766323A-02 Mekaniikan kertausharjoitukset, kl 2012

766323A-02 Mekaniikan kertausharjoitukset, kl 2012 Gravitaatio, liikemäärämomentti, ellipsiradat T 1: Oleta, että Marsin kuu Phobos kiertää Marsia ympyrärataa pitkin. Ympyrän säde on 9380 km ja kiertoaika 0,32 vuorokautta. Mikä on Marsin massa? (Phoboksen massa on hyvin paljon pienempi kuin Marsin massa.) T 2: Satelliitti, jonka massa on 1500 kg liikkuu pitkin ympyrärataa Maapallon ympäri 1000 kilometrin etäisyydellä Maan pinnasta. Mikä on satelliitin liikemäärämomentti? (Maan säde = 6372 km, Maan massa = 5.979. 10 24 kg) T 3: a) Piirrä ellipsi ja merkitse siihen isoakseli 2a, pikkuakseli 2b, polttopiste ja latus rectum. Mikä on piirtämäsi ellipsin eksentrisyys? b) Kappale A (massa m) liikkuu pitkin piirtämääsi ellipsirataa. Ellipsin toisessa polttopisteessä on huomattavasti raskaampi kappale B, jonka massa on M. Jos B on aurinko, missä kohdassa rataa A on perihelissä, missä aphelissä? c) Mikä on kappaleen A kokonaisenergia? Jos A:n nopeus on perihelissä v P, mikä sen nopeus on aphelissä. Mikä on A:n kiertoaika? T 4: Satelliitti lähetetään Maata kiertävälle ellipsiradalle läheltä (< 100 km) maan pintaa. Satelliitin maanpinnan suuntainen alkunopeus on 1. 5 kertaa niin suuri kuin R E säteistä ympyrärataa kiertävän satelliitin nopeus, missä R E on Maan säde. Laske satelliitin suurin etäisyys maan keskipisteestä sekä radan eksentrisyys. Ilmakehän vaikutusta ei oteta huomioon. (Maan säde = 6372 km, Maan massa = 5.979. 10 24 kg) T 5: Satelliitti kiertää maapalloa elliptisellä radalla, jonka eksentrisyys on 0,685. Satelliitin lähin piste eli perigeum on 2,2 Maan säteen etäisyydellä maapallon keskipisteestä. Mikä on radan kauimmaisen pisteen eli apogeumin etäisyys maapallon keskipisteestä. Mitkä ovat satelliitin nopeudet perigeumissa ja apogeumissa? T 6 (Haasteellinen): Meteorin massa on m ja sen nopeus hyvin kaukana Maasta on v 0. Nopeusvektorin jatkeen kohtisuora etäisyys maan keskipisteestä (törmäysparametri) on a. Katso kuva! Osoita, että meteorin ja Maan keskipisteen pienin etäisyys on: r GM ( v G 2 M 2 4 0 ) ( v0) 2 a 2 missä M on maan massa ja G gravitaatiovakio. v 0 90 o r a

Kappaleiden vuorovaikutus, liikemäärä, massakeskipiste, törmäykset T 7: Määritä kappaleisiin A, B ja C vaikuttavat kaikki voimat (vain suunta, ei suuruutta). a) Kappaleet ovat paikallaan. b) Kappaleet liikkuvat. (Kappaleen A ja pöydän pinnan välillä on kitkaa, samoin kappaleiden A ja B välillä.) T 8: Alla olevan kuvan systeemissä ei ole kitkaa. a) Määritä 100 kg:n ja 50 kg:n kappaleeseen vaikuttavat voimat, sekä suuruus että suunta. b) Kumpaan suuntaan kappaleet liikkuvat? c) Määritä kappaleiden kiihtyvyys. T 9: Tilanne on muuten sama kuin edellisessä tehtävässä, mutta nyt pintojen ja kappaleiden välillä on kitkaa ja liikekitkakerroin 0,01. Vastaa samoihin kysymyksiin kuin edellisessä tehtävässä. T 10: Määritä seuraavan neljästä massapisteestä muodostuvan systeemin massakeskipiste. (Jokaisen massapisteen massa on m): y (-1,1) (2,2) (-2,-½) x (2,-1)

T 11: Suorakulmaisen, tasasivuisen kolmion muotoisen levyn (paksuus p) kahden sivun pituus on a. Missä on levyn massakeskipiste? T 12: Systeemi koostuu kolmesta hiukkasesta, joiden massat ovat 3.0 kg, 2.0 kg ja 5.0 kg. Ensimmäisen hiukaksen nopeus on (6.0 m/s)j. Toinen hiukkanen liikkuu nopeudella 8.0 m/s suuntaan, joka on xy-tasossa ja muodostaa -30 o kulman x-akselin positiivisen suunnan kanssa. Mikä on kolmannen hiukkasen nopeus, jos systeemin massakeskipiste pysyy paikoillaan levossa olevaan havaitsijaan nähden? T 13: Kaksi kappaletta (massat m 1 ja m 2 ) törmää kuvan mukaisesti. Alussa kappaleiden nopeudet (nopeuksien itseisarvot) ovat v 1 ja v 2 ja törmäyksen jälkeen u 1 ja u 2. Kirjoita säilymisyhtälöt, kun törmäys on a) kimmoinen b) ei-kimmoinen. m 1 α θ β φ m 2 T 14: Kuorma-auto (massa 10 000 kg) ja henkilöauto (massa 1200 kg) ajavat suoralla tiellä toisiaan kohti, törmäävät toisiinsa ja takertuvat yhteen. a) Onko törmäys kimmoinen? b) Mikä on autojen yhteinen nopeus heti törmäyshetken jälkeen, kun kuorma-auton nopeus ennen törmäystä oli 88 km/h ja henkilöauton 120 km/h. (Kukaan ei kuollut onnettomuudessa.) c) Laske autojen kineettinen energia ennen törmäystä ja törmäyksen jälkeen. Paljonko kineettistä energiaa katosi ja mihin? T 15: Kaksi palloa (m 1 = 2kg ja m 2 = 4 kg), törmäävät toisiinsa kimmoisesti. Pallo 1 tulee alunperin palloa 2 kohden nopeudella 10 m/s ja pallo 2 on levossa. Mikä on pallojen nopeus törmäyksen jälkeen? T 16: Protoni (massa 1,0 u ) ja deuteroni (massa 2,0 u) törmäävät kimmoisesti. Deuteronin nopeus alussa on 2,7. 10 7 m/s ja törmäyksen jälkeen 2,2. 10 7 m/s. Protoni on aluksi levossa. Laske protonin nopeus törmäyksen jälkeen sekä protonin ja deuteronin nopeuden suunnat törmäyksen jälkeen.

Pyörivän kappaleen dynamiikka, tasapaino T 17: Neljä kappaletta (massat 1 g, 2 g, 3 g j a 4 g) sijaitsee x,y tasolla kohdissa (0,0), (1 m,1 m), (-2 m, 2m) ja (-1 m, -1 m). Laske systeemin hitausmomentti z-akselin suhteen. T 18: a) Osoita, että onton, ohutkuorisen pallon hitausmomentti pallon keskipisteen kautta kulkevan 2 2 akselin suhteen on I MR, missä R on pallon säde ja M pallon massa. 3 b) Mikä on onton pallon kineettinen energia, kun pallo pyörii kulmanopeudella ω pallon pinnan kautta kulkevan akselin suhteen? a)-kohta b)-kohta ω T 19: a) Umpinainen pallo (massa m, säde R) pyörii akselinsa ympäri kulmanopeudella ω. Mikä on pallon kineettinen energia? Mikä on pallon liikemäärämomentti pyörimisakselin suhteen? b) Tämä sama pallo vierii vaakasuoralla tasolla. Kulmanopeus on edelleen ω. Mikä on nyt pallon kineettinen energia? c) Asetetaan tämä sama pallo kaltevalle tasolle, jonka kaltevuuskulma on α. Pallo lähtee levosta ja vierii kitkattomasti matkan s. Kirjoita energian säilymisyhtälö eli potentiaalienergia alussa + kineettinen energia alussa = potentiaalienergia lopussa + kineettinen energia lopussa. Ratkaise tästä yhtälöstä pallon kulmanopeus lopussa. T 20: Auringon pyörähdysaika on noin 30 vuorokautta. a) Mikä on sen liikemäärämomentti? b) Jos Aurinko jonain kauniina päivänä luhistuisi 9 km:n säteiseksi neutronitähdeksi menettämättä lainkaan massaansa, mikä tulisi olemaan sen uusi pyörähdysaika? Oletetaan Aurinko ja siitä syntynyt neutronitähti homogeeniseksi palloksi.

T 21: Alla olevan kuvan mukaisessa systeemissä väkipyörän hitausmomentti on 0,200 kgm 2. Kappaleeseen, jonka massa on 5,00 kg, on kiinnitetty vaijeri, joka pyörittää väkipyörää. Vaijerin kohtisuora etäisyys väkipyörän akselista on 20,0 cm. Mikä on kappaleen kiihtyvyys, kun kitkaa ei ole kappaleen ja pinnan välillä eikä väkipyörän akselissa. Pinnan kaltevuuskulma on 36,9 o. T 22: Lankku (massa m ja pituus L) nojaa seinään kaltevuuskulman ollessa θ. Lepokitkakerroin lattian ja lankun välillä on μ 1 ja seinän ja lankun välillä μ 2. Määritä kaikki voimat, jotka kohdistuvat lankkuun. Määritä kaikki voimien momentit pisteen A suhteen. (Katso kuva!) θ A T 23: Mikä on suurin mahdollinen kulma kahden identtisen palkin välillä, kun palkit nojaavat toisiinsa kuvan osoittamalla tavalla? Lepokitkakerroin palkin ja maan välillä on 0.40.

T 24: Vaakasuoran, tasapaksun palkin massa on 15,3 kg. Palkki on kiinnitetty nivelellä seinään. Palkin toisen pään yli kulkee köysi, joka on kiinnitetty seinään 3,00 m palkin yläpuolelle. Köydessä riippuu esine, jonka paino on 300 N. Laske köyden jännitys seinän ja palkin välillä ja niveleen kohdistuvan voiman vaaka- ja pystysuora komponentti. T 25: Onton sylinterin muotoinen teräsputken pala, jonka massa on 360 kg, vierii alas liuskaa, jonka kaltevuuskulma on 30 o. Mikä on putken kiihtyvyys, kun se vierii liukumatta? Mikä on kitkavoiman suuruus putken ja rampin kosketuskohdassa? Putken hitausmomentti on MR 2, missä M on massa ja R on säde. 30 o

T 26: Alla olevassa kuvassa on jojo. Se on tehty kolmesta homogeenisesta kiekosta, joiden tiheys on 3,1 g/cm 3. Kahden uloimman kiekon paksuudet ovat 8,2 mm ja halkaisijat 54 mm. Näiden välissä on pienempi kiekko, jonka paksuus on 2,0 mm ja halkaisija 16,0 mm. Jojon ohut naru on kiinnitetty pienemmän kiekon ympärille. a) Laske jojon hitausmomentti jojon keskellä käyvän akselin suhteen. b) Naru on kiinni paikallaan. Mikä on jojon kiihtyvyys, kun se päästetään liikkeelle? c) Mikä on tällöin langan jännitys? Kiekon (säde r ja massa m) hitausmomentti keskiakselin suhteen on ½mr 2. Suhteellinen liike T 27: Joen leveys on 1,0 km ja virtausnopeus on 2,0 km/h. Mies soutaa venettä nopeudella 4,0 km/h veden suhteen. a) Kuinka kauan kestää, kun mies soutaa veneen kohtisuoraan rannan yli ja takaisin? b) Kuinka kauan kestää, kun mies soutaa veneen 1 kilometrin verran ylävirtaan (rannan suuntaisesti) ja takaisin? T 28: Minkä keskipakoisvoiman kokee kappale (massa m), joka on maapallon pinnalla pohjoisella pallonpuoliskolla leveysasteella 65 o? Jaa tämä voima pinnan suuntaiseen ja pintaa vastaan kohtisuoraan komponenttiin. Maapallon pyörähdysaika on 24 h ja säde 6400 km. T 29: Oulun leveysaste on noin 65 0. Laske maan pyörimisestä johtuva Coriolis-kiihtyvyys (suuruus ja suunta) Oulussa seuraaville kappaleille: a) Kappale putoaa (jostain syystä) tasaisella nopeudella 10 m/s alaspäin. b) Kappale nousee tasaisella nopeudella 10 m/s suoraan ylöspäin. c) Kappale liikkuu tasaisella nopeudella 10 m/s suoraan pohjoiseen. d) Kappale liikkuu tasaisella nopeudella 10 m/s suoraan etelään. e) Kappale liikkuu tasaisella nopeudella 10 m/s suoraan itään. f) Kappale liikkuu tasaisella nopeudella 10 m/s suoraan länteen. Maapallon pyörähdysaika on noin 24 tuntia ja säde noin 6400 km.

T 30: a) Auto liikkuu tietä pitkin pohjoista kohden nopeudella 83 km/h. b) Pilvet liikkuvat vaakasuorasti koilliseen nopeudella 23,5 m/s. Laske näissä molemmissa tapauksissa Coriolisvoiman vaikutus 40 kilometrin matkalla. Nesteiden ja kaasujen mekaniikkaa, muuttuvamassaiset systeemit T 31: a) Kappale (massa m) kelluu nesteessä, jonka tiheys on. Kappaleen tiheys on ½. Minkä suuruinen noste kappaleeseen vaikuttaa? Kuinka monta prosenttia kappaleen tilavuudesta on veden alla? b) Sovella Bernoullin lakia ja laske, kuinka monta litraa tunnissa valuu vettä suuren vesisäiliön alaosassa olevasta reiästä, joka on halkaisijaltaan 1 cm 2. Reikä on 5 metriä syvempänä kuin veden pinta. c) Ilmanpaine on eräänä päivänä 1020 millibaaria. Kuinka suuri paine on 10 metrin syvyydellä vedessä? T 32: Ontto pallo, jonka sisäsäde on 8,0 cm ja ulkosäde 9,0 cm, kelluu puoliksi pinnan alla nesteessä, jonka tiheys on 800 kg/m 3. a) Mikä on pallon massa? b) Laske sen materiaalin tiheys, mistä pallo on tehty. T 33: Vesi virtaa tasaisesti avoimesta säiliöstä kuvan mukaisesti. Veden pinnalla olevan pisteen 1 korkeus maan pinnasta on 10,0 m ja pisteiden 2 ja 3 korkeus maan pinnasta on 2,00 m. Putken poikkipinta-ala kohdassa 2 on 0,0480 m 2 ja kohdassa 3 se on 0,0160 m 2. Säiliön pinta-ala on suuri verrattuna putken poikkipinta-alaan. Käytä Bernoullin yhtälöä ja laske a) veden purkautumisnopeus (yksikkönä m 3 /s), b) paine pisteessä 2. Ilmanpaine on 1,013. 10 5 Pa. T 34: Vesiputkessa tehtiin mittauksia kahdessa kohdassa. Ensimmäisessä kohdassa veden virtausnopeus oli 3,15 m/s ja siinä mitattiin paineeksi 5,22. 10 4 Pa. Toinen kohta oli 11,7 m alempana kuin ensimmäinen. Tässä putken halkaisija oli kaksinkertainen ensimmäisen kohtaan verrattuna. Laske toisessa kohdassa mitattu paine. Veden tiheys on 1010 kg/m 3. T 35: Heliumpallo (halkaisija 48,0 m) pysyy 10 kilometrin vakiokorkeudella. a) Kuinka suuri on pallon hyötykuorman massa, kun pallonkuoren massa on 272 kg? b) Minkä kiihtyvyyden pallo saa, kun sen korista pudotetaan 142 kg:n massa pois? Ilman tiheys 10 kilometrin korkeudella on 0,384 kg/m 3 ja heliumin tiheys 0,00523 kg/m 3. T 36: Raketin massa polttoaineineen on ennen lähtöä 840 kg. Rakettimoottorien palaessa massa pienenee nopeudella 3,5 kg/s. Laske pakokaasujen miniminopeus raketin juuri ja juuri noustessa maan pinnalta ylöspäin.

T 37: Raketti laukaistaan pystysuoraan suuntaan. Raketin kokonaismassa pienenee vakionopeudella 5. 10-2 m 0 kg/s, missä m 0 in raketin alkuperäinen kokonaismassa. Kaasujen poistumisnopeus raketin suhteen on 5. 10 3 m/s. Laske raketin nopeus ja korkeus 10 s laukaisemisen jälkeen. T 38 (Haasteellinen): Laske kappaleen nopeus viskoosissa nesteessä ajan funktiona olettaen, että yhtälö ma = F Kηv on voimassa, että liike on suoraviivaista ja että voima on vakio. T 39 (Haasteellinen): Homogeeninen ketju, jonka pituus on L, on vaakasuoralla pöydällä siten että 2/3 on suorana kohtisuorassa pöydän reunaan nähden. Loput 1/3 riippuu pöydän kitkattoman reunan yli. Ketju vapautetaan. Määritä ketjun nopeus sillä hetkellä, kun ketjun viimeinen osa alkaa pudota pöydältä. Liukukitkakerroin pöydän ja ketjun välillä on μ k. Vastaukset: T 1: 6,39. 10 23 kg T 2: 8,1. 10 13 kgm 2 /s T 3: T 4: 19 000 km, 0,50 T 5: 11,768 R E, 6,93 km/s, 1,29 km/s T 8: a) F ga = 981 N, F gb = 491 N, T = 556 N, N A = 850 N, N B = 290 N (Määritä myös voimien suunnat!) b) a = - 0,66 m/s 2 T 9: a) F μa = 8,5 N, F μb = 2,9 N (Määritä myös voimien suunnat!) a = - 0,58 m/s 2 T 10: x cm = ¼, y cm = 3/8 T 11: T 12: T 14: b) 65,7 km/h c) 3,65 MJ, 1,87 MJ T 15: -3,33 m/s, 6,67 m/s T 16: 2,21. 10 7 m/s, -23,4 o, 52,1 o T 17: 0,036 kgm 2 T 18: b)

T 19: a), b) T 20: a) 9,39. 10 41 kgm 2 s -1 b) 0,43 ms T 21: 2,95 m/s 2 T 23: 77,3 o T 24: N x = 500 N, N y = 75 N, T = 625 N T 25: 2,45 m/s 2, 883 N T 26: a) 4,25. 10-5 kgm 2 b) 1,48 m/s 2 c) 0,98 N T 27: a) 34 min 38 s, b) 40 min T 28: T 29: a) 6.1. 10-4 m/s 2 itään b) 6.1. 10-4 m/s 2 länteen c) 1.3. 10-3 m/s 2 itään d) 1.3. 10-3 m/s 2 länteen e) 1.5. 10-3 m/s 2 etelään, 25 o yläviistoon f) 1.5. 10-3 m/s 2 pohjoiseen, 25 o alaviistoon T 30: a) 5050 sinλ m Suunta? b), + x akseli pohjoiseen, +z akseli ylös T 31: a) 50 %, b) 3570 l/h c) 2 bar T 32: a) 1,22 kg, b) 1340 kg/m 3 T 33: a) 0,2 m 3 /s b) 171 kpa T 34: 1,72. 10 5 Pa T 35: 21 660 kg, 0,063 m/s 2 T 36: 2360 m/s T 37: a) 3400 m/s b) 15 km T 38: T 39: