piirrä funktion kuvaaja, kun x [0, π]. ( p.) b) Laske c) Laske π 0 nπ 0 f(x) dx. ( p.) f(x) dx. ( p.) nπ d) Määritä lim f(x) dx. ( p.) n 0 Ratkaisu. f : [0, [ R a) Kun x [0, π[, Kun x [π, π[, Kun x [π, π[, f(x) = 1 n sin x, kun x [(n 1)π, nπ[, n = 1,,,... f(x) = 1 1 sin x f(x) = sin x f(x) = 1 sin x f(x) = 1 sin x f(x) = 1 sin x f(x) = 1 sin x Kun x = π, niin f(x) = f(π) = 1 sin π = 0 TKK-pääsykoekurssit abikurssit yksityisopetus
b) π 0 f(x) dx = π 0 = 0 sin x dx + π π π π/ cos x 1 / cos x 1 π 1 π 1 sin x dx + sin x dx / π π π cos x = (cos π cos 0) 1 ( ) 1 cos π cos π (cos π cos π) = ( 1 1) 1 ( ) 1 1 ( 1) ( 1 1) = 1 + 1 = c) nπ 0 f(x) dx = 1 + 1 1 + + ( ) n 1 Oikeanpuoleinen lauseke on geometrinen summa S n. Geometriselle summalle pätee S n = a(1 qn ), 1 q jossa tässä tapauksessa a = ja q = 1. Integraalista tulee siis ) n ) nπ 0 f(x) dx = ( 1 ( 1 1 ( ) 1 ) n ) = ( 1 ( 1 = ( 1 ( 1 ) n ). TKK-pääsykoekurssit abikurssit yksityisopetus
d) nπ lim f(x) dx = lim S n n 0 n Oikeanpuoleinen lauseke on suppeneva geometrinen sarja S, joten nπ lim n 0 f(x) dx = S = a 1 q = 1 ( ) 1 = = TKK-pääsykoekurssit abikurssit yksityisopetus