Tehtävien ratkaisut Heikki Lehto Raimo Havukainen Jukka Maalampi Janna Leskinen FYSIIKKA 4 Liikkeen lait Sanoma Pro Oy Helsinki
Sisällys Johdantotehtäviä... 4 1 Kappaleen liike... 6 2 Voima... 20 3 Energian säilyminen... 53 4 Liikemäärä ja liikemäärän säilyminen... 82 Kertaustehtävät... 101
Johdantotehtäviä 1. a) Tasaista liikettä on kitkattomalla vaakasuoralla alustalla vapaasti liikkuva kappale. Jääkiekon liike puhtaalla jäällä on lähes tasaista liikettä. b) Kappaleen putoaminen on tasaisesti kiihtyvää liikettä, jos ilmanvastus jätetään huomiotta. Tyhjiössä putoavan tai esimerkiksi Kuussa astronautin pudottaman kappaleen liike on tasaisesti kiihtyvää. c) Auton liikkeessä kiihtyvyys ei ole vakio, koska kaasua painettaessa auton vauhti kasvaa ja jarrutettaessa auton vauhti pienenee. 85 2. a) Auton nopeus yksikköä m/s käyttäen on 85 km/h = m/s 24 m/s. 3,6 b) Juoksijan nopeus yksikköä km/h käyttäen on 3,5 3,6 km/h 13 km/h. 3. Aika on 6 s 150 10 km t = = 500 s (8 min 20 s). v 299792 km/s 4. a) Nopeus on 2,5 m/s + 0,5 m/s = 3,0 m/s. b) Nopeus on 2,5 m/s 0,5 m/s = 2,0 m/s. 5. Auton nopeus 3,0 sekunnin kuluttua on 3,0 2,0 m/s = 6,0 m/s. 6. a) Lämpimyyden tunne käsissä aiheutuu kitkasta. Kitka lisää käsien sisäenergiaa: sisäenergialla tarkoitetaan systeemin rakenneosasten lämpöliikkeen liike-energioiden ja rakenneosasten välisiin vuorovaikutuksiin liittyvien potentiaalienergioiden summaa. b) Jääkiekko liukuu jäällä pitemmälle kuin asfaltilla, koska liukukitkakerroin kiekon ja jään pinnan välillä on pienempi kuin liukukitkakerroin kiekon ja asfaltin pinnan välillä. 7. a) Raudasta rakennettu laiva pysyy veden pinnalla vedestä laivaan kohdistuvan nosteen takia. b) Tuore puukappale uppoaa vedessä syvemmälle kuin vanha ja kuiva puukappale, koska tuoreessa puussa on kosteutta enemmän kuin kuivassa puussa: tuoreen puukappaleen tiheys on suurempi kuin kuivan puukappaleen. c) Heliumilla täytettyyn ilmapalloon kohdistuu ilmasta ylös suuntautuva noste. 4
8. a) Gravitaatiovuorovaikutuksen potentiaalienergia on kahden toisiaan puoleensa vetävän kappaleen yhteistä energiaa, esimerkiksi Maan ja sen kanssa vuorovaikutuksessa olevan kappaleen energiaa. Potentiaalienergian suuruus riippuu kappaleiden asemasta toistensa suhteen. Usein tarkastellaan kappaleen potentiaalienergiaa maanpinnan suhteen, jolloin maanpinta on asetettu potentiaalienergian nollatasoksi. b) Kaikkiin liikkuviin kappaleisiin on sitoutunut liike-energiaa. Sen suuruus riippuu liikkuvan kappaleen massasta ja nopeudesta. Raskailla ja nopeasti liikkuvalla kappaleella on enemmän liike-energiaa kuin kevyellä ja hitaasti liikkuvalla kappaleella. 9. Energian säilymisen lain mukaan energia voi muuntua muodosta toiseen, mutta energia ei lisäänny eikä vähene. Jos maanpinnan taso asetetaan potentiaalienergian nollatasoksi, sanotaan, että esimerkiksi kädessä olevalla kappaleella on potentiaalienergiaa maanpinnan suhteen. Kun kappale pudotetaan, sen potentiaalienergia muuntuu liike-energiaksi ja kappaleen ja ilman sisäenergiaksi. Energian kokonaismäärä säilyy. 10. Auton ja hirven törmäyksessä Newtonin III lain mukaan autoon ja hirveen kohdistuvat voimat ovat yhtä suuria ja vastakkaissuuntaisia. Vaikka auton nopeus olisi pieni, raskaasta hirvestä autoon kohdistuvat voimat ovat törmäyksessä niin suuria, että auto vaurioituu. 5
1 Kappaleen liike 1-1. Aluksi auto liikkuu eteenpäin 3,0 s ajan vakionopeudella x x2 x1 6,0 m 0,0 m 6,0 m v = = = = = 2,0 m/s. t t 3,0 s 0,0 s 3,0 s 2 1 Tämän jälkeen auto lähtee taaksepäin pienemmällä nopeudella x x2 x1 0,0 m 6,0 m 6,0 m v = = = = 0,86 m/s. t t 10,0 s 3,0 s 7,0 s 2 1 Hetkellä t = 10,0 s auto on lähtöpaikassaan. Matka jatkuu vielä tästä taaksepäin, ja lopuksi auton paikka on 6,0 m lähtöpaikasta taaksepäin. 1-2. 6
a) Aikaväli 0 min 30 min: x = vt = 3,5 m/s 30 60 s = 6,3 km. Aikaväli: 30 min 40 min: levätään, jolloin siirtymä on nolla. AIkaväli: 40 min 70 min; x = 6,3 km. b) Aikaväli 0 min 30 min: v = 3,5 m/s. Aikaväli: 30 min 40 min: v = 0 m/s. Aikaväli: 40 min 70 min: v = 3,5 m/s. 1-3. a) Kappaleen nopeus on suurin pisteessä B. b) Kappale liikkuu hitaimmin pisteessä D. c) Kappale on levossa pisteissä A, C ja E. d) Nopeudet eri aikaväleillä ovat 0,0 s... 10,0 s, v = 0,0 m/s 10,0 s... 20,0 s, v = 5,0 m/s 20,0 s... 30,0 s, v = 0,0 m/s 30,0 s... 40,0 s, v = 2,0 m/s 40,0 s... 50,0 s, v = 0,0 m/s. 1-4. a) Aikavälillä 0,0 s... 1,0 s, kappale liikkuu valittuun positiiviseen suuntaan paikasta x = 2,0 m paikkaan x = 4,0 m vakionopeudella 2,0 m/s. Aikavälillä 1,0 s... 2,0 s, kappale liikkuu negatiiviseen suuntaan paikasta x = 4,0 m paikkaan x = 2,0 m vakionopeudella 6,0 m/s. Aikavälillä 2,0 s... 3,0 s, kappale on paikallaan kohdassa x = 2,0 m. b) Kappaleen siirtymä aikavälillä 0,0 s 3,0 s on x = ( 2,0 m) (2,0 m) = 4,0 m. c) Kappaleen aikavälillä 0,0 s 3,0 s kulkema matka on s = 2,0 m + 6,0 m + 0,0 m = 8,0 m. 1-5. Valitaan liikkeen positiiviseksi suunnaksi Sinin liikkeen suunta, paikan nollakohdaksi Sinin lähtöpiste ja ajan nollakohdaksi liikkeelle lähtemisen hetki. Tällöin Sinin rata on suora, jonka fysikaalinen kulmakerroin on 5,0 km/h 1,4 m/s ja joka kulkee pisteen (t, x) = (0, 0) kautta. Jonin rata on suora, jonka kulmakerroin on 15 km/h 4,2 m/s ja joka kulkee pisteen (t, x) = (0, 1000 m) kautta. Kulmakerroin on negatiivinen, koska Jonin siirtymä x on negatiivinen. Kuvasta voidaan todeta, että Sini ja Joni kohtaavat pisteessä (t, x) = (180 s, 250 m). Kohtaamispaikka on siis 250 m etäisyydellä Sinin lähtöpisteestä ja aikaa lähdöstä on kulunut 180 s. 7
1-6. a) b) Höyhenen putoaminen on (lähes) tasaista liikettä aivan ensimmäistä sekuntia lukuun ottamatta. Höyhen saavuttaa suuren ilmanvastuksensa vuoksi nopeasti ns. rajanopeuden. Silloin ilmanvastus on höyheneen kohdistuvan painon suuruinen. Siksi (t, x)- koordinaatistoon piirretty kuvaaja on nouseva suora likimain ajanhetkestä 1,0 s lähtien. c) Kolikkoon kohdistuva ilmanvastus on pieni, joten sen putoaminen on kiihtyvää liikettä. Silloin (t, x)-koordinaatistoon piirretty kuvaaja on ylöspäin aukeavan paraabelin puolikkaan muotoinen. 8
1-7. Koska kokeessa valo heijastui peilistä takaisin, peilin etäisyys on kerrottava kahdella, jotta saadaan valon kulkema matka s. Tasaisessa liikkeessä olevan kappaleen kulkema matka saadaan yhtälöstä s = vt. Nyt siis s = ct, jossa c on valon nopeus. Esitetään matka s ajan t funktiona. t/ns s/m 70 20,00 79 22,00 84 24,00 92 26,00 100 28,00 105 30,00 113 32,00 Koska mittauspisteet näyttäisivät asettuvan peräkkäin, pistejoukkoon sovitetaan suora. Suoran fysikaalinen kulmakerroin on kysytty valon nopeus c: s c = = = 120 10 s 65 10 s 55 10 s 33,5 m 18,0 m 15,5 m 8 9 9 9 2,8 10 m/s. 35 1-8. a) Matin kulkema matka on s = vt = 5,0 km/h 35 min = 5, 0 km/h h 2,9 km. 60 b) Valitaan positiiviseksi suunnaksi liikkeen alkuperäinen suunta. Siirtymä on 25 x = vt = 5,0 km/h 25 min = 5,0 km/h h = 2,083 km 2,1 km. 60 c) Matkan kesto on t = 10 min+ 3min+ 5min+ 20 min = 38min. s 2,917 hm km Keskivauhti on v = = 4,6. 38 h h 60 x + 2,083 km km d) Keskinopeus on vk = = + 3,3. Suunta alkuperäiseen liikkeen 38 h h 60 suuntaan. 9
s 800 m m 1-9. a) Maailmanennätysjuoksussa keskivauhti oli v = = 7,91, 101,11 s s s 800 m m suomenennätysjuoksussa v = = = 7,6849 7,68m/s. 104,10 s s b) Oletetaan, että suomenennätysmies juoksee maalia lähestyessään keskinopeudellaan. Siinä ajassa, joka maailmanennätysmiehellä kuluu koko matkaan, suomenennätysmies juoksee matkan s = vt = 7,6849 m/s 101,11 s 777,02 m joten hän on 800,00 m 777,02 m 23,0 m maailmanennätysmiestä jäljessä. 1-10. Elektronisuihkun nopeus on 8 8 v = 0,10 2,9979 10 m/s = 0,29979 10 m/s. Hiukkassuihku etenee sekunnissa 29 979 km. Yhden kierroksen pituus on 2πr = 2π 4,3 km. Sekunnissa elektronisuihku kiertää 29979 km 1100 2π 4,3 km kierrosta. (Huomaa, että todellisuudessa hiukkasten nopeudet ovat yli 90 % valon nopeudesta. Tällöin joudutaan tekemään laskuihin suhteellisuusteorian mukainen relativistinen korjaus.) 1-11. Jos voisit ajaa loppumatkan nopeusrajoituksen mukaisesti, aikaa kuluisi s 15 km t 1 = = = 0,15 h. v 100 km/h 15 km Linja-auton perässä ajaen aikaa kuluisi t 1 = 0,1579 h. 95 km/h Linja-auton ohittamisesta saatava ajansäästö olisi 0,1579 h 0,15 h = 0,0079 h 30 s. 1-12. Pesäpallon nopeus on 150 km/h 41,67 m/s. Reaktioajassa 0,20 s pallo ehtii matkan s = vt = 41,67 m/s 0,20 s 8,3 m. Siepparin tulee olla vähintään noin 8,3 m etäisyydellä lyöjästä ehtiäkseen reagoida palloon. s1 3100 km 1-13. Matkan ensimmäiseen osaan kulunut aika on t1 = = 3,92405 h. v1 790 km/h s2 2800 km Toiseen osaan kulunut aika on t2 = = 2,82828 h. v 990 km/h 2 Matkan kokonaiskesto on t = t1+ t2 = 3,92405 h + 2,82828 h = 6,75233 h 6 h 45 min. Kokonaismatka on s = s 1 + s 2 = 3100 km + 2800 km = 5900 km. 10
Keskivauhti saadaan jakamalla kokonaismatka matkan kokonaiskestolla: s 5900 km v = = 870 km/h. t 6,75233 h Matkan kokonaiskesto on 6 h 45 min ja keskivauhti 870 km/h. x 16,5 m 1-14. Ääneltä kuluva aika on tääni = = 0,04853 s. v 340 m/s ääni Keilapallon matkaan kuluva aika on tkp = tääni = 2,4 s 0,04853 s 2,351 s. Keilapallon nopeus on silloin x 16,5 m vkp = = 7,0 m/s. 2,351 s kp 1-15. a) Nopan liike kuljettajan suhteen on värähdysliikettä pystysuunnassa. b) Tien reunassa seisovan henkilön suhteen nopan liike on sinikäyrän muotoista. c) Noppa on paikallaan nopassa olevan kirpun suhteen. 1-16. a) Satelliitin rata on piste. b) Maan keskipisteen suhteen rata on ympyrärata. 1-17. Koska Maa kiertää Aurinkoa, Marsin liike Maan suhteen ei ole ympyräliikettä. Marsin radan säde on suurempi kuin Maan radan säde ja se liikkuu radallaan hitaammin kuin Maa. Kun Maa ohittaa Marsin, Marsin suhteellinen nopeus Maahan nähden muuttuu hetkeksi vastakkaissuuntaiseksi kuin normaalisti. 1-18. a) Uimarin etenemisnopeus myötävirtaan on v = 0,80 m/s + 0,40 m/s = 1,20 m/s s 100 m ja uintiaika t = = 83 s (= 1 min 23 s). v 1,20 m/s b) Etenemisnopeus vastavirtaan on v = 0,80 m/s 0,40 m/s = 0,40 m/s s 100 m ja uintiaika t = = = 250 s (= 4 min 10s). v 0,40 m/ s 1-19. Lentokoneen nopeus maahan nähden on v = 550 km/h + 25 3,6 km/h = 640 km/h. 11