BM20A0300, Matematiikka KoTiB1 Luennot: Heikki Pitkänen 1 Oppikirja: Robert A. Adams: Calculus, A Complete Course Luku 12 Luku 13 Luku 14.1 Tarvittava materiaali (luentokalvot, laskuharjoitustehtävät ja niiden ratkaisut) löytyy Nopasta.
Kurssin sisältö Usean muuttujan funktiot ja niiden kuvaajat Osittaisderivaatat 2 Usean muuttujan funktion differentiaali Suunnattu derivaatta ja gradientti Osittaisderivaattojen sovelluksia Ääriarvot, niiden löytäminen, luokittelu ja sovellukset Pienimmän neliösumman menetelmä Lagrangen kertoimet Kaksiulotteinen integraali
1 Osittaisderivaatat 1.1 Usean muuttujan funktiot, (Functions of several variables) Yhden (reaali)muuttujan funktio f(x) on kuvaus, jossa jokaista määrittelyjoukon pistettä (x 1, x 2, x 3,..., x n ) vastaa yksikäsitteinen reaaliluku f(x 1, x 2, x 3,..., x n ) 3 Vastaavasti kahden muuttujan funktio f(x, y) on kuvaus jossa jokaista pisteparia (x, y) vastaa yksikäsitteinen reaaliluku f(x, y). Kahden muuttujan funktion kuvaaja, ts. yhtälön z = f(x, y) kuvaaja, on joukko pisteitä R 3 :ssa, joiden koordinaatit ovat (x, y, f(x, y)). Kahden muuttujan funktio voidaan esittää graafisesti myös tasokäyrinä f(x, y) = C xy tasossa (topografinen kartta). Tasokäyrät ovat käyrien, joilla kuvaaja z = f(x, y) leikkaa tasot z = C, projektioita xy tasoon.
1.2 Raja arvot ja jatkuvuus, (Limits and continuity) Raja arvo lim (x,y) (a,b) f(x, y) = L jos ja vain jos jokaista positiivista kokonaislukua ɛ vastaa positiivinen luku δ = δ(ɛ) siten, että f(x, y) L < ɛ, kun 0 < (x a) 2 + (y b) 2 < δ, (1) 4 ts. jos kaikki pisteet (a, b):n ympäristössä paitsi mahdollisesti piste (a, b) kuuluvat f:n määrittelyjoukkoon ja jos f(x, y) lähestyy L:ää kun (x, y) (a, b). Jos raja arvo on olemassa, se on yksikäsitteinen. Jotta raja arvo olisi olemassa, on f(x, y):n lähestyttävä lukua L, kun (x, y) lähestyy (a, b):tä kaikista suunnista xy tasossa. Esim. Onko funktiolla f(x, y) = 2xy x 2 +y raja arvoa, kun 2 (x, y) (0, 0)
5 Useamman muuttujan funktioiden raja arvot noudattavat samoja sääntöjä kuin yhden muuttujan funktioiden raja arvot, esim. jos lim (x,y) (a,b) f(x, y) = L ja lim (x,y) (a,b) g(x, y) = M lim (f(x, y) ± g(x, y) = L ± M (x,y) (a,b) lim f(x, y)g(x, y) = LM (x,y) (a,b) f(x, y) lim (x,y) (a,b) g(x, y) = L M Lisäksi jos F (t) on jatkuva, kun t = L, (2) lim F (f(x, y)) = F (L). (3) (x,y) (a,b) Funktio f(x, y) on jatkuva pisteessä (a, b), jos lim f(x, y) = f(a, b) (4) (x,y) (a,b)
1.3 Osittaisderivaatat, (Partial derivatives) Funktion f(x, y) ensimmäiset osittaisderivaatat muuttujien x ja y suhteen ovat funktiot f 1 (x, y) ja f 2 (x, y), jotka saadaan seuraavasti: 6 f(x + h, y) f(x, y) f 1 (x, y) = lim h 0 h f(x, y + k) f(x, y) f 2 (x, y) = lim, (5) k 0 k mikäli kyseiset raja arvot ovat olemassa. Ensimmäinen osittaisderivaatta f 1 (x, y) kertoo f(x, y):n muutosnopeuden x:n suhteen pisteessä x = a, kun y = b on vakio. Graafisesti: f 1 (a, b) on kuvaajan z = f(x, y) ja tason y = b leikkauskäyrän kulmakerroin pisteessä x = a.
Merkinnät: z x = x f(x, y) = f 1(x, y) = D 1 f(x, y) z y = y f(x, y) = f 2(x, y) = D 2 f(x, y) (6) 7 Osittaiderivaatat pisteessä (a, b): ( ) z x (a,b) = f(x, y) (a,b) = f 1 (a, b) = D 1 f(a, b) x z y (a,b) = ( f(x, y) y ) (a,b) = f 2 (a, b) = D 2 f(a, b) (7) Joskus käytetään myös merkintöjä f x ja f y. Osittaisderivaatoille pätevät samat säännöt kuin yhden muuttujan funktioiden derivaatoille (summa, tulo, osamäärä, käänteisfunktion derivaatta).
Pinnan z = f(x, y) normaalivektori pisteessä (a, b, f(a, b)): n = f 1 (a, b)i + f 2 (a, b)j k (8) Pinnan z = f(x, y) tangenttitason yhtälö pisteessä (a, b, f(a, b)): 8 z = f(a, b) + f 1 (a, b)(x a) + f 2 (a, b)(y b). (9) Pinnan z = f(x, y) normaalisuoran yhtälö: x a f 1 (a, b) = y b z f(a, b) = f 2 (a, b) 1 (10) Esim. Etsi kuvaajan z = sin(xy) normaalivektori ja tangenttitason ja normaalisuoran yhtälöt pisteessä x = π/3, y = 1.
1.4 Korkeamman kertaluvun derivaatat Jos z = f(x, y), voidaan laskea toisen kertaluvun derivaatat: Puhtaat toiset osittaisderivaatat x:n tai y:n suhteen 9 2 z x 2 = z x x = f 11(x, y) = f xx (x, y) 2 z y 2 = z y y = f 22(x, y) = f yy (x, y) (11) Toiset sekaderivaatat x:n ja y:n suhteen: 2 z x y = x z y = f 21(x, y) = f yx (x, y) 2 z y x = z y x = f 12(x, y) = f xy (x, y) (12)
Vastaavat merkinnät useamman muuttujan funktioille, esim. w = f(x, y, z) 5 w y x y 2 z = y x y w y z = f 32212(x, y, z) = f zyyxy (x, y, z) (13) 0 Oletetaan, että funktion f kaksi n:nnen kertaluvun sekaderivaattaa sisältää derivointeja eri järjestyksessä. Jos osittaisderivaatat ovat jatkuvia pisteessä P ja jos f ja kaikki n:ää alemman kertaluvun osittaisderivaatat ovat jatkuvia pisteen P ympäristössä, sekaderivaatat ovat samoja pisteessä P. Esim. Laske f 223 (x, y, z), f 232 (x, y, z) ja f 322 (x, y, z), kun f(x, y, z) = e x 2y+3z.
Osittaisderivaattoja esiintyy osittaisdifferentiaaliyhtälöissä: Laplacen yhtälö: Ratkaisu: 2 z x 2 + 2 z y 2 = 0 (14) 1 z = e kx cos(ky) ja z = e kx sin(ky) (15) Kahden muuttujan funktio, jolla on jatkuvat toiset osittaisderivaatat jossain tason osassa, on harmoninen, jos se toteuttaa Laplacen yhtälön. Aaltoyhtälö: Ratkaisu: 2 w t 2 = c2 2 w x 2 (16) w = f(x ct) + g(x + ct) (17)