Todennäköisyyden ominaisuuksia 0 P(A) 1 (1) P(S) = 1 (2) A B = P(A B) = P(A) + P(B) (3) P(A) = 1 P(A) (4) P(A B) = P(A) + P(B) P(A B) (5)
Tapahtuman todennäköisyys S = {e 1,..., e N }. N A = A. Kun alkeistapaukset e i yhtä todennäköisiä: P(A) = N A /N (6) Kun alkeistapaukset eivät yhtä todennäköisiä, Geometrinen (tasainen) todennäköisyys: Yleinen tapaus P(A) = e i A P(e i ) (7) P(A) = m(a)/m(s) (8) P(A) = A f (t)dt, (9) missä f (t) on taustalla olevan satunnaismuuttujan jakaumaa kuvaava tiheysfunktio.
Ehdollinen todennäköisyys P(A i B) = P(A i )P(B A i )/P(B) (14) Ehdollisen todennäköisyyden määritelmä: Komplementti: P(A B) = P(A B) P(B) (10) P(A B) = 1 P(A B) (11) Riippumattomuus: A ja B riippumattomia P(A B) = P(A)P(B). Edellisen yleistys: Tapahtumat A i riippumatttomat jos P( i A i ) = P(A i ) (12) i Kokonaistodennäköisyys ja Bayesin kaava: Olkoon A i A j =, S = i A i P(B) = i P(A i )P(B A i ) (13)
Kombinatoriikkaa n alkiota voidaan järjestää (valita) n (n 1) (n 2) 2 1 = n! eri tavalla (eri järjestyksessä). k alkiota voidaan valita n:n alkion joukosta n (n 1) (n 2) (n k + 1) = n! (n k)! eri tavalla kun valintajärjestyksellä on väliä. ( ) n k alkiota voidaan valita n:n alkion joukosta k eri tavalla kun järjestyksellä ei ole väliä. Erityisesti viimeksimainittua ominaisuutta käytetään kun lasketaan mm. lottoarvonnan todennäköisyyksiä. = n! k!(n k)!
Jakaumat Kertymäfunktio: F (x) = P(X x) (15) Diskreetti satunnaismuuttuja F (x) = x i x P(X = x i ) = x i x p(x i ) (16) Jatkuva satunnaismuuttuja F (x) = x f (t)dt (17)
Odotusarvo ja varianssi Diskreetti satunnaismuuttuja µ = E(X ) = i x i P(X = x i ) = i x i p(x i ) (18) σ 2 = D 2 (X ) = E((X µ) 2 ) = i (x i µ) 2 p(x i ) (19) Jatkuva satunnaismuuttuja µ = E(X ) = tf (t)dt (20) σ 2 = D 2 (X ) = E((X µ) 2 ) = (t µ) 2 f (t)dt (21)
Odotusarvon ja varianssin ominaisuuksia E(X ± Y ) = E(X ) ± E(Y ) (22) Oletetaan että X ja Y riippumattomia: E(aX ) = ae(x ) (23) D 2 (X ± Y ) = D 2 (X ) + D 2 (Y ) (24) D 2 (ax ) = a 2 D 2 (X ) (25)
Odotusarvon ja varianssin ominaisuuksia n n E( a i X i ) = a i E(X i ) (26) Oletetaan että X 1,..., X n riippumattomia: n D 2 ( a i X i ) = n ai 2 D 2 (X i ) (27) Diskreetti sat.muut X: E(g(X )) = i g(x i )P(X = x i ) = i g(x i )p(x i ) (28) Jatkuva sat.muut X: E(g(X )) = g(t)f (t)dt (29)
Diskreettejä jakaumia Binomijakauma (X Bin(n, p)) Pistetodennäköisyys ( n P(X = k) = k ) p k (1 p) n k (30) Odotusarvo ja varianssi E(X ) = np, D 2 (X ) = np(1 p) (31) Poisson-jakauma (X Poisson(λ) tai X Po(λ)) Pistetodennäköisyys P(X = k) = λk k! e λ (32) Odotusarvo ja varianssi E(X ) = λ, D 2 (X ) = λ (33)
Jatkuvia jakaumia Eksponentiaalijakauma (X Exp(λ)) Tiheys- ja kertymäfunktio f (x) = λe λx, F (x) = 1 e λx, (x > 0) (34) Odotusarvo ja varianssi E(X ) = 1/λ, D 2 (X ) = 1/λ 2 (35) Tasajakauma (X Tas(a, b) tai X U(a, b)) Tiheys- ja kertymäfunktio f (x) = 1/(b a), F (x) = (x a)/(b a), (a x b) (36) Odotusarvo ja varianssi E(X ) = (a + b)/2, D 2 (X ) = (b a) 2 /12 (37)
Normaalijakauma (X N(µ, σ 2 )) Tiheysfunktio Odotusarvo ja varianssi f (x) = 1 2πσ e (x µ)2 2σ 2 (38) E(X ) = µ, D 2 (X ) = σ 2, X E(X ) D 2 (X ) N(0, 1) (39) Todennäköisyydet (kertymäfunktion arvot) haettava taulukosta/numeerisesti laskien. Symmetrinen odotusarvonsa suhteen Kun lasketaa toisistaan riippumattomia normaalijakautuneita sat. muuttujia yhteen, on lopputulos normaalijakautunut satunnaismuuttuja. Varianssi ja odotusarvo toki yleensä muuttuu.
Keskeinen raja-arvo lause (KRL) KRL kertoo oleellisesti että satunnaismuuttujia yhteenlaskettaessa lopputuloksena on lähes normaalijakautunut satunnaismuuttuja, jos yhteenlaskettavia on paljon. Yhteenlaskettaville satunnaismuuttujille täytyy asettaa kuitenkin ehtoja, mutta ehdot ovat melko heikkoja. Kaikki alla esitetyt ehdot eivät ole edes aina välttämättömiä. Lause Olkoon X 1, X 2,, X n riippumattomia satunnasmuuttujia ja µ i = E(X i ) <, σ 2 i = D 2 (X i ) <. Olkoon lisäksi rn 3 = E( X i µ i 3 r ) < ja lim n n n σ2 i = 0. kaikille n. Tällöin satunnaismuuttujan Z n = n X i jakauma lähestyy normaalijakaumaa kun n.
Luottamusvälit Jakauman p-piste: F (x p ) = p Parametrin θ 2-puoleiset luottamusvälit lausekkeesta x α/2 T θ (X 1,..., X n ) x 1 α/2 (40) Huom! Sat. muut. T θ (X 1,..., X n ) jakauma täytyy tuntea jotta saadaan pisteet x α/2 ja x 1 α/2. Yksipuoleiset luottamusvälit lausekkeista: x α T θ (X 1,..., X n ), x 1 α T θ (X 1,..., X n ) (41) Esim: Oletetaan että σ 2 = D 2 (X i ) tunnetaan ja E(X i ) = µ ja X i riippumattomia toisistaan. T µ (X 1,..., X n ) = X E(X ) D 2 (X ) = X µ σ/ n a N(0, 1) (42)
Hypoteesin testaus 1 Oletetaan että H 0 on voimassa 2 Otoksen X 1,..., X n realisaatiosta x 1,..., x n lasketaan testisuureen realisaatio t = T θ (x 1,..., x n ). 3 H 0 hylätään jos t sijoittuu (hylkäys)alueelle jolle sat. muuttujan T θ (X 1,..., X n ) on liian epätodennäköistä kuulua. Hylkäysrajat ja testisuureeet siten että mitä kauempana otoksen realisaatiosta laskettu tulokset ja H 0 :n väittämä ovat toisistaan, sitä epätodennäköisempää on saada tämän suuntaisia testisuureen arvoja. Hylkäysrajat käytännössä samat kuin luottamusvälien yhteydessä käytetyt p-pisteet x α/2,...... Huom. Testisuureen lausekkeessa ei tarvitse esiintyä parametria θ, se voi olla myös testisuureen jakauman parametrina, tai sitten parametria ei esiinny ollenkaan (ei parametriset testit)
Testisuureita Odotusarvo µ. Ehdot: 1. Varianssi σ 2 tunnetaan. 2. X i N(µ, σ 2 ) tai n suuri X µ σ/ n a N(0, 1) (43) Odotusarvo µ. Ehdot: 1. X i N(µ, σ 2 ) tai n suuri X µ S/ n a t(n 1) (44) Suhteellinen osuus p. Ehdot: n suuri (np(1 p) > 9) P p p(1 p)/n a N(0, 1) (45) P p P(1 P)/n a t(n 1) a N(0, 1) (46)
Jakaumien yhteensopivuuden testaus ( noudattaako data oletettua jakaumaa) H 0 : Sat. muuttuja noudattaa jakaumaa F H 1 : Sat. muuttuja ei noudatta jakaumaa F Ehdot: Korkeintaan 20% odotetuistafrekvensseistä e i alle 5 Kaikki odotetutfrekvenssit yli 2, n > 50. Havainnot riippumattomia Testisuure: χ 2 = k (f i e i ) 2 e i a χ 2 (k 1 l) (47) Odotetut frekvenssit kaavasta e i = nπ i, missä π i on luokan odotettu todennäköisyys l on datasta estimoitavien oletetun jakauman parametrien lkm.
Muuttujien riippumattomuus (ristiintaulukoimalla) H 0 : Muuttujat riippumattomia toisistaan. H 1 : Muuttujat eivät riippumattomia toisistaan. Ehdot: Korkeintaan 20% odotetuistafrekvensseistä e ij alle 5. Kaikki odotetutfrekvenssit yli 2. n > 50. Havainnot riippumattomia. Testisuure χ 2 = k m (f ij e ij ) 2 j=1 e i j a χ 2 ((k 1)(m 1)) (48) Odotetut frekvenssit rivi ja sarakesummien avulla: e ij = r i c j /n.
Lineaarinen regressio Malli : Y = β 0 + β 1 X + ε Kertoimille β 0 ja β 1 voidaan laskea estimaatit b 0 ja b 1 pienimman neliosumman (LSQ) menetelmällä. Kertoimille β 0 ja β 1 voidaan laskea luottamusvälejä ja suorittaa hypoteesitestejä. Mallia voidaan käytttää mm. ennustamiseen ja ennusteille voidaan laskea luottamusvälejä. Tilastollisessa testauksessa tehdään yleensä oletus mallin täydellisyydestä : E(Y X = a) = β 0 + β 1 a Jäännöstermi ε ja X :n riippumattomia. Pienellä datalla käytännössä oletettava ε N(0, σ 2 ). Suurella määrällä dataa normaalijakautuneisuudesta voidaan tinkiä (KRL). Kun edelliset oletukset voimassa, mallin selitysaste R 2 verrannollinen jäännöstermin hajontaan σ. Siis täydelliselläkin mallilla voi olla huono selitysaste.
Lineaarinen regression laskukaavoja Momenttisummat ( n n ) SS XY = X i Y i Y i /n (49) X i) ( n SS XX = SS YY = Kertoimien estimaattorit n n X 2 i Y 2 i ( n ) 2 X i /n (50) ( n ) 2 Y i /n (51) ˆβ 1 = SS XY /SS XX (52) ˆβ 0 = Y ˆβ 1 X (53)
Lineaarinen regression laskukaavoja ja testisuureita Kokonaisvaihtelun komponentit SSD = SSXY 2 /SS XX (54) SST = SS YY (55) SSE = SST SSD (56) Mallin selitysaste R 2 = SSD/SST (57) Mallin hajontaestimaattorit S 2 = SSE/(n 2) (58) S( ˆβ 1 ) = S/ SS XX (59) S( ˆβ 0 ) = S 1 n + X 2 SS XX (60)
Lineaarinen regression laskukaavoja ja testisuureita Regressiosuoran y = β 0 + β 1 X estimaattori pisteessä X = a ŷ = ˆβ 0 + ˆβ 1 a (61) Regressiosuoran hajonnan (vaihtelun) estimaattori 1 (a X )2 S(ŷ) = S + (62) n SS XX Regressiosuoran ennusteen virheen Y ŷ hajonnan estimaattori pisteessä X = a S(Y ŷ) = S 1 + 1 n + (a X )2 SS XX (63)
Lineaarinen regression laskukaavoja ja testisuureita Testisuureita Mallin kertoimille: ˆβ i β i S( ˆβ i ) t(n 2) (64) Regressiosuoralle (ennusteen odotusarvolle µ = E(ŷ)) ŷ µ S(ŷ) t(n 2) (65) Ennustus virheelle Y ŷ (kun X = a) Y ŷ t(n 2) (66) S(Y ŷ) Huom. virheen luottamusrajojen lisäksi y.o. testisuureella saadaan luottamusrajat myös Y :lle, joka antaa siis oleellisesti ennusteen sille millä välillä Y liikkuu kun X = a.
Lisää hypoteesien testauksesta Riskitaso α on suurin sallittu todennäköisyys sille että H 0 hylätään vaikka se on tosi. Testin voimakkuus on todennäköisyys sille että H 0 hylätään kun se ei ole tosi (riippuu testattavan parametrin todellisesta arvosta) Testisuureen P-arvo eli merkitsevyystaso on pienin riskitaso jolla H 0 olisi tullut hylätyksi. H 0 hylätään jos P < α. H 0 jää voimaan jos P α.