LASKUHARJOITUS 5, MS-A0401, DISKREETIN MATEMATIIKAN PERUSTEET Kotitehtävät Kotitehtävät palautetaan siihen kuuluvaan kansioon MyCourses-sivulla. Deadline on lauantaina 16.10. kello 18:00, jonka jälkeen malliratkaisut tulevat näkyviin. Ratkaisusi tarkastaa kaksi muuta (satunnaisesti valittua) opiskelijaa. Jokainen opiskelija saa kotitehtäväpisteeet vasta kun hänen omat ratkaisut ovat tarkastettu ja hän on itse tarkastanut kahden muun opiskelijan ratkaisut. Tehtävistä saa ja kannattaa keskustella muiden opiskelijoiden kanssa, mutta jokainen kirjoittaa omat vastauksensa. Kotitehtävä 1. Alla olevassa painostetussa verkossa, punaiset kaaret muodostavat minimaalinen virittäjäpuu. Mitä voit päätellä painosta x R? b 5 x d 1 x 4 f a 2 c 3 e Ratkaisu, 1: Jos x > 5, niin vaihtamalla kaari bd kaaren cd tilalle saamme virittäjäpuun, jolla on pienempi paino. Jos x < 4, niin vaihtamalla kaari df kaaren ef tilalle saamme virittäjäpuun, jolla on pienempi paino. Koska punainen virittäjäpuu on minimaalinen, voimme todeta, että 4 x 5. Jos 4 x 5, Primin algoritmi antaa tulokseksi punaisen virittäjäpuun, joka on minimaalinen. Kotitehtävä 2. Määritä kuvassa olevan Grötszch-verkon kromaattinen luku. Ratkaisu, 2: Olkoon n Grötszch-verkon kromaattinen luku. n on pienin luku, jolla löydämme n-värityksen verkolle. Verkossa on sykli, jonka pituus on pariton luku (5), joten verkkoa ei voi värittää kahdella värillä. Täten n 3. Oletetaan nyt, että verkon kromaattinen luku on 3, joten sen voi värittää kolmella värillä, jotka olkoot 1, 2 ja 3. Yleisyyttä menettämättä oletetaan, että keskipiste on väritetty värillä 3. Nyt keskipisteen naapurina olevat solmut on väritetty väreillä 1 ja 2. Ulommaisin 1
2 LASKUHARJOITUS 5, MS-A0401, DISKREETIN MATEMATIIKAN PERUSTEET rinki solmuja tarvitsee kuitenkin 3 väriä niiden värittämiseen, koska syklin pituus on yhä pariton luku. Alla on esitetty Grötszch-verkko neljällä värillä, joten verkon kromaattinen luku on neljä. Kotitehtävä 3. Otetaan kaksi permutaatiota ( ) ( ) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 π = ja σ =. 1 7 3 4 6 5 8 9 2 2 7 5 4 3 6 9 8 1 a) Esitä π ja σ erillisten syklien tuloina. b) Ovatko π ja σ konjugaatteja? Jos ovat, etsi permutaatio τ siten että π = τστ 1. Ratkaisu, 3: a) π = (2 7 8 9)(5 6) ja σ = (1 2 7 9)(3 5). Tapa 1. b) Huom: tähän useita eri ratkaisuja! Permutaatioiden syklien struktuuri on sama, joten permutaatiot ovat konjugaatteja. Haluamme löytää permutaation τ, siten että π = τστ 1. Voimme muodostaa permutaation τ siten, että asetamme permutaation π syklisen struktuurin alariville pituusjärjestykessä, ja yläriville permutaation σ samalla tavalla. Pituusjärjestyksen tulee olla sama kummallakin rivillä, ja tässä aloitamme pisimmästä lyhyimpään: [ ] 1 2 7 9 3 5 4 6 8 τ = 2 [ 7 8 9 5 6 1 3 4 ] 1 2 3 4 5 6 7 8 9 τ 1 = 4 1 6 8 3 5 2 7 9 [ ] [ ] [ ] 1 2 7 9 3 5 4 6 8 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 τστ 1 = 2 7 8 9 5 6 1 3 4 2 7 5 4 3 6 9 8 1 4 1 6 8 3 5 2 7 9 Lasketaan τστ 1 auki siten, että kunkin luvun kohdalla katsomme mihin se päätyy koko permutaation jälkeen. Aloittamalla oikealta vasemmalle, esimerkiksi luku 3
LASKUHARJOITUS 5, MS-A0401, DISKREETIN MATEMATIIKAN PERUSTEET 3 permutoidaan 3 6 6 3, ja 2 1 2 7. Tällä prosessilla saamme [ ] τστ 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 = = π 1 7 3 4 6 5 8 9 2 Tapa 2. Jos τ on permutaatio ja a = (a 1 a 2... a n ), niin τaτ 1 = (τ(a 1 )τ(a 2 )... τ(a n )) (luentokalvot, sivu 174). Haluamme löytää permutaation τ, siten, että (2789)(56) = τστ 1 = (τ(1)τ(2)τ(7)τ(9))(τ(3)τ(5)). Vertaamalla tätä permutaatiota haluttuun permutaation π, näemme, että τ(1) = 2, τ(2) = 7 ja τ(7) = 8 sekä τ(3) = 5, τ(5) = 6. Tällä tekniikalla saamme τ = (1278)(356), ja tarkistamalla saamme oikean tuloksen τστ 1 = (2789)(56) = π. Kotitehtävä 4. Todista, että jokaisessa puussa T on vähintään (T ) lehteä, missä (T ) on puun suurin asteluku. Ratkaisu, 4: Olkoot v puun solmu, jonka asteluku on (T ) = k, ja x 1,..., x k v:n naapurisolmut. Tutkitaan polkuja P i, i = 1, 2,..., k, missä P i on pisin polku joka alkaa solmusta v ja kulkee solmun x i läpi, ja y i polun toisessa päässä oleva solmu. Koska T on puu, T :ssä ei voi olla syklejä, ja täten kaikki polkujen P i päissä olevat solmut y i ovat eri solmuja (jos y i = y j, i j, T :ssä olisi sykli). Kaikki solmujen päädyt y i ovat lehtiä, joten lehtiä on vähintään k kappaletta. Täten puussa T on vähintään (T ) lehteä. Lisätehtävä 1. Etsi alla olevan verkon Lisätehtävät (1) minimaalinen virittäjäpuu. (2) lyhyin polku solmusta a solmuun z. Ratkaisu, L1. Minimaalinen virittäjäpuu: ac, cb, cd, dr, rg, gf, gz, lyhyin polku: ac, ce, eg, gz Lisätehtävä 2. a) Piirrä verkko seitsemällä solmulla, missä jokaisen solmun aste on 3, tai selitä miksi sellaista verkkoa ei voi olla olemassa. b) Piirrä bipartitiivinen verkko kahdeksalla solmulla, missä jokaisen solmun aste on 3, tai selitä miksi sellaista verkkoa ei voi olla olemassa. c) Piirrä bipartitiivinen verkko kahdeksalla solmulla, missä jokaisen solmun aste on 5, tai selitä miksi sellaista verkkoa ei voi olla olemassa.
4 LASKUHARJOITUS 5, MS-A0401, DISKREETIN MATEMATIIKAN PERUSTEET Ratkaisu, L2. a) Verkon kaarien lukumäärän E ja solmujen asteiden summasta V deg(v) saamme yhtälön V deg(v) = 2 E, eli solmujen asteiden summan tulee olla parillinen luku. Täten tehtävän verkkoa ei voi olla olemassa, koska asteiden summa on 21. b) c) Jos bipartitiivisessa graafissa on kahdeksan solmua, niin sen pienemmässä osassa on korkeintaan 4 solmua. Jos kaikkien solmujen aste on viisi, jokaisesta solmusta suuremmassa osassa tulisi pystyä piirtämään viisi kaarta toiseen osaan. Tämä ei ole mahdollista, sillä toisessa osassa on korkeintaan neljä solmua, eikä osien sisällä saa olla kaaria. Lisätehtävä 3. Paimenen täytyy kuljettaa susi, vuohi ja kaali joen yli. Paimenella on vain pieni vene, mihin mahtuu vain yksi esine (eläin tai kasvis) hänen lisäkseen. Hän voi ylittää joen useita kertoja. Sutta ei kuitenkaan voi jättää yksin vuohen kanssa, eikä vuohta voi jättää yksin kaalin kanssa. Voimme kuvata jokaista tilannetta (kun paimen on yhdellä rannoista veneen kanssa) listaamalla mitä kullakin rannalla on. Esimerkiksi, pari (P V, SK) kuvaa tilannetta missä paimen ja vuohi (ja vene) ovat ensimmäisellä rannalla ja susi ja kaali ovat toisella rannalla. a) Etsi kaikki tehtävänannon sallimat tilanteet. b) Piirrä verkko minkä solmut ovat sallittuja tilanteita, joissa on kaari kahden tilanteen välillä jos paimen voi liikkua tilanteesta toiseen veneellä. c) Selitä miksi polku solmusta (P SV K, ) solmuun (, P SV K) on yhtä kuin ongelman ratkaisu. d) Etsi kaksi eri ratkaisua, kumpikin käyttäen seitsemää joen ylitystä. e) Oleta, että paimenen pitää maksaa euron tulli joka kerta kun hän ylittää joen eläimen kanssa. Millä ratkaisulla paimen maksaa vähiten tullimaksuja? Ratkaisu, L3. a) Tilanne on sallittu, jos vuohi ja susi eikä vuohi ja kaali ole kahdestaan. Täten tilanteet ovat: (P V, SK), (SK, P V ), (P V SK, ), (, P V SK), (P V S, K), (K, P V S), (P SK, V ), (V, P SK), (P KV, S), (S, P KV ). b) Huom: tässä L = V
LASKUHARJOITUS 5, MS-A0401, DISKREETIN MATEMATIIKAN PERUSTEET 5 c) Löytämällä polun näiden kahden tilan välillä löydämme sekvenssin sallittuja siirtoja, jolla pääsee alkutilanteesta lopputilanteeseen, jolloin pulma on ratkaistu. d) 1. (P V SK, ) (SK, P V ) (P KS, V ) (K, P V S) (P KV, S) (V, P KS) (P V, SK) (, P KV S ja 2. (P V SK, ) (SK, P V ) (P KS, V ) (S, P KV ) (P V S, K) (V, P KS) (P V, SK) (, P KV S e) Molemmissa reiteissä kokonaismaksu on 4 euroa. Lisätehtävä 4. a) Mitä voidaan sanoa permutaation π syklirakenteesta, jos π on itsensä inversio (eli jos π 2 = ι)? b) Kuinka moni permutaatio ryhmässä S 4 on itsensä käänteispermutaatio? c) Kuinka moni permutaatio ryhmässä S 4 on itsensä käänteispermutaatio eikä sisällä kiintopisteitä? d) Kuinka moni permutaatio ryhmässä S n on itsensä käänteispermutaatio? e) Kuinka moni permutaatio ryhmässä S n on itsensä käänteispermutaatio eikä sisällä kiintopisteitä? Ratkaisu, L4. a) Olkoon π permutaatio. π voidaan esittää sykliensä tulona, jossa syklejä on yhteensä k kappaletta. Jotta π = π 1, jokaisen syklin inverssion täytyy olla sama kuin itse sykli. Koska sykleille pätee (c 1... c k ) 1 = (c k... c 1 ), täytyy syklien olla yhden pituisia tai vaihtoja, sillä pidemmällä syklillä inverssi ei vastaa sykliä, sillä syklit ovat samat vain jos samoilla alkioilla on samat naapurit oikealla
6 LASKUHARJOITUS 5, MS-A0401, DISKREETIN MATEMATIIKAN PERUSTEET ja vasemmalla puolella. b) S 4 sisältää 4! permutaatiota. Vain identiteettipermutaatiossa on vain yhden pituisia syklejä. Permutaatioita, jossa on yksi vaihto ja loput yhden syklejä on ( 4 2) = 6. Permutaatioita, joissa on 2 vaihtoa on 2( 1 4 2 2)( 2) = 3. Täten permutaatioita, joille pätee π = π 1 on 1 + 6 + 3 = 10 kappaletta. c) Permutaatioita ilman kiintopisteitä on 4! 4 k=0 ( 1)k 1 k! = 9 kpl. Jotta permutaatiossa ei ole kiintopisteitä, siinä ei saa olla yhden pituisia syklejä, joten b-kohdan perusteella vastaus on 3. d) Vaihtoja voi olla korkeintaan n 2 kappaletta. Mahdollisuuksia permutaatiol- ( n+2 2j ). Täten permutaatioita, joille pätee le, joissa on m vaihtoa, on 1 m m! j=1 2 π = π 1 on yhteensä 1 + n 2 1 k ( n+2 2j ) k=1 (k+1)! j=1 2 kappaletta. e)jos permutaatiossa on pariton määrä alkioita, lukumäärä on 0. Jos alkioita on parillinen määrä, permutaatioita on 1 n n 2! 2 j=1 ( n+2 2j 2 ) Lisätehtävä 5. Määritä kuvassa olevan Petersen-verkon kromaattinen luku. Ratkaisu, L5: Petersenin verkossa on aliverkko, jolla on pariton pituus 5, joten kromaattinen luku on suurempi kuin 2. Alla on verkon väritys kolmella värillä, joten kromaattinen luku on 3.
LASKUHARJOITUS 5, MS-A0401, DISKREETIN MATEMATIIKAN PERUSTEET 7 Lisätehtävä 6. Palauta mieleen, että ω(g) on verkon G suurin täydellisen osaverkon koko, χ(g) on verkon kromaattinen luku, (G) on verkon suurin aste, ja δ(g) on verkonpienin aste. a) Piirrä verkko G jolla pätee ω(g) < χ(g) < (G). b) (Haastava) Piirrä verkko G jolla pätee ω(g) < χ(g) < δ(g). Ratkaisu, L6. a) Grötszch-verkko täyttää nämä ehdot, sillä ω(g) = 2, χ(g) = 4 ja (G) = 5. b) Muunnettu Grötszch-verkko (solmun kirjain edustaa solmun väritystä), jolle pätee ω(g) = 3, χ(g) = 4 ja δ(g) = 5: Lisätehtävä 8. Onko seuraava väite tosi vai epätosi? Mistä tahansa bileistä löytyy kaksi ihmistä, jotka tuntevat yhtä monta ihmistä samoista bileistä. a) Jos oletetaan että relaatio A tuntee B on symmetrinen. (Jos minä tunnen Bobia, niin Bobkin tuntee minua.) b) Jos ei oleteta että relaatio A tuntee B on symmetrinen. (Minä tunnen Bob Dylania, mutta Bob Dylan ei tunne minua.) Ratkaisu, L8. a) Voimme kuvata juhlia verkkona, jossa solmut ovat vieraita joiden välillä on kaari, jos vieraat tuntevat toisensa. Olkoot n solmujen määrä, ja oletetaan, että kaikki tuntevat eri määrän ihmisiä. Tällöin solmujen asteet ovat 0, 1,..., n 1. Tämä kuitenkin tarkoittaa, että meillä on bileissä henkilö joka ei tunne ketään (solmu jolla 0 naapuria), ja toinen henkilö joka tuntee kaikki (n 1 naapuria). Tämä ei kuitenkaan ole mahdollista, sillä oletimme, että relaatio on symmetrinen, joten bileissä on vähintään b) Väite on epätosi. Esimerkiksi jos bileissä on henkilöt a, b ja c, siten että c tuntee a:n ja b:n, b tuntee a:n ja a ei tunne ketään, kaikki tuntevat eri määrän ihmisiä.
8 LASKUHARJOITUS 5, MS-A0401, DISKREETIN MATEMATIIKAN PERUSTEET Haastetehtävä (vain jos olet opiskellut matriisilaskentaa) Olkoon G m-solmuinen verkko, ja olkoon A sen naapurimatriisi. (1) Osoita, että A:lla on m reaalista ominaisarvoa λ 1,..., λ m (lasketaan multiplisiteetillä). (2) Osoita, että 1 m 2 i=1 λ2 i on kaarien määrä G:ssä. (3) Osoita, että 1 m 6 i=1 λ3 i on kolmioiden määrä G:ssä. (4) Pystytkö yleistämään tämän potenssisumman? Ratkaisu, L9. a) A on symmetrinen matriisi, joten sillä on m reaalista ominaisarvoa. b) Matriisin A 2 arvot diagonaalilla ovat solmujen asteet. Verkon asteiden summa on kaksi kertaa kaarien määrä. Jos λ 1 + + λ m ovat matriisin A ominaisarvot, matriisilla A 2 on ominaisarvot λ 2 1 + + λ 2 m. Matriisin jälki on yhtä kuin ominaisarvojen summa, eli diagonaalilla olevien lukujen summa, jolloin saamme i λ2 i = A2 = v G deg(v) = 2e. c) Matriisin A 3 diagonaalilta saamme 3-pituiset polut solmusta takaisin itseensä. Näiden lukujen summa on matriisin jälki, joka on λ 3 1 +... λ 3 m. Jokainen kolmio saadaan 6 kertaa tällä tavalla (3 aloitussolmua, 2 suuntaa). d) i λk i on k-pituisten suljettujen polkujen määrä graafissa.