Äänekosken lukio Mab4 Matemaattinen analyysi S016 A-osa Vastaa kaikkiin A-osan tehtäviin. Vastaukset kirjoitetaan kysymyspaperiin! Taulukkokirjaa saa käyttää. Laskinta ei saa käyttää! A-osan ratkaisut on palautettava viimeistään 1,5 tuntia kokeen alkamisesta. Laskimen saa käyttöön, kun palautat A-osan ratkaisut. Jos laskuruudukko loppuu kesken, jatka suoritusta erilliselle konseptille. Muista palauttaa mahdollinen konsepti A-osan kanssa. 1 3 4 5 6 7 8 Σ arvosana 1. Määritellään funktio g (x) = x 3 x + x + 7. a) Laske g (1). b) Laske g (). Nimi
. a) Laske funktion f(x) = x x nollakohdat. b) Derivoi funktio g (x) = x 8 x + 3
3. Täydennä oikeiden vaihtoehtojen kirjaimet alempaan taulukkoon. A B C 1 3 4 5 6 Kuviossa 1 on funktion y f (x) kuvaaja. Funktion arvo kohdassa x 1 on likimain Kuviossa 1 funktion derivaatan nollakohta on Kuviossa on funktion y g(x) derivaatan kuvaaja. Tällöin funktiolla y g(x) on maksimi kohdassa Kuviossa 3 on funktion y h(x) kuvaaja ja eräs sen tangentti. Tällöin f (0) on likimain Kuviossa 3 on funktion y h(x) kuvaaja. Funktio y h(x) on vähenevä välillä Olkoon funktio f ( x) x x. Tällöin f ( ) on 1-0 1-0 -1 1 0 - -3 1 x 1 x 1 1 x 1 0 8-8 kohta 1 3 4 5 6 vaihtoehdon kirjain Kuvio 1 Kuvio Kuvio 3
Äänekosken lukio Mab4 Matemaattinen analyysi S016 B-Osa Vastaa neljään B-osan tehtävään. Tee tehtävät konseptille. 4. Derivoi funktio f ( x) x 8x 9. Funktion f kuvaaja on paraabeli. Mikä on ko. paraabelin huipun koordinaatit? Millä muuttujan arvoilla derivaattafunktio f (x) saa negatiivisia arvoja? 3 5. Tarkastellaan funktiota f ( x) x x 4x 5. 3 a) Laadi funktion f ( x) x x 4x 5 kulkukaavio. b) Määritä funktion ääriarvokohdat ja ääriarvot. c) Määritä kulkukaavion avulla funktion suurin arvo välillä 0 x 3. 3 6. Funktio on f ( x) x 6x 1, 8. Millä muuttujan arvoilla a) funktio on vähenevä? b) funktion derivaatan arvot ovat positiivisia? 7. Kuntosalin ohjaaja myy asiakkaille PT-paketteja. Kuukausimyynti m (kpl) riippuu paketin myyntihinnasta x (euro) funktion m(x) = 0,0x +,7x + 16 mukaisesti. Millä hinnalla ohjaaja saa myytyä eniten paketteja? Mikä on tuotteen myynnin arvo tällöin? Millä x:n arvoilla funktio on määritelty? 8. Neliöpohjaisen suoran särmiön pohjasärmän pituuden ja särmiön korkeuden summa on 30 cm. Mitkä särmiön mitat ovat, kun särmiön vaipan pinta-ala on mahdollisimman suuri?
Ratkaisut 1. Määritellään funktio g (x) = x 3 x + x + 7. a) Laske g (1). b) Laske g (). a) Sijoitetaan funktioon g(x) muuttujan x paikalle 1. g (1) = 1 3 *1 + 1 + 7=7 b) Derivoidaan ensin: g (x)=3x -4x+1 Vasta sitten sijoitetaan muuttujan x paikalle g ()=3* -4*+1=5. a) Laske funktion f(x) = x x nollakohdat. b) Derivoi funktio g (x) = x 8 x + 3 x x =0 Tunnistus. asteen yhtälö: a = 1, b = -1, c = - Sijoitus. asteen ratkaisukaavaan x = ( 1) ± ( 1) 4 1 ( ) 1 Vastaus: x1=, x=-1 b) Derivointi g (x) = 8x 7-3. = 1 ± 9 = 1 ± 3 kohta 1 3 4 5 6 vaihtoehdon kirjain B A B B C A 4. Derivoi funktio f ( x) x 8x 9. Funktion f kuvaaja on paraabeli. Mikä on ko. paraabelin huipun koordinaatit? Millä muuttujan arvoilla derivaattafunktio f (x) saa negatiivisia arvoja? f (x) = -4x + 8 Paraabelin huippu on derivaatan nollakohdassa -4x+8=0 x= y= 8 9 1 Huipun koordinaatit ovat (,-1). -4x+8 < 0 Nollakohta x =. Derivaatta on laskeva suora, joten derivaattafunktio saa negatiivisia arvoja, kun x >. + -
3 5. Tarkastellaan funktiota f ( x) x x 4x 5. 3 a) Laadi funktion f ( x) x x 4x 5 kulkukaavio. b) Määritä funktion ääriarvokohdat ja ääriarvot. c) Määritä kulkukaavion avulla funktion suurin arvo välillä 0 x 3. Derivoidaan f (x) = -3x + 4x + 4 Derivaatan nollakohdat (joko käsin tai laskimella) x= tai x=-/3 Derivaatan kuvaaja on alaspäin aukeava paraabeli. - + - Ääriarvokohdat ovat x=-/3 on minimikohta ja vastaava minimiarvo f(-/3)on noin 3,5. Maksimikohta on x=. Vastaava maksimiarvo f()=13. Välillä [0,3] funktion korkein arvo (suurin arvo) saadaan kohdassa. Suurin arvo on f()=13.
3 6. Funktio on f ( x) x 6x 1, 8. Millä muuttujan arvoilla a) funktio on vähenevä? b) funktion derivaatan arvot ovat positiivisia? Derivointi ja derivaatan nollakohtien laskeminen Derivaatan kuvaaja on ylöspäin aukeava paraabeli. Merkki ja kulkukaavio Funktio on vähenevä välillä [-4,0] Derivaatta on positiivinen, kun x<-4 tai x>0. -4 0 + - + Myynnin arvo on tällöin 107*67,5 =7,50
7. Neliöpohjaisen suoran särmiön pohjasärmän pituuden ja särmiön korkeuden summa on 30 cm. Mitkä särmiön mitat ovat, kun särmiön vaipan pinta-ala on mahdollisimman suuri? Perusteluiksi merkki-ja kulkukaavio. 8. 9.