HARJOITUSTEHTÄVIEN MALLIRATKAISUT HARJOITUS (a) A (A : Aurinko laskee länteen.) (b) A B (A: Otat. B : Ajat.) (c) A B C (A : Heli tulee tänään käymään. B : Katson televisiosta jalkapalloa. C : Katson televisiosta visailua.) (d) A B A: Veikkaat. B : Voit voittaa.) (e) A B A : Stalin hyökkäsi Norjaan. B : Stalin hyökkäsi Suomeen.) (f) A B A : Jääkaapissa on maitoa. B : Jääkaapissa on piimää.) 2. (a) A B A : Stalin hyökkäsi Norjaan. B : Stalin hyökkäsi Ruotsiin.) (b) (A B C A : Suomi voittaa ensi kesänä Brasilian jalkapallossa. B : Norja voittaa ensi kesänä Brasilian jalkapallossa. C : Minä olen Kiinan keisari.) (c) B A A: On savua. B : On tulta.) 3. (a) Lausetta ei voi formalisoida, koska se ei ole väitelause. (b) A B A : Presidentti saapui. B : Miehet paljastivat päänsä.) (c) A B A : Pesen tänään pyykkiä. B : Sataa.) 4. b-kohdan lause; sitä ei formalisoida konjunktioksi kuten muut lauseet. 5. (a) A B C (b) A B C (c) A B A B C A B C A B A B A B A B A B A A B
MALLIRATKAISUT HARJOITUS 2. Totuustaulukot: A B C C B C A B C t t t e t t t t e t t t t e t e e e t e e t t t e t t e t t e t e t t t e e t e e t e e e t t t A B C C A B A B C t t t e t t t t e t t t t e t e e e t e e t e t e t t e t t e t e t t t e e t e t t e e e t t t A B C B A B A B C t t t e e t t t e e e e t e t t t t t e e t t t e t t e e t e t e e e e e e t t e t e e e t e e A B C B B C A B C t t t e t t t t e e e e t e t t t t t e e t t t e t t e t e e t e e e e e e t t t e e e e t t e 2. Tautologiat: A A A A A A t e e t e t e t
A B A B A B A B A B A B A B t t t e e e e t t e e t e t t t e t e t t e t t e e e t t t t t A B B A A B A A A A A A A A t t t t t e t t t e t t e t e t e t e t e e t t 3. Loogiset yhtäpitävyydet: A B A B A A B t t t e t t e e e e e t t t t e e t t t A B A B A B A B A B A B A B t t t t e e e t t e e e e t e e e t e e t e e e e e t e t t t t 4. Q on lause A B P, jossa P:n tekijät ovat täsm. A ja B. (a) Vähimmäisvaatimus lauseen Q tautologisuudelle on, että P on tosi ainakin silloin kun A B on epätosi, toisin sanoen silloin, kun vähintään toinen lauseista A ja B on epätosi. (b) Mikä tahansa tautologia, esim. A B A, kelpaa. (Myös c-kohdan ratkaisut kelpaavat.) (c) Mikä tahansa lause, esim. A B, joka on epätosi vain, kun A on tosi ja B epätosi, kelpaa.
MALLIRATKAISUT HARJOITUS 3. Osoitetaan (a) P P Q ja (b) P Q Q totuustaulukkomenetelmällä. (a) (b) P Q P P P t t e e t e e e e t t e e e t e P Q Q Q Q t t e t t e t t e t e t e e t t Kummassakaan totuustaulukossa ei ole riviä, jolla kyseisen päätelmän premissi on tosi, mutta johtopäätös epätosi. Siispä päätelmät ovat päteviä. HUOM! Pienellä harkinnalla voidaan vakuuttua, että tulokset voidaan yleistää: (a) niin, että mistä tahansa ristiriidasta seuraa loogisesti mikä tahansa lause ja (b) niin, että mikä tahansa tautologia seuraa loogisesti mistä tahansa lauseesta. 2. (a) Tutkitaan päätelmän A B C, B, A, Siispä C pätevyyttä totuustaukolla: A B C B C A B C B A C t t t t t e e e t t e t t e e t t e t t t t e e t e e e e t e t e t t t t e t e e t e t t e t t e e t t t t t e e e e e t t t t Kaksinkertaisesti alleviivatulla rivillä premissit ovat tosia, mutta johtopäätös epätosi. Siispä päätelmä on epäpätevä. (b) Tutkitaan päätelmän A B C, B, Siispä A pätevyyttä totuustaukolla:
A B C B C A B C B A t t t t t e e t t e e e e e t e t e e t e t e e e e t e e t t t t e t e t e e t e t e e t e t t t e e e e t t t Totuustaulukossa ei ole riviä, jolla premissit tosia, mutta johtopäätös epätosi. Siis päätelmä on pätevä. 3. (a) A : Otat. B : Ajat. Nyt päätelmä saadaan muotoon A B, Siis B A. Tutkitaan sen pätevyyttä totuustaulukoilla. A B B A A B B A t t e e e e t e t e t t e t e t t t e e t t t t Totuustaulukossa ei ole riviä, jolla premissi tosi, mutta johtopäätös epätosi. Siispä päätelmä on pätevä. (b) A : Pienyritykset joutuvat vaikeuksiin. B : Suomen kansantalous romahtaa. C : Valtion ulkomaista velkaa lisätään. Päätelmä: A B, C B, Siispä C A. Tutkitaan sen pätevyyttä totuustaulukolla. A B C C A B C B C A t t t e t t t t t e t t t t t e t e e t t t e e t e e t e t t e t t t e t e t t t e e e t e t t t e e e t t e e
Kaksinkertaisesti alleviivatulla rivillä premissit ovat tosia, mutta johtopäätös epätosi. Siispä päätelmä on epäpätevä. (c) A : Otat. B : Ajat. Päätelmä: A B,B ASiispä A. Tutkitaan päätelmän pätevyyttä: A B B A B A B A t t e e e t t e t t e e e t e t t t e e t t t t Totuustaulukossa ei ole riviä, jolla premissit tosia, mutta johtopäätös epätosi. Siis päätelmä on pätevä. (d) A : Martti on poliisi. B : Martti käyttää virkapukua. C : Martti ajaa työssään paljon autoa. Päätelmä: A B, B C Siispä A. Tutkitaan päätelmän pätevyyttä: A B C A B B C t t t t t t t e t e t e t e e t e e e e e t t t t e t e t e e e t t e e e e t e Kaksinkertaisesti alleviivatulla rivillä premissit ovat tosia, mutta johtopäätös epätosi. Siispä päätelmä on epäpätevä. 4. (a) A : Heli tulee tänään käymään. B : Lähdemme leffaan. C : Lähdemme pizzalle. Lausejoukko A B C, B A, C. Tutkitaan lausejoukon ristiriitaisuutta totuustaulukoilla.
A B C B C A B C A B A C t t t t t e e e t t e t t e e t t e t t t e t e t e e e e e t t e t t t t t t e e t e t t t t t e e t t t t t e e e e e t t t t Kaksinkertaisesti alleviivatulla rivillä lausejoukon kaikki lauseet ovat tosia, joten lausejoukko on ristiriidaton. (b) Lausejoukko: A B, A B, C, B C. Tutkitaan lausejoukon ristiriitaisuutta: A B C A B B A B A B C B C t t t t e e t e e t t e t e e t t t t e t t t t e e t t e e t t t e t t e t t t e e t e e e t e t e e t t t e e t e t e t e t e e e e t e t t t Totuustaulukossa ei ole riviä, jolla kaikki lausejoukon lauseet tosia. Siispä lausejoukko on ristiriitainen.
MALLIRATKAISUT HARJOITUS 4. (a) Tutkitaan, seuraako Q loogisesti lauseista P Q ja P. P Q P Q P Q Q t t t e e t e e t t e t e t e e e e t t Totuustaulukossa ei ole vastaesimerkkirivejä, joten periaate voidaan hyväksyä päättelysäännöksi. (b) Tutkitaan, seuraako P Q lauseista P Q ja P. P Q P Q P Q t t t t t e e e e t e t e e e t Totuustaulukossa ei ole vastaesimerkkirivejä, joten periaate voidaan hyväksyä päättelysäännöksi. 2. A : Otat. B : Ajat. (a) Päätelmä: A B, Siis B A. B 2. A B A B B B A B A T,2. T, (b) Päätelmä: A B,B A, Siis A.
A B A A B B A A A A A TP T, 3. Osoitetaan pätevät päätelmät päteviksi päättelysäännöin ja epäpätevät epäpäteviksi vastaesimerkein. (a) A : Tupakointi on kielletty yliopiston sisätiloissa. B : Yliopiston tupakkahuoneet sijaitsevat yliopiston sisätiloissa. C : Tupakointi on sallittu yliopiston tupakkahuoneissa. Päätelmä: A, A B C,B CSiis B. B C C B A B C C C B C A B A B T, (b) A : Eläin on lintu. B : Eläin on lisko. C : Eläimellä on höyhenet. Päätelmä: A B, C A, C Siispä B. Olkoon atomilauseilla seuraavat totuusarvot: A on tosi, B on epätosi ja C on epätosi. Tällöin päätelmän premissit ovat tosia, mutta johtopäätös epätosi, joten päätelmä ei ole pätevä. (c) A : Verotus kevenee. B : Kansantalous elpyy. C : Hallitus kaatuu. D : Turku on Suomen pääkaupunki. Päätelmä: A B, B C, C A Siispä D. B C A B C A A B B B B B C C C D T, TP C A C EFQ
MALLIRATKAISUT HARJOITUS 5. (a) P Q, Q P P Q Q P Q Q P Q T, (b) P Q R P Q P R P Q R Q R P Q R P Q P Q P Q P R P Q P R P Q R 2. P R P R P Q P R (c) P Q R P Q P R P Q R P P Q P P R P Q P R P Q P R 2. Q R Q P Q 2. Q R R P R P Q P R (d) P Q,Q R P R Q R P Q Q R P R P, 2. (a) a A pitää paikkansa. (b) a A ei pidä paikkaansa. (c) a A pitää paikkansa, koska jokainen a :n alkio on A:n alkio. (d) c A ei pidä paikkaansa. (e) A B x,y x A y B a,c, a,d, b,c, b,d, c, c, c, d
(f) A A B x,y,z x A y A z B a,a,c, a,a,d, a,b,c, a,b,d, a, c,c, a, c,d, b,a,c, b,a,d, b,b,c, b,b,d, b, c,c, b, c,d, c, a, c, c, a, d, c, b, c, c, b, d, c, c, c, c, c (g) x x A B B A B (ks. e-kohta), koska yksikään A:n alkio ei ole B:n alkio.
3. (a) Jaana on Tuukan äiti. a Jaana, b uukka, F x, y x on y:n äiti F a, b (b) Tuukalla on äiti. xf x, b (c) Kaikilla on äiti. x yf x, y (d) Joku ei ole kenenkään äiti. x y F x, y (vaihtoehto: x yf x, y ) (e) Kukaan ei ole kaikkien äiti. x yf x, y (vaihtoehtoja: x yf x, y, x y F x, y ) (f) Persianlahden sota on itsensä äiti. G x x on sota x G x y G y F x,y 4. (a) x y P x Q y R x, y on kaava: se saadaan muodostettua kaavanmuodostussääntöjen avulla. (b) x P x y Q y R x y ei ole kaava: viimeinen on väärässä paikassa. (Sitä ei saada variaabelien väliin kaavanmuodostussäännöillä.) (c) P x x Q x,y R x on kaava.
MALLIRATKAISUT HARJOITUS 7. (a) x T x K x (b) x B x K x (c) x N x K x (d) x K x Ä p,x (e) x M x y Ä y, x N y ( Jokaisella miehellä on äiti, joka on nainen, mutta tarkoittaako tämä samaa?) (f) x K x y A y O x,y (g) x y Y y P x,y y K y P x, y 2. (a) F x x G x H x,y ei ole lause, koska siinä on vähintään yksi variaabelin vapaa esiintymä. Variaabelien vapaita esiintymiä ovat x:n esiintymä predikaatin F yhteydessä ja y:n esiintymä. Kvanttorin x vaikutusala on kaava G x G x, y. (b) x F x G x H x ei ole lause, koska siinä on vähintään yksi variaabelin vapaa esiintymä. Variaabelin x vapaa esiintymä on predikaatin H yhteydessä. Kvanttorin x vaikutusala on kaava F x G x. (c) x F x y G y H x, y on lause. Kvanttorin y vaikutusala on kaava G y H x, y, kvanttorin x vaikutusala on kaava F x y G y H x, y. (d) x y F x G x H x, y on lause. Kvanttorin y vaikutusala on kaava F x G x H x, y, kvanttorin x vaikutusala on kaava y F x G x H x, y. 3. x y zr x,y,z x y zr x,y,z x y zr x,y,z x y z R x,y,z 4. (a) Esim. x T x K x ja x T x K x (b) Esim. x L x K x ja x L x K x
MALLIRATKAISUT HARJOITUS 8. (a) p Persianlahden sota, Ä x, y x on y:n äiti x S x Ä x, x E, x/p S p Ä p, p S p Ä p, p (b) x R x, a R a, x E, x/v R v, a R a, v R a, v R v, a a Aino, v Väinö, R x, y x rakastaa y:tä (c) Tx x on terrieri, Kx x on koira, Ax x on kaikkiruokainen x T x K x x K x A x E, x/x E, x/x T x K x K x A x HS T x A x x T x A x T (d) A x x on aasi, K x x on kavioeläin, F x x on kala x A x K x x K x F x E, x/x E,x/x A x K x K x F x HS A x F x x A x F x T (e) R x x on raitiovaunu, A x x on humalainen, M x x mölyää, O x, y x on y:ssä, H x x on hullu x R x y A y M y O y, x R x y A y M y O y, x R x 2. A y M y O y, x A y H y A y y A y M y O y, x y H y A y M y O y, x R x y H y A y M y O y, x x R x y H y A y M y O y, x 2 A y M M y H y A y M y O y, x y H y A y M y O y, x 2. (a) L x x on lammas, V x x on valkoinen, K x x on kotieläin, Päätelmä osoitetaan päteväksi päättelysäännöin.
x Lx Vx x Lx Kx Lx Kx Lx Vx Lx Kx Kx Vx x Kx Vx x Kx Vx Lx Vx Vx (b) Ä x,y x on y:n äiti. Päätelmä: x yä y, x, siispä y xä y, x Päätelmä ei ole pätevä, ja tämä osoitetaan rakentamalla sille vastaesimerkki. Olkoon D a, b ja predikaatin Ä tulkinta sellainen, että a on suhteessa I Ä b:hen, b on suhteessa I Ä a:han, ja muita I Ä -suhteita ei vallitse. Tällöin päätelmän premissi on tosi (a on I Ä -suhteessa johonkin, b on I Ä -suhteessa johonkin, ei ole muita kuin a ja b) mutta johtopäätös epätosi (kumpikaan mallin alkioista ei ole I Ä -suhteessa jokaiseen mallin alkioon). (c) f Fritz, B x x on Brockenin kummitus, K x x on kummitus. Päätelmä: x B x K x, B f, siispä K f. Päätelmä ei ole pätevä, ja tämä osoitetaan rakentamalla sille vastaesimerkki. Olkoon D a, B:n tulkinta tyhjä, K:n tulkinta tyhjä ja f:n tulkinta a. Tällöin päätelmän premissit ovat tosia (toisaalta B:n ja K:n tulkinnoissa ei ole yhteistä alkiota, toisaalta f:n tulkinta ei kuulu B:n tulkintaan) mutta johtopäätös epätosi (f:n tulkinta ei kuulu K:n tulkintaan). (d) S x x on suutari, K x x on kenkä, J x x on jalkine, R x, y x korjaa y:n x S x y K y R x, y S x y K y R x, y y K y R x, y S x x K x J x K y J y E, x/y J y 2. K y R x, y K y J y R x, y y J y R x, y y J y R x, y S x y J y R x, y x S x y J y R x, y K y R (e) x S x y T y K x,y, x T x P x, siispä x S x y P y K x,y Ei pätevä, osoitetaan vastaesimerkillä. Olkoon keskustelun universumi D a, b, c ja S:n tulkinta a, T:n tulkinta b, P:n tulkinta b, c, ja K:n tulkinta sellainen, että a on suhteessa I K c:hen, mutta muita I K -suhteita ei vallitse. Tällöin päätelmän premissit ovat tosia (mikään S:n tulkinnan jäsen ei ole I K -suhteessa mihinkään T:n tulkinnan jäseneen, T:n tulkinta sisältyy P:n tulkintaan) mutta johtopäätös epätosi (a on I K -suhteessa c:hen, joka on P:n tulkinnassa).
(f) Osoitetaan päätelmä päteväksi päättelysäännöin. (Johtopäätös on formalisoitu aikaisemmin.) y Y y P x, y y Y y K y Y y K y 2. Y y P x, y Y y 2. Y y P x, y K y P x, y K y P x, y y K y P x, y y K y P x, y y Y y P x, y y K y P x, y x y Y y P x, y y K y P x, y T, y/y 2. (g) Formalisoidaan päätelmä: x I x L x, x L x K x, siispä x I x K x HUOM! toisen premissin formalisointi, vrt. esim. Kaikki aviomiehet eivät ole vaimonhakkaajia : x A x V x, joka sanoo, että jotkut aviomiehet eivät ole vaimonhakkaajia. Päätelmä ei ole pätevä, mikä osoitetaan vastaesimerkillä. Olkoon D a, b, c, I:n tulkinta a, L:n tulkinta b ja K:n tulkinta a. Tällöin päätelmän premissit ovat tosia: a kuuluu I:n tulkintaan, mutta ei L:n tulkintaan; c ei kuulu L:n eikä K:n tulkintaan. Johtopäätös on kuitenkin epätosi: ei ole sellaista D:n alkiota, joka kuuluisi I:n tulkintaan, mutta ei kuuluisi K:n tulkintaan.
MALLIRATKAISUT HARJOITUS 9. (a) Sijoituksen saa tehdä, tulos: P a,y Q a (b) Sijoitusta ei saa tehdä, koska y joutuisi x:n paikalle sijoitettaessa kvanttorin sitomaksi. (c) Sijoituksen saa tehdä, tulos: x R x, z Q y 2. (a) B f, x B x K x, K c, siis f c f Fritz, c Chesterburyn linnan koputtaja, B x x on Brockenin kummitus, K x x on kummitus Osoitetaan päätelmä päteväksi päättelysäännöin: K c x B x K x f c B c K c B c K c K c K c f c B f T, (b) P s,p n, x y P x P y x y, siis s n s Sauli, n Niinistö, P x x on puhemies Osoitetaan päätelmä päteväksi päättelysäännöin: x y P x P y x y E, x/s y P s P y s y E, y/n P s P n s n s n P s P n P s P n 3. (a) x S x y J y R x,y, x K x J x, siispä x S x y K y R x,y Päätelmä ei ole pätevä. Osoitetaan tämä vastaesimerkillä. Olkoon D a, b, S:n tulkinta a, J:n tulkinta b, K:n tulkinta tyhjä ja R:n tulkinta sellainen, että a on suhteessa I R b:hen, mutta muita I R -suhteita ei vallitse. Tällöin päätelmän ensimmäinen premissi on tosia: a on S:n tulkinnassa, b on J:n tulkinnassa, a on I R -suhteessa b:hen ja S:n tulkinnassa ei ole muita kuin a. Myös toinen premissi on tosi, koska K:n tulkinta on tyhjä. Johtopäätös on puolestaan epätosi: a kuuluu S:n tulkintaan, mutta se ei ole R-suhteessa mihinkään K:n tulkinnassa olevaan olioon. (b) O p, x O x M x, siis N p Päätelmä ei ole pätevä. Osoitetaan tämä vastaesimerkillä. Olkoon D a, b, p:n tulkinta a, O:n tulkinta a, M:n tulkinta a, b ja N:n tulkinta a. Tällöin päätelmän premissit ovat tosia: p:n tulkinta kuuluu O:n tulkintaan ja O:n tulkinnan ainoa olio a kuuluu myös M:n tulkintaan.
Johtopäätos on sen sijaan epätosi: p:n tulkinta eli a kuuluu N:n tulkintaan. Intuitiivisesti johtopäätös näyttää kuitenkin seuraavan premisseistä. Näin on, koska taustatietoihimme kuuluu, että kukaan mies ei ole nainen. Kun tämä premissi lisätään päätelmään, siitä tulee pätevä. (c) x E x, s I x, xe x, s, siis xi x Päätelmä on pätevä: xe x, s x E x, s I x E, x/x E x, s I x E x, s I x xi x xi x T, x/x E, (d) x T x ys y, x, siis y x T x S y, x Päätelmä ei ole pätevä. Osoitetaan tämä vastaesimerkillä. Olkoon D a, b, T:n tulkinta a, b ja S:n tulkinta sellainen, että a on suhteessa I S b:hen, b on suhteessa I S a:han, eikä muita I S -suhteita vallitse. Tällöin premissi on tosi: jokin (nimittäin b) on suhteessa I S a:han, jokin (nimittäin b) on suhteessa I S a:han. Johtopäätös on sen sijaan epätosi: kumpikaan D:n alkioista ei ole suhteessa S jokaiseen D:n alkioon. (e) x K x P s, x, x K x P x, r, siis P s, r Päätelmä ei ole pätevä. Osoitetaan tämä vastaesimerkillä. Olkoon D a, b, c, K:n tulkinta a, s:n tulkinta b, r:n tulkinta c ja P:n tulkinta sellainen, että b on suhteessa I P a:han, a on suhteessa I P c:hen ja muita I P -suhteita ei vallitse. Nyt premissit ovat tosia: ensimmäinen, koska s:n tulkinta on I P -suhteessa johonkin K:hon (nimittäin a:han) ja toinen, koska jokainen K:n tulkinnassa mukana oleva on I P -suhteessa r:n tulkintaan. Johtopäätös on kuitenkin epätosi, koska s:n tulkinta ei ole I P -suhteessa r:n tulkintaan. Tämä tulos ei kuitenkaan vaikuta intuitiivisesti tyydyttävältä. Voisimme argumentoida seuraavasti: Satu on jotakuta koripallojoukkueen pelaajaa, sanokaamme x:ää, pitempi. Kaikki koripallojoukkueen pelaajat, x mukaan lukien, ovat Raimoa pitempiä. Siis Satu on x:ää pitempi ja x on Raimoa pitempi, joten Satu on Raimoa pitempi. Tässä nojataan siihen intuitiivisesti oikeaan periaatteeseen, että kelle tahansa x, y, ja z pätee, että jos x on y:tä pitempi ja y on z:aa pitempi, x on z:aa pitempi. Formaalisti esitettynä x y z P x, y P y, z P x, z. Jos tämä lisätään uudeksi premissiksi alkuperäisten joukkoon, päätelmästä tulee pätevä.
MALLIRATKAISUT HARJOITUS 10. (a) x y V x V y x y x y z V x V y V z x y x z y z (b) Helppo: N s Hankala: x S x z y S z S y z y N x (c) Helppo: M p Hankala: x P x z y P z P y z y M x 2. (a) P s,p t, s t siis x y V x V y x y s iku, t aku, P x x on pikkuorava P s P t P s P t s t P s P t s t T, y/t y V s V y s y T, x/s x y V x V y x y (b) xp x x y P x P y x y, P h, h a siis P a xp x x y P x P y x y x y P x P y x y y P h P y h y P h P a h a h a E, h/x E, a/y h a h a P a P h P a P h P a h a 3. x y P x, y P y,x ja x y z P x, y P y, z P x, z