KURSSI MB6: MATEMAATTISIA MALLEJA II Kahden muuttujan yhtälö (suora) Suora kulkee pisteen (1, 5) kautta leikkaamatta suoraa 2y - x + 1 = 0. Mikä on suoran yhtälö? Piirrä kuvio. (s97)(y = ½x + 9/2)) Missä pisteissä suora y 3x + 12 leikkaa koordinaattiakselit? (s2013) ((0,12) ja (4,0)) Missä pisteessä suora x - 5y = 4 leikkaa y-akselin? (k2014) ((0,-4/5)) Yhtälöpari, yhtälöryhmä Vieressä olevassa kuvassa on osa erään toisen asteen polynomin kuvaajaa. Määritä polynomin lauseke ja laske sen avulla polynomin arvo muuttujan arvolla 10. (k97) (y = -1/9x 2 + 2/3x; -4 4/9) (s2013) (x = 7/5, y = 6/5) (s2012) (x= -2, y = -1) (k2012) (x = 3, y = 5) (s2013) (a =1/2, b = -1, c = -3/2)
Missä pisteessä suorat x + 5y = 1 ja x -5y = 5 leikkaavat toisensa? (s2014) ((3,-2/5)) Kiinalainen arvoitus 5 000 vuoden takaa: Häkissä on fasaaneja ja kaniineja. Niillä on yhteensä 35 päätä ja 94 jalkaa. Kuinka monta fasaania ja kuinka monta kaniinia häkissä on? (k2014) (23 ja 12) Potilas ostaa apteekista kahta lääkettä, joista toinen kuuluu peruskorvattaviin ja toinen erityiskorvattaviin lääkkeisiin. KELA maksaa peruskorvattavista lääkekuluista puolet 8,41 ylittävästä osasta ja erityiskorvattavista lääkekuluista 75 % osasta,joka ylittää 4,20. Mitkä olivat lääkkeiden hinnat, kun ne yhteensä maksoivat 51,01 ja potilaan maksettavaksi jäi yhteensä 23,16? (k03) Tietokoneella, johon voidaan kytkeä joko kirjoitin A tai kirjoitin B, valmistetaan 1200 kappaleen erä mainoslehtisiä. Käyttämällä ensin kirjoitinta A 1 h 55 min ja sitten kirjoitinta B 1 h 30 min tulee työ tehtyä. Sama työ saadaan tehdyksi käyttämällä ensin kirjoitinta B 1 h 20 min ja sitten kirjoitinta A 2 h 10 min. Kuinka monta mainoslehteä kirjoittimet A ja B tulostavat minuutissa? Kuinka kauan työ kestää, jos käytetään vain nopeampaa kirjoitinta? (k98) (A 4,8 lehtistä/min, B 7,2 lehtistä/min; 2h 50 min)) Toisen asteen polynomin kuvaajan huippu on pisteessä (-1,2), ja kuvaaja kulkee pisteen (0,½) kautta. Määritä polynomi ja sen derivaatta. Piirrä polynomin kuvaaja. (s99) ( y = 3/2x 2 3x + ½, y = -3x 3) Vieressä olevassa kuvassa on erään kolmannen asteenpolynomifunktion kuvaaja. Määritä funktion lauseke ja laske ääriarvopisteidenkoordinaatit. (k95) (y = x 3 4x 2 + 4x, (2, 0) ja (2/3, 32/27)) Helsingin kaupunki teetti ennusteen kaupungin väestönkasvusta vuodesta 2012 alkaen. Ennusteen mukaan asukasluku kasvaa lineaarisesti aikavälillä 2012 2030 niin, että kaupungissa on 607 417 asukasta vuoden 2014 alussa ja 629 894 asukasta vuoden 2018 alussa. Ennusteessa ei otettu huomioon mahdollisia kuntaliitoksia. a) Ennusteen mukaan asukasluku y toteuttaa yhtälön y = a(x 2014) + b, kun x on vuosiluku. Määritä vakioiden a ja b tarkat arvot käyttämällä yllä mainittuja tietoja. b) Kuinka paljon asukasluku kasvaa ennusteen mukaan aikavälillä 2014 2030? Anna vastaus 1 000 asukkaan tarkkuudella. c) Piirrä asukasluvun y kuvaaja välillä 2014 2030. (k2014)(a = 5619.25, b = 607417; 90 000) Kahden muuttujan epäyhtälö Ratkaise graafisesti epäyhtälöryhmä y 0 x y 2y x 6 3x y 3 ja laske syntyneen alueen pinta-ala. (k03) Tasoaluetta rajoittavat suorat x = 2, y = x ja y + 3 = 0. Piirrä alue ja kirjoita epäyhtälöt, jotka määräävät kyseisen alueen (ilman reunoja). (s96) (x < 2, y > -3 ja y < x) Lineaarinen optimointi Eräässä tosi TV sarjassa kilpailijoiden tehtävänä on kerätä kulta ja hopearahoja. Yhteensä niitä saa kerätä enintään 60 kappaletta. Kultarahan arvo on 25 ja hopearahan arvo 20. Rahat täytyy kuljettaa ohuessa muovipussissa, joka kestää kolikoita vain yhden kilo gramman verran. Yksi kultaraha painaa 20 grammaa ja hopearaha 10 grammaa. Kuinka monta kulta ja
hopearahaa kilpailijan kannattaa kerätä, jotta saaliin arvo on mahdollisimman suuri? (s2013) (40 kulta- ja 20 hopearahaa) Suora L1 kulkee pisteiden (3, 0) ja (0, 5), suora L2 pisteiden (6, 0) ja (0, 3), ja suora L3 pisteiden (2, 0) ja (2, 2) kautta. Nämä kolme suoraa ja koordinaattiakselit rajoittavat monikulmion, jonka yksi kärki on (0, 0). Etsi funktion f(x, y) = 2x 4y + 10 suurin ja pienin arvo tässä monikulmiossa. (k2016) (14 ja -2) a) Epäyhtälöt x y + 3 18, 3 2 19 x y +, x 0 ja y 0 määrittelevät nelikulmion N. Piirrä sen kuva xy-koordinaatistossa ja laske kärkien koordinaatit. b) Määritä lausekkeen 2x + y suurin ja pienin arvo nelikulmiossa N. (s2014) ((0,0), (0,6), (19/3,0) ja (3,5); 38/3 ja 0) Teollisuusvakooja löytää lukitsemattoman tietokoneen ja alkaa kopioida tiedostoja. Tietokoneessa on vain 10 kilotavun kokoisia kuvatiedostoja ja 1 kilotavun kokoisia tekstitiedos toja, joista vakoojalle on luvattu vastaavasti 100 euroa tai 8 euroa kappaleelta. a) Muodosta vakoojan kokonaispalkkion lauseke kopioitujen kuvatiedostojen lukumäärän x ja tekstitiedostojen lukumäärän y avulla lausuttuna. b) Muotoile lukumääriä x ja y koskevat rajoitusehdot, kun vakoojan muistitikulla on vain 1000 kilotavua tilaa jäljellä ja aikaa kopioimiseen on 10 minuuttia. Kuvatiedoston kopi oimiseen kuluu 5 sekuntia ja tekstitiedoston kopioimiseen 1 sekunti tiedostoa kohti. c) Kuinka monta kuva ja tekstitiedostoa vakoojan kannattaa kopioida? (k2015) (pelkkiä kuvatiedostoja 100 kpl) Ompeluseuralla on ruskeaa villalankaa 7,2 kg ja vihreää villalankaa 4,8 kg. Seura neuloo niistä kahdenlaisia villapaitoja. Uusikuosiseen villapaitaan menee 400 g ruskeaa ja 400 g vihreää lankaa. Vanhakuosiseen villapaitaan menee 600 g ruskeaa ja 200 g vihreää lankaa. Myyjäisissä saa uusikuosisesta villapaidasta 700 mk ja vanhakuosisesta 600 mk. Mikä on villapaitamyynnin suurin arvo, ja kuinka monta uusi- ja kuinka monta vanhakuosista villapaitaa on siihen neulottava? (k97) (9 900 mk, uusikuosisia 9, vanhakuosisia 6) Levitoimiseen tarvittavassa taikajuomassa on oltava vähintään 20 hyppysellistä jauhettua lepakon siipeä ja vähintään 10 hyppysellistä hämähäkin seittiä. Taikajuomapuodissa on kahta valmissekoitetta Ascensus ja Sursum. Pikarillinen Ascensusta maksaa kaksi kultarahaa, ja siinä on kolme hyppysellistä lepakon siipeä ja kaksi hyppysellistä hämähäkin seittiä. Pikarillinen Sursumia maksaa kolme kultarahaa. Siinä puolestaan on neljä hyppysellistä lepakon siipeä ja yksi hyppysellinen hämähäkin seittiä. Kuinka paljon kumpaakin sekoitetta kannattaa levitoijakokelaan ostaa, jotta hän saisi taikajuoman mahdollisimman edullisesti? (k2012) (6 2/3 pikarillista Axcensusta, ei yhtään Sursumia) Koulu hankkii 45 neliömetrin tietokoneluokkaan koneita enintään 315 000 markalla. Pöytäkone maksaa 11 500 mk, ja sen käyttöön tarvitaan tilaa 2,5 neliömetriä. Kannettava malli maksaa 17 000 mk, mutta sitä voidaan käyttää 1,5 neliömetrin tilassa. Kuinka monta kappaletta kumpaakin laitetyyppiä tulee hankkia, jotta koneita saataisiin mahdollisimman monta? (k99) (12 pöytäkonetta ja 10 kannettavaa tai 11 pöytäkonetta ja 11 kannettavaa) Kotileipomo valmistaa kahta luomutuotetta, terveyspullia ja terveyssämpylöitä. Kymmenen terveyspullan taikinaan tarvitaan 300 g luomuvehnäjauhojaja 150 g luomuohrajauhoja ja kymmenen sämpylän taikinaan 100 g samoja vehnä- ja 400 g ohrajauhoja. Leipomolla on rajallinen määrä jauhoja, 30 kg vehnäjauhoja ja 36 kg ohrajauhoja. Terveyspullan tuotto leipornolle on 0,45 ja terveyssämpylän 0,25. Kuinka paljon kumpaakin tuotetta leipomon tulisi valmistaa, jotta tuotto olisi suurin mahdollinen? Miten käy jauhovaraston, jos valmistetaan vain terveyssämpylöitä? (s03) Lukujono
Aritmeettinen jono (s2012) (1081, -10 761 678) Määritä suurin sellainen luonnollinen luku m, että 1 + 2 + 3 + + m 462 241 (k98) (961) Toipilaana oleva henkilö kävelee ensimmäisenä päivänä vain 50 metriä mutta pidentää sitten kävelymatkaansa joka päivä 100 metrillä. Kuinka pitkän matkan hän tulee kävelleeksi 30 ensimmäisen päivän aikana? (s94) (45 km) Kuinka monta prosenttia suurempi on aritmeettisen lukujonon 2, 4, 6, 8,... summa kuin sen 888 ensimmäisen termin summa? (k02) 999 ensimmäisen termin Paperirullan ulkohalkaisija on 12,0 cm ja sisähalkaisija 4,5 cm. Paperin paksuus on 0,1 mm. Kuinka monta metriä rullassa on paperia? (s95) (97 m) Kymmenen kilometrin valtatieosuudelle pystytetään valaisinpylväät 50 metrin välein. Urakoitsija hakee autolla kolme pylvästä kerrallaan varastosta, kuljettaa pylväät oikeille paikoilla ja lähtee hakemaan seuraavaa erää. Varasto sijaitsee saman tien varressa kaksi kilometriä ennen valaistavan osuuden alkua. Työ alkaa varastolta ja päättyy sinne. Kuinka pitkän matkan urakoitsija joutuu siirtotyössä vähintään ajamaan? (k99) (945 km) Geometrinen jono Henkilö lähettää sähköpostin kahdelle ystävälleen. Kumpikin näistä lähettää saman viestin 10 minuutin kuluttua edelleen kahdelle uudelle henkilölle, jotka toimivat samoin. Tilanne toistuu kunkin saajan kohdalla aina samalla tavalla, eikä kukaan saa kyseistä sähköpostia toista kertaa. Kuinka kauan kestää, että 20 000 henkilöä on saanut sähköpostin? Anna vastaus 10 minuutin tarkkuudella. (k2012) (2 h 10 min) Farao Djoser (hallitsi 2667 2648 eaa.) suunnitteli porraspyramidia, jossa on päällekkäin 100 suorakulmaista neliöpohjaista särmiötä niin, että kaikilla on sama korkeus ja jokaisen pohjasärmä on 10 % lyhyempi kuin alla olevan pohjasärmä. Alimmaisen särmiön tilavuus on 10 000 m 3. Määritä tällaisen porraspyramidin tilavuus kolmen merkitsevän numeron tarkkuudella. (k2012) (52 600 m 3 ) Pyramidihuijari avaa pankkitilin ja siirtää ensimmäisessä vaiheessa tilille 100. Tämän jälkeen hän houkuttelee mukaan kolme sijoittajaa, joista jokainen siirtää toisessa vaiheessa huijarin tilille 100. Kolmannessa vaiheessa kukin näistä kolmesta houkuttelee edelleen mukaan kolme uutta sijoittajaa, joista jokainen siirtää 100 huijarin tilille. Huijaus jatkuu saman kaavan mukaisesti. Kuinka monen vaiheen jälkeen tilillä oleva summa ylittää Suomen valtion vuoden 2013 talousarvion, joka on 54,1 miljardia euroa? (k2014)(19. vaiheen jälkeen)
Lukujonon ensimmäinen termi on 4 ja viides 1. Määritä jonon toinen, kolmas, neljäs ja kymmenes termi, kun jono on a) aritmeettinen, b) geometrinen. (k03) Uutta pesukonemallia Suomeen tuova yritys sai joulukuussa 2000 myydyksi 470 pesukonetta. Yritys sai mainostajalta tarjouksen, jossa luvattiin mainostamisen lisäävän myyntiä vuoden 2001 alusta lähtien 25 % edelliseen kuukauteen verrattuna joka kuukausi kahden vuoden ajan. a) Kuinka monta pesukonetta yritys myisi tarjouksen mukaan vuoden 2001 kesäkuussa? b) Kuinka monta konetta myynti olisi koko kahden vuoden aikana? (k02) Toipilaan tulee leikkauksen jälkeen kuntouttaa lihaksiaan harjoittelemalla tiettyä liikesarjaa päivittäin kuukauden mittaisen kuntoutusjakson ajan. Hän aloittaa 15 minuutin pituisella voimistelulla ja lisää suoritusaikaa kuntoutusohjelman mukaan joka kerralla viidellä prosentilla. a) Kuinka pitkän ajan hän voimistelee kuntoutusjakson 30. päivänä? b) Kuinka paljon hän kaikkiaan käyttää aikaa voimisteluun kuntoutusjakson aikana? Anna vastaukset minuutin tarkkuudella. (s00) Geometrisen jonon suhdeluku on 4 ja kymmenen ensimmäisen termin summa 3 844 775. Määritä jonon ensimmäinen termi. Mikä on jonon kymmenes termi? (s03) Hirsirakennuksen pystyttäjä ilmoittaa seinien painuvan kokoon ensimmäisenä vuotena 1 % korkeudesta ja kunakin seuraavana vuotena 60 % edellisen vuoden painumasta. Voiko vastavalmistuneen hirsirakennuksen 270 cm korkeaan huoneeseen huoletta pystyttää 262 cm korkean kaapin? (s98) (voi) (kokonaispainuma S n lähestyy arvoa 6,75, kun n on hyvin suuri, eli huoneen korkeus arvoa 263,25 cm, mikä on yli 262 cm.) Kooltaan pieneneviä kuutioita pinotaan päällekkäin. Ensimmäisen kuution särmä on tasan yksi metri, ja muiden kuutioiden särmät ovat pituudeltaan aina puolet alla olevan kuution särmästä. a) Määritä kolmen alimman kuution ja n:nnen kuution särmän pituus. b) Kuinka korkea on pino, jossa on 10 ensimmäistä kuutiota? Laske taulukkoon pinon korkeuden arvot, kun kuutioita on 11, 12, 13 ja 14. Jos ajatellaan kuutioiden lukumäärän kasvavan rajatta, niin mitä lukua pinon korkeus näyttää lähestyvän? (k01) Rekursiivinen lukujono (k2014)(n = 7) Henkilö suunnittelee kalastusaltaan perustamista liikeyrityksenä. Altaaseen istutettaisiin toukokuun alussa 5 000 kirjolohta. Joka viikko altaan kirjolohista pyydettäisiin noin 20 %, ja seuraavan viikon alussa altaaseen siirrettäisiin aina 100 uutta kirjolohta. Kirjolohia voi suurissa erissä ostaa kalankasvattajalta 10 markan kappalehintaan. Kuinka monta kalaa altaassa olisi 20 viikon kuluttua kalastussesongin päättyessä? Mikä pitäisi asettaa altaasta pyydettävän kirjolohen hinnaksi, jotta liikeyritykselle jäisi kalojen hankintakustannusten jälkeen katteeksi 20 viikon ajalta 50 000 mk, kun mahdollisesti pyytämättä jääneet kirjolohet myytäisiin kalasavustamoon 13 markan kappalehintaan? (k00) (450, 17,55 mk) Auton jäähdytin, jonka tilavuus on 10 litraa, vuotaa litran vuorokaudessa. Jäähdytintä ei ole ehditty korjata, vaan siihen on lisätty joka aamu litra vettä. Maanantaiaamuna jäähdytin oli täynnä liuosta, jonka pakkasnestepitoisuus oli 40 tilavuusprosenttia. Viikon päästä maanantaiaamuna jäähdyttimeen lisättiin
jälleen vettä, ennen kuin auto viimein vietiin korjaamoon. Mikä oli tuolloin jäähdyttimen pakkasnestepitoisuus? Mikä olisi pakkasnestepitoisuus ollut, jos auto olisi viety korjaamoon viikon sijasta neljän viikon kuluttua? (s02) Rahastosäästäjä ostaa osakerahaston osuuksia tai niiden osia 100 eurolla joka kuukausi. Ensimmäisellä ostokerralla yhden rahasto-osuuden arvo on 20. Oletetaan, että kurssi laskee tästä 2 eurolla joka kuukausi, kunnes saavuttaa pohjalukeman 8. Tämän jälkeen kurssi alkaa toipua ja nousee 2 eurolla joka kuukausi, kunnes se on saavuttanut lähtöarvonsa 20, jolloin säästäjä tekee viimeisen ostonsa. Selvitä säästäjän osakesalkun arvo periodin lopussa. Kuinka monta prosenttia suurempi tämä on, kuin jos hän olisi sijoittanut periodin alussa yhdellä kertaa koko sijoittamansa summan? Sijoittamisesta koituvia kuluja (ja mahdollisia osinkoja) ei oteta huomioon. (s03) Ranskalaisen matemaatikon Adrien Legendren mukaan nimetyt polynomit P n (x) määritellään rekursiivisesti seuraavalla tavalla: P x) 1, P ( x) x 0 ( 1 2n 1 n 1 Pn ( x) xpn 1( x) Pn 2( x), kun n = 2,3,4,... n n Määritä arvoja n = 2 ja n = 3 vastaavat polynomit P 2 (x) ja P 3 (x) sekä näiden derivaatat P 2 (x) ja P 3 (x). Osoita, että on voimassa yhtälö P 3 (x) - x P 2 (x) = 3 P 2 (x). (k01)