Säätötekniikan alkeita Säätötekniikan avulla pyritään ohjaamaan erilaisia i i järjestelmiäj älyä sisältävällä menetelmällä. Tavoitteena on saada systeemi käyttäytymään halutulla tavalla luotettavasti, taloudellisesti ja tarkasti ympäristön häiriöistä riippumatta. Säätötekniikan sovelluksia löytyy kaikkialta; sähkötekniikasta, elektroniikasta, koneautomaatiosta, prosessiteollisuudesta, talous-järjestelmistä, liikenteen ohjaamisesta. Usein säädettävät järjestelmät sisältävät monen insinöörialan piiriin kuuluvia komponentteja. Esimerkkinä voidaan mainita kemiallinen prosessi, jonka hallinta edellyttää sähköisiä ja hydraulisia toimilaitteita sekä elektronisen ohjauksen. BL40A0000 SSKMO KH 1 Säätöjärjestelmän yleiset ominaisuudet Systeemi voidaan esittää lohkona, jolla on tulosignaaleja (input) ja lähtösignaaleja (output). Lisäksi systeemin käyttäytymiseen vaikuttavat häiriösignaalit. Signaalit käsitetään yleisesti systeemissä eteneväksi informaatioksi. Fysikaalinen systeemin ohjaus edellyttää lisäksi energiaa. Ympäristö Häiriöt Energia Tulo Fysikaalinen Lähtö Systeemi BL40A0000 SSKMO KH 2 1
Avoimen ja suljetun piirin säätö Säädön tarkoituksena on saada lähdöt käyttäytymään halutulla tavalla. Säätöjärjestelmät voidaan jakaa karkeasti kahteen luokkaa, avoimen piirin säätö (open loop control) eli ohjaus ja takaisin-kytketty säätö (feedback control) eli lyhyesti säätö. Avoimen piirin säädössä tiedetään, kuinka systeemi reagoi tulo- signaaliin. Häiriöiden vaikutuksia ei voida kompensoida. Takaisinkytketty säätö mittaa systeemin lähdön, ja vertaa sitä annettuun ohjearvoon. Häiriöt pystytään kompensoimaan. Käsky suure Käsky suure Toimilaite Säätäjä Ulkoiset häiriöt Ulkoiset häiriöt Toimilaite Mittalaite Prosessi Prosessi Ohjattu suure Säädetty suure BL40A0000 SSKMO KH 3 Esim. Auton kuljettaminen Ohjearvona suunnalle on tien suunta ja nopeudelle nopeusrajoitus. Säätäjänä toimii ajaja, joka muodostaa aivojen, käsien ja jalkojen avulla ohjaussignaalin auton ohjauslaitteille. Ohjauslaitteiden välityksellä vaikutetaan itse prosessiin, eli autoon ja sen kulkusuuntaan. Oloarvot, eli auton suunta ja nopeus, mitataan kuljettajan silmien avulla. Liikenne Tuuli (Silmät) (Kädet) Tien suunta + Toimilaite Säätö Nopeusrajoitus laki + Toimilaite (Jalat) Ratin asento Jarru Kaasu Auton dynamiikka Suunta Nopeus BL40A0000 SSKMO KH 4 2
Säätöjärjestelmän peruskomponentit Säätäjä eli säätölaki (controller, control law) Toimilaite (actuator) Säädettävä systeemi (proces Mittalaite (sensor). Perussignaalit ovat ohjearvo (command input, reference value), oloarvo (actual value, controlled output) sekä näiden erotuksesta muodostettu erosuure (error). Häiriö v(t) Disturbance Ohjearvo r(t) Virhe e(t) u(t) + Säätölaki Toimilaite Command input - Error Control law Actuator Säädettävä Systeemi Oloarvo y(t) Contolled output Takaisinkytkentä Feedback signal Mittalaite Sensor BL40A0000 SSKMO KH 5 Säätösysteemin suunnitteluprosessi 1. Säätötehtävän määritys: Mitä, miten ja miksi säädetään? Onko säätömuoto esim. vakioarvo-, ohjelma- vai seurantasäätö? 2. Matemaattisen mallin määritys, differentiaaliyhtälö 3. Ympäristön vaikutukset, häiriöt 4. Säätämättömän systeemin ominaisuuksien analysointi, Matlab 5. Säätösysteemin suunnittelu, säätömenetelmän valinta, Matlab 6. Säätösysteemin analysointi: Stabiilius, tarkkuus, herkkyys häiriöille, taloudellisuus. Matlab. Ellei haluttuihin kriteereihin päästä, voidaan tarvittaessa palata kohtaan 5 ja muuttaa säätöperiaatetta. 7. Säätöjärjestelmän tekninen toteutus BL40A0000 SSKMO KH 6 3
Systeemin matemaattinen esitys Säätöjärjestelmän suunnittelu ja analysointi edellyttää systeemin matemaattista mallia, joka kuvaa systeemin staattisen ja dynaamisen käyttäytymisen. Tarvitaan siis systeemin differentiaaliyhtälöt. Mikäli differentiaaliyhtälöt ovat lineaarisia tai linearisoitavissa, voidaan systeemin analyysissä käyttää lineaarista säätöteoriaa. Esim. mekaanisen jousi-massa-vaimennin systeemin differentiaaliyhtälö b M && x + b x& + k x = F k M x-paikka F-voima BL40A0000 SSKMO KH 7 Siirtofunktiot Differentiaaliyhtälöt esittävät systeemin dynaamista käyttäytymistä ajan suhteen. Lähes kaikki lineaarisen säätötekniikan menetelmät perustuvat kuitenkin differentiaaliyhtälöiden kompleksitason esitykseen, jolloin differentiaaliyhtälö tulee muuntaa kompleksitasoon Laplace-muunnoksen avulla. Laplace-muunnos F( funktiolle f(t) määritellään st F ( s ) = L{ f ( t )} = e f ( t ) dt 0 missä s on kompleksiluku. Vastaavasti funktion F( Laplace-käänteismuunnos f(t) määritellään σ + j 1 = F s e st f ( t) ( ) ds 2πj σ j BL40A0000 SSKMO KH 8 4
Siirtofunktio Määritelmä: Systeemin siirto- funktiolla tarkoitetaan systeemin lähtö- ja tulosuureen Laplacemuunnosten suhdetta, kun kaikki alkuarvot ovat nollia. Muutama tärkein Laplace-muunnos nähdään oheisessa taulukossa. Mutkikkaiden systeemien käsittely helpottuu huomattavasti, kun analyysissä käytetään siirtofunk- tioita differentiaaliyhtälöjen sijaan. Siirtofunktioilla voidaan mallittaa kaikki lineaariset aikainvariantit (differentiaaliyhtälön kertoimet vakioita ajan suhteen) systeemit. f(t) F( =L{ f(t)} 1 1/s af(t) af( a 1 f 1 (t)+... +a n f n (t) a 1 F 1 (+... +a n F n ( f (t) sf(- f(0) (1.derivaatta) f n (t) (n.derivaatta) t 0 f ( t) dt s n F(-s n-1 f(0)- s n- 2 f (0)-...- f (n-1) (0) F ( s BL40A0000 SSKMO KH 9 Esim. Mekaanisen systeemin siirtofunktio Aiemmin esitetty jousi-massa-vaimennin-systeemin systeemin differentiaaliyhtälö M && x + b x& + k x = F Laplace-muunnetaan 2 ( s X ( sx(0) x& (0)) + b( sx ( x(0) ) + kx ( F( m = Siirtofunktion määritelmän mukaan kaikki alkuarvot ovat nollia 2 ( s + bs + k) X ( F( m = Siirtofunktio saadaan ratkaisemalla lähtö jaettuna tulolla X ( 1 G( = = F( 2 ms + bs + k BL40A0000 SSKMO KH 10 5
Differentiaaliyhtälöstä siirtofunktioksi Lineaarisen aikainvariantin systeemin yleinen esitys voidaan kirjoittaa muotoon n () i ( ) = m j ai y b ju i= 0 j= 0 missä kertoimet a i ja b j ovat vakioita. Differentiaalisysteemille voidaan kirjoittaa siirtofunktioesitys n m i j ais Y ( b js U ( = i= 0 j= 0 Kun käytetään merkintöjä n m A( s ja i ) = a i s i= 0 j B( = a j s j= 0 saadaan systeemille siirtofunktio B( G ( = A( BL40A0000 SSKMO KH 11 Siirtofunktion navat ja nollat Siirtofunktion nimittäjäpolynomia A( kutsutaan karakteristiseksi polynomiksi ja sen asteluku (s:n korkein potenssi) määrää siirtofunktion kertaluvun. Karakteristisen polynomin juuria kutsutaan siirtofunktion navoiksi Siirtofunktion osoittajapolynomin B( juuria kutsutaan siirtofunktion nollakohdiksi. Navoilla ja nollakohdilla on keskeinenk merkitys säätöteknisen analyysin kannalta, sillä ne määrittelevät systeemin dynaamisen käyttäytymisen. Säätötekniikan graafisten menetelmien yhteydessä systeemi esitetään usein napa-nollakohta-diagrammilla, jossa navat ja nollakohdat on esitetty kompleksitasossa. BL40A0000 SSKMO KH 12 6
Lohkokaavioesitys Säätötekniikassa käytetään yleisesti lohkokaavioesitystä, jossa kukin osasysteemi kuvataan lohkona, joka sisältää osasysteemin siirtofunktion. Tarkastellaan aluksi systeemiä, joka koostuu kahdesta sarjaan kytketystä osasysteemistä. Kuvan sarjaan kytketyille systeemeille voidaan kirjoittaa Z ( s ) = G 1 ( s ) U ( s ) Y ( = G2( Z( = G2( G1 ( U ( Kokonaissysteemin siirtofunktio on siis sarjaankytkettyjen siirtofunktioiden tulo. U( Z( Y( G 1 ( G 2 ( BL40A0000 SSKMO KH 13 Lohkokaavioesitys Kuvassa nähdään takaisinkytketty systeemi, joka koostuu myötähaarasta ja vastahaarasta Takaisinkytketylle systeemille määritellään sekä avoimen piirin siirtofunktio että suljetun piirin siirtofunktio. Avoimen piirin siirtofunktio on myötä- ja vastahaaran siirtofunktioiden tulo G( H ( Suljetun systeemin siirto-funktio saadaan ratkaisemalla systeemin lähdön Y( ja tulon U( suhde, josta saadaan edelleen suljetun piirin siirtofunktio Y() s = G() s ( U () s H ( Y( ) => 1+ G s H s Y s = G s U s ( () ())() () () U( Y U E( Z( ( () s G( H( G = 1+ G ( () s H () s Y( BL40A0000 SSKMO KH 14 7
Taajuusvaste eli Bode-diagrammi (frequency response, Bode diagram) Klassisessa säätöteoriassa yleisesti käytetty analysointimenetelmä. Kuvaa systeemin tulo- ja lähtösignaalin välistä riippuvuutta, kun systeemin herätteenä on tietyn taajuinen sinimuotoinen signaali. Jos järjestelmän siirtofunktio on G(, saadaan taajuusvaste sijoituksella s jω eli jφ( ω) G (jω) = G(jω) e Taajuusvasteessa ollaan kiinnostuneita systeemin signaaliin tuottamasta vahvistuksesta G(jω) ja vaihesiirrosta ϕ(ω). Matlabissa taajuusvasteen piirtäminen onnistuu bode-funktiolla. BL40A0000 SSKMO KH 15 Juuriura (root locu Toinen yleisesti käytetty analysointimenetelmä. Graafinen menetelmä, jossa tutkitaan takaisinkytketyn systeemin napojen eli karakteristisen yhtälön juurien käyttäytymistä jonkin systeemiparametrin (yleensä säätäjän vahvistuksen) funktiona, ratkaisematta karakteristista yhtälöä. Koska karakteristisen yhtälön juurien sijainti määrää systeemin dynaamiset ominaisuudet, kertoo juuriura suoraan varioitavan parametrin muutoksen vaikutuksen systeemin dynamiikkaan. Matlabissa juuriuran voi piirtää komennolla rlocus. Tiettyä juuriuran pistettä vastaavan varioitavan parametrin arvon voi interaktiivisesti selvittää komennolla rlocfind. BL40A0000 SSKMO KH 16 8
Control System Toolbox eli säätötekniikan laajennusosa YLEISTÄ Matlabin Control System Toolbox tarjoaa tavallisimmat työkalut lineaarisen (klassisen) säätöteorian analyyseihin. Analysoitavat mallit voivat olla joko siirtofunktio- tai tilayhtälömuodoissa. Simulink tarjoaa myös funktiot linmod, linmod2 ja dlinmod, jotka osaavat muodostaa (linearisoida) lineaarisen tilamallin myös epälineaarisista Simulink-malleista. Matlabin versiosta 5 lähtien Control System Toolbox:ssa dynaamisten järjestelmien malleja on käsitelty eräänlaisina objekteina (LTI Object), joilla on tiettyjä määriteltäviä ominaisuuksia. Objektit ovat jotain Matlabin mallityypeistä: tf siirtofunktio, ss tilayhtälö, zpk zero-pole-gain malli, frd taajuusvastemalli. BL40A0000 SSKMO KH 17 Control System Toolbox eli säätötekniikan laajennusosa YLEISTÄ Objektimuotoisia malleja voi helposti laskea yhteen (+-) (rinnankytkentä), kertoa keskenään (*) (sarjaankytkentä) jakaa toisen mallin inverssillä joko oikealta tai vasemmalta (/ \) muuttaa tyypistä toiseen (esim. siirtofunktiosta tilamalliin) diskretoida Objektimuotoisilla malleilla on helppoa laskea impulssi-, askel- ja taajuusvasteita, Nyquistdiagrammeja, juuriuria laskea napoja, nollakohtia, ominaisarvoja suunnitella tilatakaisinkytkettyjä säätöjä BL40A0000 SSKMO KH 18 9
Control System Toolbox eli säätötekniikan laajennusosa ESIMERKKEJÄ Siirtofunktion voi määritellä Matlabissa esim. s=tf( s ); tai H1=tf([1 2],[1 3 1]) H=(s+2)/(s^2+3*s+1); Siirtofunktiosta päästään tilamalliin yksinkertaisesti komennolla Hss=ss(H) Tilamalliobjektin matriisit voi tallettaa muuttujiin komenolla ssdata eli [A,B,C,D]=ssdata(Hs Siirtofunktion polynomien kertoimet saa muuttujiin seuraavasti [Bp,Ap]=tfdata(H, v ) BL40A0000 SSKMO KH 19 Control System Toolbox eli säätötekniikan laajennusosa ESIMERKKEJÄ Mallin ominaisuuksia voi tarkastella ja muuttaa komennoilla get(sy ja set(sys, PropertyName,PropertyValue) set(h, InputDelay,0.5) Lisää järjestelmän tuloon 0.5 s viiveen Transfer function: s + 2 exp(-0.5* * ------------- s^2 + 3 s + 1 BL40A0000 SSKMO KH 20 10