Induktio kaavan pituuden suhteen Lauselogiikan objektikieli määritellään kurssilla Logiikka 1B seuraavasti: 1. Lausemuuttujat p 1, p 2, p 3,... ovat kaavoja. 2. Jos A on kaava, niin A on kaava. 3. Jos A ja B ovat kaavoja, niin (A B), (A B), (A B) ja (A B) ovat kaavoja 4. Muita kaavoja ei ole. Tämä kielen induktiivinen määritelmä mahdollistaa kaavoja koskevien väitteiden todistamisen induktiolla kaavan pituuden suhteen. Jos tehtävänämme on todistaa, että jokaisella kaavalla A on ominaisuus O, niin menettelemme seuraavasti: (1) Osoitamme ensin, että lausemuuttujilla p 1, p 2, p 3,... on ominaisuus O. Teemme induktio-oletuksen (lyhenne IO), että kaavoilla B ja C on ominaisuus O ja todistamme induktioaskeleessa, että tällöin (2) kaavalla B on ominaisuus O ja (3) kaavoilla B C, (B C), (B C) ja (B C) on ominaisuus O. Melkeinpä poikkeuksetta kohta (1) on triviaali. Kohdan (3) konnektiivien,, ja käsittely induktioaskeleessa on yleensä varsin samantyylistä. Usein tyydytäänkin tarkastelemaan induktioaskeleessa negaatiota ja yhtä muuta konnektiivia, esimerkiksi konjunktiota. (Logiikan jatkokursseilla on tapana määritellä kieli jo alunperinkin niin, että peruskonnektiiveina on vain negaatio ja esimerkiksi konjunktio, jolloin induktioaskeleessa ei muita konnektiiveja kuin ja pidäkään tarkastella.) Esimerkki 1. On itsestään selvää, että lauselogiikan kaavoissa on vasemmanja oikeanpuoleisia sulkuja ( ja ) yhtä monta. Jos tämä kuitenkin pitää todistaa täsmällisesti, on turvauduttava induktiotodistukseen: 1
Ensinnäkin lausemuuttujan muodostamassa kaavassa p i ei ole sulkuja ollenkaan, joten vasemman- ja oikeanpuoleisia sulkuja on yhtä monta eli 0. Oletetaan induktio-oletuksena, että kaavassa B on vasemman- ja oikeanpuoleisia sulkuja yhtä monta, sanokaamme m, ja samoin kaavassa C on sekä vasemman- että oikeanpuoleisia sulkuja n. Kaavassa B on yhtä paljon sulkuja kuin kaavassa B eli induktio-oletuksen mukaan m vasemmanpuoleista ja oikeanpuoleista sulkua. Siis kaavassa B vasemman- ja oikeanpuoleisten sulkujen lukumäärä on sama. Tarkastellaan sitten kaavaa (B C). Induktio-oletuksen mukaan tässä kaavassa on vasemmanpuoleisia sulkuja 1 + m + n ja oikeanpuoleisia sulkuja m + n + 1 eli yhtä monta. Vastaavasti osoitetaan induktio-oletuksen avulla, että kaavoissa (B C), (B C) ja (B C) on yhtä monta vasemman- ja oikeanpuoleista sulkua. Vasemmanpuoleisten (ja tietenkin vastaavasti oikeanpuoleisten) sulkujen lukumäärä voidaan määritellä täsmällisesti induktiivisesti. Emme tässä kuitenkaan esitä tätä yksinkertaista määritelmää, vaan analogiset määritelmät kaavassa esiintyvien konnektiivien lukumäärälle ja kaavan rakennepuun korkeudelle. Tässä rajoitumme kieleen, jossa on vain konnektiivit ja (on selvää, miten määritelmä yleistetään muille konnektiiveille). Kaavassa A esiintyvien konnektiivien lukumäärä co A on co p i = 0, co B = 1 + co B, co (B C) = co B + co C + 1. Kaavan A rakennepuun korkeus hg A on hg p i = 0, hg B = hg B + 1, hg (B C) = max{hg B, hg C} + 1. Esimerkki 2. Todistamme induktiolla, että hg A co A. Kun A = p i, niin hg A = 0 = co A, ja väite hg A co A on voimassa. 2
Oletetaan (induktio-oletus), että hg B co B ja hg C co C. Tällöin ja hg B = hg B + 1 IO co B + 1 = co B hg (B C) = max{hg B, hg C} + 1 IO max{co B, co C} + 1 co B + co C + 1 = co (B C). Induktioperiaatteen perusteella siis kaikille kaavoille A (joissa esiintyy vain lausemuuttujia ja konnektiiveja ja ) pätee, että hg A co A. Seuraavaksi määrittelemme induktiivisesti valuaation käsitteen. Valuaatio eli totuusjakauma Logiikan peruskursseilla lauselogiikan semantiikkaa tarkastellaan yleensä aina aluksi totuustaulujen avulla. Teoreettisia tarkasteluja on kuitenkin melko kömpelöä tehdä viittaamalla totuustauluihin. Matemaattisempi tapa on puhua totuustaulujen sijasta valuaatioista. Valuaatio eli totuusjakauma on kuvaus v: {p 1, p 2, p 3,...} {t, e}, joka laajennetaan kuvaukseksi v: { A A on lauselogiikan kaava } {t, e} seuraavien ehtojen määräämällä yksikäsitteisellä tavalla: v( A) = t v(a) = e, v(a B) = e v(a) = v(b) = e, v(a B) = t v(a) = v(b) = t, v(a B) = e v(a) = t ja v(b) = e, v(a B) = t v(a) = v(b). On helppo osoittaa, että riippumatta siitä, mitä arvoja valuaatio v antaa lausemuuttujien totuusarvoiksi, on voimassa v(a B) v(a B) v(a B) = v( ( A B)), = v( (A B)), = v( (A B) (B A)). 3
Määritelmämme valuaatiolle on siis mielekäs, vaikka olisimme valinneet peruskonnektiiveiksi negaation ja konjunktion ja määritelleet muut konnektiivit tavalliseen tapaan niiden avulla. Totuustaulussa esiintyy aina äärellinen määrä lausemuuttujia, mutta valuaatio antaa totuusarvon kaikille lausemuuttujille (samoinhan lauselogiikan mallissa määräytyy totuusarvo kaikille lausemuuttujille). Totuustaulut ja valuaatiot vastaavat kuitenkin toisiaan. Nimittäin kun tarkastellaan jotain valuaatiota v ja kiinnitettyä kaavaa A, niin arvolla v(p i ) on merkitystä vain jos lausemuuttuja p i esiintyy kaavassa A. Täsmällisesti tämä väite voidaan muotoilla seuraavasti: Olkoon A lause ja olkoot v 1 ja v 2 sellaisia totuusjakaumia, että v 1 (p i ) = v 2 (p i ) aina, kun lausemuuttuja p i esiintyy lauseessa A. Tällöin v 1 (A) = v 2 (A). Jätämme tämän todistamisen harjoitustehtäväksi ja tyydymme tässä havainnollistamaan esimerkillä valuaation ja totuustaulun (tarkemmin sanoen sen vaakarivin) välistä yhteyttä. Esimerkki 3. Tarkastellaan kaavan ((p 1 p 2 ) p 3 ) p 3 seuraavaa vaakariviä: totuustaulun p 1 p 2 p 3 p 1 p 2 (p 1 p 2 ) p 3 ((p 1 p 2 ) p 3 ) ((p 1 p 2 ) p 3 ) p 3 e t e e e t e Tämä totuustaulun vaakarivi vastaa siis tilannetta, jossa lausemuuttujalla p 1 on totuusarvo e, lausemuuttujalla p 2 totuusarvo t ja lausemuuttujalla p 3 totuusarvo e. Olkoon nyt v sellainen valuaatio, että v(p 1 ) = e, v(p 2 ) = t, v(p 3 ) = e ja muut arvot v(p i ) mitä tahansa (sovitaan vaikka, että v(p i ) = t, kun i 4). Koska v(p 1 ) = e ja v(p 2 ) = t, niin v(p 1 p 2 ) = e. Koska lisäksi v(p 3 ) = e, niin v((p 1 p 2 ) p 3 ) = e. Täten v( (p 1 p 2 ) p 3 )) = t ja koska v(p 3 ) = e, niin v( ((p 1 p 2 ) p 3 ) p 3 ) = e. Peruskurssin määritelmän mukaan kaava A on tautologia, jos sen totuustaulun jokaisella vaakarivillä viimeiseksi laskettavaksi totuusarvoksi tulee t. 4
Tämä on yhtäpitävää sen kanssa, että jokaisella valuaatiolle v pätee, että v(a) = t. (Tautologisuuden voisi määritellä tällä tavoin valuaatioiden avulla, mutta tässä yhteydessä yhtäpitävyys pitäisi oikeastaan todistaa. Todistus on sinänsä triviaali; vaikeuksia tuottaa lähinnä muotoilla täsmällisesti se, mitä totuustaululla tarkoitetaan. Oikeastaan totuustaulu on vain eräänlainen merkintätapa valuaatioiden laskemiseksi.) Myöhemmin todistamme, että kaava A on validi (eli tosi jokaisessa mallissa), jos ja vain jos kaikilla valuaatioilla v pätee, että v(a) = t. Tätä ennen annamme kuitenkin yksinkertaisen esimerkin valuaatioita hyödyntävästä induktiotodistuksesta ja tarkastelemme hieman joukko-opin operaatioiden ja konnektiivien välistä yhteyttä. Esimerkki 4. Olkoon A sellainen kaava, jossa ei esiinny negaatiota eikä muita lausemuuttujia kuin mahdollisesti p 1, p 2,..., p n. Tällöin jos niin v(a) = t. v(p 1 ) = v(p 2 ) = v(p n ) = t, Todistus induktiolla: Lausemuuttujien p 1, p 2,..., p n kohdalla väite on oletuksena. Tehdään induktio-oletus, että v(b) = v(c) = t. Tämän oletuksen perusteella v(b C) = v(b C) = v(b C) = v(b C) = t. Yllä olevassa induktiotodistuksessa itse asiassa tarkastellaan lauselogiikan kielen osajoukkoa (kieltä, jossa on lausemuuttujat p 1, p 2,..., p n ja konnektiivit,,, ). Todistus oli varsin yksinkertainen, mutta tuloksella on mielenkiintoinen seuraus: negaatiota ei voida määritellä konjunktion, disjunktion, implikaation ja ekvivalenssi avulla. (Perustele tämä.) Pikakatsaus mahdollisiin maailmoiksi Mahdollisten maailmojen semantiikassa lähtökohtana on perusjoukko W, jonka alkiot tulkitaan mahdollisiksi maailmoiksi. Kaavoilla on totuusarvo (tosi tai epätosi) maailmassa w W. Kaavan A totuusjoukon A alkioina ovat kaikki ne mahdolliset maailmat, joissa A on tosi: A = {w W w A}. 5
Seuraavassa esimerkissä (joka on lähes identtinen tentin 8.12.05 tehtävän 5 kanssa) todistetaan induktiolla konnektiivien ja joukko-opillisten operaatioiden välinen yhteys. Esimerkki 5. Olkoon kaikkien konnektiivien ja sekä lausemuuttujien p 0, p 1, p 2,... avulla muodostettavissa olevien propositiolauseiden joukko L. Olkoon W epätyhjä joukko. Tarkastellaan sellaista kuvausta : L P(W ), joka toteuttaa seuraavat ehdot: (i) p i W, kun p i on lausemuuttuja; (ii) A = W \ A ( A :n komplementti W :n suhteen); (iii) A B = A B. Olkoon v valuaatio ja w W. Todistetaan induktiolla, että jos kaikille lausemuuttujille p i pätee että, niin kaikille kaavoille A pätee, että v(p i ) = t, jos ja vain jos w p i, v(a) = t, jos ja vain jos w A. Todistettava väite pätee oletuksen perusteella, kun A = p i. Teemme induktiooletuksen: aina, kun w W, v(b) = t w B, v(c) = t w C. Kun A = B, niin v( B) = t v(b) = e IO w B w W \ B w B. Kun A = B C, niin v(b C) = t v(b) = v(c) = t IO w B ja w C w B C w B C. Induktioperiaatteesta seuraa, että väite on voimassa kaikille kielen L kaavoille. 6
Olkoon W kaikkien mahdollisten maailmojen joukko (tai paremminkin luokka, jotta vältyttäisiin Russelin paradoksin tapaisilta joukko-opin paradokseilta). Tämän esimerkin tuloksen perusteella voidaan todistaa, että A = W, jos ja vain jos A on tautologia; siis tautologiat ja vain ne ovat tosia kaikissa mahdollisissa maailmoissa. Tässä on rajoituttu lauselogiikkaan, mutta yleisesti mahdollisten maailmojen semantiikassa loogisesti todet lauseet ja vain ne ovat tosia kaikissa maailmoissa. Validisuuden ja tautologisuuden suhde Todistamme ensin yksittäisen valuaation ja mallin välisen suhteen, joka on vastaavanlainen kuin edellisessä esimerkissä valuaation ja mahdollisen maailman välinen suhde. Kertaamme aluksi totuuden määrittelyn mallissa: 1. M p i p i M. 2. M A M A. 3. M A B M A ja M B. 4. M A B M A ja M B. 5. M A B M A ja M B. 6. M A B joko M A ja M B tai M A ja M B. Olkoon M sellainen malli ja v sellainen valuaatio, että p i M, jos ja vain jos v(p i ) = t, eli yhtäpitävästi M p i v(p i ) = t. Todistamme induktiolla, että vastaava väite pätee kaikille kaavoille A. Induktiooletuksemme on M B v(b) = t, M C v(c) = t. Induktio-oletuksen perusteella M B M B IO v(b) = e v( B) = t 7
ja M B C M B ja M C IO v(b) = v(c) = t v(b C) = t. Vastaavasti todistetaan induktioaskel myös konnektiiveille, ja (harjoitustehtävä). Induktioperiaatteen mukaisesti täten kaikille kaavoille A pätee, että M A v(a) = t. Yllä olevan tuloksen perusteella voidaan todistaa helposti (harjoitustehtävä), että A v(a) = t kaikille valuaatioille v, eli toisin sanoen: lauselogiikan kaava A on validi, jos ja vain jos se on tautologia. 8