.. Käänteisunktio.. Käänteisunktio Mikäli unktio : A B on bijektio, niin joukkojen A ja B alkioiden välillä vallitsee kääntäen yksikäsitteinen vastaavuus eli A vastaa täsmälleen yksi y B, joten myös se vastaavuus, joka kuvaa vaikkapa äskeisen y:n joukkoon A kuuluvaksi :ksi (juuri siksi, jolle y = ()), on unktio. Jos siis kuvaa vaikkapa kakkosen viitoseksi, niin tämä käänteinen vastaavuus kuvaa viitosen kakkoseksi. Tätä tällaista käänteistä vastaavuutta on tapana kutsua unktion käänteisunktioksi,. Merkintätavasta huolimatta on syytä tarkoin olla selvillä siitä, että nyt ei olla missään tekemisessä käänteisluvun kanssa, vaikka monissa laskimissa luvun käänteisluku saadaan näyttöön painamalla - näppäintä. = Jos siis D ja () = y V, niin (y). Käänteiskuvauksessa käy niin, että itse unktion määritysjoukosta D tulee käänteisunktion arvojoukko, ja itse unktion arvojoukosta tulee käänteisunktion määritysjoukko. V Jos (,y) on unktion kuvaajan piste, niin (y,) on käänteisunktion kuvaajan piste. Näiden pisteiden sijainti on vielä sikäli erikoinen, että kun lasketaan janan AB, missä A = (, y) ja B = (y, ) keskipisteen koordinaatit ( 0, y 0 ), niin saadaan + y y + 0 = ja y0 =. Siis 0 = y0 ja kaikki y-tason pisteet, joilla kumpikin koordinaatti on sama, sijaitsevat origon kautta kulkevalla suoralla y =. ************************************************************** Lause 6. Funktion ja käänteisunktion kuvaajat sijaitsevat symmetrisessä asennossa suoran y = suhteen. ************************************************************** Mitäpä arvelet, jos on aidosti kasvava, onko vähenevä? aidosti kasvava vai aidosti (6)
.. Käänteisunktio Esim. 4. Olkoon : A B, () = ½, missä A { R 6} Määritä käänteisunktio,d ja V. =. Kun :n kuvaaja on nouseva suora, niin () < () < (6), ja kun tässä () = = D = B = V = ja (6) = 6 = 0, { y R y 0} niin. Kun unktio kuvaa reaalilukuvälin [,6] reaalilukuväliksi [,0], niin väli [,0] on käänteisunktion määritysjoukko. y = y = 6 = y + 6. Koska tavallisesti riippumatonta muuttujaa merkitään :llä ja unktion arvoja y:llä, niin vaihdetaan saadussa lausekkeessa muuttujain roolit ja siten käänteisunktion laki: : y = + 6. Piirretään kummankin unktion kuvaajat samaan koordinaatistoon: y = () = () = + 6 4 4 6 0 0 6 y 7 6 5 4 0-4 - - 0 4 6 8 - - (6)
.. Käänteisunktio Esim. 5. Tarkastellaan unktiota : () = 4 siinä joukossa, jossa on aidosti kasvava. Mikä on tämän unktion määritys- ja arvojoukko. Määritä käänteisunktio sekä piirrä kumpaisenkin kuvaajat samaan koordinaatistoon. Funktion kuvaaja on ylöspäin aukeavan paraabelin puolikas, ja monestakin syystä pitäisi tietää paraabelin (puolikkaan) huippupiste. Täydennetään neliöksi: y = 4 y + 4 = 4 + 4 y + 4 = ( ) Huippu sijaitsee siis pisteessä (, 4), ja tämän tiedon avulla, valiten niin, että = ei kuulu määritysjoukkoon, voidaan päätellä: D = { R > } = V V = { y R y > 4} = D Ratkaistaan paraabelin (puolikkaan) yhtälöstä lausuttuna y:n avulla. Kyseessä on toisen asteen yhtälö: y = 4 4 y = 0 = ± 4 + y Kumpi merkki neliöjuuren eteen??? On selvitetty, että unktion määritysjoukkoon kuuluvat alkiot toteuttavat ehdon >. Siis kakkoseen, joka yhtälön 4 y = 0 ratkaisussa näkyy, pitää lisätä jotakin. Silloinpa neliöjuuren eteen on otettava plus-merkki. Kun suoritetaan muuttujien vaihto, niin saadaan käänteisunktion laki : () = + + 4, mikä ilman erillisiä selvittelyjä paljastaa terävälle ajattelijalle unktion arvojoukon, joka paraabelin huipun määrityksen kautta saatiin aiemminkin tietää. Neliöjuuren alla oleva muuttuja ei voi saada arvoa, joka on pienempi kuin 4; neliöjuurta kun ei negatiivisesta luvusta voida ottaa. Kuvaajat voidaan piirtää pääpiirtein, kun lasketaan muutamia arvoja taulukkoon. Taulukkoa luetaan siis niin, että kun unktio kuvaa nelosen nollaksi, niin käänteisunktio kuvaa nollan neloseksi. (6)
.. Käänteisunktio Itse unktion kuvaaja on ylöspäin aukeavan paraabelin oikea puolisko ja käänteisunktion kuvaaja on oikealle aukeavan paraabelin ylempi puolisko. y = () 4 4 0 5 5 y = () 4 0 8 6 4 0-5 - 0 5 0 5-4 -6 Käänteisunktioon liittyvissä tehtävissä päävaikeudet tai keskeiset tehtävätyypit ovat käänteisunktion olemassaolon osoittaminen ( bijektioksi) ja käänteisunktion lain määrittäminen. Esimerkiksi kolmannen asteen täydellisestä polynomiunktiosta on sangen vaikea, etten sanoisi koulutiedoilla useimmissa tapauksissa mahdotonta selvittää käänteisunktion lakia. Joitain käänteisunktion arvoja pystyy erikoistapauksessa määrittämään. Esim. 6*. Voidaan todistaa, että unktiolla : R R, () = + 4 on käänteisunktio. Määritä (). 4(6)
.. Käänteisunktio Nyt pitää ajatella näin, että on löydettävä sellainen, jolle () =, koska tällöinhän käänteisunktio kuvaa luvun luvuksi. + 4 = + 5 = 0 Tällä yhtälöllä ei sitten saa olla kuin yksi ratkaisu, mutta toivottavasti se löytyy. Jos saadulla yhtälöllä on rationaalijuuri, niin se on nyt kokonaisluku ja luvun 5 tekijä. Siis ainoat rationaaliset juuriehdok-kaat ovat ±, ±, ± 5 taikka ± 5. Olkoon P() = + 5. P() = P( ) = ( ) P() = + 5 0 ( ) + 5 = 0 + ( ) 5 0 Siis = on yhtälön P() = 0 juuri ja () =. Jos joku tahtoo vakuuttua, ettei yhtälöllä P() = 0 ole muita juuria, niin jakakoon P():n binomilla ja todetkoon, että jako menee tasan, mutta osamääräpolynomi on jo jaoton. Jos nimittäin yhtälöllä + 4 = olisi muitakin ratkaisuja kuin =, niin silloin alkiolla olisi useita alkukuvia eikä tämä unktio olisi injektio eikä sillä näin ollen olisi myöskään käänteis-unktiota. Derivaatan avulla olisi myös helppo osoittaa, että unktio : () = + 4 on aidosti kasvava ja siinä tapauksessa se on ainakin injektio. Esim. 7.Todista, että unktio : R R, () = 5 on bijektio. Olkoon y mielivaltainen reaaliluku (maalijoukon alkio). y + 5 y = 5 = y + 5 = ja tällainen luku kuuluu reaali-lukujen joukkoon, onpa y mikä tahansa. Mielivaltaisella maalijoukon alkiolla on siis alkukuva unktion määritysjoukossa. Kuvaus on siis surjektio. 5(6)
.. Käänteisunktio Arvioidaan sitten erotusta ( ) ( ) : () () : 5 ( 5) = ( ), joka menee nollaksi vain ja ainoastaan silloin, kun =. Funktio kuvaa siis eri alkiot eri alkioiksi ja on siten injektio. Koska on sekä injektio että surjektio, se on myös bijektio. 6(6)