Kuva 1.4: Energiavuo ohuen massakuoren läpi, KW s. 22. 1.4 Energian säilymislaki Määritellään seuraavaksi nettoenergia l(r), joka kulkee r-säteisen pallopinnan läpi per aikayksikkö (ks. Kuva 1.4). Luminositeetti voidaan kirjoittaa pinnan läpi kulkevan kokonaisenergiavuon F avulla l =4πr 2 F.Tähdenkeskustassal =0, kun taas pinnalla l on tähden kokonaisluminositeetti L, ja välimaastossa l on monimutkainen funktio riippuen energialähteiden ja energianielujen jakaumasta. Funktion l tulee ottaa huomioon erilaiset energiankuljetusmekanismit, periaatteessa myös neutriinojen vuo. Tarkastellaan jälleen dr:n paksuista pallokuorta, jonka massa on dm (Kuva 1.4). Olkoon alapuolelta tuleva energiavuo l, ja pinnalta lähtevä energiavuo l + dl. Energiavuon muutoksen voi aiheuttaa esim. ydinreaktioissa vapautuva energia, jäähtyminen, tai massaelementin laajentuminen tai kutistuminen. Tarkastellaan aluksi stationaarista tilannetta, jossa dl:n vaikuttaa vain ydinreaktioissa vapautuva energia, olkoon se ε n,jonka yksikkö on siis energia per massayksikkö per aika. Tällöin luminositeetin muutos on dl =4πr 2 ρε n dr = ε n dm, (1.59) josta saadaan l m = ε n. (1.60) 20
Käytännössä ε n riippuu lämpötilasta, tiheydestä ja alkuainepitoisuuksista, mutta tähän palataan myöhemmin. Tarkastellaan seuraavaksi ajasta riippuvia ratkaisuja, jolloin dl voi olla erisuuri kuin nolla ilman ydinreaktioitakin. Pallokuoren sisäenergia voi muuttua, ja se voi tehdä tai sille voidaan tehdä mekaanista työtä (PdV). Esimerkkinä ei-stationaarisesta prosessista voidaan mainita gravitaatiokutistuminen, jota sivuttiin edellisessä luvussa. Stationaarisen yhtälön (1.60) sijaan kirjoitamme nyt termodynamiikan ensimmäisen pääsäännön mukaan (9.5) ( dq = ε n l ) dt = de + PdV = c P dt δ dp, (1.61) m ρ missä dq) on pallokuoreen lisätty lämpöenergia per massayksikkö aikavälillä dt ja δ = ). Termodynamiikan 1. pääsäännön johtaminen tähän muotoon on ( ln ρ ln T P = T V ( V P esitetty yksityiskohtia myöten KW, s. 19-21. Ratkaisemalla jälleen l m termin vasemmalle puolelle, ja niputtamalla aikaderivaattoja sisältävät termit ns. lähdefunktioon ε g = c P t + δ P ρ t, (1.62) saadaan luminositeetille yhtälö l m = ε n + ε g. (1.63) Ydinreaktioissa syntyy myös huomattava määrä neutriinoja. Neutriinot vuorovaikuttavat varsin heikosti materian kanssa, jolloin niiden sisältämän energian voidaan ajatella tunneloituvan tähden pinnalle vuorovaikuttamatta mitenkään massaelementtien kanssa. Neutriinoilla on kuitenkin vaikutus syntypaikassaan, missä ne toimivat energianieluina. Ottaen neutriinovuon huomioon, saadaan energiayhtälö, eli tähtien rakenteen kolmas perusyhtälö Lagrangen koordinaatistossa l m = ε n ε ν + ε g. (1.64) Kotitehtävä 5: Kirjoita energiayhtälö Eulerin koordinaatistossa. Määritellään tässä yhteydessä myös adiabaattinen lämpötilagradientti ( ) ln T ad, (1.65) ln P s missä alaindeksi s viittaa siihen, että adiabaattisessa prosessissa entropia on vakio. Tälle saadaan johdettua relaatio termodynamiikan 1. pääsäännöstä, kun otetaan huomioon, että lisäksi adiabaattisessa prosessissa systeemin tuotu lämpöenergia dq =0, mistä seuraa c P dt δ dp =0, (1.66) ρ 21
ja edelleen ad = ( ) ( ) d ln T P dt = = Pδ. (1.67) d ln P s T dp s Tρc P Kotitehtävä 6: Käytä ideaalikaasun tilanyhtälöä (1.26) osoittaaksesi että ad =(γ 1)/γ. Kirjoitetaan vielä lauseke kokonaisenergian säilymiselle ottaen huomioon tässä kappaleessa mukaan otetut uudet efektit (aikaisemmin vain gravitaatio ja sisäenergia): d dt (E kin + E g + E i + E n )+L + L ν =0, (1.68) missä E kin on minkä tahansa radiaalisen liikkeen kineettinen energia, E n on koko systeemin sisältämän ydinenergian määrä, L on säteilyn kokonaisluminositeetti, ja L ν M 0 ε ν dm kokonaisneutriinoluminositeetti. Tämä yhtälö saadaan lokaalista luminositeettiyhtälöstä (1.64) integroimalla (ks. KW s. 23). Määritellään seuraavaksi ydinaikaskaala τ n, joka kuvaa sitä, kuinka kauan tähden ydinpolttoaine riittää ylläpitämään luminositeettia L τ n E n L. (1.69) Yleensä kaikille tähdille, joiden pääasiallinen energiantuotanto tapahtuu vedyn ja heliumin reaktioilla, τ n τ KH τ hydr. (1.70) Tässä tapauksessa tähtimallien sanotaan olevan täydellisessä tasapainotilassa, sisältäen mekaanisen ja termisen tasapainon. Tällöin liikemäärän säilymislaista voidaan tiputtaa pois kiihtyvyystermi, ja käyttää hydrostaattisen tasapainon yhtälöä (mekaaninen tasapaino), sekä luminositeettiyhtälön aikaderivaatat voidaan jättää huomioimatta (terminen tasapaino). Kotitehtävä 7: Vedyn fuusioituessa heliumiksi, vapautuvan energian määrä on noin Q =6.3 10 14 Jkg 1. Oleta, että Aurinko koostuu kokonaan vedystä, ja laske ydinaikaskaala Auringolle. Vertaa tätä aikaisemmin laskettuihin relevantteihin aikaskaaloihin τ KH ja τ hydr. 22
1.5 Energian kuljetus Jotta ydinreaktioissa vapautuva energia pääsee tähden pinnalle, mistä se säteilee ympäröivään avaruuteen, tarvitaan tehokas energiankuljetusmekanismi kuuman sisäosan ja pinnan välille. Tämän mahdollistaa nollasta poikkeava lämpötilagradientti tähden sisällä. Riippuen fysikaalisista olosuhteista tietyllä syvyydellä, joista tärkeimmät ovat partikkeleiden vapaa matka ja lämpötilagradientti (partikkeli voi olla fotoni, elektroni, atomi, kaasukupla), energiankuljetus voi tapahtua joko säteilemällä, johtumalla tai massavirtausten mukana siirtymällä eli konvektiolla. Energiankuljetusyhtälö, kirjoitettuna lämpötilagradientin muodossa, on neljäs tähtien rakenteen perusyhtälö. 1.5.1 Säteily Arvioidaan fotonien vapaata matkaa jossain tyypillisessä pisteessä tähden sisällä l ph = 1 κρ, (1.71) missä κ on kaikkien säteilytaajuuksien yli keskiarvotettu massa-absorptiokerroin (yksikkö [m 2 kg 1 ]). Tyypillisesti κ 0.1m 2 kg 1, joten käyttäen Auringon keskimääräistä tiheyttä, ρ =1.4 10 3 kg m 3, saadaan fotonien vapaaksi matkaksi noin l ph 1 cm, eli materian opasiteetti on hyvin suuri, eli se läpäisee säteilyä erittäin huonosti. Verrattuna tähden säteeseen, fotonien vapaa matka on mitättömän pieni, l ph /R 10 11.Tässä tapauksessa säteilynkuljetusta voidaan kuvata diffuusioprosessina, minkä ansiosta vältytään monimutkaisen säteilynkuljetusyhtälön cos θ di ν dτ ν = j ν κ ν I ν, (1.72) missä θ on säteilyn tulokulma, I ν on säteilyn intensiteetti, j ν on emissiokerroin, ja τ ν on optinen paksuus, ratkaisemiselta. Tämän yhtälön johto ja tarkempi analyysi löytyy mm. HSH, s. 12. Diffuusioapproksimaatio pätee vain siinä tapauksessa, että fotonien vapaa matka on pieni verrattuna siihen matkaan, joka niiden olisi vielä kuljettava päästäkseen tähden pinnalle. Tämän vuoksi tähden pintaa lähestyttäessä, jolloin sekä tiheys että kuljettava matka pienenevät, diffuusioapproksimaatio ei enää päde. Tähtien pintaosien energiankuljetusta tarkasteltaessa on siis säteilyn osuus ratkaistava säteilynkuljetusyhtälöstä. Kotitehtävä 8: Arvioi, kuinka kauan fotonilta, joka ensimmäisen kerran emittoituu konvektiokerroksen pohjalla (säteellä 0.7 R ), kestää kulkea Auringon pinnalle. Oletetaan, että massa-absorptiokerroin κ 0.1m 2 kg 1 on vakio koko konvektiokerroksessa, ja että absorptioiden ja uudelleenemissioiden kokonaismäärä voidaan esittää kaavalla N = r 2. ( ) l ph Määritellään nyt partikkeleiden diffusiivinen vuo (per pintaelementti per aika) partikkelitiheydeltään n eroavien paikkojen välillä j = D n, (1.73) 23
missä D on diffuusiokerroin D = 1 3 vl p, (1.74) missä v on partikkeleiden keskimääräinen nopeus ja l p niiden keskimääräinen vapaa matka. Säteilylle, joka siis koostuu fotoneista, v tulee korvata valon nopeudella c, vapaa matka l p fotonien vapaalla matkalla l ph, ja partikkelitiheys n säteilyn energiatiheydellä U = at 4, (1.75) missä a =7.57 10 16 Jm 3 K 4 on ns. säteilytiheysvakio. Pallosymmetriasta seuraa, että diffusiivisellä vuolla on vain säteen suuntainen komponentti, joten säteilyn energiatiheyden gradientiksi saadaan U r =4aT 3 r. (1.76) Vertaamalla tätä yhtälöihin (1.73) ja (1.74), nähdään välittömästi, että säteilyvuo voidaan määritellä diffuusioapproksimaation avulla seuraavasti: F = c U 3κρ r = 4ac 3 T 3 κρ r. (1.77) Ratkaistaan nyt tästä lämpötilagradientti, ja korvataan säteilyvuo lokaalilla luminositeetilla l =4πr 2 F, (1.78) jolloin saadaan lämpötilagradientin yhtälö energian siirtyessä säteilemällä Eulerin koordinaatistossa, eli neljäs tähtien rakenteen perusyhtälö r = 3 16πac κρl r 2 T 3. (1.79) Lagrangen koordinaatistossa vastaava yhtälö saadaan samoilla periaatteilla kuin aiemmin m = 3 64π 2 ac κl r 4 T 3. (1.80) Näistä yhtälöistä nähdään heti, että suuri opasiteetti, eli suuri κ, mahdollistaa suuren radiatiivisen lämpötilagradientin, joka toisaalta mahdollistaa suuren luminositeetin. Olettakaamme nyt, että hydrostaattinen tasapaino pätee, jolloin voimme sijoittaa yhtälön (1.19) edelliseen yhtälöön. Tällöin saamme / m P/ m = 3 16πacG mistä seuraa P = T P ( ) lnt = lnp κl mt 3, (1.81) 3 κl 16πacG mt 3. (1.82) 24
Määritellään nyt radiatiivinen lämpötilagradientti ( ) lnt 3 κlp rad = lnp 16πacG mt 4. (1.83) rad Tämä gradientti kuvaa lämpötilan muutosta tähdessä syvyyden funktiona, joka on hydrostaattisessa tasapainossa, ja jonka sisällä energian kuljetus tapahtuu säteilemälla. Syvyyden muutosta kuvaa nyt paine, joka kasvaa monotonisesti syvemmälle mentäessä. Verrattuna adiabaattiseen lämpötilagradienttiin (1.67), on huomattava tärkeä ero näiden määritelmien välillä: rad on osittaisderivaatta, joka antaa riippuvuuden kahden vierekkäisen massalementin lämpötilan ja paineen välille. ad puolestaan kuvaa yhden ja saman massaelementin termodynaamisten suureiden muutosta adiabaattisessa kokoonpuristumisessa. Näillä kahdella gradientilla on yleisesti ottaen eri numeerinen arvo, paitsi siinä erikoistapauksessa, että lämpötilastratifikaatio on adiabaattinen. Radiatiivisen lämpötilagradientin määritelmää tullaan myöhemmin käyttämään myös yhteyksissä, joissa hydrostaattinen tasapaino ei päde. Tällöin voidaan ajatella, että rad kuvaa gradienttia, johon radiatiivinen, hydrostaattinen kerros pyrkisi joillain tietyillä (P, T, l, m) arvoilla. Lämpötilagradientin yhtälö (1.80) voidaan nyt kirjoittaa käyttämällä rad :n määritelmää m = GmT 4πr 4 P rad. (1.84) Yleisessä tapauksessa, jolloin energia voi siirtyä muutenkin kuin säteilemällä, rad on korvattava yleisellä suureella = dlnt dlnp. Kuten seuraavissa kappaleissa tullaan yksityiskohtaisesti johtamaan, lämmönkuljetus johtumalla voidaan rinnastaa säteilynkuljetukseen diffuusioapproksimaation avulla esitettynä, mutta konvektiivisen energiankuljetuksen kyseessä ollessa on korvattava joko adiabaattisella gradientilla ad (tähtien konvektiokerrosten sisäosat) tai sekoituspituusteoriasta saatavalla ratkaisulla (superadiabaattiset ulko-osat). Kotitehtävä 9: Kirjoita lämpötilagradientin yhtälö Eulerin koordinaatistossa. Rosselandin keskimääräinen absorptiokerroin Yllä johdetut yhtälöt ovat riippumattomia säteilyn taajuudesta ν; säteilyvuo ja luminositeetti ovat näissä yhtälöissä suureita, jotka on integroitu kaikkien taajuuksien yli, ja κ on keskimääräinen, kaikkien taajuuksien yli laskettu absorptiokertoimen keskiarvo. Seuraavaksi kuvataan menetelmä, jolla keskiarvo voidaan määrittää järkevällä tavalla. Tarkastellaan ensin tyypillisen lämpötilagradientin arvoa tähdessä, laskemalla keskiarvo keskustan (T c 10 7 K) ja pinnan (T s = 10 4 K) välillä: T r T c T s R 1.4 10 4 Kcm 1. (1.85) Jos r on l ph, eli suuruusluokkaa senttimetri, lämpötilaero on suuruusluokkaa T 10 4 K fotonin vapaan matkan yli, joten säteilyn näkökulmasta kerros on hyvin lähellä isotermistä. 25
Näistä arvioista voidaan nähda, että tähtien sisäosat ovat hyvin lähellä termistä tasapainoa, eli lokaali termodynaaminen tasapaino (LTE) on hyvä approksimaatio. Tällöin säteily noudattaa mustan kappaleen säteilylakia, missä tilanteessa säteilyn intensiteetti taajuudella ν ja lämpötilassa T saadaan Planckin funktiosta B ν (T )= 2hν3 c 2 1 e hν kt 1, (1.86) missä h on Planckin vakio, k on Boltzmannin vakio, ja c on valon nopeus. Tarkastellaan nyt tilannetta lyhyellä taajuusvälillä [ν, ν + dν], ja kirjoitetaan diffusiivinen energiavuo missä F ν = D ν U ν, (1.87) D ν = 1 3 cl ν = c 3κ ν ρ, (1.88) ja energiatiheys LTE:ssä Planckin funktiosta U ν = 4π c ν 3 B(ν, T )=8πh c 3 kt 1. (1.89) e hν Tämän gradientti lämpötilan suhteen on U ν = 4π c B T, (1.90) jolloin voimme ratkaista kokonaisvuon integroimalla kaikkien taajuuksien yli [ 4π ] 1 B F = 3ρ κ ν dν T. (1.91) 0 Verrataan tätä nyt yhtälöön (1.77), jolloin voidaan suoraan huomata, että keskimääräiselle absorptiokertoimelle κ saadaan yhtälö 1 κ = π act 3 0 1 B dν. (1.92) κ ν Tätä keskiarvoa kutsutaan Rosselandin keskimääräiseksi absorptiokertoimeksi. 1.5.2 Johtuminen Lämmön siirtyessä johtumalla, energiansiirto tapahtuu partikkelien (elektronit ja ytimet kokonaan ionisoituneessa aineessa, tai atomit ja molekyylit neutraalissa aineessa) törmäysten välityksellä. Törmäyksiä tapahtuu partikkelien satunnaisen lämpöliikkeen takia. Ei-degeneroituneessa kaasussa johtuminen ei pysty osallistumaan merkittävästi energiankuljetukseen, koska partikkeleiden vapaa matka on useita kertaluokkia pienempi kuin fotonien vastaava, ja lisäksi partikkeleiden lämpöliikkeestä johtuva nopeus on vain muutama prosentti valonnopeudesta. Tämän vuoksi diffuusioapproksimaatiota voidaan käyttää myös johtumista kuvaamaan, vaikkakin diffuusiokerroin yhtälössä (1.74) on paljon pienempi kuin säteilylle. 26
Lämmön johtumista voidaan siis kuvata diffusiivisena prosessina, jolloin sen aiheuttama energiavuo voidaan kirjoittaa, analogisesti säteilyä kuvaavan energiavuon (1.77), muodossa F cd = k cd T, (1.93) missä k cd on johtumista kuvaava kerroin. Näiden kahden diffusiivisen energiavuon summa voidaan nyt kirjoittaa F = F rad + F cd = (k rad + k cd ) T, (1.94) missä k rad = 4ac 3 k cd = 4ac 3 T 3 κρ, kuten yllä johdettiin. Analogisesti tähän voidaan määritellä T 3 κ cd ρ, (1.95) missä κ cd on ns. konduktiivinen opasiteetti. Tällöin saadaan energiavuoksi F = 4ac T 3 ( 1 + 1 ) T (1.96) 3 ρ κ rad κ cd joka on samanmuotoinen yhtälö kuin aiemmin, mutta nyt 1 κ = 1 κ rad + 1 κ cd. Eli, se mekanismi, jolle tähden sisällä oleva materiaali on läpinäkyvintä, dominoi energiavuota, kokonaisopasiteetin ollessa κ. Säteilyn yhteydessä johdettujen yhtälöiden yleiset muodot pysyvät siis samoina, mutta on muistettava, että mukaan otetaan tästä lähtien sekä energiankuljetus säteilemällä että johtumalla. Yllä kuvattu tilanne kuitenkin muuttuu tähtien kehityksen myöhäisissä vaiheissa, jolloin tähtien ytimissä elektronikaasu saavuttaa korkean degeneraatioasteen. Tiheydet ovat suuruusluokkaa 10 9 kg m 3 (vrt. Auringon keskitiheys 10 3 kg m 3 ). Degeneroituneen kaasun ominaisuuksia käsitellään tarkemmin myöhemmin, mutta tässä yhteydessä riittää todeta, että degeneroituneessa kaasussa elektronit liikkuvat paljon nopeammin. Lisäksi niiden vapaa matka kasvaa huomattavasti, koska kvanttiominaisuuksien vuoksi törmäystodennäköisyys pienenee. Tällöin lämmön johtumista kuvaava diffuusiokerroin kasvaa, saavuttaen jopa samaa suuruusluokkaa olevia arvoja kuin säteilemällä tapahtuvan energiansiirron vastaava. Tämä ei kuitenkaan muuta edellä esitettyjä yhtälöitä, kokonaisopasiteetti vain määräytyy lämmön johtumisesta säteilyn sijaan. 1.5.3 Konvektio Konvektiivinen energiankuljetus tarkoittaa sitä, että makroskooppiset massaelementit, konvektiosolut, kuljettavat energiaa dynaamisesti epästabiilissa konvektiokerroksessa. Ympäristöään kuumemmat solut liikkuvat kerrostuneessa väliaineessa kohti pienempää tiheyttä eli tähden pintaa, ja viileämmät kohti kasvavaa tiheyttä eli kohti keskustaa, kunnes sulautuvat uuteen ympäristöönsä vaihtaen energiaa sen kanssa. Tähtien rakenteen laskemisen kannalta konvektio on hyvin problemaattinen ilmiö, sillä siitä aiheutuva virtaus on tähdissä hyvin turbulenttista eikä yleispätevää turbulenssin teoriaa ole vielä olemassa. Tähtien rakenteen malleissa tarvitaan mahdollisimman yksinkertainen kuvaus turbulenttiselle konvektiiviselle energiankuljetukselle, joka toistaa vain kaikista olennaisimmat efektit. Tässä kappaleessa käsitellään ensiksi stabiilisuusehtoa, eli sitä ehtoa, joka 27