OSA 1. ONGELMANRATKAISU -KAIKEN PERUSTA

1 OSA 1. ONGELMANRATKAISU -KAIKEN PERUSTA

2 1. ONGELMANRATKAISU -KAIKEN PERUSTA 1.1. Ongelmanratkaisun tärkeys eri näkökulmista Koulussa käsiteltävä matemaattinen tieto on suurimmaksi osaksi satoja, jopa tuhansia vuosia vanhaa. Se on oppikirjoissa ja opetuksessa yleensä valmiiksi siloiteltua ja esitetään lähes yksinomaan matemaattisin symbolein. Tämän vuoksi monet eivät tiedä, että kaikki tämä tieto on syntynyt ongelmanratkaisuprosessien seurauksena. Ehkäpä sinulle ei koskaan ole edes esitelty tällaisia ongelmanratkaisuprosesseja, saati että sinulla olisi niistä omakohtaisia kokemuksia. Ehkäpä juuri tämän vuoksi sinulla on voinut olla vaikeuksia ymmärtää suurta määrää matemaattisia käsitteitä ja malleja ja osata soveltaa niitä. Ongelmanratkaisutaitoa tarvitset kuitenkin jokapäiväisessä elämässä ja erityisesti työssäsi. Kaikkein tärkeintä on ymmärtää ongelmanratkaisun merkitys uuden tiedon hankkimisessa ja omaksumisessa - siis oppimisessa! Uuden tiedon opit nimittäin luontevimmin ja pysyvimmin ongelmanratkaisun kautta. Ongelmalla tarkoitetaan tilannetta, joka aiheuttaa sinussa - ristiriitaisia tunteita tilanteen vaatimusten ja ajatusmalliesi välillä - päämäärähakuista ajattelutoimintaa, jolla pyrit ratkaisuun. Ongelmatilanteessa joudut siis pyrkimään ratkaisuun ilman, että ainakaan välittömästi näet ratkaisukeinoja. Sinun olisi syytä oppia - suhtautumaan rauhallisesti ongelmatilanteeseen - käynnistämään mahdollisimman aktiivinen ajattelutoiminta, jopa tietynlainen positiivinen aggressiivisuus ratkaisun etsimiseksi - joustavuutta muuttaa tätä toimintaa, ellei se näytä johtavan ratkaisuun - sitkeyttä ajattelutoiminnan ylläpitämiseksi - kommunikointi- ja yhteistyökykyä toisten kanssa - kykyä hankkia tietoa tai apua oikeasta paikasta Erityisesti työelämässä kaikki nämä valmiudet tulevat

yhä tärkeimmiksi, mutta niitä olisi arvokasta pyrkiä kehittämään myös muun arkielämän ongelmia varten. Matematiikka tarjoaa luontevia ja monipuolisia tilanteita ongelmanratkaisu-taitojen kehittämiseksi. Koulumatematiikan tiedot olisi voitu oppia ongelmanratkaisuprosessien kautta, ellei niitä olisi pyritty "syöttämään" oppikirjoihin ripoteltuina sirpaletietoina. Nyt ammattikoulussa ei kuitenkaan ole mahdollista käydä läpi kaikkia peruskoulun matematiikan asioita uudella tavalla, joten keskitymme tässä kirjassa ammattisi kannalta kaikkein tärkeimpiin matemaattisiin tietoihin ja taitoihin. Kirjan osassa 2 käsittelemme ammattisi tärkeimpiä ongelmia. Näitä ratkaistessasi sinulla on samalla mahdollisuus opetella käyttämään ja etsimään erilaista matemaattista tietoa, jota on koottu kirjan osaan 3. 1.2. Ongelmanratkaisuprosessin vaiheet Kun ratkaiset ongelmaa, saatat joutua tilanteeseen, jossa loogisesti hyvänä ja oikeana pitämäsi päättely tai ratkaisu näyttää johtavan umpikujaan. Tällöin sinulta vaaditaan sekä joustavuutta että sitkeyttä. Ei ole aina helppoa sanoa itselleen: kokeile jotain aivan muuta! On vaikeaa samanaikaisesti sekä ajatella että kontrolloida ja muuttaa omaa ajattelemistaan. Siksi esimerkiksi joukkuepeleissä valmentajan rooli on keskeinen. Kun puhumme ongelman ratkaisusta (huomaa erikseen kirjoitettuna!), tarkoitamme jonkin yksittäisen ongelman löydettyä ratkaisua. Kun taas puhumme ongelmanratkaisusta, tarkoitamme aina koko ongelmanratkaisuprosessia, johon kuuluvat seuraavan aukeaman kaavioissa esitetyt vaiheet! Vasemmanpuoleisella sivulla olevat ohjeet pätevät mille tahansa ongelmalle ja oikeanpuoleisella sivulla näitä ohjeita on sovellettu tyypillisessä ongelmatilanteessa. Sivulla 6 olevan ongelman ratkaiseminen auttanee sinua ymmärtämään ja kokemaan joustavuuden ja sitkeyden merkityksen ongelmatilanteessa. Mutta ennen kuin lähdet ratkaisemaan ongelmaa, menettele seuraavasti: 1. Yritä ratkaista itsenäisesti tämä ongelma. 2. Jos et ole onnistunut 15-20 minuutissa, niin keskeytä työskentelysi. 3. Keskustele oppilastoveriesi ja opettajasi kanssa ja erittele avoimesti ja rehellisesti kaikkia niitä tuntemuksiasi, joita koit epäonnistuessasi ratkaisemisessa. 4. Yritä ilmaista sanallisesti se yleinen periaate tai strategia, jolla olet yrittänyt ratkaista ongelmaa. Toteat ehkä, että olet käyttänyt koko ajan samaa startegiaa! 4. Kun olet keskustellut asiasta tarpeeksi kauan, yritä ongelman ratkaisemista täysin uudella strategialla. Kirjoita tällaisia täysin erilaisia ratkaisuperiaatteita ensin omin sanoin paperille. Sovella niitä sitten yksityiskohtaisemmin! 5. Jos et vieläkään onnistu, niin palaa kohtaan 2 ja jatka samalla tavoin. Yritä ratkaisemista noin 1-2 tunnin ajan. Jos ongelma ei ratkea, niin jätä se hautumaan ja palaa siihen joskus toiste. Älä utele valmista ratkaisua! 3

4 ONGELMANRATKAISUPROSESSIN VAIHEET Ongelman analyysi tiedosta ongelmatilanne! ymmärrätkö ongelman? onko ongelma oikeutettu? täsmennä ongelma! analysoi ongelman osat! erota osaongelmiksi! ideoi ratkaisumalleja! tee malli! kokeile! muuntele ehtoja! poista osia! lisää osia! tutut osat? ota erikoistapaus? yhtäläisyyksiä? Ongelman ratkaiseminen toteuta ratkaisuideasi! ratkaise osaongelmat! esitä ratkaisusi! täsmennä ideasi! suorita rutiinit! Ratkaisun tulkinta ja hyväksikäyttö kokeile ja tarkista! onko muita ratkaisuja? ratkaisitko koko ongelman? opitko jotain uutta? missä voisit hyödyntää? tarkista! perustele! tee koe! vertaile tuttuun! mitä seurauksia? onko uusia ongelmia?

5 ONGELMANRATKAISUESIMERKKI ONGELMA: Kaksi neliötä sijaitsevat siten, että toisen kärki on toisen keskipisteessä. Kuinka suuren yhteisen pinta-alan ne rajoittavat? Ongelman analyysi Ongelman ratkaiseminen Teen pahvimallin, pyörittelen ja kokeilen. Ymmärrän ongelman: Huomaan erikoistapaukset: lmeisesti kysytty ala on aina A/4. Miten perustelisin? Millainen kuvio muuttuu pyöritettäessä?täsmennys? Kolmiot ovat yhtenevät! Kolmioissa on suora kulma ja sama terävä kulma (kiertokulma) sekä näiden välinen yhtäpitkä sivu (neliön sivun puolikas). Kolmiot ovat siis yhtenevät lauseen "ksk" nojalla (ks. kirjasta luku "yhtenevyys"!) Voisinko perustella asian muuten? Päteekö tulos kaikkiin neliöihin? Entä muihin säännöllisiin kuvioihin? Entä voinko yleistää sen esimerkiksi kuutioiden tilavuuksiin? teen mallin! kokeilen! muuntelen ehtoja! poistan osia! lisään osia! erotan tutut osat! Ratkaisun tulkinta ja hyväksikäyttö erikoistapaus! yhtäläisyyksiä? täsmennän ideani! suoritan rutiinit! tarkistan! perustelen! testaan! vertailen tuttuun! mietin seurauksia! mietin uusia ongelmia!

6 ONGELMA 1. Andy, Bill, Carl ja David ovat samassa päässä pimeää, kapeaa ja äärimmäisen vaarallista tunnelia. Heidän tulee päästä tunnelin toiseen päähän turvallisesti. He tietävät, että tunneliin mahtuu samanaikaisesti vain kaksi henkilöä ja että matkalla tarvitaan ehdottomasti koko ajan taskulamppu. Andy kulkee tunnelin läpi 5 :ssä, Bill 4:ssä, Carl 2 :ssa ja David 1 minuutissa. Miten heidän on meneteltävä, kun taskulampussa riittää virtaa korkeintaan 12 minuutiksi? Harjoitusongelmia Ongelma 2. Ajat tietyn matkan keskinopeudella 50 km/h. Millaista nopeutta sinun olisi ajettava takaisin, jotta keskinopeutesi olisi koko edestakaisella matkalla 100 km/h? (Vihje: tarkastele ensin erikoistapausta valitsemalla mahdollisimman sopiva matka). Ongelma 3. Miten saat roskan pois "rikkalapiosta" (roskaa siirtämättä) vain kahta tikkua siirtämällä. Ongelma 4. Monellako eri tavalla voit jakaa neliön kahteen yhtäsuureen osaan? (Opastus: älä uraudu ajattelemaan vain yhdellä tavalla!) Ongelma 5. Pöydässä on kahdeksan henkilöä, jotka kilistävät lasejaan pareittain siten, että jokainen kilistää kerran jokaisen muun kanssa. Montako kilahdusta pöydän äärestä kuuluu? (Vihje: yksinkertaista ensin ongelmaa ratkaisemalla ongelma yhden, kahden, kolmen jne. tapauksessa. Voit piirtää oheisen tapaisen kuvan ja ratkaista ongelman myös piirtämällä). Ongelma 6. Suorakulmion muotoisessa erittäin arvokkaassa taidelasissa oli sodan jäljiltä kymmenen luodinreikää. Lasiseppä halusi tehdä samasta lasista samoihin raameihin mosaiikkilasin siten, että hän leikkasi särkyneen lasin kolmioiksi seuraavasti: hän käytti reikiä sekä lasin nurkkia kolmioiden kärkinä, mutta ei lisännyt muita kärkipisteitä. Montako kolmiota syntyi? (Vihje: Tutki ensin erikoistapauksia, joissa reikien määrä on yksi, kaksi, kolme jne. Taulukoi ja keksi sääntö! Miten tulos voitaisin päätellä kolmion kulmien summaa määräävästä lauseesta?

7 Ongelma 7. Miten irjoitetaan numerot 1, 2, 3,..., 9 alla olevaan taikaneliöön ("magi square") siten, että kaikki kolme vaakasummaa, kolme pystysummaa ja kaksi vinosummaa ovat yhtä suuret? Sama numero voi esiintyä vain kerran. Ongelma 8. Alla oleva kuvio esittää pöytien sijaintia ravintolasalissa. Montako erilaista lyhintä reittiä tarjoilija voi kulkea lähtöpisteestä L pisteisiin A, S, K, U jne. Kuvassa oleva merkki $ ilmoittaa paitsi lyhimpien reittien määrän tähän kohtaan, niin myös asiakkaan laskun suuruuden dollareina. Kuinka suuri tämä lasku on? Entä vastaavasti punnilla ( ) maksavilla asiakkailla? Mikä asiakkaan toivomus kätkeytyy tehtävään?! L A A A A A A S K U H E A A A U H K T T E I T Ä T Ä M P O A E P O $

8 1.3. Esimerkkejä arkielämän ongelmatilanteista. Pohdi ainakin yhtä seuraavista kolmesta arkielämän ongelmista. ONGELMA 9. Tarvitset kesämökille puutarhakaluston. Miten menettelet? Ongelman analyysi: Pohdi seuraavia osaongelmia ja täydennä taulukkoon omat ehdotuksesi. OSAONGELMA millainen on käyttötarkoitus? millainen rakenteen on oltava? RATKAISUEHDOTUKSESI millaiset varusteet tarvitset? millaisen kaluston haluat? onko kalusto ostettavissa? kannattaako kalusto ostaa? teetätkö kaluston vieraalla? missä se kannattaisi teettää? haluatko tehdä sen itse? teetkö sen osaksi itse? minkä materiaalin valitset? onko materiaalia saatavilla? mistä materiaalikulut koostuvat? mikä on työ osuus? millaisen pintakäsittelyn haluat? Ratkaisu: Pohdi koko ongelman ratkaisua. Millaisia vuokaavioita piirtäisi t koko ongelman ratkaisuprosessista? Ratkaisun tulkinta ja hyväksikäyttö: Olenko huomioinut kaikki olennaiset tekijät? Onko ratkaisuvaihtoehtoja useampia? Voinko hyödyntää samoja menettelytapoja muissa käytännön tilanteissa?

9 ONGELMA 10. Tarvitset henkilöauton peräkärryyn katteen. Miten menettelet? OSAONGELMA millainen käyttötarkoitus on? millainen rakenteen on oltava? Ongelman analyysi: Pohdi seuraavia osaongelmia ja täydennä taulukkoon omat ehdotuksesi. RATKAISUEHDOTUKSESI millaiset varusteet tarvitaan? millaisen katteen haluat? onko kate ostettavissa? kannattaako kate ostaa? teetetäätkö se vieraalla? missä se kannattaisi teettää? haluatko valmistaa sen itse? valmistatko sen osaksi itse? mistä materiaalista valmistat sen? onko materiaalia saatavilla? mistä materiaalikulut koostuvat? mikä on työn osuus? millaisen pintakäsittelyn haluat? Ratkaisu: Pohdi koko ongelman ratkaisua. Millaisia vuokaavioita piirtäisit koko ongelman ratkaisuprosessista? Ratkaisun tulkinta ja hyväksikäyttö: Onko kaikki olennaiset tekijät otettu huomioon? Onko ratkaisuvaihtoehtoja useampia? Voidaanko samoja menettelytapoja hyödyntää muissakin käytännön tilanteissa?

10 ONGELMA 11. Oletetaan, että rakennat omakotitalon. Millaisen kattorakenteen ja -materiaalin valitset? Ongelman analyysi: Pohdi mm. seuraavia osaongelmia. OSAONGELMA onko rakennuskaavamääräyksiä? omat toivomuksesi ja mieltymyksesi maaston ja ympäristön vaatimukset millainen on talon muoto ja rakenne? RATKAISUEHDOTUKSESI millaiset kattorakennelmat ovat? millaisen materiaalin valitset? ostatko katon valmiiksi asennettuna? ostatko materiaalin ja teet itse työn? miten lasket materiaalikulut? miten lasket työn osuuden? mikä on pintakäsittelyn osuus? kenellä teetät työn vai teetkö itse? millaisia työvälineitä tarvitaan? millaista ammattitaitoa tarvitaan? mitä muuta on otettava huomioon? Ratkaisuidea: Esitä suurpiirteinen kaavio koko ongelman ratkaisemiseksi. Ratkaisun tulkinta ja hyväksikäyttö: Millaisiin muihin ongelmatilanteisiin tätä ratkaisuprosessai voi soveltaa? Miten yksiselitteinen ratkaisusi on? Muita kommenttejasi?

Harjoitusongelmia 11 Ongelma 12. Aiot hankkia "menopelin". Laadi oppilastoveriesi kanssa luettelo osaongelmista ja suurpiirteittäinen koko ongelman ratkaisumalli, jossa otat huomioon mahdollisimman hyvin kaikki ratkaisuun vaikuttavat osatekijät. Voit vaihtoehtoisesti tarkastella myös stereoiden tai videoiden hankintaa. Ongelma 13. Olet saanut kesätöitä 2 kuukaudeksi ja haluat ostaa mopon. Laadi vanhemmillesi laskelma, jolla perustelet hankinnan kannattavuutta ja vanhempien rahoitusosuutta. Työmatkasi pituus on 15 km ja koulumatkasi pituus 4 km. Ongelma 14. Tennispallot pakataan yleensä tyhjiöpurkkeihin viereisen kuvan osoittamalla tavalla. Ideoi kuvion avulla mahdollisimman monta eri tyyppistä ongelmaa ja muo- toile niitä eri tarkoituksiin! (Vihje: erilaisia näkökohtia on luke- mattomia: pallojen valmistaja, pallojen käyttäjä, valmistuskustan- nukset, optimaalinen muoto, esteettisyys, käytännöllisyys, pallo- purkin jatkokäyttö, jäteongelmat, matemaattiset ongelmat, jne...). Esitä lopuksi perusteltu mielipiteesi siitä, miksi pakkauksessa on yleensä neljä palloa. Ongelma 15. Oletetaan, että 16- vuotias tyttö (tai vastaavasti poika) haluaa laatia seuraavaksi kymmeneksi vuodeksi huolellisen suunnitelman, joka liittyy koulutukseen, (asevelvollisuuteen), työhön sijoittumiseen, kotoa pois muuttamiseen ja perheen perustamiseen. Pohdi edellisen tehtävän tavoin eri osaongelmia ja koko ongelman ratkaisumalleja. Ongelma 16. Hanki vakuutusyhtiöltä taulukko, joka kuvaa liikennevakuutuksen bonusluokan alenemista kolaritapauksessa sekä sen nousemista takaisin ennalleen. Laske ja arvioi, mikä on pienin kolari, joka kannattaa alla mainittujen autojen tapauksessa korjauttaa ns. "kaikenvaravakuutuksella"(kaskolla). Voit ottaa aluksi huomioon vain bonuksen alenemisen, mutta ei maksujen yleisiä korotuksia eikä korkomenoja: a) Isän auto Opel Vetra, jonka perusvuosimaksu on 1930 mk ja bonukset 60 %. b) Oma auto Ford Esort, jossa on uusi vakuutus ja jonka perusvuosimaksu on 1380 mk. korotusten ja korkomeno- Arvioi lopuksi maksujen jen vaikutusta laskelmaasi.

12 Ongelma 17. Seuraavassa taulukossa on esitetty erään perheen kuukausitulot ja keskimääräinen verotusprosentti normaaliverotuksen ja marginaaliverotuksen (so. "ylitöiden" ) osalta. Perhe omistaa vanhan asunnon ja juuri rakentamansa omakotitalon, joista heillä on taulukossa esitetyt kuukausimenot. Perheellä on vaikeuksia selvitä menoistaan, jolloin pankki ehdottaa, että perhe hankkisi 300 000 mk maksavaa yksiön kolmanneksi asunnoksi. Pankki perustelee ehdotustaan sillä, että yksiöstä saisi vuokratuloja 1600 mk/kk. Lisäksi tällöin verottaja katsoisi perheen harjoittavan liiketoimintaa, jolloin kaikki asuntokulut ovat verovähennyskelpoisia. Normaalitapauksessa perhe voi vähentää korkomenoja verotuksessa enintään 25000 mk. Laske, paljonko perheelle jää elämiseen ennen, jos he hyväksyvät pankin ehdotuksen tai eivät. Mieti sitten ehdotuksen eettistä puolta. A. Tulot normaalit bruttotulot ennen yksiön hankkimista isä äiti 9000 5000 yksiön hankkimisen jälkeen verotus 33% 20% ylimääräiset bruttotulot 2500 2000 marginaalivero (mk) 50% 35% käteen jäävä palkka korkovähennys asuntolainoista vähennys ammatin harjoittamisesta vuokratulot Kaikki tulot yhteensä B. Menot vanha asunto uusi talo yksiö lainan määrä ja korko 30000; 11% 700000; 15% 300000;16% korkomenot yhtiövastike 400 (elantomenot) 300 yhteensä menot ennen yksiön hankk. menot yks. hankk. jälkeen

1.4. Esimerkkejä ongelmista omassa työssä 13 Oman työn tärkeimpiä ongelmia on ryhmitelty ja luokiteltu kirjan osassa 2, joten käsittelemme tässä vain yhden hieman laajemman esimerkin. ONGELMA 15. Koneen tuntiveloitus on 500 mk. Kannattaako yritykseen hankkia siihen 300000 markan hintainen robotti lisälaitteeksi, kun se nopeuttaa työtä keskimäärin 1 h/vrk? (*) Ongelman analyysi: Menetelläänkö samoin kuin yleensä auton, asunnon, videon tms. hankkimisessa? Tarvitaanko laitetta? Onko sen hankkimiseen varaa? Minkä tyyppinen ja merkkinen laite hankitaan? Onko kilpailijoilla vastaavaa? Järjestyykö rahoitus? Kannattaako hankinta? Ammattijohdon on perusteltava hankinta tarkoin ylemmälle johdolle, omistajille sekä työntekijöiden luottamusmiehille. Tämä vaatii laskelmia, joilla voi todistaa, että robotin hankkiminen kannattaa. Robotin on maksettava hintansa, siis lisäksi mm. asennuksesta aiheutuvat muutoskulut ja korkotappiot yleensä n. 1-3 vuodessa. Pitempiaikainen käyttö voidaan laskea satunnaiseksi voitoksi. Ratkaisu: Täydennä seuraavan sivun taulukko ja totea, että laskelmien mukaan tuottoa kertyy kahden vuoden aikana n. 700 000 mk. Pohdi sitten vielä ratkaisun tulkintaa ja hyväksikäyttöä: Päälaskelma näyttää siis osoittavan robotin hankkimisen kannattavaksi, mutta kustannuksia arvioitaessa on vielä otettava huomioon, (i) mitkä ovat koekäyttökustannukset? (ii) mikä on tarvittavan lisätilan hinta? (iii) vähentääkö vai lisääkö robotti virheitä? (iv) mitä lisälaitteita on hankittava? (v) kuinka suuret huoltokustannukset ovat? (vi) voidaanko tuotantoa ylläpitää jatkuvasti? (vii) voidaanko vapautuva työntekijöiden aika hyödyntää? Voidaanko laatia kaavake, jonka avulla tällaisten investointien kannattavuus voitaisiin monipuolisesti ja luotettavasti tutkia? Voitaisiinko laatia tietokoneohjelma, jolla säästettäisiin kaavake- ja laskemistyö? (*) Esim. metallialalla kappaleenvaihtorobotti työstökoneessa on yleinen

14 1. 2. VÄLITTÖMÄT KUSTANNUKSET robotin hinta kuljetin muutostyöt Yhteensä MISTÄ TUOTTO SAADAAN? työn nopeutuminen 300 000 mk 100 000 mk 20 000 mk MK 420 000 mk vuorokaudessa 2 vuodessa 1 h 300 h robotti vapauttaa työntekijän muihin tehtäviin päivisin: 4 h yövuorossa: 8 h 1200 h 2400 h tuotto työn nopeutumisesta (500 mk/h) tuotto työajan vapautumisesta päivisin ( 90 mk/h) tuotto työajan vapautumisesta yövuorosta (100 mk/h) Yhteensä

1.5. Tiedon eri esitysmuotojen ymmärtäminen 15 Kolme neljästä 3 34 Kouluopetuksesta ja oppikirjoista saa yleensä sellaisen kuvan, että matematiikka on lähes yksinomaan luvuilla ja symboleilla temppuilua ja että tätä varten tarvittavat säännöt on opeteltava ulkoa. Jos näin tapahtuu, käy matemaattisten tietojen soveltaminen ja käyttäminen ongelmanratkaisussa hyvin vaikeaksi. Matemaattinen tieto voidaan aina esittää (ainakin) kolmessa eri esitysmuodossa: verbaalisessa (V), symbolisessa (S) ja kuvallisessa (K) muodossa. Tiedon ymmärtäminen ja varsinkin soveltaminen yleensä edellyttää, että hallitset kaikki nämä kolme esitysmuotoa. Toisaalta nämä eri esitysmuodot helpottavat tiedon ymmärtämistä. Ottakaamme tyypillinen esimerkki: Tehtävä 1. Ilmoita murtoluku 4/7 sanallisesti niin monella eri tavalla kuin osaat! Sanoit luultavasti neljä seitsemäsosaa tai neljä jaettuna seitsemällä. Molemmat ilmaukset ovat oikeita, mutta katsotaanpa, mitä näistä ilmauksista on hyötyä. Tehtävä 2. Miten lasket 1/7 + 4/7? yhteensä SYMBO- LINEN MUOTO VERBAA- LINEN MUOTO Jos muistat peruskoulussa opetetun laskusäännön, on tehtävä sinulle pelkkää rutiinia. Mutta mitä jos et muistakaan? Kumpikaan edellä mainituista sanallisista ilmauksista ei auta laskutoimitukse ratkaisun keksimisessä. Mikäli osaat murtoluvulle erilaisia verbaalisia (sanallisia) ilmauksia, ei mitään laskusääntöä tarvita. Tarvitsee ainoastaan osata muuntaa tietoa esitysmuodosta toiseen: 1 4 7 + 7 = yksi kpl 7-sosia neljä kpl 7-osia 5 7 viisi kpl 7-osia

16 Tästä laskutoimituksesta selvitään myös kuvan avulla ilman laskusääntöä: 1 4 5 Sinun olisi hyvä oppia eri esitysmuotoja ainakin tärkeimmistä matemaattisista käsitteistä ja apuvälineistä. Tämän kirjan osassa 3 on pyritty tarjoamaan tähän mahdollisuuksia, jotta samalla oppisit soveltamaan näitä tietoja. Katsokaamme vielä esimerkkiä prosenttilaskennasta: Kuinka suuri osa luku 3 on luvusta 4? verbaalisesti kuvallisesti kolme neljäsosaa symbolisesti 3 4 sadasosina 75 100 prosentteina 75 %

1.6. Geometrian taitojen tärkeys 17 Geometria on yksi tärkeimpiä matematiikan osa-alueita. Lähes kaikki koulumatematiikan tiedot ovatkin syntyneet erilaisten geometristen ongelmanratkaisuprosessien seurauksena. Geometria tarjoaakin loistavia mahdollisuuksia opetella erityisesti luokittelemisen, jäsentelemisen, mallintamisen ja päättelyn taitoja. Koska työssä ja muussakin arkielämässä joudutaan jatkuvasti tekemisiin erilaisten kappaleiden ja pintojen arvioimisen, mittaamisen, laskemisen ja piirtämisen kanssa, ovat geometrian perustaidot erityisen tärkeitä. Tässä kirjassa käsitellään geometriaa melko runsaasti myös siksi, että geometriset ongelmat kehittävät erityisen monipuolisesti matemaattisia taitoja. Voit itse vakuuttua tästä tekemällä seuraavan tehtävän: 1. Ratkaise ongelma 1 yksini tai yhdessä oppilastoverisi kanssa. 2. Keskustele sitten oppilastoverisi ja opettajasi kanssa siitä, mitä kaikkia taulukossa # esitettyjä osataitoja mielestäsi tarvitsit ratkaistessasi ongelmaa. Rastita vastaava kohta taulukosta. 3. Kokoa opettajasi kanssa kaikkien oppilaiden rastit samaan taulukkoon esim. piirtoheitinkalvolle. 4. Onko ongelma mielestäsi kehittävä? 5. Ratkaise tämän jälkeen ongelma 2 ja menettele samalla tavoin kuin edellä. Ongelma 1. Kun Kallelta ja Villeltä kysyttiin, monenko neliön läpi lävistäjä kulkee kuviossa A, niin Kalle vastasi neljän ja Ville kuuden. Mitä arvelet heidän vastanneen kuvion B tapauksessa? A B

18 Geometrian kehittämät taidot visuaaliset taidot verbaaliset taidot Osien tunnistaminen päättelyketjujen tekeminen piirtämistaidot päättelytaidot tunnistaa kuvio jostakin kokonaisuudesta liittää tilanteeseen oikeat sanalliset ilmaisut hahmottaa tilanne piirtämällä liittää tilanteeseen syyja seuraussuhteita kuvata osat sanallisesti osata piirtää eri tunnusmerkit liittää eri osien välille syyyhteyksiä nähdä yhteydet eri käsitteiden välillä kuvata sanallisesti käsitteiden välisiä yhteyksiä erottaa olennaiset tunnusmerkit piirtää käsitesuhteista kaavio päätellä yhteiset ja erilliset ominaisuudet päätellä havaintoon perustuen päätellä sanallisten ilmaisujen perusteella päätellä piirrosten avulla oppia päätelmien yleiset perusteet Osien analysoiminen käsitteiden järjestäminen päätelmien tekeminen tehdä peräkkäisiä päätelmiä visuaalisesti tehdä peräkkäisiä sanallisten ilmausten päättelyjä tehdä peräkkäisiä päättelyjä kuvien avulla oppia peräkkäisten päättelyiden tekemistä Ongelma 2. Oheisesta kuviosta tiedetään, että kuviot A-H ovat neliöitä. Lisäksi C:n sivun pituus on 8 ja D:n sivun pituus 9. Voiko koko iso kuvio mielestäsi olla neliö? Perustele tarkoin vastauksesi! Pohdi sen jälkeen, mitä yllä olevan taulukon taitoja tämän ongelman ratkaiseminen mielestäsi kehitti. Piirrä pieni ympyrä vastaavaan taulukon kohtaan! F A G I E H B C D

1.7. Algoritminen ajattelu sovellustehtävien ratkaisemisessa 19 Työssäsi tulee varsinaisten ongelmatilanteiden lisäksi myös toistuvasti samantyyppisiä rutiinitehtäviä. Tällaisten tehtävien ratkaisukeinot ovat usein algoritmeja. Algoritmilla tarkoitetaan jonoa peräkkäisiä työvaiheita, joiden järjestys ja merkitys on täysin määrätty. Jos taas työvaiheet ovat epämääräisempiä, puhutaan ns. kvasialgoritmista (joka on suurin piirtein sama kuin ns. vuokaavio). Esimerkkinä mainittakoon vaikkapa yhtälön tai epäyhtälön ratkaiseminen, janan puolittaminen, tai jakolaskualgoritmi: 17 3 51-3 21 jakolaskualgoritmi KYSY KERRO PUDOTA VÄHENNÄ kvasialgoritmi jakolaskun suorittamiseksi Työssä täytyy usein laskea jokin suure tunnetusta kaavasta (esim. neliön sivun laskeminen, kun pinta-ala tunnetaan). Tällaisissa tilanteissa edetään algoritmisesti seuraavalla sivulla olevan kaavion mukaan. Todellinen ongelmatilannne vaatii ennen kaikkea ideointia ja oikeiden strategioiden valintaa, kuten aikaisemmin korostettiin. Tämä toiminta tapahtuu oikeakätisillä lähinnä oikeassa aivopuoliskossa (ja vasenkätisillä vastaavasti vasemmassa). Kun ongelma on saatu hajoitetuksi osaongelmiksi, ne ratkeavat usein rutiininomaisella algoritmisella ajattelutoiminnalla. Tämä tapahtuu oikeakätisillä lähes kokonaan vasemmassa aivopuoliskossa (ja vasenkätisellä opäinvastoin). Jos harjoitetaan pelkästään algoritmisia toimintoja (kuten kouluopetuksessa lähinnä tehdään), aktivoituu vain toinen aivopuolisko. Tämä taas heikentää ongelmien ratkaisukyvyn kehittymistä.

20 Muokkaa tehtävä sopivaan muotoon Esimerkki: avaruuslävistäjä x y Ei Voiko tuntemattoman löytää jonkin kaavan avulla? Kyllä x b Etsi yhteys annettujen suureiden ja tuntemattoman välille Tarvitaanko vielä apusuureita? Kirjoita sopiva kaava ja järjestä tuntematon yhtälöön Tunnetaanko kaavan toisella puolella olevat suureet? Ei Kyllä Ei Kyllä x = y = a a + 2 2 y + b 2 2 Muodosta yhtälö apusuureiden laskemiseksi tai merkitse ne annetun suureen avulla Esitä ja toteuta ratkaisusuunnitelmasi! 2 2 2 x = a +b + Harjoitustehtäviä 2,4 m 1. Kuinka pitkä suora rima mahtuu viereiseen pakettiautoon kokonaan sen sisäpuolelle? (Vihje: ks.yllä olevan kaavion esimerkkiä!) 2. Miten muuttaisit näitä auton mittoja siten, että sisään mahtuisi 4,0 m pitkä rima? 2. Pallon sisään on piirretty lieriö oheisen kuvan mukaisesti. Mikä on lieriön korkeus, kun sen pohjan halkaisija on 40 mm ja pallon säde 100 mm? 4. Mitkä ovat pallon ympäri piirretyn lieriön mitat (kuvassa isompi lieriö)? leveys 2,0 m 40 mm 100 mm 1,8 m

1.8. Tietokone ongelmanratkaisun välineenä 21 Jotta tietokonetta voitaisiin käyttää matemaattisten ongelmien ratkaisemisessa, on yleensä ymmärrettävä muuttujan käsite. Se on ohjelmoinnin ja valmiin ohjelman ymmärtämisen perusta. Useissa ammateissa käytetään yhä enemmän prosessiohjattuja koneita, jotka joudutaan ohjelmoimaan. Käyttäjältä edellytetään ainakin sitä, että hän ymmärtää, mitä mikin ohjelma tekee ja että hän lisäksi osaa tehdä joitain pieniä muutoksia näihin ohjelmiin. Olisi suotavaa, että totuttelisit työtäsi varten - tulkitsemaan eri tyyppisten prosessorien (esim. metallialalla polttoleikkaajan) peruskäskyjä ja tekemään niihin muutoksia - ohjelmoimaan sellaisia laitteita, joiden valvomisesta päivittäin vastaat - tulkitsemaan yksinkertaisia BASIC-, PASCAL- tai LOGO-ohjelmia ja tekemään niihin pieniä muutoksia - laatimaan jollakin ohjelmointikielellä yksinkertaisia perusohjelmia, joilla voidaan laskea lausekkeiden arvoja tarpeettoman toistamisen välttämiseksi - ymmärtämään, että yksinkertaisellakin ohjelmalla voidaan ratkaista mutkikkaita matemaattisia ongelmia (esimerkiksi kokeilun avulla tehty optimointi tai ääriarvotarkastelu) Esimerkki 1. Seuraavat ohjelmat laskevat suorakulmaisen särmiön pinta-alan P ja tilavuuden V, kun annetaan särmät A,B ja C. B C BASIC-ohjelma 10 PRINT "Anna särmät" 20 INPUT A,B,C 30 V=A*B*C 40 P=2*A*B+2*B*C+2*A*C 50 PRINT "Ala on: ", P 60 PRINT "Tilavuus on:",v 60 END Esimerkki: LOGO -ohjelma LAATIKKO :A :B :C MAKE "V :A* :B* :C MAKE "P :2* :A* :B+2* :A* :C+2* :B* :C PRINT SE [Ala on], :P PRINT SE [Tilavuus on:], :V END Esimerkki: A RUN Anna särmät 20,30,50 Ala on: 6200 Tilavuus on: 30000 LAATIKKO 20 30 50 Ala on 6200 Tilavuus on 30000

22 Esimerkki 2. Minkä muotoinen suorakulmio on pinta-alaltaan suurin? b Ratkaisu: Merkitsemme sivuja a:lla ja b:llä ja annamme molempien vaeltaa nollasta aina 100 mm:iin 1 mm:n välein. Viereisen ohjelman printtauksesta valitsemme rivin, jossa pinta-ala on suurin. Tulos: neliö! Esimerkki 3. Haluamme valmistaa suorakulmaisen särmiön muotoisen suljetun laatikon, jonka tilavuus on 1 (kuutiometri). Jossärmät ovat a, b ja, saamme yhtälön ab = 1. Voimme valita vapaasti näistä särmistä kaksi ( esimerkiksi pituuden a a BASIC-ohjelma LET S=5 FOR A=0 TO 100 STEP S FOR B=0 TO 100 STEP S P=A*B LPRINT P NEXT B NEXT A END ja leveyden ), jolloin korkeus saadaan ratkaistuksi tästä yhtälöstä. Jos kuitenkin haluamme tutkia, minkä muotoisen laatikkon valmistamiseen tarvitsisimme vähiten peltiä, niin ongelman käsittely vaatisi lukion matematiikan tietoja. Voimme kuitenkin antaa tietokoneen kokeilla eri a:n, b:n ja :n arvoilla! Ainoa ehto on tilavuuden kiinnittävä yhtälö ab=1. Oheinen ohjelma antaa printtauksen eri särmien arvoista 5 m:n välein (step.05) sekä vastaavista pinta-aloista (tilavuushan on koko ajan 1). Tarvitset ainoastaan valita näistä rivin, jossa pinta-ala on pienin. Jos haluat, voit muuttaa askelväliä vaikkapa 1 mm:n suuruiseksi (step.001). Ohjelman suorittamasta listauksesta voit helposti todeta, että pinta-ala (2ab+2b+2a) on pienin silloin, kun a, b ja ovat yhtäsuuret. Siis kuutiolla! Ohjelmaan voidaan lisätä ehtolause, jolloin ohjelma pysähtyy automaattisesti ja ilmoittaa kysytyn tuloksen! Ohessa on esimerkki tällaisesta ohjelmasta ja alla sen suorittama printtaus: PIENIN ALA ON: 6 Särmillä 1.000001 1.000001.9999981 BASIC-ohjelma 30 S=.05 40 FOR A=S TO 10 STEP S 50 FOR B=S TO 10 STEP S 70 C=1/(A*B) 80 P=2*A*B+2*A*C+2*B*C 130 NEXT B 140 NEXT A 150 LPRINT "ALA ON : ",P 170 END BASIC-ohjelma 10 REM T on pienin ala 20 T=1000 30 S=.000001 40 FOR A=S TO 10 STEP S 50 FOR B=S TO 10 STEP S 60 LET Q=T 70 C=1/(A*B) 80 P=2*A*B+2*A*C+2*B*C 90 IF P=<Q THEN LET T=P 100 IF P=<Q THEN LET K=A 110 IF P=<Q THEN LET L=B 120 IF P=<Q THEN LET M=C 130 NEXT B 140 NEXT A 150 LPRINT "Pienin ala : ",T 160 LPRINT "Särmillä: ",K,L,M 170 END