MATRIISIALGEBRA Harjoitustehtäviä syksy 2012 Tehtävissä 1-2 käytetään seuraavia matriiseja: A = 1 2 ( ) 0 5 1 2 4, B =, C = 1 2, E = 1 0 0 0 1 0 ja F = 1 0 0 0 1 0. 3 7 2 4 3 3 1 3 4 2 2 3 0 1. Määrää 3A, B 2A ja E + F. 2. Laske (mikäli mahdollista) AB, BA, A 2, BC, CB. 2 1 3 0 5 3. Keksi nollamatriisista poikkeavat 3 3-matriisit a) A ja B, joille AB = 0 3 3 (=nollamatriisi). b) A, B ja C, joille AC = BC, mutta A B. 2 4. Merkitään A = 1 0, B = ( 1 3 2 1 ), C = 2 0 1 5 1 1 0 3. 0 2 1 0 3 Laske (mikäli mahdollista) a) AB, BA, B T A T ; b) CA, BC T, A T C T. 5. Eräs yritys valmistaa kolmentyyppisiä ikkunoita ja eri tyypit vaativat ikkunaa kohti metalliosia, puuta, lasia ja työtä seuraavasti: Tyyppi metalli puu lasi työ I 2 8 6 6 II 3 7 4 7 III 3 10 3 5 Raaka-aineiden yksikköhinnat ovat euroissa lausuttuina metalli puu lasi työ 20 9 6 10 Kuinka paljon kunkin ikkunatyypin raaka-aineet maksavat? Eräänä päivänä on toimitettava 50 kpl tyyppiä I, 70 kpl tyypiä II ja 90 kpl tyyppiä III olevia ikkunoita. Kuinka paljon näihin kuluu raaka-aineita? Kuinka paljon raaka-aineet maksavat? Suorita laskut matriisilaskennan merkinnöin! 6. Tiedetään, että putkijärjestelmä P toimii lineaarisesti, mikä merkitsee sitä, että herätettä (input) x ja vastetta (output) y sitoo toisiinsa yhtälö Ax = y. Olkoon kuvion putkisysteemi P allakuvatun mukainen. Määrää (siirto)matriisi A, kun tiedetään mittausten perusteella seuraavaa: kun heräte on x 1 = 1 yksikkö ja x 2 = 0 yksikköä, niin vaste on y 1 = 1/7, y 2 = 3/7 ja y 3 = 3/7 (yksikköä) sekä kun heräte on x 1 = 0 yksikköä ja x 2 = 1 yksikkö, niin vaste on y 1 = 2/5, y 2 = 1/5 ja y 3 = 2/5 (yksikköä). Mikä on herätettä x 1 = 2, x 2 = 1 vastaava vaste? 7. Eläintarhassa on lintuja (2-jalkaisia) ja elukoita (4-jalkaisia). a)jos siellä on 15 päätä ja 40 jalkaa, niin kuinka monta lintua ja kuinka monta elukkaa siellä on? b) Jos jalkoja on 40, niin mitkä ovat mahdolliset lintujen ja elukoiden lukumäärät?
8. Ratkaise Gaussin menetelmällä seuraava yhtälöryhmä: x 1 + x 2 + x 3 = 4 x 1 + 2x 2 x 3 = 5, 2x 1 + 5x 2 + 4x 3 = 2 9. Ratkaise Gaussin menetelmällä seuraava yhtälöryhmä: 3x 1 + x 2 x 3 = 4 6x 1 + 2x 2 + 2x 3 = 20, x 1 x 2 + 2x 3 = 7 10. Ratkaise Gaussin menetelmällä seuraavat yhtälöryhmät: a) 2x 1 x 3 = 1 + 11x 2 2x 4 7 + x 2 x 3 + 2x 4 = 2x 1 x 3 + 2x 2 + x 1 + x 4 5 = 0 0 = x 1 + 3x 2 x 4 + 2 b) x 1 + 3x 2 + 5x 3 + 4x 4 = 0 x 1 + 2x 2 + 6x 3 + 2x 4 = 1, 2x 1 + 8x 2 + 8x 3 + 12x 4 = 1 11. Ratkaise Gaussin menetelmällä yhtälöryhmä z 2w = 1 x + 2y 2z + 3w = 2 5x + 10y 8z + 11w = 12. 12. Kalankasvatusaltaassa on kolmea eri lajia kaloja. Lajin 1 jokainen kala tarvitsee viikossa 1 yksikön ruokaa A, 1 yksikön ruokaa B ja 2 yksikköä ruokaa C. Vastaavat yksikkömäärät lajin 2 kaloille ovat 3,4, ja 5 sekä lajin 3 kaloille 2,1 ja 5. Joka viikko altaaseen sijoitetaan 25 000 yksikköä ruokaa A, 20 000 yksikköä ruokaa B ja 55 000 yksikköä ruokaa C. Kuinka monta kalaa kutakin lajia altaassa voi olla, jos oletetaan että kaikki ruoka tulee syödyksi ja jokainen kala syö täsmälleen tarvitsemansa yksikkömäärät? Ratkaise tehtävä sopivan yhtälöryhmän avulla käyttäen Gaussin menetelmää. 13. Määrää A:n käänteismatriisi vaakarivimuunnoksin matriisista (A I), kun a) 3 6 2 A = 4 7 7 1 2 1 b) A = 1 2 0 3 0 6 2 1 5 14. Määrää matriisin 0 1 0 1 1 1 1 8 0 0 1 2 1 1 2 1 käänteismatriisi. 1 1 2 2 15. Laske matriisin A = 3 2 4 5 0 2 3 2 käänteismatriisi A 1. 1 1 0 3
Ratkaise yhtälöryhmä x 1 + x 2 2x 3 + 2x 4 = 1 3x 1 + 2x 2 4x 3 + 5x 4 = 2 2x 2 + 3x 3 2x 4 = 3 x 1 + x 2 + 3x 4 = 1 käyttämällä hyväksi saamaasi käänteismatriisia A 1. 16. Olkoon D = (d ij ) 150 150 diagonaalimatriisi, missä d ii = ix + i 2 aina kun i = 1, 2,..., 150. Määrää D:n käänteismatriisi, kun x = 0. Millä x:n arvoilla D:lla ei ole käänteismatriisia? 17. Määrää matriisin 3 7 2 2 A = 3 5 1 0 6 4 0 5 9 5 5 12 se LU-hajotelma, missä matriisin L diagonaalialkiot ovat ykkösiä. 18. Olkoon A = 1 4 5 4 18 26 3 16 30 a) Määrää matriisin A LU-hajotelma. b) Ratkaise yhtälöryhmä x 1 + 4x 2 + 5x 3 = 6 4x 1 + 18x 2 + 26x 3 = 0 3x 1 + 16x 2 + 30x 3 = 6 kerroinmatriisin LU-hajotelman avulla. c) Ratkaise A:n LU hajotelman avulla yhtälöryhmä Ax = b, kun b = ( 6 6 12 ) T. 19. Ovatko seuraavat joukot vektoriavaruuksia? a) Tason 1. neljänneksen vektorit, operaatioina vektoreiden yhteenlasku ja luvulla kertominen. b) Parillista astetta olevat polynomit, operaatioina polynomien yhteenlasku ja luvulla kertominen. c) 3 3 yläkolmiomatriisit operaatioina matriisien yhteenlasku ja luvulla kertominen. 20. Onko U vektoriavaruuden V aliavaruus, kun a) V = R 3 ja U = {(x 1, x 2, x 3 ) R 3 x 2 = 0, x 1 = 4x 3 } b) V = R 2 ja U = {(x, y) R 2 x 2 + y 2 = 1} c) V = P 2 ja U = {p(t) P 2 p(t):n aste on 2 } d) V = P 3 ja U = {p(t) P 3 p(0) = 0} e) V = reaaliset n n matriisit ja U = reaaliset n n diagonaalimatriisit. 21. Virittääkö vektorijoukko S vektoriavaruuden V, kun a) V = R 3 ja S = {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (2, 3, 1)} b) V = R 3 ja S = {(1, 0, 1), (2, 0, 4), ( 5, 0, 2), (0, 0, 1)} c) V = P 2 ja S = {1, t + 1, t 2 2t + 3} d) V = P 2 ja S = {t + 1, t 2 + 1, t 2 t} ( ) ( ) 1 1 0 0 e) V = reaaliset 2 2 matriisit ja S = {,, 0 0 1 1 ( ) 1 0, 1 0 ( ) 0 1 }. 0 1 22. a) Selvitä onko vektorijoukko {(1, 1, 2, 2), (3, 2, 4, 5), (0, 2, 3, 2), (1, 1, 0, 3)} R 4 :n vapaa (=lineaarisesti riippumaton) vektorijoukko. Jos on, niin lausu vektori (0, 0, 1, 0) vektorijoukon vektoreiden lineaarikombinaationa. b) Selvitä onko matriisijoukko ( ) 1 1 {, 2 2 ( ) 3 2, 4 5 ( ) 0 2, 3 2 ( ) 1 1 } 0 3 vapaa ( ) reaalisten 2 2 matriisien muodostamassa vektoriavaruudessa. Jos on, niin lausu matriisi 0 0 matriisijoukon matriisien lineaarikombinaationa. 1 0
23. Tutki, muodostavatko vektorit (0, 1, 0, 1), (0, 0, 2, 0), (1, 0, 1, 0) ja (0, 1, 0, 2) R 4 :n kannan. Jos muodostavat, niin etsi vektorin (1, 2, 5, 5) koordinaatit tämän kannan suhteen. 24. Vektorijoukko S = {(0, 1, 0, 0), (1, 0, 1, 0), (0, 1, 0, 2), (1, 0, 2, 0))} on lineaarisen vektoriavaruuden R 4 kanta. Vektorin u koordinaatit kannassa S ovat 1, 2, 5 ja 0. Määrää vektorin u koordinaatit luonnollisessa kannassa. 25. Olkoon ( M 2 2 ) reaalisten 2 2 matriisien muodostama vektoriavaruus ja olkoon W kaikkien muotoa, a, b R olevien matriisien joukko. Osoita, että W on vektoriavaruuden M 0 a a b 2 2 aliavaruus ja määrää W :n kanta. 26. Vektorijoukot S 1 = {(0, 1, 0), (1, 1, 0), (1, 2, 3)} ja S 2 = {(1, 1, 0), (1, 1, 1), (1, 2, 1)} ovat R 3 :n kantoja. a) Vektorin u koordinaatit kannassa S 2 ovat 4, 3 ja 2. Määritä tarvittava kannanvaihtomatriisi ja laske sen avulla u:n koordinaatit kannassa S 1. b) Vektorin v koordinaatit kannassa S 1 ovat 3, 2 ja 1. Määritä tarvittava kannanvaihtomatriisi ja laske sen avulla v:n koordinaatit kannassa S 2. 27. Kuvankäsittelyssä kuvia muokataan käyttämällä lineaarisia muunnoksia kuten esimerkiksi venytystä, kiertoa ja peilausta. a) Muodosta muunnoksen (kannalta E = {i, j, k} kannalle E) matriisi, kun kuvaa aluksi venytetään j-akselin suunnassa 3-kertaiseksi ja k-akselin suunnassa 2-kertaiseksi ja sitten kierretään kulman π 2 verran k-akselin ympäri vastapäivään (katsottuna k-akselin positiiviselta puoliakselilta origoon päin). b) Mikä on muunnosmatriisi, jos kohdan a muunnosten kuva vielä peilataan xz-tason (=ik-tason) suhteen ja sitten kierretään kulman 3 2 π verran j-akselin ympäri myötäpäivään (katsottuna j- akselin positiiviselta puoliakselilta origoon päin)? c) Muodosta muunnoksen (kannalta E = {i, j, k} kannalle E) matriisi, kun kuvaa aluksi kierretään kulman π verran i-akselin ympäri vastapäivään (katsottuna i-akselin positiiviselta puoliakselilta origoon päin), sen jälkeen kierretään kulman π 2 verran k-akselin ympäri myötäpäivään (katsottuna k-akselin positiiviselta puoliakselilta origoon päin) ja lopuksi venytetään j-akselin suunnassa 3-kertaiseksi. 28. Kun kuvankäsittelyssä tehdään peräkkäin kaksi venytystä (esim. venytys z-akselin suunnassa ja sitten venytys x-akselin suunnassa), niin voidaanko venytysten järjestystä vaihtaa ja jos voidaan, niin miksi? Voidaanko kahden kierron (esim. kierto π 2 :n verran myötäpäivään x-akselin ympäri ja sitten π 2 :n verran myötäpäivään y-akselin ympäri) järjestystä vaihtaa ja jos voidaan niin miksi? Edelleen voidaanko kierron ja venytyksen järjestystä vaihtaa? Perustelut! 29. Määrää lineaarikuvauksen F : R 2 R 4, matriisi luonnollisten kantojen suhteen 30. Määritä lineaarikuvauksen F : R 3 R 2, F (x 1, x 2 ) = (x 1 + 2x 2, x 2, x 1 x 2, 2x 1 + 3x 2 ) F (x 1, x 2, x 3 ) = (2x 1 + x 2 3x 3, x 1 2x 2 + x 3 ) matriisi kantojen S 1 = {(1, 0, 1), (0, 1, 0), (0, 1, 1)} ja S 2 = {(0, 1), ( 1, 1)} suhteen ja laske sen avulla vektorin F (u) koordinaatit kannassa S 2, kun vektori u = 2i + 3j k, missä i = (1, 0, 0), j = (0, 1, 0) ja k = (0, 0, 1). 31. Määrää lineaarikuvauksen F : R 3 R 2, F (x 1, x 2, x 3 ) = (x 1 + x 2, x 2 + x 3 ) matriisi A kantojen S 1 = {(1, 1, 1), (0, 1, 1), (0, 0, 1)} ja S 2 = {(1, 1), (1, 1)} suhteen. Määrää A:n avulla vektorin F (u) koordinaatit kannassa S 2, kun u:n koordinaatit kannassa S 1 ovat 4, 1 ja 5.
32. Olkoon F sellainen lineaarikuvaus reaalisten 2 2 matriisien joukossa, että ( ) 1 2 F (B) = B. 3 4 Määrää lineaarikuvauksen F matriisi kannan ( ) ( ) 0 1 0 0 {,, 0 1 2 0 ( ) 1 0, 1 0 ( ) 0 1 } 0 2 suhteen. 33. Määrää seuraavien matriisien aste, nulliteetti, ydin ja ytimen kanta (jokin niistä, jos mahdollista): a) 2 1 1 4 2 1, 8 4 1 b) 9 3 3 6 2 3 1 3 2 2, 3 1 6 2 4 c) 1 3 2 3 1 2 1 1 1 3 2 3 2 1 1 2. 2 3 1 4 34. Määrää matriisien ja B = 5 5 0 A = 3 6 3 1 3 4 5 6 1 1 2 1 4 2 4 3 5 1 2 6 7 aste, nulliteetti, ydin, ytimen kanta ja kuva-avaruuden kanta. 35. a) Tutki onko allaolevilla yhtälöryhmillä ratkaisuja. x 1 + x 2 x 3 = 7 4x 1 x 2 + 5x 3 = 4 6x 1 + x 2 + 3x 3 = 20 x 1 2x 2 + x 3 + x 4 = 2 3x 1 + 2x 3 2x 4 = 8 4x 2 x 3 x 4 = 1 5x 1 + 3x 3 x 4 = 3 b) Olkoon A 5 7 matriisi, jonka aste on 5. Osoita, että yhtälöryhmällä Ax = b on ainakin yksi ratkaisu jokaisella 5 1 sarakevektorilla b. 36. Jokaiselle matriisille B vektoriavaruus row(b) on matriisin B rivien (eli rivivektoreiden) virittämä vektoriavaruus ja R(B) on B:n kuva-avaruus. Olkoon A säännöllinen n n matriisi ja olkoon a) Selvitä onko row((a ) 1 ) = R(A). b) Määrää matriisin A nulliteetti. A = (A 1 ) T.
37. a) Määrää 1 4 3 2 4 1 3 2 6. b) Määrää det(a), kun 0 1 2 1 A = 2 5 7 3 0 3 6 2. 2 5 4 2 38. Sievennä pisteiden (0, 0, 1), (1, 0, 1), (1, 1, 1) ja (2, 2, 2) kautta kulkevan pallopinnan yhtälö x 2 + y 2 + z 2 x y z 1 1 0 0 1 1 2 1 0 1 1 = 0 3 1 1 1 1 12 2 2 2 1 muotoon c 1 (x 2 + y 2 + z 2 ) + c 2 x + c 3 y + c 4 z + c 5 = 0 laskemalla yhtälön vasemmalla puolella olevan determinantin arvo. 39. Olkoon A = (a ij ) = 2 1 3 1 1 1. 1 4 1 Laske matriisin A alkion a 12 kofaktori. Laske adjungoitu matriisi adj A ja määrää sen avulla matriisin A käänteismatriisi. 40. Etsi matriisin A ominaisarvot ja -vektorit, kun A = 1 3 2 1 2 1 4 1 1 41. Laske matriisin ominaisarvot ja kaikki ominaisvektorit. A = 1 0 1 0 0 0 1 0 1 42. Etsi seuraavien matriisien ominaisarvot ja -vektorit a) 0 2 3 4 6 6 2 2 1 b) ( 1 ) 2 3 2 c) 1 1 0 0 1 1 0 0 0 0 1 1. 0 0 1 1 43. Olkoon A tehtävän 40 matriisi. Määrää matriisien A 2, A 1 ja A + 6I ominaisarvot ja ominaisvektorit. 44. Olkoon A edelleen tehtävän 40 matriisi. Onko A diagonalisoituva? Jos on, niin määrää matriisi D = T 1 AT ja siihen liittyvä matriisi T.
45. Olkoon Tutki, onko A diagonalisoituva. Perustelu! A = 2 0 4 0 6 0. 4 0 2 46. Matriisin A ominaisarvot ovat 2, 1 ja 2 sekä vastaavat ominaisvektorit ( 1, 0, 1), ( 1, 4, 0) ja (1,2,1). Määrää A. 47. Olkoon A n n matriisi, jolla on n erisuurta ominaisarvoa. Osoita, että matriisin A determinantti on A:n ominaisarvojen tulo. 48. Ratkaise matriisiyhtälö AX + I = A 101, missä A = ( ) 1 0. 1 2 49. Ratkaise differentiaaliyhtälöryhmä { x 1 (t) + 2x 1(t) 6x 2 (t) = 0 x 2 (t) + 3x 1(t) 7x 2 (t) = 0 alkuehdoilla x 1 (0) = 5 ja x 2 (0) = 3 käyttämällä hyväksi kerroinmatriisin diagonalisointia. 50. Ratkaise differentiaaliyhtälöryhmä x 1 (t) = 2x 1(t) + x 2 (t) x 2 (t) = x 1(t) 2x 2 (t) + x 3 (t) x 3 (t) = x 2(t) 2x 3 (t) alkuehdoilla x 1 (0) = 2, x 2 (0) = 0, x 3 (0) = 2 käyttämällä hyväksi kerroinmatriisin diagonalisointia. 51. Kahden kilpailevan populaation S 1 ja S 2 yksilöiden lukumäärät x 1 (t) ja x 2 (t) hetkellä t (t mitattu vuosina) toteuttavat differentiaaliyhtälöryhmän { x 1(t) = 3x 1 (t) x 2 (t) x 2 (t) = 2x 1(t) + 2x 2 (t) Ratkaise x 1 (t) ja x 2 (t) (käyttämällä hyväksi kerroinmatriisin diagonalisointia), kun alkuhetkellä t = 0 ensimmäisen populaation koko on 150 ja toisen 60. Millä ajan t hetkellä populaatio S 2 häviää? 52. Arvioi Gershgorinin ympyröiden avulla matriisin A = 0 1 1 1 1 + j 0 0 1 1 j ominaisarvojen sijaintia. Piirrä kuva ja määrää kuvan perusteella väli, johon A:n jokaisen ominaisarvon reaaliosa kuuluu sekä väli, johon A:n jokaisen ominaisarvon imaginaariosa kuuluu. 53. Laske matriisin A = 2 2 1 1 3 1 2 4 3 itseisarvoltaan suurimmalle ominaisarvolle likiarvo iteratiivisesti lähtien vektorista y 0 = (1, 1, 1). Likiarvo λ (3) riittää. Mikä on vastaava ominaisvektori? 54. Laske 1-, - ja Frobenius normi matriisille 2 0 3 2 A = 1 1 1 5 3 2 1 1. 1 4 1 1
55. Laske e A, kun. 56. Onko matriisi A = ( ) 4 6 2 3 A = 1 1 1 0 1 0 0 1 2 diagonalisoituva? Jos on, niin laske siirtomatriisi e At. Jos ei, niin perustele miksi ei. 57. Kahden symbioosissa elävän populaation S 1 ja S 2 yksilöiden lukumäärät x 1 (t) ja x 2 (t) toteuttavat differentiaaliyhtälöryhmän { x 1(t) = 1 2 x 1(t) + 1 4 x 2(t) x 2 (t) = x 1(t) 1 2 x 2(t). Laske populaatioiden koot hetkellä t, kun x 1 (0) = 100 ja x 2 (0) = 400. Käytä ratkaisukaavaa missä siirtomatriisi e At lasketaan kaavalla x(t) = e At x(0), e ta = T e td T 1, e td = diag (e λ1t, e λ2t ). 58. Sähköisen piirin kondensaattorin C 1 jännitteelle v 1 (t) ja kondensaattorin C 2 jännitteelle v 2 (t) on voimassa differentiaaliyhtälöryhmä: { v 1(t) = 3 2 v 1(t) + 1 2 v 2(t) v 2 (t) = v 1(t) v 2 (t) Ratkaise differentiaaliyhtälöryhmä alkuehdoilla v 1 (0) = 5 ja v 2 (0) = 4 käyttämällä hyväksi joko siirtomatriisia e ta tai kerroinmatriisin diagonalisointia. 59. Ratkaise differentiaaliyhtälöryhmä x 1(t) = 3x 1 (t) + 2x 2 (t) + 2x 3 (t) x 2 (t) = 2x 1(t) + 2x 2 (t) x 3 (t) = 2x 1(t) + 4x 3 (t) käyttämällä hyväksi siirtomatriisia. 60. Ratkaise alkuarvotehtävä y + y 2y = 0, y(0) = 1, y (0) = 0 palauttamalla se 1. kertaluvun differentiaaliyhtälöryhmäksi ja käyttämällä hyväksi joko siirtomatriisia tai kerroinmatriisin diagonalisointia. 61. Ratkaise yhtälöryhmä x 1 5x 2 + x 3 = 16 8x 1 + x 2 + x 3 = 1 x 1 + x 2 4x 3 = 7 Jacobin menetelmällä (3 iteraatiokierrosta). Määrää iteraatiomatriisi G ja tutki, onko sen jokin normi < 1. Opastus: Vaihda ensin yhtälöryhmän yhtälöiden järjestystä, jotta saat lävistäjävaltaisen kerroinmatriisin.
62. Ratkaise yhtälöryhmä 3x 1 + x 3 = 4 x 1 x 2 + 3x 3 = 1 x 1 + 2x 2 = 3 järkevästi Gauss - Seidelin menetelmällä. Valitse x (0) = 0 ja lopeta iterointi, kun x (k) x (k 1) < 0, 1. 63. Ratkaise yhtälöryhmä { 2x 1 + 4x 2 = 3 5x 1 x 2 = 7 järkevästi a) Jacobin, b) Gauss - Seidelin menetelmällä. Valitse kummassakin tapauksessa x (0) = 0 ja laske toinen iteraatio x (2). c) Määrää a)-kohdan iteraatiomatriisi G ja vakiovektori r esityksessä x (k+1) = Gx (k) + r. 64. Yhtälöryhmän 2x + y + z = 4 x + 2y + z = 4 x + y + 2z = 4. kerroinmatriisi ei ole lävistäjävaltainen. Sovella yhtälöryhmään Jacobin menetelmää laskemalla iteraatio x (3) lähtien vektorista x (0) = 0. Määrää Jacobin iteraatioiden iteraatiomatriisi G sekä tutki matriisin G avulla iteraatioiden suppenemista/hajaantumista. 65. Määrää ylideterminoidun systeemin x 1 x 3 = 5 x 1 3x 3 = 7 x 2 + x 3 = 2 x 2 + x 3 = 1 pienimmän neliösumman ratkaisu. 66. Määrää ylideterminoidun systeemin x 1 6x 2 = 1 x 1 2x 2 = 2 x 1 + x 2 = 1 x 1 + 7x 2 = 6 pienimmän neliösumman ratkaisu. Laske jäännösvektorin r normi r 1. 67. Laske Cayley-Hamiltonin lauseen avulla A 5, kun A = 1 0 1 0 1 0. 0 0 1 68. Olkoon Laske Cayley-Hamiltonin lauseen avulla A 1. 2 1 0 A = 1 2 0. 0 0 1 69. Laske e A Cayley - Hamiltonin lauseen perusteella, kun ( ) 3 2 A =. 1 4 70. Laske Cayley-Hamiltonin lauseen avulla cos (πa), kun ( ) 1 0 A =. 3 1
71. Olkoon A n n matriisi, n 2. Olkoon A:n karakteristinen polynomi p(λ) = ( 1) n λ n + b n 1 λ n 1 + + b 1 λ + b 0. Osoita, että A 1 on olemassa täsmälleen silloin kun b 0 0. 72. Olkoon A = 2 1 0 1 2 0. 0 0 2 Laske Cayley-Hamiltonin lauseen avulla A 1 ja sin( π 2 A). 73. 3 3 -matriisin A ominaisarvot ovat 2, 1 ja 2 sekä A 2 A = 6 0 0 0 0 0. 4 0 2 Laske A:n käänteismatriisi ja determinantti sekä tan( π 4 A 1 ).
MATRIISIALGEBRA 1. Välikoe 16.10.2010 VÄLIVAIHEET JA PERUSTELUT NÄKYVIIN, KIITOS! 1. Ratkaise Gaussin menetelmällä yhtälöryhmä { x1 2x 2 + 2x 3 x 4 = 3 3x 1 + x 2 + 6x 3 = 16 11x 4 2x 1 x 2 + 4x 3 + 4x 4 = 9. 2. Etsi matriisin A = 1 0 1 1 3 2 3 5 1 käänteismatriisi ja määrää sen avulla yhtälöryhmän { x1 + x 2 + 3x 3 = a x 2 + 2x 3 = b 3x 1 + 5x 2 x 3 = c ratkaisu, kun a, b, c R. 3. a) Kuvankäsittelyssä kuvia muokataan käyttämällä lineaarisia muunnoksia kuten esimerkiksi venytystä, kiertoa ja peilausta. Muodosta muunnoksen (kannalta E = {i, j, k} kannalle E) matriisi, kun kuvaa aluksi peilataan yz-tason (=jk-tason) suhteen, venytetään j-akselin suunnassa 5-kertaiseksi, ja lopuksi kierretään kulman π 2 verran i-akselin ympäri myötäpäivään (katsottuna i-akselin positiiviselta puoliakselilta origoon päin).(3p) b) Määritä lineaarikuvauksen F : R 3 R 2, F (x 1, x 2, x 3 ) = (3x 1 x 2 + 2x 3, x 1 + x 3 ) matriisi kantojen S 1 = {(1, 0, 1), (1, 1, 0), (0, 0, 1)} ja S 2 = {( 1, 0), (1, 1)} suhteen ja laske sen avulla vektorin F (u) koordinaatit kannassa S 2, kun vektori u = 2i + 4k, missä i = (1, 0, 0), j = (0, 1, 0) ja k = (0, 0, 1). (3p) 4. a) Olkoon M n n reaalisten n n matriisien muodostama vektoriavaruus ja olkoon vektorijoukko D n n kaikkien reaalisten n n diagonaalimatriisien joukko. Onko D n n vektoriavaruuden M n n aliavaruus? Perustelut. (3p) b) Olkoon W vektoreiden (1, 5, 4, 2), (1, 1, 1, 5), (2, 4, 5, 7) ja (1, 7, 5, 1) virittämä R 4 :n aliavaruus. Määrää aliavaruuden W kanta ja dimensio. (3p) Kaavoja: q 1 = a 1 a 1, q = v k k v k, k = 2, 3,..., n, v k = a k (q T a 1 k )q 1 (qt a k 1 k )q, k = 2, 3,..., n. k 1
MATRIISIALGEBRA Välikoe 2 4.12.2010 1. Määrää matriisin VÄLIVAIHEET JA PERUSTELUT NÄKYVIIN, KIITOS! aste, nulliteetti, ydin ja ytimen kanta. 2. Onko matriisi 1 3 1 2 3 1 4 3 1 4 A = 2 3 4 7 3 3 8 1 7 8 3 1 1 7 5 1 6 6 2 diagonalisoituva? Jos on, diagonalisoi se. Jos ei, niin perustele miksi ei. 3. Kappaleeseen vaikuttaa sellainen voimakenttä, että kappaleen x ja y koordinaatit ( z koordinaatti jätetään huomiotta) toteuttavat ajan t suhteen differentiaaliyhtälöryhmän: { x (t) = 4x(t) 5y(t) y (t) = 2x(t) + y(t) Ratkaise differentiaaliyhtälöryhmä, kun alkuhetken koordinaatit olivat x(0) = 2 ja y(0) = 1. Käytä hyväksi joko siirtomatriisia tai kerroinmatriisin diagonalisointia. 4. Ratkaise yhtälöryhmä { 3x1 + x 3 = 4 x 1 x 2 + 3x 3 = 1 x 1 + 2x 2 = 3 järkevästi Gauss - Seidelin menetelmällä. Valitse x (0) = 0 ja lopeta iterointi, kun x (k) x (k 1) < 0, 1. 5. a) Olkoon Kaavat 1 2 4 A = 1 0 0. 0 2 3 Määrää matriisi cos(πa) Cayley-Hamiltonin lauseen avulla.(4p) b) Olkoon A n n matriisi, n 2, jonka nulliteetti dimn(a) > 0. Osoita, että 0 on A:n ominaisarvo. (2p) D = T 1 AT y k y k+1 y = λ (k) 1 k y k m A 1 = max 1 j n a ij i=1 n A = max 1 i m a ij j=1 A 2 = λ, A Fr = a ij 2 i j κ(a) = A A 1 x(t) = e ta x 0 f(a) = d 0 I + d 1 A + d 2 A 2 + + d n 1 A n 1 q 1 = a 1 a 1, q = v k, k = 2, 3,..., n, k v k v k = a k (q T a 1 k )q 1 (qt a k 1 k )q, k = 2, 3,..., n. k 1
MATRIISIALGEBRA 1. Välikoe 15.10.2011 VÄLIVAIHEET JA PERUSTELUT NÄKYVIIN, KIITOS! 1. Ratkaise Gaussin menetelmällä yhtälöryhmä 2. Etsi matriisin { z 2w = 1 x + 2y 2z + 3w = 2 5x + 10y 8z + 11w = 12. A = 1 4 5 4 18 26 3 16 30 LU-hajotelma ja määrää sen avulla yhtälöryhmän { x1 + 4x 2 + 5x 3 = 6 4x 1 + 18x 2 + 26x 3 = 0 3x 1 + 16x 2 + 30x 3 = 6 ratkaisu. 3. Vektorijoukot S 1 = {(0, 1, 0), (1, 1, 0), (1, 2, 3)} ja S 2 = {(1, 1, 0), (1, 1, 1), (1, 2, 1)} ovat R 3 :n kantoja. Vektorin v koordinaatit kannassa S 1 ovat 3, 2 ja 1. Määritä tarvittava kannanvaihtomatriisi ja laske sen avulla v:n koordinaatit kannassa S 2. 4. a) Määrää lineaarikuvauksen F : R 3 R 2, F (x 1, x 2, x 3 ) = (x 1 + x 2, x 2 + x 3 ) matriisi A kantojen S 1 = {(1, 1, 1), (0, 1, 1), (0, 0, 1)} ja S 2 = {(1, 1), (1, 1)} suhteen. Määrää A:n avulla vektorin F (u) koordinaatit kannassa S 2, kun u:n koordinaatit kannassa S 1 ovat 4, 1 ja 5.(3p) b) Olkoon M( 2 2 reaalisten ) 2 2 matriisien muodostama vektoriavaruus ja olkoon W kaikkien 0 a muotoa, a, b R olevien matriisien joukko. Osoita, että W on vektoriavaruuden a b M 2 2 aliavaruus ja määrää W :n kanta. (3p) Kaavoja: q 1 = a 1 a 1, q = v k k v k, k = 2, 3,..., n, v k = a k (q T a 1 k )q 1 (qt a k 1 k )q, k = 2, 3,..., n. k 1
MATRIISIALGEBRA Välikoe 2 3.12.2011 1. Määrää matriisin VÄLIVAIHEET JA PERUSTELUT NÄKYVIIN, KIITOS! aste, nulliteetti, ydin ja ytimen kanta. 2. Onko matriisi A = 2 1 1 4 2 1 8 4 1 A = 1 1 1 0 1 0 0 1 2 diagonalisoituva? Jos on, niin laske siirtomatriisi e At. Jos ei, niin perustele miksi ei. 3. Laske matriisin A = 2 2 1 1 3 1 2 4 3 itseisarvoltaan suurimmalle ominaisarvolle likiarvo iteratiivisesti lähtien vektorista y 0 = (1, 1, 1). Likiarvo λ (3) riittää. 4. Ratkaise yhtälöryhmä { 2x1 + 4x 2 = 3 5x 1 x 2 = 7 järkevästi a) Jacobin, b) Gauss - Seidelin menetelmällä. Valitse kummassakin tapauksessa x (0) = 0 ja laske toinen iteraatio x (2). c) Määrää a)-kohdan iteraatiomatriisi G ja vakiovektori r esityksessä x (k+1) = Gx (k) + r. 5. a) Olkoon Kaavat A = 2 1 0 1 2 0. 0 0 2 Laske Cayley-Hamiltonin lauseen avulla A 1 ja sin( π 2 A).(4p) b) Olkoon A n n matriisi, n 2. Olkoon A:n karakteristinen polynomi p(λ) = ( 1) n λ n + b n 1 λ n 1 + + b 1 λ + b 0. Osoita, että A 1 on olemassa täsmälleen silloin kun b 0 0. (2p) D = T 1 AT y k y k+1 y = λ (k) 1 k y k m A 1 = max 1 j n a ij i=1 n A = max 1 i m a ij j=1 A 2 = λ, A Fr = a ij 2 i j κ(a) = A A 1 x(t) = e ta x 0 f(a) = d 0 I + d 1 A + d 2 A 2 + + d n 1 A n 1 q 1 = a 1 a 1, q = v k, k = 2, 3,..., n, k v k v k = a k (q T a 1 k )q 1 (qt a k 1 k )q, k = 2, 3,..., n. k 1