Mat-214 Dynaaminen optimointi, mallivastaukset, kierros 1 1 a) Sekoitussäiliöön A virtaa puhdasta vettä virtauksella v A, säiliöstä A säiliöön B täysin sekoittunutta liuosta virtauksella v AB ja säiliöstä B ulos liuosta virtauksella v B Virtaus on kokoonpuristumaton, joten Säiliöiden tilavuudet v A v AB v B gal/min V B gal Olkoot q(t) säiliön A suolan määrä ja p(t) säiliön B suolan määrä Säiliöstä A aikayksikössä t poistuvan suolan määrä on verrannollinen siellä jäljellä olevan suolan suhteelliseen osuuteen sekä virtauksen nopeuteen: q(t + t) q(t) t q(t) v AB q(t) q(t) v AB Vastaavasti säiliön B suolan määrälle saadaan yhtälö: Tilaesitys: [ q(t) ṗ(t) [ v AB ṗ(t) q(t) v AB v AB v B VB [ q(t) p(t) p(t) v B V B [ Lineaarisen aikainvariantin systeemin tilansiirtomatriisi on Φ(t, τ) e A(t τ) [ q(t) p(t) Matriisieksponentti lasketaan yleisesti sarjakehitelmän avulla e A I + A + A2 2! + A3 3! + Koska matriisi on valmiiksi alakolmiomuodossa, voidaan laskea suoraan 1 exp(a(t τ)) exp(a D (t τ)) exp(a N (t τ)) exp(a D (t τ)) (I + A N (t τ)) 1 Huom! Yleisesti neliömatriiseille A ja B on exp(a + B) exp(a) exp(b) Jos kuitenkin AB BA, niin silloin pätee exp(a + B) exp(a) exp(b) Diagonaalimatriisihan tunnetusti kommutoi kaikkien matriisien kanssa 1
missä Silloin e A(t τ) A D [ [ e (t τ) e (t τ) [ [, A N [ 1 (t τ) 1 e (t τ) (t τ)e (t τ) e (t τ) b) RLC-piirin tilayhtälöitä varten kirjoitetaan kirjoitetaan yhtälöt jännitteelle sekä virralle yli piirin: u C e u R + u L + u C Ri L + L di L dt + u C i L C du C dt Tästä saadaan tilayhtälöt [ [ [ i L R/L 1/L il 1/C u C + [ 1/L e, missä lähdejännite e tulkitaan ohjaukseksi Sijoitetaan arvot R 3Ω, L 1 H ja C 5 F paikoilleen, ja muodostetaan numeeriselle matriisille A ominaisarvohajotelma missä Λ [ 2 1 A V ΛV 1, Nyt voidaan laskea tilansiirtomatriisi [ 1 1, V 1 2 Φ(t, τ) exp(a(t τ)) V exp(λ(t τ))v 1 ja tulokseksi saadaan [ 2e Φ(t, τ) 2(τ t) e τ t e τ t e 2(τ t) 2e 2(τ t) 2e τ t 2e τ t e 2(τ t) 2
2 Lineaarinen aikainvariantti systeemi [ [ 1 ẋ(t) x(t) + 1 u(t) Ax(t) + Bu(t) on täydellisesti ohjattava jos ja vain jos n mn- ohjattavuusmatriisin [ E B AB A 2 B A n 1 B rangi on n Miksi näin? Ajatellaan yksinkertaisuuden vuoksi diskreettiaikaista systeemiä x k+1 Ax k + Bu k, missä u k R Koska lineaariseen systeemin origo voidaan valita mielivaltaisesti, niin ilman yleisyyden menetystä oletetaan, että x Silloin x 1 Ax + Bu Bu x 2 Ax 1 + Bu 1 ABu + Bu 1 x k k 1 (A j B)u j j Nyt siis kierroksella k voidaan systeemi ohjata mihin tahansa tilaan, joka kuuluu aliavaruuteen Lisäksi todetaan, että V k : span{b, AB,, A k 1 B} V m V n, m n Jotta systeemi voitaisiin ohjata mielivaltaiseen lopputilaan x f R n, tulee olla V n R n, joka vastaa edellä esitetty rangiehtoa Vastaavanlainen päättely yleistyy vektoriarvoiselle ohjaukselle Täsmälleen sama ehto voidaan todistaa myös jatkuva-aikaisille systeemeille 3
Tehtävän systeemille ohjattavuusmatriisi on [ 1 E, 1 jonka rivit (tai sarakkeet) ovat selvästi lineaarisesti riippumattomia Siis systeemi on täysin ohjattava Entä jos tehdään muunnos missä α β? Nyt siis z 1 (t) x 1 (t) + αx 2 (t) z 2 (t) x 1 (t) + βx 2 (t) z(t) [ 1 α 1 β x(t) Cx(t) Koska C on kääntyvä, kun α β, niin voidaan kirjoittaa uusi systeemiyhtälö ż(t) Cẋ(t) CAx(t) + CBu(t) CAC 1 z(t) + CBu(t) Muodostamalla ohjattavuusmatriisi saadaan [ [ α 1 E CB CAB β 1 jonka rivit (tai sarakkeet) ovat lineaarisesti riippumattomia täsmälleen silloin, kun α β Siis myös tämä systeemi on täydellisesti ohjattava Itse asiassa täydellisesti ohjattava systeemi pysyy täydellisesti ohjattavana aina koordinaatiston vaihdoksen x(t) Cx(t) jälkeenkin, mikäli n n matriisi C on kääntyvä Tällöin ohjattavuusmatriisiksi tulee CE, missä E on alkuperäisen tehtävän ohjattavuusmatriisi 3 Lineaarisen aikainvariantin systeemin λ 1 b 1 ẋ(t) λ 2 λ 3 x(t) + b 2 b 3 λ 4 b 4 4, u(t) Ax(t) + Bu(t)
ohjattavuusmatriisiksi saadaan E b 1 λ 1 b 1 λ 2 1b 1 λ 3 1b 1 b 2 λ 2 b 2 λ 2 2b 2 λ 3 2b 2 b 3 λ 3 b 3 λ 2 3b 3 λ 3 3b 3 b 4 λ 4 b 4 λ 2 4b 4 λ 3 4b 4 Matriisin E rivien (tai sarakkeiden) lineaarista riippuvuutta voidaan tutkia suorittamalla Gaussin eliminaatio determinantin määrittämiseksi Kerrotaan jokainen sarake λ 4 :llä ja lisätään viereiseen sarakkeeseen: b 1 λ 1 b 1 λ 2 1b 1 λ 3 1b 1 b 2 λ 2 b 2 λ 2 2b 2 λ 3 2b 2 b 3 λ 3 b 3 λ 2 3b 3 λ 3 3b 3 b 4 λ 4 b 4 λ 2 4b 4 λ 3 4b 4 b 1 (λ 1 λ 4 )b 1 (λ 1 λ 4 )λ 1 b 1 (λ 1 λ 4 )λ 2 1b 1 b 2 (λ 2 λ 4 )b 2 (λ 2 λ 4 )λ 2 b 2 (λ 1 λ 4 )λ 2 2b 2 b 3 (λ 3 λ 4 )b 3 (λ 3 λ 4 )λ 3 b 3 (λ 1 λ 4 )λ 2 3b 3 b 4 Jatketaan eliminaatiota vastaavasti kertomalla sarakkeita ensin λ 3 :lla ja lopuksi λ 2 :lla Saadaan eliminoitua systeemi muotoon b 1 (λ 1 λ 4 )b 1 (λ 1 λ 4 )(λ 1 λ 3 )b 1 (λ 1 λ 4 )(λ 1 λ 3 )(λ 1 λ 2 )b 1 b 2 (λ 2 λ 4 )b 2 (λ 2 λ 4 )(λ 2 λ 3 )b 2 b 3 (λ 3 λ 4 )b 3 b 4 Tästä voidaan kirjoittaa ehdot E:n sarakkeiden lineaariselle riippumattomuudelle Jos kehitetään determinantti alideterminanttien avulla, niin nähdään että vinodiagonaalin alkioiden tulo on täsmälleen E:n determinantti, joten sen tulee olla nollasta poikkeava Tämä toteutuu jos ja vain jos pätee ehdot b 1, b 2, b 3, b 4 λ i λ j, i j Se, että nämä ehdot ovat välttämättömiä, nähdään suoraan matriisista E (miten?) Laskun perusteella ne ovat siis myös riittävät ehdot Jos b 1 b 2 b 3 b 4 1, niin ohjattavuusmatriisi on nk Vandermondematriisi Se tulee vastaan mm interpolaatiopolynomien teoriassa, jossa tarvitaan myös kyseisen matriisin determinanttia Edellä olevan laskun ymmärtämisestä saattaa siis olla hyötyä myös muilla matematiikan kursseilla 5