Esimerkki A Esimerkki A Esimerkki B Esimerkki B Esimerkki C Esimerkki C Esimerkki 4.0 Ratkaisu (/) Ratkaisu (/) Mielikuva: Funktio f on derivoituva x = a, jos sen kuvaaja (xy-tasossa) pisteen (a, f(a)) lähistöllä muistuttaa sitä enemmän suoraa, mitä suuremmalla suurennoksella kuvaajaa katsotaan. Kyseinen suora on sitten kuvaajan pisteeseen (a, f(a)) piirretty tangentti. Perustelu: f(x) = f(a)+f (a)(x a)+η(x a)(x a) f(a)+f (a)(x a), koska η(x a) 0, kun x a. / 9
Esimerkki A Esimerkki A Esimerkki A Esimerkki B Esimerkki B Esimerkki C Esimerkki C Esimerkki 4.0 Ratkaisu (/) Ratkaisu (/) Tutkitaan funktion f(x) = sin(e x ) kuvaajaa pisteen (5, f(5)) lähistöllä erilaisilla suurennussuhteilla:.0 0.5 0.5.0 4.5 5.0 5.5 6.0 Kuvaajat väleillä [4, 6] ja [4,9; 5,]..0 0.5 0.5.0 4.95 5.00 5.05 5.0 / 9
Esimerkki A Esimerkki A Esimerkki A Esimerkki B Esimerkki B Esimerkki C Esimerkki C Esimerkki 4.0 Ratkaisu (/) Ratkaisu (/) 0.5 0.60 0.65 4.995 5.000 5.005 5.00 0.70 0.5 0.75.0 4.9995 5.0000 5.0005 5.000 Kuvaajat väleillä [4,99; 5,0] ja [4,999; 5,00]. 3 / 9
Esimerkki B Esimerkki A Esimerkki A Esimerkki B Esimerkki B Esimerkki C Esimerkki C Esimerkki 4.0 Ratkaisu (/) Ratkaisu (/) Funktiolla f(x) = x sin(/x), f(0) = 0 sen sijaan käy origon lähellä huonosti. 0.8 0.6 0.4 0..0 0.5 0.5.0 0. Kuvaajat väleillä [, ] ja [ 0,; 0,]. 0.05 0.0 0.05 0.05 0.0 0.05 4 / 9
Esimerkki B Esimerkki A Esimerkki A Esimerkki B Esimerkki B Esimerkki C Esimerkki C Esimerkki 4.0 Ratkaisu (/) Ratkaisu (/) Muodollisesti tämä ongelma nähdään tutkimalla erotusosamäärää f(0 + h) f(0) h = h sin h h = sin h, millä ei monisteen Esimerkin 3. perusteella ole minkäänlaista raja-arvoa, kun h 0. 5 / 9
Esimerkki C Esimerkki A Esimerkki A Esimerkki B Esimerkki B Esimerkki C Esimerkki C Esimerkki 4.0 Ratkaisu (/) Ratkaisu (/) Derivoituvuus sallii vielä suhteellisen patologisenkin käyttäytymisen. Demoissa todistetaan, että funktio f(x) = x 3 + x 3/ sin x on derivoituva origossa, mutta kuvaajaa pitää suurentaa melkoisesti: 0.004 0.00 0.00 0.005 0.005 0.00 0.00 0.004 6 / 9
Esimerkki C Esimerkki A Esimerkki A Esimerkki B Esimerkki B Esimerkki C Esimerkki C Esimerkki 4.0 Ratkaisu (/) Ratkaisu (/) 0.0003 0.000 0.000 0.000 0.0005 0.000 0.0005 0.000 0.000 0.0003 0.00003 0.0000 0.0000 0.000 0.00005 0.0000 0.00005 0.000 0.0000 0.00003 7 / 9
Esimerkki A Esimerkki A Esimerkki B Esimerkki B Esimerkki C Esimerkki C Esimerkki 4.0 Ratkaisu (/) Ratkaisu (/) Väite: Olkoon n positiivinen kokonaisluku ja a reaaliluku. Tällöin potenssifunktio f(x) = x n on derivoituva x = a ja f (a) = na n. Perustelu: Binomikaavan nojalla f(a + h) f(a) h kun h 0. ([ a n + na n + ( n) a n h + + h n] a n) = ( ) h n = na n + a n h + + h n na n, 8 / 9
Esimerkki A Esimerkki A Esimerkki B Esimerkki B Esimerkki C Esimerkki C Esimerkki 4.0 Ratkaisu (/) Ratkaisu (/) Funktioiden raja-arvoja koskeva tuloksemme antavat melko suoraviivaisesti derivaatan laskusäännöt (todistukset monisteessa):. D(f + g) = Df + Dg kaikille derivoituville funktioille f ja g,. D(af) = a(df) kaikille derivoituville funktioille f ja vakioille a R, 3. D(f g) = (Df)g + f(dg) kaikille derivoituville funktioille f ja g, sekä 4. D(f/g) = ((Df)g f(dg))/g kaikille derivoituville funktioille f ja g. 9 / 9
Esimerkki A Esimerkki A Esimerkki B Esimerkki B Esimerkki C Esimerkki C Esimerkki 4.0 Ratkaisu (/) Ratkaisu (/) Tehtävä: Derivoi funktio f(x) = x 5 + 5x 4 + 0x 3 + 0x + 5x +. Ratkaisu: derivoimiskaavan ja sääntöjen ja nojalla Df(x) = D(x 5 ) + 5D(x 4 ) + 0D(x 3 ) + 0D(x ) + 5D(x) + D() = 5x 4 + 0x 3 + 30x + 0x + 5. 0 / 9
Esimerkki A Esimerkki A Esimerkki B Esimerkki B Esimerkki C Esimerkki C Esimerkki 4.0 Ratkaisu (/) Ratkaisu (/) Tehtävä: Derivoi funktio f(x) = x3 + x x. + Ratkaisu: Osamäärän derivointikaavan 4 nojalla Df(x) = [D(x3 + x )](x + ) (x 3 + x )[D(x + )] (x + ) = (3x + )(x + ) (x 3 + x )(x) (x + ) = (3x4 + 5x + ) (x 4 + 4x 4x) (x + ) = x4 + x + 4x + (x + ). / 9
Esimerkki A Esimerkki A Esimerkki B Esimerkki B Esimerkki C Esimerkki C Esimerkki 4.0 Ratkaisu (/) Ratkaisu (/) Tehtävä: Määrää funktion f(x) = (x + x )/5 pisteeseen (, 4/5) piirretyn tangentin yhtälö. Ratkaisu: Nyt f (x) = (x + )/5, joten k = f () = 5/5 =. Kysytty tangentin yhtälö on siten (y 4 5 ) = (x ) y = x 6 5..0.5.0 0.5 3 0.5 / 9
Esimerkki 4.0 Esimerkki A Esimerkki A Esimerkki B Esimerkki B Esimerkki C Esimerkki C Esimerkki 4.0 Ratkaisu (/) Ratkaisu (/) Pisteessä P = (0, ) on valonlähde. Säteet heijastuvat paraabelista y = x /4. Heijastuslain mukaan kaarevasta pinnasta valonsäde heijastuu pisteestä A siten, tuleva säde P A ja heijastunut säde AR muodostavat saman kulman pisteeseen A piirretyn tangentin AQ kanssa. B 4 3 P Q R A 3 4 Osoita, että heijastuneet säteet ovat kaikki y-akselin suuntaisia. 3 / 9
Ratkaisu (/) Esimerkki A Esimerkki A Esimerkki B Esimerkki B Esimerkki C Esimerkki C Esimerkki 4.0 Ratkaisu (/) Ratkaisu (/) Olkoon A paraabelin piste (x 0, y 0 ), y 0 = x 0 /4. Olkoon β lähtevän säteen P A ja x-akselin välinen kulma, eli kuvassa kulma P BQ. Tällöin pisteiden A ja P koordinaattien erotuksen suhteena saadaan tan β = x 0 /4 x 0 0 = x 0 4 x 0. Merkitään säteen ja tangentin välistä kulmaa α = P AQ. Tällöin BQA = π (α + β), joten tangentin ja positiivisen x-akselin välinen kulma on π BQA = α + β. Tämän kulman tangentti saadaan derivoimalla tan(β + α) = f (x 0 ) = x 0. 4 / 9
Ratkaisu (/) Esimerkki A Esimerkki A Esimerkki B Esimerkki B Esimerkki C Esimerkki C Esimerkki 4.0 Ratkaisu (/) Ratkaisu (/) Kahden kulman erotuksen tangentin kaavasta saadaan tan α = = = tan(α + β) tan β + tan(α + β) tan α x 0 x 0 4 + x 0 + x 0 ( x 0 4 x 0 ) x 0 4 + x 0 + x 0 8 = = x 0 = cot(α + β). x 0 4 + x 0 x 0 ( x 0 4 + x 0 ) Näin ollen α on kulman α + β komplementtikulma, joten heijastuslain mukaisesti säde AR muodostaa x-akselin kanssa kulman (α) + (α + β) = π/. MOT. 5 / 9
Esimerkki A Esimerkki A Esimerkki B Esimerkki B Esimerkki C Esimerkki C Esimerkki 4.0 Ratkaisu (/) Ratkaisu (/) Jos x on jokin suure, käytämme sen (tyypillisesti pienestä) muutoksesta merkintää x (luetaan Delta-x). Jos jokin toinen suure y on x:n funktio, y = f(x), sen arvo muuttuu vastaten x:n arvon muutosta x x + x seuraavasti y = f(x + x) f(x). Näiden muutosten suhde on erotusosamäärä y x f(x + x) f(x) =. x 6 / 9
Esimerkki A Esimerkki A Esimerkki B Esimerkki B Esimerkki C Esimerkki C Esimerkki 4.0 Ratkaisu (/) Ratkaisu (/) Jos tässä x 0, niin saamme raja-arvona derivaatan lim x 0 y x = f (x) = dy dx. Usein on hyödyllistä (mutta muodollisesti ajatellen hivenen epätarkkaa) ajatella tässä differentiaaleja dx ja dy hyvin pieninä, ns. infinitesimaalisina muutoksina. Täsmällisessä käsittelyssä ainoastaan niiden suhde on mielekäs, mutta käytännössä differentiaalien avulla voidaan tehdä useista analyysin tuloksista helpommin muistettavia. 7 / 9
Esimerkki A Esimerkki A Esimerkki B Esimerkki B Esimerkki C Esimerkki C Esimerkki 4.0 Ratkaisu (/) Ratkaisu (/) saa luonnollisen tulkinnan muutosnopeutena, kun muuttujana on aika (t). Aikavälillä t [t, t ] suure s = s(t) muuttuu arvosta s(t ) arvoon s(t ). Tällöin erotusosamäärä s t = s(t ) s(t ) t t kuvaa s:n keskimääräistä muutosnopeutta välillä [t, t ]. Tarkempi kuva tilanteesta saadaan, kun lyhennetään aikaväliä. Raja-arvona lim t 0 s(t + t) s(t) (t + t) t = s (t) saadaan tällöin hetkellinen nopeus kun tutkitaan aikaväliä [t, t + t] ja t 0. 8 / 9
Esimerkki A Esimerkki A Esimerkki B Esimerkki B Esimerkki C Esimerkki C Esimerkki 4.0 Ratkaisu (/) Ratkaisu (/) Pesäpallon lukkari heittää tolppasyötön suoraan ylöspäin. Todetaan, että hetkellä t (sekunteina) pallon korkeus on h(t) = 0t 5t (metriä). Määrää pallon korkeuden keskimääräinen muutosnopeus väleillä A) t [0, ], B) t [, ], C) t [,; ] ja D) hetkellinen nopeus hetkellä t =. Ratkaisu: Sijoittamalla saadaan h(0) = h() = 0, h() = 5 ja h(,9) = 0,95. Näistä saadaan keskimääräisiksi nopeuksiksi v A = 0 0 0 = 0, v B = 0 5 = 5, v C = 0 0,95,9 = 9,5 metriä sekunnissa. Derivoimalla saadaan h (t) = 0 5t, josta h () = 0 m/s. Nähdään, että aikavälin lyhetessä keskimääräinen nopeus lähestyy hetkellistä nopeutta. Nopeudet ovat miinusmerkkisiä, koska ko. aikaväleillä pallo on putoamassa alaspäin. 9 / 9