nopeammin. Havaitaan, että kussakin tapauksessa kuvaaja (t, ϕ)-koordinaatistossa on nouseva suora. Teimme mittaukset käyttäen Pascon pyörimisliikelaitteistoa (ME-895) ja Logger Promittausohjelmaa. Kuva 9. Pyörimisliikelaitteisto Kuvaajiksi saimme nousevia suoria, joiden jyrkkyys eli kulmakerroin ilmaisee pyörimisen nopeuden. Nopeinta pyörimistä esittää jyrkin suora ja hitainta loivin suora. Määritellään suoran fysikaalinen kulmakerroin kulmanopeudeksi ω seuraavasti: ω = ϕ. t Kuva 1. Tangon pyöriminen, kiertokulma ajan funktiona 14. Momentti a) Idealisointi: voiman vaikutuspiste Voiman vaikutus kappaleeseen riippuu sen suunnasta, suuruudesta ja vaikutuspisteestä. Yleensä luonnossa esiintyvillä voimilla, kuten kitka, tukivoima ja painovoima ei ole selviä vaikutuspisteitä. Esimerkiksi painovoima vaikuttaa tasaisesti kappaleen kaikkiin kohtiin. Jäykän kappaleen painon vaikutukset voidaan kuitenkin kumota tukivoimalla, joka vaikuttaa 1
kappaleen painopisteeseen. Siksi voidaan kuvitella myös paino tähän pisteeseen vaikuttavaksi voimaksi. b) Momentin kvantifiointi Kiinnitetään rei itetty tanko (esim. puinen tauluviivain) vaakasuoraan akseliin statiiviin. Kun tanko on vaakasuorassa, painovoima ja akselin tukivoima pyrkii kääntämään sitä. Kumotaan tämä vääntö tukemalla tankoa jousivaa alla ohuen langan välityksellä. Luetaan jousivaa an lukema F. Muutetaan jousivaa an etäisyyttä r akselista esim. 1 cm välein siirtämällä lankalenkkiä eri kohtiin tankoa. Kuva 11. Koejärjestely momentin kvantifioimiseksi Mittaustuloksemme ovat seuraavassa taulukossa. r (m) F (N) 1,,,8,5,6 3,5,5 4,,4 5,5, 11, Taulukko 3. Momentin kvantifiointi, mittaustulokset Esitetään tulokset graafisesti (r,f)-koordinaatistossa. Näyttäisi, että suureiden F ja r välinen riippuvuus on kääntäen verrannollinen. 1 1 8 F (N) 6 4,,4,6,8 1 1, r (m) Kuva 1. Voima F etäisyyden r funktiona 11
Piirretään tuloksista (1/r,F)-kuvaaja saadaan siitä lineaarinen. 1 1 8 F (N) 6 4-1 3 4 5 6 1/r (1/m) Kuva 13. Voima F (1/r):n funktiona Suoran kulmakerroin esittää voiman vääntövaikutusta ja sitä kutsutaan voiman momentiksi 1 M. Piirretyn suoran yhtälö on nyt F = M (vrt. y = kx ). Tästä saadaan yhteys M = Fr, r jossa r on voiman F varsi eli vaikutuspisteen etäisyys akselista. Momentti ilmoittaa voiman vääntövaikutuksen akselin suhteen. Sama koe tulisi suorittaa uudelleen käyttäen eri massaista tankoa. Jos tanko on raskaampi, saadaan jyrkempi suora kuin kuvassa 1 oleva, kevyemmän tangon tapauksessa loivempi suora. Suoran fysikaalinen kulmakerroin kuvaa voiman vääntövaikutuksen suuruutta. Mitä jyrkempi suora, sitä suurempi vääntövaikutus. 15. Kulmakiihtyvyys Aiemmin on tasaiselle pyörimisliikkeelle määritelty kulmanopeus ω = ϕ. Tasaisen t pyörimisliikkeen vakiokulmanopeus voidaan yleistää hetkelliseksi kulmanopeudeksi. Tämä toteutuu sitä tarkemmin, mitä lyhyempiä aikavälejä tarkastellaan. Liikkeen rataa esittää derivoituva funktio ϕ = ϕ(t), ja kulmanopeutta tämän ratakäyrän derivaatta. Määritellään ratakäyrän derivaatta hetkelliseksi kulmanopeudeksi = ϕ dϕ ω ω ( t) =. t dt Siis hetkellinen kulmanopeus vastaa ( t, ϕ) -koordinaatistoon piirretyn ratakäyrän tangentin kulmakerrointa. Käytetään samaa pyörimisliikelaitteistoa kuin edellä. Kierretään laitteiston akselilla olevaan uraan lankaa ja ripustetaan lankaan punnus. Kun punnus päästetään putoamaan, tanko joutuu kiihtyvään pyörimisliikkeeseen. Koska punnuksen painon aiheuttama vääntövuorovaikutus on tasainen, on pyörimisliike tasaisesti kiihtyvää. Mitataan tangon kulmanopeutta ω ajan t funktiona tietokoneavusteisen mittausohjelman avulla. Toistetaan koe lisäämällä punnuksen 1
massaa. Esitetään mittaustulokset (t,ω)-koordinaatistossa. Todetaan, että mittauspisteet asettuvat aina nousevalle suoralle. Kuva 14. Koejärjestely kulmakiihtyvyyden kvantifioimiseksi Suoritimme mittaukset Logger Pro-ohjelmalla ja saimme seuraavat kuvaajat. Kuva 15. Kiihtyvä pyörimisliike, kulmanopeus ajan funktiona Suoran jyrkkyys ilmaisee kuinka nopeasti kulmanopeus muuttuu. Nopeaa kiihtymistä esittää jyrkkä suora ja hidasta loiva suora. Määritellään suoran fysikaalinen kulmakerroin suureeksi kulmakiihtyvyys α. Nyt siis α = ω. t 16. Hitausmomentti a) Hitausmomentin kvantifiointi Käytetään samaa pyörimisliikelaitteistoa kuin edellä ja saatetaan se kiihtyvään pyörimisliikkeeseen uraan kierretyn narun ja siihen ripustetun pienen punnuksen (massa m) avulla. Seurataan tangon pyörimistä tietokoneen avulla. Määritetään kiihdyttävä momentti M ja sen aiheuttama kulmakiihtyvyys α. Kiihdyttävää momenttia voidaan muuttaa vaihtamalla punnuksen painoa. Momentti saadaan laskettua voiman ja sen varren avulla M = Fr. Voima F on langan jännitysvoima. Koska punnus on kiihtyvässä liikkeessä, tämä jännitysvoima on 13
hieman pienempi kuin punnuksen paino. Nyt kiihtyvyys on kuitenkin niin pieni, että voidaan approksimoida langan jännitysvoiman olevan yhtä suuri kuin punnuksen paino. Siis F = mg. Suoritetaan koe uudestaan siten, että pyörivän tangon massaa kasvatetaan siihen kiinnitettävien punnusten avulla. Käytimme mittauksissa pyörimisliikelaitteistoa Pasco ME-895 (kuva 14) ja Logger Promittausohjelmaa. Saimme seuraavat tulokset. Voiman varsi on lankauran säde, nyt r=1,5 cm. m (kg) α (rad/s ) F (N) M (Nm),5,76,455,3679,35,4,34335,515,45,51,44145,66,55,637,53955,893,75,813,73575,1136 Taulukko 4. Hitausmomentin kvantifiointi, mittaustulokset ja lasketut arvot Kun kiinnitimme tankoon lisäpunnukset ja suoritimme vastaavan mittaussarjan, tuloksemme olivat: m (kg) α (rad/s ) F (N) M (Nm),55,375,53955,893,15,73 1,35,15451,75,516,73575,1136,5,133,455,3679,15,853 1,65,18394 Taulukko 5. Hitausmomentin kvantifiointi, mittaustulokset lisäpainojen kanssa Esitetään tulokset graafisesti (α,m)-koordinaatistossa, jolloin kuvaajat ovat lineaarisia. Jyrkempi suora vastaa jälkimmäistä tilannetta, jolloin tangon massa on suurempi.,,15 momentti (Nm),1,5 -,5,,4,6,8 1 kulmakiihtyvyys (rad/s ) Kuva 16. Momentti M kulmakiihtyvyyden α funktiona 14
Koska kuitenkin molemmissa tapauksissa momentti M on suoraan verrannollinen kulmakiihtyvyyteen α, määritellään verrannollisuuskerroin uudeksi suureeksi hitausmomentti J. Hitausmomentti on kappaleelle ominainen vakio, joka kuvaa sen pyörimishitautta. Jyrkempi suora vastaa suurempaa hitausmomenttia ja loivempi suora pienempää. Saatu suoran yhtälö M = Jα on pyörimisliikkeen perusyhtälö ja vastaa dynamiikan peruslakia F = ma. b) Pistemäisen kappaleen hitausmomentti Käytetään pyörimisliikelaitteistoa ja saatetaan sen tanko kiihtyvään pyörimisliikkeeseen naruun ripustetun pienen vetopunnuksen avulla. Koska vetopunnus pysyy samana, on kiihdyttävä momentti M nyt vakio. Kiinnitetään tankoon lisäpainot, joiden paikkaa voidaan vaihdella. Lisäpainojen etäisyys pyörimisakselista on r. Tangon massa siis pysyy vakiona, mutta sen pyörimishitaus muuttuu. Seurataan tangon pyörimistä tietokoneen avulla. Kohdan 16a perusteella tangon hitausmomentti voidaan J voidaan laskea J = M/α. Kuva 17. Koejärjestely pistemäisen kappaleen hitausmomentin tutkimiseksi Suoritimme mittaukset Pascon pyörimisliikelaitteistolla ja Logger Pro-mittausohjelmalla. Tuloksemme ovat seuraavassa taulukossa. vetopunnuksen massa,55 kg kiihdyttävä voima F = 9,81m / s,55kg =, 5395N voiman varsi eli lankauran säde,15 m vääntävä momentti M =,5395N,15m =, 893Nm r (m) α (rad/s ) r (m ) J (kgm ),,17,4,3796,15,38,5,677,1,375,1488,158,1,47,1,18954,5,548,5,14769 Taulukko 6. Mittaustulokset ja lasketut arvot, pistemäisen kappaleen hitausmomentti Tarkastellaan tuloksia ( r, J ) -koordinaatistossa, jolloin kuvaaja on suora. 15
J (kgm ),4,35,3,5,,15,1,5 y =,634x +,19,1,,3,4,5 r (m ) Kuva 18. Hitausmomentti lisäpainojen etäisyyden neliön funktiona Suoran kulmakertoimen arvo,63 kg vastaa likimain lisäpainojen massaa,545 kg. Suoran kulmakerroin on siis tankoon kiinnitettyjen lisäpainojen yhteismassa m. Saadaan kyseisen suoran yhtälöksi J = J + mr. Tässä J on tangon hitausmomentti tilanteessa, jossa molemmat lisäpainot olisivat akselilla (r=). Pistemäiselle kappaleelle hitausmomentin lauseke on siis J=mr. Tämän avulla voidaan ennustaa (integraalilaskennan avulla) eri muotoisten kappaleiden hitausmomentteja. 16
KVANTITATIIVISIA KOKEITA 17. Hitausmomentin mittaaminen Verrataan saatujen tulosten valossa tasapaksun, tasa-aineisen kiekon (Pasco ME-8953) mittaamalla ja laskemalla saatuja hitausmomentin arvoja. Kullekin yksinkertaiselle säännöllisen muotoiselle kappaleelle on integroimalla johdettu hitausmomentin lausekkeet. 1 Kiekon muotoiselle kappaleelle J = mr. Tutkittavan kiekon massa oli 1,415 kg ja halkaisija,8 m, joten sen hitausmomentiksi 1 saadaan sijoittamalla edelliseen J = 1,415kg (,114m) =,919kgm. Määritetään saman kiekon hitausmomentti myös pyörimisliikelaitteiston ja tietokonepohjaisen mittausohjelman avulla. Vaihdetaan tutkittava kiekko alkuperäisen tangon paikalle pyöriväksi kappaleeksi. Saatetaan se kiihtyvään pyörimisliikkeeseen vetopunnuksen avulla. Suoritetaan mittaukset kuten kohdassa 16a. Kuva 19. Tutkittava kiekko pyörimisliikelaitteessa Mittaustuloksista piirretyn lineaarisen kuvaajan kulmakertoimena kyseisen kiekon hitausmomentiksi saadaan,94 kgm. 17
,1,1 y =,94x +,5 momentti (Nm),8,6,4,,,4,6,8 1 1, kulmakiihtyvyys (rad/s ) Kuva. Momentti kulmakiihtyvyyden funktiona tutkittavan kiekon tapauksessa Kun verrataan laskemalla saatua kiekon hitausmomentin arvoa kuvaajan perusteella määritettyyn, havaitaan, että ne ovat likimain yhtä suuret. 18. Kiertoheiluri Kiertoheiluri koostuu metallilangan varassa riippuvasta telineestä, jossa on poikkitanko ja siirrettävät painot. Telineeseen voidaan myös ripustaa kappaleita, joiden hitausmomentti halutaan määrittää. Kuva 1. Kiertoheiluri Määritimme ensin kiertoheilurin jaksonajan eri painojen asemilla. Mittasimme sekuntikellolla 1 peräkkäiseen heilahdukseen kuluneen ajan, josta saamme laskettua jaksonajan T (yhteen heilahdukseen kulunut aika). Mittauksen luotettavuuden parantamiseksi mittasimme kolmella sekuntikellolla, ja laskimme saaduista ajoista keskiarvon. Painojen etäisyys kiertoakselista on r. Kun etäisyyttä r muutetaan, heilurin hitausmomentti muuttuu. Painojen hitausmomentti J p 18
voidaan laskea ajatellen ne pistemäisiksi kappaleiksi. Tällöin painojen yhteismassa,31 kg. J p = mr, missä m on r (m) T (s) T (s ) J p (kgm ),3,98 8,884,8,5 3,6 1,676,578,7 3,6 1,96,113,9 4,6 16,4836,1871,11 4,56,7936,795 Taulukko 7. Mittaustulokset ja lasketut arvot kiertoheilurilla Koska jaksonaika ja painojen hitausmomentti eivät selvästi ole suoraan verrannolliset, piirretään mittaustulokset (T, J p )-koordinaatistoon. Näin saadaan suora. piste B,3,5 y =,x -,17 J p (kgm ),,15,1,5 -,5 5 1 15 5 T (s ) piste A Kuva. Kiertoheilurin painojen hitausmomentti jaksonajan neliön funktiona Asetetaan nyt painot ensimmäiseen asemaansa (r=3, cm) ja kiinnitetään kiertoheiluriin tutkittava tasapaksu kiekko. Tämän heilahtelun jaksonajaksi saadaan 5, s. 19
Kuva 3. Kiertoheiluri ja tutkittava kiekko Edellisen kuvaajan perusteella voidaan päätellä kiekon hitausmomentiksi seuraavaa: Painojen paikkaa r=3, cm vastaa kuvaajan suoran piste A, jonka T -koordinaatti on 8,884 s ja J p -koordinaatti,8 kgm. Kiekon lisäämistä ja uutta jaksonaikaa T=5, s vastaa kuvaajan piste B, jonka T -koordinaatti on 7,4 s ja J p -koordinaatti,378 kgm. Tämän pisteen koordinaatit saadaan ekstrapoloimalla kuvaajan suoran yhtälöstä. Näin ollen kiekon oma hitausmomentti on pisteiden A ja B J p -koordinaattien erotus. Näin saadaan kiekon hitausmomentin arvoksi J=,35 kgm. 1 Tämä tulos vastaa hyvin lausekkeesta J = mr saatua hitausmomentin arvoa samalle kiekolle. Tämän kiekon massa oli,986 kg ja säde,9 m, joiden perusteella J=,4 kgm. LÄHDELUETTELO Hassi, Hatakka, Saarikko, Valjakka: Lukion fysiikka-sarja, WSOY, 1997 Kurki-Suonio, Kurki-Suonio: Fysiikan merkitykset ja rakenteet, Limes ry, 1998 Lavonen, Kurki-Suonio, Hakulinen: Galilei-sarja, Weilin+Göös, 1998