Tiia Monto Työ tehty: 8.5.9 tiia.monto@jyu. 475856 FysA3/3 Potentiaalikuoppa Suppea raportti Assistentti: Joni Pasanen Hyväksytty/hylätty: Työ jätetty: Abstract I studied how the Matlab program can calculate numerically the eigenenergies compared to the analytically calculated values. This research includes both cosine potential well and Gaussian potential well, which are approimated with the harmonic oscillator. Additionally the absolute error seemed to be smaller with lowest eigenenergy in both cases.
Sisältö Johdanto 3 Teoreettiset lähtökohdat 3. Harmoninen värähtelijä............................. 3. Kosinikuoppa.................................. 5.3 Laserin aiheuttama potentiaali......................... 5 3 Numeeriset menetelmät 5 3. Eulerin menetelmä............................... 6 3. Matlab-ohjelma................................. 6 4 Havainnot ja laskut 6 4. Harmoninen värähtelijä............................. 7 4. Kosinikuoppa ja Gaussinen potentiaalikuoppa................ 8 5 Johtopäätökset 9 6 Huomioita työstä 9
Johdanto Potentiaalikuoppa kuvastaa järjestelmää, jossa hiukkasella on sidottuja tiloja. [, sivu 88] Tällöin hiukkasen liike on rajoitettu tiettyyn alueeseen ja sillä on kvantittuneet energian arvot. Tässä työssä tutkin annetun Matlab-ohjelman toimivuutta potentiaalikuoppien energioiden laskemiseksi. Ensin laskin analyyttisesti lähtien Schrödingerin yhtälöstä energian arvot harmoniselle värähtelijälle sekä harmonisella värähtelijällä approksimoidulle kosinikuopalle ja Gaussiselle potentiaalikuopalle. Sen jälkeen katsoin, millaisia energian arvoja Matlab-ohjelma em. kuopille antaa ja vertasin niitä laskemiini arvoihin. Teoreettiset lähtökohdat. Harmoninen värähtelijä Johdon harmonisen värähtelijän ominaisenergioille ja aaltofunktioille olen tehnyt Kari Eskolan luentomonisteen [] pohjalta. Stationaarinen Schrödingerin yhtälö on muotoa d Ψ() + m d mω Ψ() = EΨ(), () missä siis, 5457 34 Js on Planckin vakion johdannainen, m massa, Ψ aaltofunktio, ω kulmataajuus hiukkasen paikka ja E energia. Määritellään dimensiomattomat muuttujat y = mω sijoitetaan yhtälöön, ɛ = E ω ja Ψ() = Nu(y), jotka ωnu (y) + ωnu(y)y = ɛ ω Nu(y) () u (y) + (ɛ y )u (y) =. (3) Sijoitetaan yhtälöön 3 yrite u(y) = F (y)e y d (F (y)e y ) + (ɛ y )F (y)e y = d (4) F (y) F (y) + (ɛ )F (y) =. (5) Ratkaistaan yllä oleva yhtälö Frobeniuksen sarjamenetelmällä käyttämällä yritettä F (y) = n= a ny n+r. Nyt siis sijoitetaan yrite ja sen derivaatat yhtälöön 5 ja saadaan (n + r )(n + r)a n y n+r y(n + r)a n y n+r + (ɛ )a n y n+r = (6) ) ((n + r )(n + r)a n y n+r (n + r)a n y n+r + (ɛ )a n y n+r = (7) 3
Kun n =, niin ylläolevan yhtälön alin potenssi on y r, jonka kertoimesta saadaan a r(r ) =. Tästä seuraa, että joko r = tai r =. Valitaan tutkiskelun kohteeksi tapaus r = ja saadaan yhtälö 7 muoto (n )na n y n + ( n + ɛ )a n y n =, (8) josta ensimmäisen termin muuttujienvaihdolla saadaan ) ((n + )(n + )a n+ + (ɛ n )a n y n =. (9) } {{ } = Nyt saadaan rekursiorelaatioksi a n+ = n + ɛ (n + )(n + ) a n. () Ratkaisut normittuvat vain, jos sarja katkeaa ja F ():llä on polynomiratkaisu, eli on olemassa n ma = M. Nyt saadaan a M+ = M + ɛ (M + )(M + ) = () ɛ = M +. () Koska yllä määrittelimme ɛ = E, jonka sijoittamalla yhtälöön saamme harmonisen ω oskillaattorin energialle kvantittuneet arvot Sijoitetaan energian yhtälö yhtälöön 5 E M = ωɛ = ω(m + ). (3) F (y) yf (y) + MF (y) =, (4) jonka normittuvat ratkaisut ovat Hermiten polynomeja F (y) = H M (y). Ĥ:n ominaisfunktiot, eli stationaarista tilaa kuvaavat aaltofunktiot ovat Ψ M () = Nu(y) = NH M (y)e y. Normitustekijä N voidaan laskea seuraavasti N < Ψ N Ψ M > = δ NM (5) mω mω dhn( mω )H M( )e = δ NM (6) N mω dyh N(y)H M(y)e y = δ NM, (7) missä siis H N (y)h M (y)e y = M πm!δ NM, jolloin saadaan normitusvakioksi N = ( mω π ) 4 M M!. (8) 4
. Kosinikuoppa Tutkittavan kosinikuopan potentiaali on { J( cos()), [ π, π] V () =, / [ π, π], missä J on vakio. Potentiaali on siis kuopan alueella kosinifunktio. Nyt approksimoidaan Taylorin sarjalla kosinia cos() ja sijoitetaan se tutkittavan kosinikuopan potentiaalin yhtälöön: V () =, [ π, π] (9) Jos ylläoleva potentiaali on sama kuin harmonisen värähtelijän potentiaali, niin V () = = mω ω = J m. () Harmonisen oskillaattorin energiaksi approksimoitu kosinikuopan energia siis tulee muotoon E n = ω(n + J ) = m (n + ). ().3 Laserin aiheuttama potentiaali Laserin aiheuttama potentiaali voidaan kirjoittaa muodossa V () = J( e ). () Neperin lukua potensseineen voidaan approksimoida Taylorin sarjalla e +, joka sijoitetaan laserin aiheuttamaan potentiaaliin V () =. (3) Approksimoidaan yllä saatua potentiaalia harmonisella oskillaattorilla: V () = = mω ω = J m. (4) Nyt ω:n arvo on sama kuin kosinin tapauksessa, joten energiatkin on samoja: E n = ω(n + J ) = m (n + ). (5) 3 Numeeriset menetelmät Työn ns. kokeellinen osuus oli Matlab-ohjelmalla suoritettu potentiaalienergian laskemista numeerisesti. Matlab-ohjelman laskentamenetelmä perustuu viidennen asteen Runge- Kutta -menetelmään. Kuvaan nyt kuitenkin Euler-menetelmän, joka on samantapainen kuin Runge-Kutta -menetelmä. 5
3. Eulerin menetelmä Euler-menetelmä on Leonhard Eulerin mukaisesti nimetty tapa, jolla voidaan numeerisesti ratkaista dierentiaaliyhtälöitä annetuista alkuarvoista. Eulerin menetelmässä tutkitaan alkuarvo-ongelman ratkaisua. Tiedetään alkupiste y( ) = y ja derivaatta on y () = f(y, ). (6) Edetään tangenttia myöten tietyn mittainen askel, joka on pituudeltaan n n = h. Taylorin sarjan avulla saadaan [3] y( + h) = y() + hy () + h y () +... (7) = y() + hf(y, ) + h f(y, ) () +... (8) Yllä olevasta yhtälöstä huomioidaan vain pari ensimmäistä termiä ja saadaan y n+ = y n + hf(y n, n ). (9) 3. Matlab-ohjelma Nyt siis Matlab-ohjelma on tehnyt Schrödingerin yhtälöstä yhtälöparin v () = (V () E)u() (3) u () = v(), (3) jossa u() on aaltofunktio ja v() aaltofunktion derivaatta. Ohjelma ratkaisee u():ää ja v():ää Eulerin menetelmää muistuttavalla viidennen asteen Runge-Kutta -menetelmällä. Alkuarvoina ohjelma käyttää annettuja kuopan reunoja ja se laskee aaltofunktiota vasemmasta reunasta oikealle ja oikeasta reunasta lähtevää vasempaan kohti. Kuopan keskikohdassa se liimaa vasemmalta ja oikealta lähtenyttä aaltofunktiota yhteen siten, että liimauskohdassa funktioiden arvot ja derivaatat ovat suunnilleen yhtä suuret. Kun funktiot ovat tarpeeksi lähellä toisiaan, ohjelma tulostaa vastaukseksi ans huomattavan pienen arvon ja kun funktiot eivät kohtaa, ans saa suuren arvon. Käytännössä siis ohjelmalle syötetään jokin energian arvo ja katsotaan, tuleeko ohjelman tulostamasta aaltofunktiokuvaajan funktioista yhtenevät, eli liimaantuvatko ne yhteen muodostaen yhden jatkuvasti derivoituvan funktion. Ensimmäinen alkuarvaus on sellainen ominaisenergian arvo, joka on laskettu analyyttisesti ja sen jälkeen arvoa pienennetään/suurennetaan, jos funktiot eivät kohtaa. Kun funktiot kohtaavat, ollaan löydetty ohjelman mielestä oikea ominaisenergian arvo. 4 Havainnot ja laskut Matlab-ohjelma käytti SI-yksiköiden sijasta arvoja = ω = m =. Ohjelman ajaminen tapahtuu komennolle kuoppa(a,b,e), missä a on kuopan vasen reuna, b oikea reuna ja E kokeiltava energian arvo. Käytin reunojen arvoina a=-5 ja b=5, jotka siis ovat yhtä kaukana origosta. Ohjelma tulostaa vastauksena lukumäärän ans, lambdan sekä aaltofunktion, aaltofunktion derivaatan ja potentiaalin kuvaajat. 6
4. Harmoninen värähtelijä Kun sijoitetaan yhtälöön 3 Matlab-ohjelman käyttämät arvot = ω = m =, niin voidaan laskea teoreettiset energian arvot yhtälöstä E = (n+ ). Teoreettiset ja numeerisesti Matlab-ohjelmalla saadut energian arvot ovat taulukossa Taulukko : Matlab-ohjelmaan syötetyt harmonisen värähtelijän energian arvot sekä ohjelman tulostamat arvot λ ja ans n E λ ans.5.5 4.884.5.5.885.5.5.964 3 3.5 4.5 5.478 9 3 3.5 3.5. 4 4.5 4.5.687 Harmoniselle värähtelijälle ohjelma antoi muutoin samat ominaisenergian arvot kuin mitä sain analyyttisesti laskemalla. Poikkeuksena oli, jos alkuarvoksi syötti 3.5, niin ohjelma tulosti jatkuvasti derivoituvat kuvaajat ja antoi pienen ans:n arvon, mutta tulostikin lambdaksi arvon 4.5 eikä 3.5. Jos alkuarvon muutti arvoksi 3.5, niin lambdaksi tuli myös 3.5, joskin tällöin ans:n arvoksi tuli suuri luku. Tässä kohti siis ohjelmassa lienee jokin virhe. Kuvissa -3 näkyy ohjelman tulostamat kuvaajat ominaisenergian arvolla E =, 5. Etenkin kuvasta aaltofunktion derivaatan kuvasta 3 voi huomata derivaatan jatkuvuuden: vasemmalta ja oikealta tulevat funktiot liimaantuvat toisiinsa ja ovat jatkuvia. 4 ψ().8.6.4...4.6.8 dψ()/d.5.5.5 8 6 4 5 5 5 5 5 5 Kuva : Väli [-5, 5], E=.5: aaltofunktio Kuva : Väli [-5, 5], E=.5: aaltofunktion derivaatta Kuva 3: Väli [-5, 5], E=,5: potentiaali Kokeilin ohjelmaa myös antamalla reunoille arvot a=- ja b=. Alimman analyyttisesti lasketun energian arvolla E =.5 ohjelma tulosti alla olevat kuvaajat 4-6. Aaltofunktion kuvaaja muodostaa terävän piikin ja aaltofunktion derivaatta ei ole jatkuva, tämä kertoo siitä, että ohjelman mielestä annettu energian arvo ei ole oikea ominaisenergian arvo. Tämä johtuu siitä, että kuopan reunat on liian lähellä toisiaan, jolloin tarkasteluvälille ei mahdu yhtäkään energiatilaa: potentiaalin kuvaajassa ei ole energiaa kuvaavaa vaakasuoraa viivaa. 7
ψ().9.8.7.6.5.4.3.. dψ()/d.5.5.5.5.45.4.35.3.5..5..5.5.5.5.5.5.5 Kuva 4: Väli: [-, ], E=.5: aaltofunktio Kuva 5: Väli: [-, ], E=.5: aaltofunktion derivaatta Kuva 6: Väli: [-, ], E=,5: potentiaali 4. Kosinikuoppa ja Gaussinen potentiaalikuoppa Kosinikuopalle käytin tarkasteluväliä a = π ja b = π, gaussiselle kuopalle a = 5 ja b = 5. Kosinikuoppaa ja gaussista potentiaalikuoppaa oli approksimoitu harmonisella värähtelijällä luvussa. ja.3. Sijoitetaan analyyttisesti laskettuun yhtälöön arvot = m = ja saadaan E = J(n + ), joka on siis sama kosinikuopalle ja Gaussiselle potentiaalikuopalle, kuten aiemmin todettiin. J:lle käytetään arvoja, 6 ja. Sekä analyyttisesti (approksimoitu) että numeerisesti lasketut ominaisenergian arvot ovat taulukossa. Merkki lambdan arvon kohdalla tarkoittaa, että kyseinen energia ei mahtunut kuoppaan, vaan potentiaalienergiaa kuvaava viiva jää kuopan yliäpuolelle. Taulukko : Matlab-ohjelmaan syötetyt kosinikuopan ja gaussisen potentiaalin energian arvot sekä ohjelman tulostamat arvot λ ans ja δ J= J=6 J= Kosini Gaussinen n E λ ans δ λ ans δ.5.4676 5.939.648.463 7.584 3.874.5.3434.9.44.996.6.3396.5.577.579.369.655.4555.4938 3 3.5 4.663 6.669.94 3.787 3.68.98.968.98.59.958.8996.47 6 5.839.3.68 5.579.54 9.83 9.5744.7.46 8.746.94.85 3 4 6.635.94.86 3.6845.535.5 5 4.9686.34.63 4.96 3.8495.88 5 4.849.746 9.5 4.56.6599 9.36 5 4.5866.976.65 3.7573 5.83.497 3 35 34.998..9 3.5889.4669 9.689 Kuten taulukosta ilmenee, analyyttisesti lasketut ominaisenergian arvot eivät vastaa täysin numeerisia arvoja. Tämä johtuu siitä, että harmoninen värähtelijä ei toimi täydellisesti kosinikuopan kuvaamiseen, sillä se on vain approksimaatio. Esimerkkikuvat kosinikuopan tapauksesta ovat kuvissa 7-9, jotka siis vastaavat analyyttisesti laskettua energian arvoa E =.5 ja joissa J =. 8
ψ().9.8.7.6.5.4.3.. dψ()/d.6.4...4.6.8.6.4..8.6.4. 4 3 3 4.8 4 3 3 4 4 3 3 4 Kuva 7: Väli [ π, π], Kuva 8: Väli [ π, π], J=, E=.5: kosinikuopanj=, E=.5: kosinikuopan aaltofunktio aaltofunktion derivaatta Kuva 9: Väli [ π, π], J=, E=.5: kosinikuopan potentiaali Parametri δ on virhe ja se kertoo numeerisen arvon ja analyyttisen arvon erotuksen suhteen analyyttiseen arvoon δ = λ E, eli mitä pienempi arvo sillä on, sitä paremmin numeerinen ja analyyttinen arvo vastaavat toisiaan. Kun J:n arvo pysyy samana, kosinikuopan E δ:n arvo suurenee energiamäärän suurentuessa. Kun verrataan δ:n arvoja kosinikuopalle J:n kasvaessa, huomataan, että virheen arvo pienenee. Gaussiselle kuopalle on havaittavissa J:n arvon noustessa kaikilla energiatiloilla virheen pienenemistä lukuunottamatta δ:n arvoa ylimmällä energiatilalla, kun kun J =. 5 Johtopäätökset Luvussa 4. todettiin Matlabilla ajettavan kuoppa-ohjelman toimivan harmonisen oskillaattorin kuvaamiseen, sillä numeeriset arvot vastasivat täysin analyyttisiä arvoja, ohjelma siis näyttäisi toimivan. Varsinaisessa työssä ensin approksimoitiin analyyttisesti Gaussinen potentiaalikuoppa ja kosinikuoppa harmoniseksi värähtelijäksi ja sen jälkeen katsottiin, mikä tulos ominaisenergialle saadaan kuoppa-ohjelmalla. Gaussisen ja kosonikuopan tapauksissa virhe δ sai nollaa suurempia arvoja, mikä johtuu analyyttisesti tehdyistä approksimaatioista ko. kuopille. Kosinikuopalle analyyttinen ominaisenergian arvo vastasi numeerisesti laskettua parhaiten pienillä energian arvoilla ja kun J oli suurimmillaan, virhe pienentyi. Samoin näytti olevan myös Gaussisen kuopan kanssa. Tästä voidaan siis päätellä, että harmoninen värähtelijä on parhaimmillaan, kun kuvataan mahdollisimman matalia energian arvoja mahdollisimman suurilla J:n arvoilla. 6 Huomioita työstä Työohjeet eivät vastanneet täysin paritehtävän eikä assistentin suullisia ohjeita työstä. Työohjeessa harhaanjohtavasti puhutaan äärettömän syvästä tasapohjaisesta potentiaalikuopasta, vaikka sellaista ei työtä tehdessä tarvinnut käsitellä. Lisäksi työohjeessa kerrotaan, että Numeeriset menetelmät -kappaleessa pitäisi kertoa 4. asteen Runge- Kutta -menetelmästä, vaikka assistentti sanoi suullisesti, että Numeeriset menetelmät -kappaleeseen tulee kertoa Euler-menetelmästä. Työohje kaipaa siis päivitystä. En tiedä, onko tämä merkityksellistä, mutta ohjelman tulostamassa potentiaalikuoppakuvassa ei ole labeleita, jotka kertoisivat, mitä vaaka- ja pystyakseli tarkoittavat. 9
Työstä tulisi olla myös potentiaalikuopan Matlab-ohjelmaan liittyvät (lyhyehköt) käyttöohjeet netissäkin, niin työn voisi tehdä kokonaan itsenäisesti, jos ei tarvitse henkilökohtaista opastusta itse Matlabin käytössä. Viitteet [] Kari J. Eskola. Luentomoniste: Kvanttimekaniikka, fysa3, 7op, Kevät 9. [] A. C. Phillips. Introduction to Quantum Mechanics. Wiley, 3. [3] Helsingin yliopisto. Luentomateriaali: Me7, luento 5: Dierentiaalimallin ratkaisu, dierentiaaliyhtälön ratkaiseminen. http://www.mm.helsinki./mmeko/kurssit/me7/me7%luento%5.pdf.