T-79.50 kevät 007 Laskuharjoitus 4. Vastaesimerkiksi kelpaa malli M = S, R,v, missä S = {s}, R = { s,s }, ja v(s,p) = false. P s M = P P pätee (koska M,s P), ja M,s P pätee myös, koska s,s R, M,s P, eikä s:llä ole muita seuraajia R-relaatiossa. Edelleen myös M, s P pätee. Koska kuitenkin M,s P (eikä s:llä ole muita seuraajia R-relaatiossa), ei M,s P päde. Siis M on vastaesimerkki. (Vastaesimerkit eivät yleisesti ole yksikäsitteisiä: samalla tavalla voitaisiin tarkistaa, että myös mallit M = S,R, v, missä S = {s,t }, R = { s,t, t,s } ja v(s,p) = v(t,p) = false ja M = S,R, v, S = {s,t,u }, R = { s,t, t,u, u,t } ja v (s,p) = v (t,p) = true, v (u,p) = false, ovat vastaesimerkkejä loogiselle seuraavuudelle maailmoissa s ja s vastaavasti.). M = S,R,v, missä S = {s,t}, R = { s,s, s, t, t,s }, v(s, P) = true ja v(s,q) = v(t,p) = v(t,q) = false. P, Q s t P, Q M,s P Q ja M,t P Q pätevät (koska M,s P, s,s R ja t,s R), ja M,s P pätee, sillä s,t R ja M,t P. Kuitenkin M,s Q, sillä M,s Q kaikille s S, joille s,s R. Siis M on (eräs) vastaesimerkki.. Oletetaan, että Σ {P } = L Υ = Q. Silloin on olemassa M = S, R, v siten, että M = Σ {P } ja s S : ϕ Υ : M,s ϕ, mutta M,s Q. Erityisesti M, t P kaikilla t S, joten M,s P P P P. Koska myös M = Σ pätee, seuraa, että Σ = L Υ = P P P P Q. 4. a) Oletetaan, että kehys F = S, R on transitiivinen, mutta lause P P ei ole pätevä kehyksessä. On siis olemassa kehykseen F perustuva malli M = S, R, v ja maailma s S siten, että M,s P P. Tällöin M,s P, mutta M,s P. Jälkimmäisestä vaatimuksesta seuraa, että on olemassa t S siten, että s,t R ja M,t P. Edelleen päätellään, että on olemassa u S, jolle t,u R ja M,u P. Koska s,t R ja t, u R, seuraa nyt kehyksen F transitiivisuudesta, että s,u R. Koska siis s,u R ja M,u P, M,s P, mistä seuraa ristiriita, sillä edellä oletettiin, että M, s P. Lause P P on siis pätevä kehyksessä. Oletetaan, että kehys F = S, R on euklidinen. Olkoon M = S, R, v kehykseen F perustuva malli ja s S jokin sen maailma, jolle pätee M,s P. Silloin joten M,s P, t S : s,t R ja M,t P. Oletetaan, että s,u R. Koska s,t R, kehyksen euklidisuudesta seuraa, että u,t R. Siis ja M,u P, M, u P. Koska u on mielivaltainen s:n seuraaja, M,s P, ja on todistettu M, s P P. Siten P P on pätevä mallissa M, ja koska M on mielivaltainen kehykseen F perustuva malli, P P on pätevä kehyksessä F.
5. Oletetaan, että F = S, R on refleksiivinen ja euklidinen. Jos srt pätee, niin refleksiivisyyden perusteella myös srs pätee. Euklidisuudesta seuraa nyt, että myös trs pätee, joten kehys on symmetrinen. Oletetaan sitten, että srt ja tru ovat voimassa. Symmetrisyyden perusteella trs pätee, ja euklidisuudesta puolestaan seuraa, että sru pätee. Kehys on siis transitiivinen. T-79.50 kevät 007 Laskuharjoitus 5 Aksiooma K: K: (P Q) ( P Q) Päättelysäännöt: MP: N: P, P Q Q P P. a) Oletetaan, että kehys F = S, R on sarjallinen, mutta lause P P ei ole pätevä kehyksessä. On siis olemassa kehykseen F perustuva malli M = S, R, v ja maailma s S siten, että M,s P P. Tällöin M, s P, mutta M,s P. Jälkimmäisestä vaatimuksesta seuraa, että ei ole olemassa maailmaa t S siten, että s,t R ja M,t P. Lisäksi oletuksen nojalla kehys F on sarjallinen, joten on olemassa t S siten, että s,t R. Näin ollen M,s P. Tästä seuraa ristiriita, sillä edellä oletettiin, että M,s P. Lause P P on siis pätevä kehyksessä F. Oletetaan, että kehys F = S, R on heikosti tiheä, mutta lause P P ei ole pätevä kehyksessä. On siis olemassa kehykseen F perustuva malli M = S,R, v ja maailma s S siten, että M,s P P. Tällöin M,s P, mutta M,s P. Jälkimmäisestä vaatimuksesta seuraa, että on olemassa t S siten, että s,t R ja M,t P. Oletuksen nojalla kehys F on heikosti tiheä, joten on olemassa u S, jolle s,u R ja u,t R. Koska u,t R ja M,t P, seuraa siitä, että M,u P. Nyt s,u R ja M,u P, joten täytyy olla niin, että M,s P. Tästä seuraa ristiriita, sillä edellä oletettiin, että M,s P. Lause P P on siis pätevä kehyksessä F.
. a). a). P (Q P) [Tautologia]. ( P (Q P) ) [N, ]. ( P (Q P) ) ( P (Q P) ) [K] 4. P (Q P) [MP,, ]. (P Q) [GP]. (P Q) ( Q P) [Tautologia]. ( (P Q) ( Q P) ) [N, ] 4. ( (P Q) ( Q P) ) ( ) (P Q) ( Q P) [K] 5. (P Q) ( Q P) [MP,, 4] 6. ( Q P) [MP,, 5] 7. ( Q P) ( Q P) [K] 8. Q P [MP, 6, 7]. P Q [GP]. Q P [GP]. (P Q) ( ( Q P) Q ) [Tautologia] 4. ( Q P) Q [MP,, ] 5. Q [MP,, 4] 6. Q [N, 5] 7. Q S [LP] 8. ( Q S) (Q S) [Tautologia] 9. Q S [MP, 7, 8] 0. S [MP, 5, 9]. Q (S Q S) [Tautologia]. S Q S [MP, 6, ]. Q S [MP, 0, ]. Q P [GP]. (Q P) [N, ]. (Q P) ( Q P) [K] 4. Q P [MP,, ] 5. Q Q [GP] 6. ( Q ( Q) ) ( Q P) ( Q P) [Tautologia] 7. ( Q P) ( Q P) [MP, 5, 6] 8. Q P [MP, 4, 7] 9. ( Q P) ( P Q) [Tautologia] 0. P Q [MP, 8, 9]. P [LP]. Q [MP, 0, ]
T-79.50 kevät 007 Laskuharjoitus 6. a). ( P (Q P) ). P (). (Q P) () 4., (Q P) () 5., Q (4) 6., P (4) 7., P (). ( (P Q) ( P Q) ). (P Q) (). ( P Q) () 4. P () 5. Q () 6. Q (5) 7., P (4) 8., P (7) 9., Q (6) 0., P Q ()., P (0)., Q (0). ( ( P Q) (P Q) ). P Q (). (P Q) () 4. P () 5. Q () 6., (P Q) () 7., P (4) 8., Q (5) 9., P (6) 0., Q (6). a). ( A A). A (). A () 4., A (; on lyhennysmerkintä :lle) 5., A (4) 6., A () Lause on K-pätevä., A A, A, A. ( A A). A (). A () 4. A () 5., A () 6., A (4) 7., A (5) 8.,, A (6) 9.,, A (7). ( ( A A) ( A A) ). A A (). ( A A) () 4., ( A A) () 5., A (4) 6., A (4) 7. A () 8. A () 9., A (7)., A (8) 0.,, 4 A (9)
. a) A A, ( A A),, A ( ( (P ) ). Q) (Q R) (P R),, 4 A. (P Q) (Q R) (). (P R) () 4. (P R) () 5. (P Q) () 6. (Q R) () 7., (P Q) (5) 8., P (7) 9., Q (7) 0., P R (4)., P (0)., R (0) (P Q) (Q R), (P R), P, Q,R. ( ( P Q) (P Q) ). P Q (). (P Q) () 4. P () 5. Q () 6. (P Q) () 7., P (4) 8., (P Q) (6) 9., P (8) 0., Q (8)., Q (5)., (P Q) (6)., P ()., Q (), P, Q P Q, (P Q), P, Q. ( (P Q) ( P Q) ). (P Q) (). ( P Q) () 4. P () 5. Q () 6., P (4) 0., Q (5) 7., P Q ()., P Q () 8., P (7)., P () 9., Q (7)., Q () 4
T-79.50 kevät 007 Laskuharjoitus 7. a). ( (P P) P ). (P P) (). P () 4., P P () 5., P () 6., P (4) 7., P (4) 8.,, P (7) 9.,, P (8) (refleksiivisyys) 0.,, P (9) (refleksiivisyys).,, P () (transitiivisuus). ( P ( P P) ). ( P ( P P) ) () (refleksiivisyys). P () 4. ( P P) () 5., ( P P) (4) 6., P (5) 7., P (5) 8., ( P ( P P) ) () 9., P (8) 0., ( P P) (8).,, P (9).,, P (6) d).. ( ( P Q) (P Q) ), ( ( P Q) (P Q) ) ()., ( P Q) () 4., (P Q) () 5. P Q () (symmetrisyys) 6. P (5) 7. Q (5) 8. (P Q) (4) (symmetrisyys) 9., (P Q) (8) 0. (P Q) (9) (symmetrisyys)., (P Q) (0)., P ()., Q () 4., P (6). ( P ( (P Q) Q )). P (). ( (P Q) Q ) () 4., P () (sarjallisuus) 5., ( (P Q) Q ) () 6., P Q (5) 7., Q (5) 8., P (6) 9., Q (6) 0.,, Q (9) (sarjallisuus).,, ( (P Q) Q ) () (transitiivisuus).,, P Q ().,, Q ()
e). Systemaattinen K-taulu:. ( P P). ( P P) (). P () 4. P () 5. P (4) 6. P () 7. P (6) 8. P (7). ( P P). P (). P () 4., P () 5., P () 6. P () 7.,, P (5),,, P P Systemaattinen K4-taulu:. ( P P). P (). P () 4., P () 5., P () 6. P () 7.,, P (5) 8.,, P (6) (transitiivisuus) 9. P (6) 0.,,, 4 P (8).,,, 4 P (9) (transitiivisuus). P (9).,,, 4, 5 P () 4.,,, 4, 5 P () (transitiivisuus) 5. P ().. Systemaattiseen K4-tauluun muodostuu ääretön haara, joten taulua ei saada koskaan valmiiksi. Koska tämä ääretön haara ei ole suljettu, seuraa, että lause P P ei ole K4-pätevä. Huomataan, että lauseet P ja P toistuvat taulussa prefikseillä,,,,,, 4 ja,,, 4, 5. Siten näitä prefiksejä vastaavissa vastamallin maailmoissa pätevät täsmälleen samat lauseet. Äärellinen vastamalli voidaan nyt yrittää muodostaa samastamalla kaikki nämä maailmat yhdeksi maailmaksi ja tarkistamalla, onko näin saatu malli lauseen K4-pätevyyden vastamalli. Kun tämä tehdään ja huolehditaan siitä, että transitiivisuusehto pysyy voimassa, saadaan malli,,, P P Nähdään, että lause P toteutuu mallin maailmassa, mutta lause P ei toteudu tässä maailmassa. Siten malli on vastamalli tehtävän lauseen K4-pätevyydelle.. ( ( P P) P ). ( P P) (). P () 6. P () 4. P () 7. P () 5. P (LP) 8., P (6) 9., P (7) 0., P P (GP)., P (0)., P (0).,, P () 4.,, P () 5.,, P (9) 4