Esipuhe. Sirkka-Liisa Eriksson

3 Esipuhe Matematiikka tieteiden kuningatar ja palvelija on lukioihin ja ammattikorkeakouluihin suunnattuun koulukohtaiseen valinnaiseen syventävään kurssiin perustuva kirja. Kirjan tarkoituksena on kerrata ja syventää aiemmilla kursseilla opittuja asioita uusien lisäksi. Kirjassa esitellään myös sovelluksiin liittyvää matematiikkaa, mm. Googlen toimintaperiaatetta, GPS-paikannusta ja MP3-pakkaustekniikkaa. Kirja motivoi matematiikan oppimista ja helpottaa korkeakouluopintojen aloittamista. Kurssin aiheita ovat: differentiaalilaskenta työkaluna, matematiikan perusteet, kompleksilukujen joukko ja matriisit sekä niiden sovellukset. Differentiaalilaskennan ydinsisältöjä ovat derivaatan käsite, differentiaaliyhtälöt sekä niiden käyttö mallinnuksessa, esimerkiksi peto-saalismalli. Matematiikan perusteiden tarkoituksena on kehittää matemaattista lukutaitoa ja ajattelukykyä. Keskeisiä sisältöjä ovat väite, matemaattinen todistaminen, joukko-oppi, luonnolliset luvut ja reaaliluvut. Kompleksiluvut esitetään tason pisteinä ja niiden laskutoimitukset kuvataan geometrisesti. Lisäksi ratkaistaan yksinkertaisia kompleksisia yhtälöitä ja esitetään sovelluksena vaihtopiiriesimerkki. Viimeisessä luvussa otetaan käyttöön matriisin käsite ja käydään läpi matriisialgebraa, lineaaristen yhtälöryhmien ratkaisumenetelmiä ja ominaisarvoteoriaa. Näitä sovelletaan yllä mainittuihin ajankohtaisiin tekniikan esimerkkeihin. Scilabia, Octavea tai vastaavia kaupallisia ohjelmia, kuten MatLab ja Maple, voidaan käyttää kirjan ohessa ja osassa esimerkeistä on annettu ohjeita tähän. Kurssin sisällöstä vastaavat kirjan kirjoittajat, jotka ovat Tampereen teknillisen yliopiston matematiikan opettajia. Kirjan kirjoittajien lisäksi kurssin tekemisessä ja kommentoimisessa ovat aktiivisesti olleet mukana opettajat Sarpa Heino (Hervannan lukio), Ville Hynönen (Helsingin Suomalaisen Yhteiskoulun lukio), Sinikka Järvi (Valkeakosken lukio), Jukka Männistö (Tampereen normaalikoulun lukio), Sakari Salonen (Kaurialan lukio), Ulla Sorri (Hervannan lukio) ja Marja Voipio (Etelä-Tapiolan lukio). Projektitutkijoina mukana ovat olleet Virve Pihlava-Lahtinen ja Lauri Judin sekä sihteerinä Tiina Sävilahti. Yhteistyökouluja ovat Etelä-Tapiolan lukio, Helsingin Suomalaisen Yhteiskoulun lukio, Hervannan lukio, Kaurialan lukio, Tampereen normaalikoulun lukio ja Valkeakosken lukio, joissa kurssia on kokeiltu lukuvuonna 2008-2009. Kirjaprojektin johtajana haluan kiittää kaikkia mukana olleita arvokkaasta työstä ja lukuisista antoisista keskusteluista. Erityinen kiitos kuuluu myös projektin rahoittajille Teknologiateollisuuden 100-vuotissäätiölle ja TTY:n matematiikan laitokselle. Tampereella tammikuussa 2009 Sirkka-Liisa Eriksson

Sisältö 1 Differentiaalilaskenta työkaluna 7 1.1 Johdanto.................................. 7 1.2 Derivaatta.................................. 7 1.2.1 Pala historiaa............................ 10 1.2.2 Esimerkkejä............................. 11 1.2.3 Harjoitustehtäviä.......................... 14 1.3 Integraali.................................. 15 1.3.1 Harjoitustehtäviä.......................... 16 1.4 Differentiaaliyhtälö............................. 17 1.5 Separoituva differentiaaliyhtälö...................... 20 1.5.1 Harjoitustehtäviä.......................... 21 1.6 Alkuarvo-ongelma............................. 22 1.7 Lineaarinen differentiaaliyhtälö...................... 23 1.7.1 Harjoitustehtäviä.......................... 28 1.8 Differentiaaliyhtälöpari........................... 29 1.8.1 Harjoitustehtäviä.......................... 31 1.9 Differentiaaliyhtälöryhmä......................... 32 2 Matematiikan perusteista 35 2.1 Taustaa................................... 35 2.1.1 Harjoitustehtäviä.......................... 39 2.2 Väite matematiikassa........................... 39 2.2.1 Harjoitustehtäviä.......................... 44 2.3 Matemaattinen todistus.......................... 45 2.3.1 Harjoitustehtäviä.......................... 58 2.4 Joukko-opista................................ 59 2.4.1 Harjoitustehtäviä.......................... 70 2.5 Matemaattinen induktio.......................... 71 2.5.1 Harjoitustehtäviä.......................... 77 5

6 SISÄLTÖ 2.6 Reaaliluvuista................................ 78 2.6.1 Harjoitustehtäviä.......................... 81 3 Kompleksiluvut 83 3.1 Moduli ja argumentti............................ 83 3.1.1 Harjoitustehtäviä.......................... 89 3.2 Kompleksilukujen yhteenlasku....................... 90 3.2.1 Harjoitustehtäviä.......................... 92 3.3 Kompleksilukujen kertolasku....................... 92 3.3.1 Harjoitustehtäviä.......................... 100 3.4 Kompleksiluvun liittoluku......................... 102 3.4.1 Harjoitustehtäviä.......................... 104 3.5 Kompleksinen eksponenttifunktio..................... 105 3.5.1 Harjoitustehtäviä.......................... 119 4 Matriisilaskentaa 121 4.1 Matriisilaskennan tarve sovelluksissa................... 121 4.2 Vektorin käsite............................... 121 4.2.1 Harjoitustehtäviä.......................... 130 4.3 Matriisin käsite............................... 132 4.3.1 Harjoitustehtäviä.......................... 135 4.4 Erityisiä matriiseja............................. 136 4.4.1 Harjoitustehtäviä.......................... 137 4.5 Matriisien laskutoimituksia........................ 138 4.5.1 Matriisien yhteenlasku....................... 138 4.5.2 Matriisin kertominen skalaarilla.................. 139 4.5.3 Matriisien vähennyslasku..................... 140 4.5.4 Harjoitustehtäviä.......................... 141 4.6 Matriisitulo................................. 142 4.6.1 Harjoitustehtäviä.......................... 146 4.7 Lineaariset yhtälöryhmät......................... 148 4.7.1 Harjoitustehtäviä.......................... 156 4.8 Käänteismatriisi.............................. 158 4.8.1 Harjoitustehtäviä.......................... 160 4.9 Ominaisarvot ja ominaisvektorit..................... 162 4.9.1 Harjoitustehtäviä.......................... 169 4.10 Sovellusesimerkki GPS paikannuksesta.................. 170 4.10.1 Harjoitustehtäviä.......................... 173 4.11 Googlen algoritmi sivujen vertailussa................... 175 4.12 Lyhyesti 3D-grafiikasta........................... 179 4.13 MP3 pakkauksesta............................. 185

Luku 1 Differentiaalilaskenta työkaluna 1.1 Johdanto Tässä luvussa tutustutaan differentiaalilaskentaan ja differentiaaliyhtälöihin. Tarkasteluissa on tärkeää, että opiskelija ymmärtää syvällisesti derivaatan ja integraalin käsitteet sekä osaa derivoida ja integroida alkeisfunktioita. 1.2 Derivaatta Palautetaan aluksi mieleen derivaatan määritelmä sekä määritelmästä johdetut yleisimmät derivaatan laskusäännöt. 7

8 LUKU 1. DIFFERENTIAALILASKENTA TYÖKALUNA Määritelmä 1. Funktiolla f on derivaatta kohdassa x, jos erotusosamäärän raja-arvo f(x +h) f(x) lim h 0 h on äärellisenä olemassa kohdassa x. Tällöin sanotaan myös, että funktio on derivoituva kohdassa x. Funktio on derivoituva avoimella välillä ]a, b[, jos se on derivoituva jokaisessa välin pisteessä. Funktionf derivaattafunktiof määritellään erotusosamäärän raja-arvona f (x) = lim h 0 f(x +h) f(x), h kaikissa niissä kohdissa, joissa f on derivoituva (eli kun raja-arvo on äärellinen reaaliluku). Määritelmä 1 kertoo, mikä derivaatta on ja on hyvin tärkeää sisäistää, mitä määritelmällä tarkoitetaan. Pohtimiseen kannattaa käyttää aikaa. Myöhemmin tarkastellaan historiallisesta näkökulmasta, miksi kyseiseen määritelmään on päädytty. Derivaattaa käsittelevällä opintojaksolla on opiskeltu derivaatan laskusääntöjä. Nämä kaikki laskusäännöt on pystyttävä johtamaan derivaatan määritelmästä. Seuraavaksi palautetaan mieleen yleisimmät säännöt. Lause 1. Olkoot g ja t derivoituvia funktioita avoimella välillä ]a, b[. Tällöin - josf(x) =c (c on vakio), avoimella välillä ]a,b[, niinf (x) = 0, - josf(x) =x r,r Q, niinf (x) =rx r 1, - josf(x) =cg(x) +dt(x), niinf (x) =cg (x) +dt (x), kuncjadovat reaalilukuvakioita, - josf(x) =g(x)t(x), niinf (x) =g (x)t(x) +g(x)t (x). Todistetaan viimeinen kohta eli tulon derivoimissääntö. Muut jätetään itsenäisesti pohdiskeltaviksi. Todistus. Olkoon f(x) = g(x)t(x). Tällöin f g(x +h)t(x +h) g(x)t(x) (x) = lim h 0 h g(x +h)t(x +h) g(x)t(x +h) +g(x)t(x +h) g(x)t(x) = lim h 0 h g(x +h)t(x +h) g(x)t(x +h) g(x)t(x +h) g(x)t(x) = lim + lim h 0 h h 0 h g(x +h) g(x) t(x +h) t(x) = lim limt(x +h) +g(x) lim h 0 h h 0 h 0 h = g (x)t(x) +g(x)t (x).

Luku 3 Kompleksiluvut 3.1 Moduli ja argumentti Lukualueiden laajeneminen ei pysähdy vielä reaalilukuihin. Tiedetään, että kaikilla reaalilukukertoimisilla yhtälöillä ei ole ratkaisua reaalilukujen joukossa. Tällainen yhtälö on esimerkiksi x 2 + 1 = 0. Laajennetaan lukualuetta, jotta tälläkin yhtälöllä olisi ratkaisu. Reaaliluku voidaan esittää suoran yksiulotteisena paikkavektorina, joka alkaa pisteestä 0 ja jonka päätepiste on jokin suoran piste. 0 a R Kuva 3.1:a R. Reaaliluvun kertominen negatiivisella luvulla 1 vastaa paikkavektorin kiertämistä kulmanπ (180 ) verran vastapäivään. Laajennetaan reaalilukusuora tasoksi eli kaksiulotteisiksi luvuiksi. Pyritään määrittelemään kertolasku tasossa, joka geometrisesti liittyy kiertoon. Merkitään tason pistettä uudella tavalla (x,y) =x +yi, 83

84 LUKU 3. KOMPLEKSILUVUT missäx R,y R. Tällöin i = (0, 1) ja 1 = (1, 0). x +yi i x Kuva 3.2: Pistex +yi,x R,y R. Lisäksi 0 = (0, 0) = 0 + 0i. Merkintä x + ( y) i lyhennetään tavanomaisesti x + ( y) i =x yi. Luku i vastaa geometrisesti luvun 1 kiertoa vastapäivään kulman π/2 verran. Määritelmä 3. Kompleksilukujen joukolla C tarkoitetaan joukkoa C ={x +yi x R y R}. Lukua i sanotaan imaginaariyksiköksi. Kompleksiluvunz=x +yi reaaliosa onx=re(z) ja imaginaariosa ony= Im(z). Kompleksilukujen esitys geometrisesti tason pisteinä on peräisin tanskalais-norjalaiselta matemaatikolta Caspar Wessel (1745-1818). Koska hän kirjoitti julkaisunsa tanskaksi, niin hänen ideansa jäivät vaille huomiota, kunnes Jean-Robert Argand (1768-1822) ja Johann Carl Friedrich Gauss (1777-1855) keksivät asian uudelleen. Esimerkki. Kompleksiluvun z = 1 + 2i reaaliosa on Re(z) = 1 ja Im(z) = 2.