Kompleksianalyysi viikko 3 Jukka Kemppainen Mathematics Division
Derivaatta Oletetaan seuraavassa, että joukko A C on avoin, eli jokaista z 0 A kohti on olemassa sellainen ǫ > 0, että z z 0 < ǫ z A. f : A C on yksiarvoinen. Määritellään funktion derivaatan käsite. Määr. 1 Funktio f : A C on derivoituva pisteessä z 0 A, jos raja-arvo f(z) f(z 0 ) lim z z 0 z z 0 on olemassa. Derivaattaa merkitään f (z 0 ) = df dz (z 0). 2 / 28
Derivaatta Huomautus 1 Derivaatan määritelmässä 1 on huomattava, että mahdollisia reittejä lähestyä pistettä z 0 on ääretön määrä. Raja-arvon on oltava riippumaton reitistä, jolla z lähestyy pistettä z 0. Vertaa kahden reaalimuuttujan funktion derivaatan käsite PK II:ssa. Luentomonisteessa on esitetty Määritelmään 1 nojautuvat perustelut, miksi esimerkiksi f(z) = z 2 on derivoituva jokaisella z C. f(z) = z ei ole derivoituva millään z C. Jatkossa esitetään kätevämpi tapa tarkastella derivoituvuutta. 3 / 28
Analyyttinen funktio Määr. 2 Jos f on derivoituva jokaisessa pisteessä z 0 A, sanotaan että f on analyyttinen A:ssa. Funktio f on analyyttinen pisteessä z 0, jos f on analyyttinen jossakin z 0 :n ympäristössä (kiekossa) U(z 0,r) = {z C : z z 0 < r}. Derivaatalle pätee reaalianalyysistäkin tuttu tulos Lause 1 Jos f (z 0 ) on olemassa, niin f on jatkuva z 0 :ssa. 4 / 28
Esimerkki Esim. 1 Olkoon Laske raja-arvo f(z) = lim z 0 { z 2 z, z 0, 0, z = 0. f(z) f(0), z 0 kun z z 0 koordinaattiakseleita pitkin, pitkin suoraa y = x, ja totea, ettei f ole derivoituva pisteessä z = 0. Esimerkin 1 mukaan ei riitä, että pistettä lähestytään koordinaattiakseleita pitkin. 5 / 28
Ominaisuuksia Lause 2 Olkoot f ja g analyyttisiä A:ssa. Silloin (i) af + bg on analyyttinen A:ssa, (af + bg) = af + bg, kaikilla a,b C (ii) fg on analyyttinen A:ssa, (fg) = f g + fg (iii) jokainen polynomi P(z) = a 0 + a 1 z + +a n z n on analyyttinen C:ssä ja P (z) = a 1 + 2a 2 z + +na n z n 1 (iv) jos g(z) 0 kaikilla z A, niin f g on analyyttinen A:ssa ja ( ) f (z) = f (z)g(z) g (z)f(z) g [g(z)] 2 (v) Rationaalifunktio P(z) Q(z) = a 0+a 1 z+ +a nz n b 0 +b 1 z+ +b mz m on analyyttinen joukossa B = {z C : Q(z) 0}. 6 / 28
Ketjusääntö Lause 3 (Ketjusääntö) Olkoot f : A C ja g : B C analyyttisiä ja oletetaan että f(a) B. Tällöin g(f(z)) on analyyttinen A:ssa ja dg(f(z)) dz = g (f(z))f (z). Vaikka kompleksisella derivaatalla on paljon samanlaisia ominaisuuksia kuin tavallisella reaalifunktion derivaatalla, on kompleksinen derivaatta paljon vahvempi kuin sen reaalinen analogia. Osoittautuu esimerkiksi ehkä hieman yllättäen, että jos f on olemassa, niin myös f :n kaikkien kertalukujen derivaatat ovat olemassa! (osoitetaan myöhemmin). 7 / 28
Esimerkkejä Esim. 2 Osoita, että Lauseen 2 kohta (iii) seuraa kohdasta (i), jos oletetaan tunnetuksi, että d dz zn = nz n 1 kaikilla n = 1,2,... Esim. 3 Laske funktion a) f(z) = (1 4z 2 ) 3, b) f(z) = (1+z2 ) 4 z 2, z 0, derivaatta. 8 / 28
Alkeisfunktioiden analyyttisyys Reaalianalyysistä tutut derivoituvat alkeisfunktiot ovat derivoituvia myös kompleksitasossa. Esimerkiksi polynomifunktio on derivoituva koko C:ssä. eksponenttifunktio on derivoituva koko C:ssä rationaalifunktio on derivoituva kaikkialla muualla paitsi pisteissä {z C : Q(z) = 0}. logaritmifunktio f(z) = log z on derivoituva jokaisella haaralla (2k 1)π < arg z < (2k + 1)π, k Z. juurifunktio f(z) = n z = z 1 n on derivoituva jokaisella haaralla (2k 1)π n < arg z < (2k + 1)π, k Z. n 9 / 28
Cauchy-Riemannin yhtälöt Funktion f = u + iv : A C analyyttisyys voidaan ilmaista funktion reaaliosaa ja imaginaariosaa koskevana ehtona. Lause 4 (Cauchy-Riemannin yhtälöt) Jos f (z 0 ) on olemassa, niin Cauchy-Riemannin yhtälöt u x = v y, ovat voimassa pisteessä z 0 ja u y = v x (1) f (z 0 ) = u x + i v x = v y i u y. Kääntäen, jos osittaisderivaatat u y ovat jatkuvia A:ssa sekä toteuttavat (1), niin f on analyyttinen A:ssa. x, u y, v x, v 10 / 28
Cauchy ja Riemann Kuva 1 : Cauchy (1789-1857), ranskalainen matemaatikko Kuva 2 : Riemann (1826-1866), saksalainen matemaatikko 11 / 28
Todistus f (z 0 ) = lim z z0 f(z) f(z 0 ) z z 0, z 0 = x 0 + iy 0. Erikoisesti, kun z = x + iy 0 z 0 (eli x x 0 ), niin f(z) f(z 0 ) z z 0 = u(x,y 0)+iv(x,y 0 ) u(x 0,y 0 ) iv(x 0,y 0 ) x x 0 = u(x,y 0) u(x 0,y 0 ) x x 0 + i v(x,y 0) v(x 0,y 0 ) x x 0 u x (x 0,y 0 )+i v x (x 0,y 0 ), kun x x 0 f (z 0 ) = u x + i v x. 12 / 28
Tod. jatkuu Vastaavasti, kun z = x 0 + iy z 0 (eli y y 0 ), niin f(z) f(z 0 ) = u(x 0,y)+iv(x 0,y) u(x 0,y 0 ) iv(x 0,y 0 ) z z 0 i(y y 0 ) = u(x 0,y) u(x 0,y 0 ) + v(x 0,y) v(x 0,y 0 ) i(y y 0 ) y y 0 1 u i y + v y = v y i u y, kun y y 0 f (z 0 ) = v y i u y u x = v y ja u y = v x. Todistuksen toinen suunta sivuutetaan. Seuraa laskemalla u:n ja v:n differentiaalikehitelmät ja käyttämällä C-R-yhtälöitä. 13 / 28
Esimerkkejä Esim. 4 Osoita Lauseen 4 avulla, että eksponenttifunktio f(z) = e z on derivoituva kaikilla z C ja että f (z) = e z. Esim. 5 Osoita Lauseen 4 avulla, että f(z) = z 2 ei ole derivoituva millään 0 z C. 14 / 28
Harmoninen funktio Funktio u = u(x, y) on harmoninen, jos u = 0 eli jos 2 u x 2 + 2 u y 2 = 0, ja jos u:n 2. kertaluvun osittaisderivaatat ovat jatkuvia. Harmonisuus on läheisessä yhteydessä analyyttisyyteen kuten seuraava lause osoittaa. Lause 5 Analyyttisen funktion f = u + iv reaali- ja imaginaariosat ovat harmonisia. Kääntäen, jos u on harmoninen alueessa A, jossa ei ole reikiä, on olemassa A:ssa analyyttinen f, jolle Ref = u. Jos f = u + iv on analyyttinen, sanotaan että v on u:n konjugaattiharmoninen funktio tai harmoninen konjugaatti. 15 / 28
Harmoninen konjugaatti Vaatimus, että A:ssa ei ole reikiä, on oleellinen Lauseessa 5. Esimerkiksi u(x,y) = 1 ( 2 x 2 + y 2) on harmoninen C\{0}:ssa ja logaritmifunktion f(z) = log z reaaliosa. Mutta logaritmifunktio ei ole analyyttinen (sillä se ei ole edes jatkuva) C\{0}:ssa (Katso luentomonisteen Esimerkki 14). Harmoninen konjugaatti voidaan määrätä (mikäli sellainen löytyy) Cauchy-Riemannin yhtälöistä saatava yhtälöpari { ux = v y, u y = v x. 16 / 28
Esimerkkejä Esim. 6 Etsi kaikki analyyttiset funktiot f(z), joille Ref(z) = x 3 3xy 2 + 2y. Esim. 7 a) Määrää kaikki analyyttiset funktiot f(z), joille Re f(z) = x 2 y 2 x + 2. b) Laske a)-kohdan funktion derivaatta f (z). 17 / 28
Konformikuvaus Käyrän tangentti Jos käyrä c : [a, b] C, c(t) = (x(t), y(t)) = x(t)+iy(t), on derivoituva, niin c (t) = (x (t), y (t)) = x (t)+iy (t), on käyrän tangentti pisteessä (x(t), y(t)) mikäli c (t) 0. Määr. 3 Kuvaus (funktio) f : A C on konforminen pisteessä z 0 jos on olemassa sellaiset θ [0, 2π) ja r > 0, että jokaiselle käyrälle c(t) A jolle c(0) = z 0 ja c (0) 0, käyrä d(t) = f(c(t)) on derivoituva pisteessä t = 0 ja d (0) = r c (0), arg d (0) = arg c (0)+θ mod 2π. Eli venytys r ja kiertokulma θ ovat vakiot kaikille käyrille c(t). Kuvaus on konformikuvaus, jos se on konforminen jokaisessa pisteessä. 18 / 28
Konformisuus Konformikuvaus säilyttää toisiaan leikkaavien käyrien väliset kulmat (=tangenttien väliset kulmat), sillä arg d 1(0) arg d 2(0) = arg c 1(0) arg c 2(0). 19 / 28
Derivaatan geometrinen merkitys Lause 4 Jos f : A C on analyyttinen ja f (z 0 ) 0, niin f on konforminen { pisteessä z 0 ja θ = arg f (z 0 ), paikallinen kiertokulma z 0 :ssa r = f. (z 0 ), paikallinen venytys z 0 :ssa Todistus: d(t) = f(c(t)) d (t) = f (c(t))c (t) sijoitetaan t = 0 d (0) = f (z 0 )c (0), =r {}}{ d (0) = f (z 0 ) c (0) arg d (0) = arg c (0)+arg f (z 0 ) }{{} =θ 20 / 28
Esimerkki Esim. 8 Tutki kuvauksen z f(z) = z 4 + 1 paikallista käyttäytymistä pisteessä z 0 = 1+i. 21 / 28
Esimerkki y 3 2 1 f(z) = z 4 + 1 v 2 1 1 0 1 2 3 1 x u 5 4 3 2 1 Esimerkin 8 funktion paikallinen käyttäytyminen pisteessä z = 1+i. 2 22 / 28
Kohtisuorat käyräparvet Olkoon f = u + iv analyyttinen ja f (z) 0. Tasa-arvokäyrät u(x, y) = c v(x, y) = d. Tasa-arvokäyrien normaalit ( u u = x, u ) y ( v v = x, v ). y Cauchy-Riemannin yhtälöiden mukaan u v = u x v x + u y v y = v y ( u y )+u y v y = 0, joten tasa-arvokäyrät leikkaavat kohtisuoraan. 23 / 28
Yhteys sähköstatiikkaan Oletetaan, että sähkökenttä E on gradienttikenttä, eli on olemassa sähköinen potentiaali u, jolle E = u. (2) Oletetaan, että tarkasteltavassa alueessa ei ole varauksia, jolloin Gaussin lain mukaan E = 0. (3) Yhtälöistä (2) ja (3) seuraa, että u on harmoninen: u = u = E = 0. Jos alueessa ei ole reikiä, niin on olemassa harmoninen konjugaatti v, jonka tasa-arvokäyrät leikkaavat potentiaalin u tasa-arvokäyrät kohtisuorasti. 24 / 28
Yhteys sähköstatiikkaan Ulkoinen varaus liikkuu sähkökentässä E harmonisen funktion v tasa-arvokäyriä pitkin. Tämän vuoksi v:tä nimitetään usein virtausfunktioksi. Sähkökentän E kenttäviivat ovat siis virtausfunktion v tasa-arvokäyrien suuntaisia ja toisaalta v:n kenttäviivat ovat u:n tasa-arvokäyrien suuntaisia. 25 / 28
Kohtisuorat leikkaajat Kuvassa on funktion f(z) = z 2 reaaliosan (sinisellä) ja imaginaariosan (punaisella) tasa-arvokäyriä. Funktion f reaaliosa Re f = u on sähköinen potentiaali ja imaginaariosa Im f = v on virtauspotentiaali. 26 / 28
Esimerkki Esim. 9 Tarkastellaan yhtälöä z = f(z)+e f(z), missä z = x + iy ja f = u + iv on analyyttinen funktio. Määrää potentiaalin v tasa-arvokäyrät. 27 / 28
Esimerkki Esimerkin 9 funktion f = u + iv = i(v iu) imaginaariosan v tasa-arvokäyriä. Tulkitsemalla tasa-arvokäyrät tasapotentiaaleiksi nähdään, että kyseessä on puolisuorien < x 1, y = ±π määräämän kondensaattorin tasapotentiaaleja. 28 / 28