T-79144 Syksy 2004 Logiikka tietotekniikassa: perusteet Laskuharjoitus 7 (opetusmoniste, kappaleet 11-22) 26 29102004 1 Ilmaise seuraavat lauseet predikaattilogiikalla: a) Jokin porteista on viallinen b) Tämä algoritmi on kaikista nopein c) Kaikilla kurssin osanottajilla on työasema käytössään d) Vain yksi prosesseista voi kirjoittaa kuhunkin tiedostoon kerrallaan Mitä muotoa lauseet ovat? Piirrä a)- ja c)-kohtia vastaavat syntaksipuut Ratk Ratkaisussa on käytetty useaan otteeseen rajoitettuja universaali- ja eksistentiaalikvanttoreita Jos halutaan ilmaista, että jokin ominaisuus φ pätee kaikille predikaatin P toteuttaville alkioille, kirjoitetaan P φ Se, että ominaisuus φ pätee jollekin predikaatin P toteuttavalle alkiolle, ilmaistaan lauseella P φ Tehtävässä predikaatti P ilmaisee usein alkion tyyppiä (esim on portti) a) P V, kun P = on portti V = on viallinen P Q b) A a A a N a, kun a = ko algoritmi A = on algoritmi N y = on y:tä nopeampi
A a N A a a c) K y T y R y, kun K = osallistuu kurssille T = on työasema R y = käyttää y:tä d) T y z P y P z K y K z y z, kun P = on prosessi T = on tiedosto K y = kirjoittaa y:hyn Esitetyt ratkaisut eivät ole ainoita mahdollisia Valinnan varaa on predikaatti-, funktio- ja vakiosymbolien määrittelyssä ja lauseiden rakenteessa 2 Poista tarpeettomat sulut, ilman että lauseen merkitys muuttuu a) y P Q L b) y P y Q y K f c) y A B Ratk Sulkujen poistamisessa käytettiin periaatetta, että uloimmat sulut voi jättää pois ja lisäksi, mikäli sulkujen sisällä oleva operaatio on presedenssiltään ulkopuolella olevaa vahvempi, sulut voidaan poistaa a) y P Q L Tässä kaava on esitetty ilman uloimpia sulkuja Tarkasteltaessa nyt uloimpia sulkuja, niin sisällä oleva operaatio on implikaatio ja ulkopuolella universaalinen kvantifiointi Kvantifiointi on vahvempi, sulkuja ei voi poistaa Tarkastellaan seuraavaksi sulkuja eksistenttikvanttorin ympärillä Sisällä siis em kvantifionti ja ulkopuolella implikaatio Sulut voi poistaa ja kaava saa muodon y P Q
L Jäljellä on vielä sulut konjunktion ympärillä Ulkopuolella oleva kvantifiointi on vahvempi, sulkuja ei voi poistaa b) y P y Q y K f c) y A B 3 Olkoon predikaattilogiikan kielessä vakiosymboli c, 1-paikkainen funktiosymboli f ja 2-paikkainen funktiosymboli g Millaisia muuttujattomia termejä näistä voidaan muodostaa Ratk Käyttämällä ainoastaan elementtejä c ja f, voidaan muodostaa seuraava joukko termejä: c f c f 2 c f 3 c Edelleen termejä voidaan laatia käyttämällä hyväksi funktiota g Sen argumenteiksi voidaan valita mikä tahansa pari edellisistä, esim saadaan termit g c c ja g f 3 c f 108 c Luonnollisesti sekä g:n että f :n argumenteiksi voidaan edelleen valita mitkä tahansa näin saaduista termeistä Näin syntyy esim f g f 5 c f 13 c ja g g c f c f 8 c Funktioiden sisennystä voi näin jatkaa mielivaltaisen monta askelta 4 Luennoilla annettiin menettely binääripuiden esittämiseksi funktiosymbolien avulla Yleistä konstruktio mielivaltaisille puille käyttämällä korkeintaan 3 vakio- ja funktiosymbolia Ratk Yleistys tapahtuu käyttämällä hyväksi sekä listojen että puiden notaatiota Periaate on, että mielivaltainen puu esitetään sisäkkäisinä listoina, jotka kertovat kunkin solmun lapset Olkoon tehtävässä esitetyt 3 vakio- ja funktiosymbolia e, tyhjä lista, c F 2, 1 argumentti listan ensimmäinen alkio ja 2 loput listasta, ja l F 1, lehtisolmu Tarkastellaan seuraavia puita: a a b a d b f Näistä ensimmäinen esitetään annetulla notaatiolla muodossa l a, toinen c l a c l b e ja kolmas saa muodon c l a c l d c c l b c l f e e 5 Osoita, että jos φ on lause ja t on muuttujaton termi, niin φ t on lause
Ratk Opetusmonisteessa todetaan, että kaava on lause, jos siinä ei ole vapaita muuttujaesiintymiä Tehtävänannossa todetaan, että φ on lause φ t tarkoittaa kaavaa, jossa jokainen :n vapaa esiintymä on korvattu termillä t Koska t on muuttujaton, niin φ t on myös lause 6 Olkoon universumina U "! 2 #$ y%'& (! y )! Valitse vakiosymbolille c ja funktiosymbolille f F 1 tulkinnat siten, että koko universumi tulee nimetyksi Ratk Muodostetut lukuparit voi asettaa kaksiulotteiseen taulukkoon vaikkapa seuraavasti: $ 0 0%*$ 0 1% $ 0 2%*$ 0 3%,+ ++ $ 1 0%*$ 1 1% $ 1 2%*$ 1 3%,+ ++ $ 2 0%*$ 2 1% $ 2 2%*$ 2 3%,+ ++ Tehtävän idea on sama kuin todistettaessa sitä, että kahden luonnollisen luvun pareja on yhtä monta kuin luonnollisia lukuja (joukot siis ovat yhtä mahtavat) Todistuksessa laaditaan bijektiivinen kuvaus luonnollisilta luvuilta lukupareille Kuvauksessa f 0 -$ 0 0% ja muilla arvoilla se etenee aina taulukon diagonaaleja pitkin Esim f 1 /0$ 0 1%, f 2 12$ 1 0% jne Mikäli kuvaus etenisi rivejä tai sarakkeita pitkin, ei joukkojen yhtäsuuruutta saataisi osoitettua, koska rivit (sarakkeet) jatkuvat äärettömiin Mielivaltainen diagonaali puolestaan on äärellinen Sovelluttuna logiikkaan, universumi saadaan peitettyä, mikäli vakion c tulkinta on c S 3$ 0 0%, ja funktio laaditaan em sääntöjen pohjalta, siis: f c S $ 0 1% f f c S $ 1 0% f 3 c S $ 0 2% f 4 c S $ 1 1% Funktion f S lausekkeen voi esittää muodossa: Tässä g on nk pulssifunktio: f S : $ y% $ 45 y46% 47 g y 8 1 8 1 9 g 9 1 y4: 1 9 g y 8 1
; g 1 jos 0 0 muutoin 7 Graafi muodostuu solmujen joukosta S ja solmujen välisten kaarien K < S = S joukosta Graafin solmuja s ja s4 sanotaan vierekkäisiksi, jos niitä yhdistää kaari ($ s s4 % K) Olkoon C jokin värien joukko Graafin väritysongelmassa on tarkoituksena löytää graafin solmuille värit joukosta C siten, että kaikilla vierekkäisillä solmuilla on eri värit a) Määrittele graafin väritysongelman ratkaisu predikaattilogiikan avulla b) Anna edellisen kohdan lausejoukolle malli ja c) struktuuri, jossa se ei toteudu Ratk a) Graafista meitä kiinnostavat erityisesti kaaret, joiden esittämistä varten määritellään predikaatti K y (graafissa on kaari solmusta solmuun y) Värien esittämiseen on useita mahdollisuuksia (i) Yksi mahdollisuus on kiinnittää värien joukko ja esittää värit predikaatein Jos joukossa C on värejä n kpl määritellään niille kullekin predikaatit C 1 > C n n Predikaatti C i tarkoittaa, että solmu on väriltään C i Ongelman määrittelyssä vaaditaan, että jokaisella solmulla on yksikäsitteinen väri ja että jos solmujen välillä on kaari, solmut ovat eriväriset Ensimmäisestä vaatimuksesta saadaan lauseet C i C 1?++ +> C i@ 1 C ia 1?++ +B C n indeksin i arvoilla 1 > n (huomaa, että C i ei esiinny ekvivalenssin oikean puolen konjuktiossa) Toinen vaatimus esitetään jokaisen predikaatin C i osalta erikseen: y K y C C i C i y (ii) Toinen mahdollisuus on jättää värien määrittely avoimeksi ja ottaa käyttöön predikaatti V y (solmun väri on y) Solmun värin yksikäsitteisyys voidaan ilmaista lauseella y z V y V z y z
Siis, jos solmulla on värit y ja z, nämä ovat itseasiassa sama väri (yhtäsuuruus predikaatti on tosi rakenteessa S, jos ja vain jos predikaatin argumenttien tulkinnat ovat samat rakenteessa S) Vierekkäisten solmujen erivärisyys saadaan puettua lauseeksi y z K y V z V y z Eli, jos graafissa on kaari solmusta solmuun y ja solmu on väriltään z, solmu y ei ole väriltään z (iii) Kolmantena mahdollisuutena on esittää väri funktiosymbolin v avulla Termi v tarkoittaa solmun väriä Tässä tapauksessa värin yksikäsitteisyyttä ei tarvitse erikseen määritellä (funktion arvo on aina yksikäsitteinen) Erivärisyydelle saadaan lause y K y v v y D b) Annetaan malli kohdan (i) lauseille tapauksessa n 2 Määritellään rakenne S, jonka universumina on U E a 1 a 2 (kaksi solmua) Predikaatin K tulkinta on K S F$ a 1 a 2 %G$ a 2 a 1 %D (graafissa on kaaret solmusta a 1 solmuun a 2 ja solmusta a 2 solmuun a 1 ) Predikaattien C 1 ja C 2 tulkinnat ovat C S 1 H a 1 ja C S 2 H a 2 (toinen solmuista on siis väriä C 1 ja toinen väriä C 2 ) Tarkistetaan nyt totuusmääritelmän avulla, että lauseet ja C 1 I C 2 y K y C 1 I C 1 y y K y C 2 I C 2 y toteutuvat rakenteessa S (eli S on lauseiden malli) Huomaa että lauseista ensimmäinen on ekvivalentti lauseen C 2 I C 1 kanssa, joka myös kuuluu lausejoukkoon tapauksessa n jos ja vain jos S &J C 1 C 2 2 Nyt S K L a 1M & C 1 N C 2 ja S K L a 2M & C 1 N C 2
Koska a 1 C S 1, S K L a 1M & C 1 ja koska a 1 O C S 2, S K L a 1MO & C 2 Siis S K L a 1M & C 1 P C 2 K L & & Vastaavasti osoitetaan, että S C 1 C 2 seuraa a 2M C 1 Q C 2, joten S Vastaavasti jos ja vain jos kaava S &R y K y C C 1 P C 1 y K y C 1 C 1 y on tosi rakenteissa S K L a 1 y L a 1M, S K L a 1 y L a 2M, S K L a 2 y L a 1M ja S K L a 2 y L a 2M Koska parit $ a 1 a 1 % ja $ a 2 a 2 % eivät kuulu tulkintaan K S atomikaava K y on epätosi ensimmäisessä ja viimeisessä rakenteessa, joten implikaation totuusmääritelmän nojalla edelläannettu kaava on tosi näissä rakenteissa Koska pari $ a 1 a 2 % kuuluu tulkintaan K S, S K L a 1 y L a 2M & K y ja annettu kaava on tosi rakenteessa S K L a 1 y L a 2M jos ja vain jos S K L a 1 y L a 2M & C 1 - * C 1 y Tämä pitää paikkanssa, sillä a 1 C S 1 ja a 2 O C S 2, joten S K L a 1 y L a 2M & C 1 ja S K L a 1 y L a 2M &H C 2 y Kaava on tosi myös 3 struktuurissa Erona edelliseen on, että implikaatio C 1 - S C 1 y on tosi rakenteessa S, koska S K L a 2 y L a 1M-O & C 1 Siis S on malli lauseelle y K y C 1 P C 1 y Symmetriasyistä S on myös lauseen y K y C 2 I C 2 y malli Olemme siis osoittaneet, että S on lausejoukon malli Sama rakenne on malli myös tapauksessa, jossa värejä on useampia kuin kaksi Malleista tulee monimutkaisempia, jos solmujen väritys esitetään vaihtoehtojen (ii) ja (iii) mukaisesti
c) Määritellään rakenne S tapauksessa n 2, jossa lausejoukko ei toteudu Valitaan universumiksi U " a (yksi solmu) ja predikaatin K tulkinnaksi esim K S T$ a a%g Nyt ei toteudu rakenteessa S, jos C 1 I C 2 S K L amo & C 1 I C 2 Valitaan siis väripredikaattien tulkinnat siten, että asettamalla S K L am & C 1 ja S K L am & C 2 C S 1 C S 2 U a Tällöin S ei voi olla lausejoukon malli