Geometrian harjoitustehtäviä 27.5.2015

Geometrian harjoitustehtäviä 27.5.2015 1.1 Tarkastellaan Hilbertin aksioomia (H1) - (H3). Konstruoi kolme mallia, joista kukin toteuttaa kaksi näistä aksioomista, muttei kolmatta. Ja eipäs viisastella siellä: tässä tämä kolmas toteutumaton aksiooma pitää olla eri aksiooma kussakin eri mallissa eli sama malli kolme kertaa ei kelpaa vastaukseksi. Huomaa, että nämä mallit osoittavat, että aksioomat (H1) - (H3) ovat riippumattomia toisistaan, eli että kolmatta ei voida todistaa kahden muun avulla. Vertaa myös luentomonisteen sivun 10 malleihin 1-5, joista yksikään ei siis ole kelvollinen tässä tehtävässä. 1.2 Todista lauseet 2.2.1.-4. Oletetaan siis, että Hilbertin aksioomat (H1) - (H3) pätevät. Osoita, että a) Jos l ja m ovat eri suoria, jotka eivät ole yhdensuuntaisia, niin on olemassa täsmälleen yksi piste, jonka kautta sekä l että m kulkevat. b) Jokaisen suoran ulkopuolella on ainakin yksi piste. c) Jos P on mielivaltainen piste, niin on olemassa ainakin yksi suora, johon P ei sisälly. d) Jokaisen pisteen kautta kulkee ainakin kaksi suoraa. Vihjeenä tai ohjeena voisi todeta, että a)- ja b)-kohdan todistukset ovat hyvin lyhyitä ja helppojakin kai, kunhan ne ensin keksii. Kohdissa c) ja d) todistukset muistuttavat toisiaan; c)-kohdassa kannattaa tehdä antiteesi ja käyttää sitten aksioomaa (H3), d)-kohdassa on viisainta lähteä liikkeelle suoraan aksioomasta (H3). Ylimääräisenä tehtävänä voit pohtia sitä, pätevätkö nämä lauseet tehtävässä 1. esittämissäsi malleissa. Tätä ylimääräistä tehtävää ei käsitellä demoissa, koska tehtävään 1. voi kehitellä monenmoisia vastauksia ja silloin nämä lauseet voivat päteä tai olla pätemättä, keksimästäsi mallista riippuen. Vielä ylimääräisempänä (ja jo vähän vaikeampanakin) tehtävänä voit miettiä sitä, tarvitaanko kaikissa noissa lauseissa kaikkia aksioomia (H1) - (H3) vai seuraako joku lauseista jo joistakin kahdesta aksioomasta (H1) - (H3). Silloinhan nämä kyseiset kaksi aksioomaa toteuttava malli toteuttaisi myös kyseisen lauseen väitteen. Tarkastellaan seuraavaa geometristä aksioomajärjestelmää, joka sisältää aksioomat (A1)-(A7); määrittelemättömät peruskäsitteet ovat piste, suora ja suora kulkee pisteen kautta. (A1) Jos P ja Q ovat eri pisteitä, niin on olemassa ainakin yksi suora, joka kulkee niiden kautta.

(A2) Jos P ja Q ovat eri pisteitä, niin on olemassa korkeintaan yksi suora, joka kulkee niiden kautta. (A3) Jos l ja m ovat eri suoria, niin on olemassa ainakin yksi piste P siten, että l ja m kulkevat pisteen P kautta. (A4) On olemassa ainakin yksi suora. (A5) Jokainen suora kulkee ainakin kolmen eri pisteen kautta. (A6) Jos l on suora, niin on olemassa ainakin yksi piste, jonka kautta l ei kulje. (A7) Jokainen suora kulkee korkeintaan kolmen eri pisteen kautta. Tässäpä aksioomajärjestelmämme. Ensimmäisenä herää tietysti kysymys siitä, että onko tässä mitään järkeä, ts. onko tämä järjestelmä ristiriidaton. Tähän voi vastata myöntävästi esittämällä mallin, jossa nämä kaikki aksioomat toteutuvat. Tämmöinen malli jatkossa konstruoidaankin, mutta ei ihan vielä. Asiaa kannattaa kuitenkin miettiä, ja vihjeeksi voisi todeta ensinnäkin sen, että ei näitä malleja ole montaa: kussakin on täsmälleen seitsemän pistettä ja seitsemän suoraa (mutta ei yhtään kääpiötä tai Lumikkia). Huomaa, että (A3) poistaa pelistä tavallisen karteesisen mallin (eli R 2 :n) ja (A7) poistaa mahdollisten mallien joukosta (maa)pallon pallogeometrian. Tähän kaikki nämä aksioomat toteuttavan mallin olemassaolokysymykseen palataan jatkossa. Mutta nyt: 1.3 Osoita, että aksiooma (A1) on riippumaton muista aksioomista konstruoimalla malli, joka toteuttaa kaikki muut aksioomat, mutta ei aksioomaa (A1). 1.4 Osoita, että aksiooma (A2) on riippumaton muista aksioomista konstruoimalla malli, joka toteuttaa kaikki muut aksioomat, mutta ei aksioomaa (A2). Myös muut aksioomat (A3) - (A7) voidaan vastaavalla tavalla osoittaa muista riippumattomiksi. Seuraavissa demoissa näin tehdäänkin, mutta asiaa voi jo miettiä valmiiksi. Mallien konstruointi on melko helppoa, poislukien aksioomat (A7) ja erityisesti (A3). On ehkä vielä syytä korostaa sitä, että luennoilla edetään nimenomaan Hilbertin aksioomajärjestelmässä (H1) - (H13), eikä missään nimessä järjestelmässä (A1) - (A7), jonka aksiooma (A3) erityisesti ei sovi Hilbertin järjestelmään. Seuraavat ovat ns. karteesisen (Descartes) geometrian eli suomeksi(?) sanottuna R 2 :n tehtäviä tai kuten luentomonisteessa sanotaan koordinaattigeometrian tehtäviä.

Tason R 2 siirto vektorin a R 2 verran on kuvaus S a : R 2 R 2, S a (x) = x + a. Lineaarialgebrasta lienee tuttua, että tason kierto origon ympäri kulman α verran vastapäivään (pohjoisella pallonpuoliskolla, counterclockwise ) on lineaarikuvaus K α, jonka matriisiesitys luonnollisessa kannassa on [ ] cos α sin α mat(k α ) =. sinα cos α Silloin kierto mielivaltaisen pisteen a R 2 ympäri saadaan niin, että siirretään a ensin origoon siirrolla S a, kierretään sitten origon ympäri kierrolla K α ja siirretään origo takaisin pisteeksi a siirrolla S a. Siten kierto pisteen a ympäri kulman α verran on kuvaus K a,α : R 2 R 2, K a,α = S a K α S a. Karteesinen peilaus reaaliakselin suhteen on lineaarikuvaus P R : R 2 R 2, P R (x 1,x 2 ) = (x 1, x 2 ). Karteesinen peilaus origon kautta kulkevan karteesisen suoran l suhteen saadaan tällöin niin, että kierretään l ensin reaaliakseliksi, peilataan sen suhteen ja kierretään reaaliakseli takaisin suoraksi l. Käytännössä tämä tapahtuu niin, että etsitään ensin suoran l ja yksikköympyrän leikkauspiste, joka voidaan esittää napakoordinaattimuodossa (cosα,sin α) jollekin α. Silloin kierto K α kiertää suoran l reaaliakseliksi ja kierto K α kiertää reaaliakselin takaisin suoraksi l. Näinpä ajatellen peilaus suoran l suhteen on lineaarikuvaus P l : R 2 R 2, P l = K α P R K α. Jos suora l ei kulje origon kautta, niin peilaus l:n suhteen syntyy niin, että siirretään l sopivalla siirrolla kulkemaan origon kautta, peilataan tämän siirretyn suoran suhteen ja siirretään takaisin. Käytännössä tämä tapahtuu niin, että valitaan (jokin) piste a l, tehdään siirto S a (joka vie l:n kulkemaan origon kautta) peilataan origon kautta kulkevan suoran S a (l) suhteen ja siirretään takaisin siirrolla S a. Siten peilaus (origon kautta kulkemattoman) suoran l suhteen on kuvaus P l : R 2 R 2, P l = S a P S a(l) S a. 1.5 a) Osoita, että origon ympäri tehtävän kierron K α käänteiskuvaus on kierto K α. Osoita edelleen, että K α K β = K α+β kaikille α,β R. b) Tuossa edellä origon kautta kulkevan suoran suhteen tehdyn peilauksen määritelmä on vähän huolimaton, sillä määritelmässä valittiin jokin suoran l ja yksikköympyrän leikkauspiste (cos α, sin α) ja sen avulla peilaus määriteltiin. Näitä leikkauspisteitähän on kaksi, joista toinen on ( cos α, sin α). (Miksi? Mikä

on tässä oleva α?) Osoita, että lopputulos (eli peilauksen määritelmä) on sama käytettiinpä kumpaa tahansa näistä pisteistä. c) Osoita myös, että kyseisen peilauksen määritelmässä oleva kierto K α kiertää l:n reaaliakseliksi eli K α (l) = R {0} käytettiinpä kumpaa leikkauspistettä tahansa. Huomaa kuitenkin, että suora l kiertyy reaaliakselille toisin päin, jos valitaan toinen leikkauspiste. Tämä suunnanmuutos korjautuu sitten takaisinkierrolla K α, joten lopputulokseen ei tule eroa, kuten b)-kohdassa todettiin. 1.6 a) Origon kautta kulkemattoman suoran suhteen tehtävän peilauksen määritelmässä on myös vähän huolimattomuutta, sillä siinä oletetaan ilman perusteluja, että siirretty suora S a (l) on todella suora (ja kulkee origon kautta). Osoita, että näin on. b) Osoita, että siirron S a käänteiskuvaus on S a, kierron K a,α käänteiskuvaus on K a, α ja että peilauksen P l käänteiskuvaus on se itse. 1.7 a) Osoita, että kierto K a,α säilyttää kiertokeskipisteen a paikallaan, ts. K a,α (a) = a. b) Osoita, että peilaus P l säilyttää peilaussuoran l pisteet paikallaan, ts. P l (x) = x kaikille x l. Seuraavassa (ja jatkossa muutenkin) on ylimääräisiä tehtäviä, joita merkitään symboleilla Y.n. Nämä ovat (yleensä) vähän vaikeampia kuin normaalitehtävät, ja niitä ei käsitellä demoissa mitenkään. Nämä voi ottaa ylimääräisenä haasteena, jos varsinaiset tehtävät tuntuvat liian helpoilta. Y.1 Oletetaan, että tasossa on nelikulmio, jonka kärkipisteet ovat A, B, C ja D. Tästä nelikulmiosta ei oleteta mitään, se voi olla kuinka vino tahansa eikä sen tarvitse olla edes konveksi. Piirretään nelikulmion ulkopuolelle kullekin kyljelle neliö siten, että annetun nelikulmion kylkijana on myös syntyvän neliön kylkijana, ks. kuva: M C N D A K B L

Olkoot syntyvien neliöiden keskipisteet (so. lävistäjien leikkauspisteet) K, L, M, N kuvan osoittamassa järjestyksessä. Osoita, että janat KM ja LN ovat yhtä pitkiä ja kohtisuorassa toisiaan vastaan.

Geometrian harjoitustehtäviä 29.5.2015 2.1 Olkoon M malli, jossa on ainakin yksi suora ja jonka kaikilla suorilla on täsmälleen viisi pistettä. Määrittele välissäolo kullekin viiden pisteen suoralle siten, että (H4) - (H6) toteutuvat. 2.2 Tarkastellaan tehtävän 1 mallia M ja sen suoraa l, jolla on täsmälleen pisteet A, B, C, D ja E. Käytetään tehtävässä 1 konstruoimaasi välissäolon määritelmää. Osoita, että lauseen 2.3.5 ehto (i) ei toteudu eli että on olemassa l:n pisteet P,Q,R {A,B,C,D,E} siten, että P Q R, jolloin puolisuorat QP ja QR ovat vastakkaisia, mutta niiden leikkausjoukko ei ole piste Q. Osoita myös, että lauseen 2.3.5 ehto (ii) kuitenkin toteutuu, ts. näiden puolisuorien yhdiste täyttää koko suoran l. 2.3 Tehtävän 1 mallin M pisteistä ei ole vielä paljon sanottu. Oletetaan nyt, että niitä on täsmälleen 21 kappaletta. Määrittele tässä mallissa suorat ja pisteen kuuluminen suoraan siten, että aksioomat (H1) - (H3) toteutuvat. Vaaditaan siis edelleen, että jokaisella suoralla on täsmälleen viisi pistettä. Montako suoraa tässä mallissa on? Huomautus. Voidaan osoittaa, että 21 on pienin määrä pisteitä, jolla viiden pisteen suorista koostuva malli saadaan toteuttamaan aksioomat (H1) - (H3). 2.4 a) Luettele tehtävän 3 malliisi tulleet yhdensuuntaiset suorat. b) Järjestetään jokainen tehtävän 3 mallisi suora siten kuin olet tehtävässä 1 tehnyt. Tehtävien 1 ja 3 nojalla mallisi toteuttaa silloin aksioomat (H1) - (H6). Osoita, että aksiooma (H7) ei päde. Huomautus. Tuo b)-kohdan väite kuulostaa aika ihmeelliseltä: eihän tehtävän laatija tiedä, minkälaisen mallin olet laatinut ja miten tarkkaan ottaen suorien sisäinen järjestys on määritelty siinähän on vain käytetty tehtävän 1 tai 2 ideaa nimeämällä jotenkin annetun suoran pisteet A:ksi, B:ksi jne, ja tämä nimeäminenhän voitaisiin tehdä toisinkin. Tehtävän laatija väittää silti tietävänsä, että aksiooma (H7) ei päde. Onko kyse suuruudenhulluudesta, vai onko tehtävän laatijan väitteessä perää? (On siinä perää, ja sitä paitsi megalomaaninen tehtävän laatija väittää tietävänsä vastauksen myös a)-kohtaan.) 2.5 Tarkastellaan 1. harjoitusten aksioomajärjestelmää (A1) - (A7). Konstruoi malli, joka toteuttaa kuusi näistä aksioomista, mutta ei a) aksioomaa (A4), b) aksioomaa (A5) ja

c) aksioomaa (A6). 2.6 Osoita, että (maa)pallon pallogeometria toteuttaa aksioomat (A1) - (A6), mutta ei aksioomaa (A7). Kuten luennoilla todettiin, tässä mallissa suoria ovat pallopinnan isoympyrät eli joukot S T, missä S on R 3 :n yksikköpallon pinta eli S = {x R 3 x = 1} ja T on origon kautta kulkeva taso eli kaksiulotteinen R 3 :n aliavaruus. Ilmeisesti tämä isoympyrä eli joukko S T on todella ympyrä, jonka keskipiste on pallon keskipiste eli origo. Tämän mallin pisteitä ei voi yksinkertaisesti määritellä joukon S pisteiksi, koska kaksi eri isoympyrää leikkaa toisiaan kahdessa kohdassa x ja x jollekin x S. Tällöin (A2) ei toteudu näille vektoreille x ja x. Tästä syystä pisteitä ovatkin antipodaaliset vektoriparit {x, x}, missä x S. Sovitaan lisäksi, että piste {x, x} sisältyy suoraan l = S T, mikäli {x, x} l. Aksioomat (A4) - (A6) ovat triviaalisti voimassa; samoin on triviaalia, että aksiooma (A7) ei päde. Osoita LAG:n antamin apukeinoin, että aksioomat (A1) - (A3) pätevät. Huomautus. Tähän tilanteeseen, jossa siis aksioomat (A1) - (A6) pätevät mutta (A7) ei (vrt. tehtävä 5), löytyy myös äärellinen malli; yksinkertaisimmassa on 13 pistettä sekä suoraa. Pisteet ovat 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 ja 13. Suorat ovat {1,2,3,4}, {1,5,6,7}, {1,8,9,10}, {1,11,12,13} {2,5,8,11}, {2,6,9,12}, {2,7,10,13} {3,5,9,13}, {3,6,10,11}, {3,7,8,12} {4,5,10,12}, {4,6,8,13}, {4,7,9,11}. Lisäksi piste P sisältyy suoraan l mikäli P l. Tässä taas aksioomat (A4) - (A6) ovat triviaalisti voimassa, samoin on triviaalia, että aksiooma (A7) ei päde. Myös aksioomat (A1) - (A3) pätevät, kuten eri vaihtoehdot läpi käymällä helposti nähdään. Lisäkysymys asiasta innostuneille: mikä on toiseksi yksinkertaisin (eli vähiten pisteitä sisältävä) esimerkki eli montako pistettä siinä on? Oikea vastaus on 21. (Vertaa tehtävään 3.) Sitä seuraavassa pisteitä on 31 ja sitä seuraavassa 57. Näitä on jonkun verran mietitty, ja voidaan osoittaa, että äärellisessä mallissa pisteiden lukumäärä on aina muotoa n 2 + n + 1, missä n 3 on kokonaisluku tätä lukua n sanotaan kyseisen mallin kertaluvuksi. Kertalukua n olevassa mallissa jokaisella suoralla on n+1 pistettä ja myös suorien lukumäärä on n 2 +n+1. Aksioomajärjestelmä (A1) - (A6) ei ole ihan hatusta vedetty, vaan on ns. elliptisen geometrian perusjärjestelmä. Kuten nähtiin (tai oikeastaan vain väitettiin), maapallon pallogeometria noudattaa sitä, joten tällä on ihan käytännön merkitystäkin. Teoreettisesti tärkein aksiooma näistä on (A3), josta näkyy, että

tavallinen tasogeometria ei tässä tule kyseeseen eikä Eukleideen paralleeliaksiooma päde. On osoitettu, että äärellinen esimerkkimalli kertalukua n aksioomille (A1) - (A6) löytyy aina, jos n on alkulukupotenssi. Tuossa meidän esimerkissämme siis n = 3 ja 21 pisteen tapauksessa n = 4 ja niin edelleen. Jos n ei ole alkulukupotenssi, niin ei täysin tiedetä, voidaanko vastaavaa esimerkkiä konstruoida. Pienimmät tällaiset n:t ovat 6, 10 ja 12. Suhteellisen helposti nähdään, että kertalukua 6 olevaa esimerkkiä ei ole (tässä olisi siis 43 pistettä), mutta vasta massiivisten tietokonelaskelmien jälkeen nähtiin, että kertalukua 10 olevaa mallia ei löydy tässähän olisi siis 111 pistettä. Sen sijaan on tietääkseni avoin kysymys, onko kertalukua 12 (157 pistettä) olevaa mallia olemassa. Tässä onkin sopiva tapa suorittaa geometrian kurssi: konstruoi tällainen esimerkki tai todista, että sellaista ei ole olemassa, niin saat kurssin suoritusmerkinnän lisäksi mainetta ja kunniaa. Vähän helpompi tehtävä on miettiä, mitä tapahtuu, jos kertaluku n on kakkonen; tällöinhän n 2 + n + 1 = 7 ja n + 1 = 3. Loput tehtävät ovat taas karteesisen geometrian tehtäviä. 2.7 a) Osoita, että kierto K a,α on identtinen kuvaus jos ja vain jos kiertokulma α on jokin 2π:n monikerta eli α = 2kπ jollekin k Z. b) Tehtävässä 1.7 osoitettiin, että kierto K a,α säilyttää kiertokeskipisteen a paikallaan, ts. K a,α (a) = a. Osoita, että se ei sitten muita pisteitä pidäkään paikallaan, ellei se satu olemaan identtinen kuvaus (ks. a)-kohta), eli jos α 2kπ jollekin k Z, niin K a,α (x) x kaikille x a. 2.8 Tehtävässä 1.7 osoitettiin, että peilaus P l säilyttää peilaussuoran l pisteet paikallaan, ts. P l (x) = x kaikille x l. Osoita, että sekään ei sitten muita pisteitä pidä paikallaan, eli että P l (x) x kaikille x l. Y.2 Oletetaan, että tasossa on kolmio, jonka kärkipisteet ovat A, B ja C. Tästä kolmiosta ei tehtävän Y.1 tapaan oleteta mitään eli sekin voi olla kuinka vino tahansa. Piirretään kolmion ulkopuolelle kullekin kyljelle tasasivuinen kolmio siten, että annetun kolmion kylkijana on myös syntyvän tasasivuisen kolmion kylkijana, ks. kuva seuraavalla sivulla. Olkoot näiden syntyvien tasasivuisten kolmioiden keskipisteet (so. keskinormaalien/kulman puolittajien/korkeusjanojen leikkauspisteet) K,L ja M. Osoita, että kolmio KLM on tasasivuinen.

M C A L K B kuva tehtävään Y.2 Y.3 Olkoon K α tason kierto tasoa origon ympäri vastapäivään kulman α verran, ks. tehtävää 1.5 edeltävä määritelmä. Tämä kierto K α saadaan aikaan myös kompleksisella kertolaskulla (kun samastetaan R 2 = C) eli kertomalla muuttuja z C eräällä tietyllä kiinteällä kompleksiluvulla. Mikä tämä luku on? Miten kompleksisilla laskutoimituksilla saadaan aikaan kierto K a,α jonkun muun pisteen a 0 ympäri? Miten voidaan kahden kompleksiluvun osamäärästä päätellä, onko toinen saatu toisesta kiertämällä tasoa origon ympäri? Entä jonkun muun pisteen ympäri? Y.4 Tämä tehtävä on lukiolaisten matematiikkaolympialaisista vuodelta 1986. Ratkaise se käyttäen hyväksi tehtävää Y.3. Tasossa on annettu kolmio A 1 A 2 A 3 ja piste P 0. Määritellään rekursiivisesti A s = A s 3 kaikille s 4, jolloin siis syntyvä pistejono (A n ) n N on (A 1,A 2,A 3,A 1,A 2,A 3,A 1,...). Konstruoidaan lisäksi pistejono (P n ) n N siten, että P k+1 on P k :n kuva sellaisessa tason kierrossa, jonka kiertokeskipiste on A k+1 ja kiertokulma 120 myötäpäivään. Oletetaan, että P 1986 = P 0. Osoita, että kolmio A 1 A 2 A 3 on tasasivuinen. (Ohje: Osoita, että kolmion kaksi sivua saadaan toisistaan 60 :n kierrolla näiden sivujen välisen kärkipisteen ympäri.)

Geometrian harjoitustehtäviä 3.6.2015 3.1 Osoita, että kulman sisäpuolen määritelmä 2.8 on hyvin asetettu, ts. se ei riipu kylkipisteiden B ja C valinnasta. Vähän täsmällisemmin: Olkoon BAC kulma ja B,C pisteitä siten että AB = AB ja AC = AC, jolloin siis BAC = B AC. Oletetaan, että pisteet D ja B ovat samalla puolella suoraa AC sekä että D ja C ovat samalla puolella suoraa AB. Osoita, että D ja B ovat samalla puolella suoraa AC sekä D ja C ovat samalla puolella suoraa AB. 3.2 Olkoon BAC kulma ja piste D sen sisäpuolella, jolloin BAD on myös kulma. Olkoon piste P kulman BAD sisäpuolella. Osoita, että P on myös kulman BAC sisäpuolella. 3.3 Todista lauseen 2.3.10 kohta (iv) (jota ei ole luentomonisteessa). Tässä oletetaan, että D ja C ovat samalla puolella suoraa AB ja että B A E. Väitteenä on, että piste D on joko puolisuoralla AC, kulman BAC sisäpuolella tai kulman CAE sisäpuolella. 3.4 Todista lauseesta 2.3.12 seuraava muotoilu: Olkoon ABC kolmio ja piste P sen sisäpuolella. Olkoon Q mielivaltainen piste. Osoita, että Q on joko jollakin puolisuoralla PA, PB tai PC tai sitten jonkun kulman APB, BPC tai CPA sisäpuolella. Huomautus. Tehtävän 4 väite ei päde ilman oletusta P on kolmion ABC sisäpuolella. Jos se näet pätisi, se pätisi kaikissa malleissa, mutta väitteen paikkansapitämättömyys helppo nähdä tai ainakin uskoa karteesisessa mallissa. Tässä vaiheessa on kuitenkin ongelmana se, että ei ole todistettu, että karteesinen malli todellakin toteuttaa aksioomat (H1) - (H7), joten ei tämä malli (vielä) mitään sano. Jos tarkastellaan näitä aksioomia karteesisessa mallissa, niin (H2) ja (H3) ovat triviaalisti voimassa. (H1) pätee myös, sillä eri pisteiden u,v R 2 kulkee täsmälleen yksi suora l, joka voidaan esittää muodossa l = {u + λ(v u) λ R}. Välissäoloaksioomia varten tarvitaan välissäolon määritelmää, joka on esitetty luentomonisteen sivulla 12. Tämän kanssa ekvivalentti ja vähän näppäräkäyttöisempi määritelmä on sopia, että eri pisteille U ja V U W V W = (1 λ)u + λv jollekin λ, 0 < λ < 1. Tästä nähdään heti, että karteesinen jana UV on joukko UV = {W W = (1 λ)u + λv jollekin λ [0,1]}

ja karteesinen puolisuora UV on joukko UV = {W W = (1 λ)u + λv jollekin λ 0}. Huomaa, että nämä karteesisen janan ja puolisuoran esitykset eivät ole määritelmiä, vaan seuraavat toisaalta janan ja puolisuoran yleisestä määritelmästä ja toisaalta välissäolon määritelmästä karteesisessa mallissa. On helppo nähdä, että aksioomat (H4) - (H6) pätevät; jätetään tämä omatoimiseksi harjoitustehtäväksi. Sen sijaan aksiooma (H7) on paljon vaikeampi nähdä paikkansapitäväksi. Kokeile, jos et usko; laskut tulevat hyvin hankaliksi, kun mukana on liikaa liikkuvia osia. Tästä pulmasta selvitään siirtelemällä ja kiertelemällä annettuja suoria ja pisteitä niin, että ne tulevat laskujen kannalta otollisempaan asentoon. Tätä varten tarvitaan tietoja karteesista siirroista ja kierroista (sekä peilauksista), ja tätä tietoutta kartutetaan taas tehtävälistan loppupään tehtävillä. Ehkä joskus päästään vielä niin pitkälle, että aksiooman (H7) paikkansapitävyys karteesisessa mallissa saadaan verifioitua. 3.5 Ennen kuin mennään siirtoihin kiertoihin, palataan vielä ensimmäisten demojen aksioomajärjestelmään (A1) - (A7). Konstruoi malli, joka toteuttaa nämä kaikki seitsemän aksioomaa. Vertaa tehtävän 2.6 jälkeiseen huomautukseen. Huomautus. Tehtävien 1 yhteydessä huomautettiin, että kaikissa tällaisissa malleissa on seitsemän pistettä ja seitsemän suoraa tämä tietohan auttaa kovasti mallin laadinnassa. Ei ole aivan mahdottoman vaikeaa todistaa, että näitä pisteitä ja suoria on todellakin välttämättä täsmälleen seitsemän. Tätä ei kuitenkaan käsitellä demoissa; sen sijaan lupaan yhden bonuspisteen tenttiin sille, joka ensimmäisenä tämmöisen todistuksen esittää. On olemassa myös äärellinen malli, joka toteuttaa aksioomat (A1), (A2) sekä (A4) - (A7), mutta ei aksioomaa (A3). Tämä on vähän hankalampi konstruoitava, joten luvataan tästäkin konstruktiosta yksi hyvityspiste. Ja sitten taas karteesiseen geometriaan. 3.6 Osoita, että kierto K a,α id R 2 on lineaarikuvaus jos ja vain jos kiertokeskipiste a on origo ja että peilaus P l on lineaarikuvaus jos ja vain jos peilaussuora l kulkee origon kautta. 3.7 Origon kautta kulkemattoman suoran l suhteen tehdyn peilauksen määritelmästä löytyy vielä lisää huolimattomuutta (vrt. teht. 1.6 a)), sillä siinä käytettiin mielivaltaista pistettä a l, ja tämähän voitaisiin tietysti valita toisinkin. Osoita, että tämä peilauksen määritelmä on riippumaton valitusta pisteestä a l.

3.8 Osoita, että karteesinen suorapeilaus P l käyttäytyy seuraavan kuvan ilmaisemalla tavalla: x a P l (x) l Täsmällisemmin sanottuna tehtävä on seuraava. Olkoon v suoran l suuntavektori, x l sekä a l siten, että vektori x a on kohtisuorassa vektorin v kanssa. (Tässä tämä karteesinen kohtisuoruus määritellään kuten LAG:ssä, ts. näiden vektoreiden sisätulo on nolla.) Osoita, että a) Myös vektori P l (x) a on kohtisuorassa vektorin v kanssa ja b) P l (x) = x + 2a. P l (x) a = x a. c) Pisteiden x ja P l (x) välisen karteesisen janan karteesinen keskipiste on a eli pätee a = 1 2 (x + P l(x)). (Ohje: Tämä saattaa olla vähän hankala. Viisainta lienee käyttää apuna lineaarialgebrasta tuttua(?) tietoa, jonka mukaan lineaarikuvaus, jonka matriisi on ortogonaalinen, säilyttää sisätulon ja normin ja siten erityisesti kohtisuoruuden. Huomaa kuitenkin, että tehtävän 7) mukaisesti peilaus ei yleensä ole lineaarikuvaus. Ja vielä muistin virkistykseksi: matriisi on ortogonaalinen, jos sen sarakevektorit muodostavat ortonormaalin joukon.) Poincarén hyperbolisen geometrian mallissa pisteitä ovat kompleksitason avoimen yksikkökiekon B = {z C z < 1} pisteet ja suoria tämän yksikkökie-

kon B halkaisijat (eli joukot l B, missä l on origon kautta kulkeva karteesinen suora) ja lisäksi ympyrän kaaret α B, missä α on karteesinen (eli tavallinen) ympyrä tasossa, joka on ortogonaalinen yksikköympyrän S = {z C z = 1} kanssa. Ortogonaalisuus tarkoittaa tässä sitä, että ympyröiden α ja S tangentit ovat leikkauspisteissä kohtisuorassa toisiaan vastaan. Pisteen kuuluminen suoraan määritellään tavallisessa joukko-opillisessa mielessä. Y.6 a) Osoita, että karteesinen ympyrä α on ortogonaalinen yksikköympyrän S kanssa jos ja vain jos α:n keskipisteelle z 0 C ja säteelle r > 0 pätee yhteys r = z 0 2 1. b) Osoita a)-kohdan avulla, että origon kautta ei kulje yhtään S:n kanssa ortogonaalista ympyrää. c) Osoita, että määritelmä T(z) = az + b bz + a, missä a 2 b 2 = 1 antaa bijektiivisen kuvauksen T : B B. Tässä a ja b ovat (kiinteiden) kompleksilukujen a ja b kompleksikonjugaatteja. Sanotaan, että tämä kuvaus T on (lukujen a ja b määräämä) Möbius-muunnos. d) Osoita, että Möbius-muunnoksen käänteiskuvaus on myös Möbius-muunnos. Osoita edelleen, että Möbius-muunnosten yhdiste on Möbius-muunnos. e) Olkoon P mielivaltainen Poincarén piste ja 0 origo (joka sekin on Poincarén piste). Osoita, että on olemassa Möbius-muunnos T siten, että T(P) = 0. f) Osoita, että jokainen Möbius-muunnos kuvaa Poincarén suorat Poincarén suoriksi. g) Olkoot l ja m Poincarén suoria. Osoita, että on olemassa Möbius-muunnos T siten, että T(l) = m.

Geometrian harjoitustehtäviä 5.6.2015 4.1 Olkoot l, m ja n eri suoria siten, että l m ja m n. Olkoon lisäksi A l:n, B m:n ja C n:n piste siten, että A B C. Osoita, että l n. A l B m n C Mieti lisäksi, miten todistaisit väitteen ilman oletusta A B C. Vai pitääkö väite tällöin paikkaansakaan? Onko siis yhdensuuntaisuus transitiivinen relaatio? B m A l? n C 4.2. Todista lause 2.4.11, eli kulmien vähennyslaskua koskeva tulos. Tässä siis ABC ja A B C ovat yhteneviä kulmia, puolisuora BD on kulman ABC sisällä ja vastaavasti puolisuora B D on kulman A B C sisällä siten, että kulmat ABD ja A B D ovat yhteneviä. Väitteenä on, että myös kulmat DBC ja D B C ovat yhteneviä. Ohje: Tämähän on janoja koskevan lauseen 2.4.2 vastine kulmille. Lause 2.4.2 on helppo todistaa aksioomien (H8) ja (H10) avulla. Lausetta 2.4.11 voisi periaatteessa todistaa samaan tapaan aksiooman (H11) ja lauseen 2.4.10 avulla, mutta siinä tulee hankaluuksia, koska pitää huolehtia siitä, että kulmien yhteenlasku ei tuota oikokulmaa suurempaa kulmaa. Kannattaa mielummin rakennella sopivia kolmioita, joihin voi soveltaa SKS- tai KSK-sääntöä. Huomaa, että KSK on tässä vaiheessa käytössä, koska se on todistettu ennen lausetta 2.4.11.

4.3 Osoita, että kulmien välinen relaatio A on pienempi kuin B (ks. määritelmä 2.16 luentomonisteen sivulla 35) on (aito) järjestysrelaatio eli osoita, että kaikille kulmille A, B ja C pätee a) A A b) jos A < B, niin B A sekä c) jos A < B ja B < C, niin A < C. Ohje: Tässä kannattaa vähän miettiä, missä järjestyksessä väitteet todistaa. Nämä ehdot eivät nimittäin ole riippumattomia, vaan seuraavat osittain toisistaan. 4.4 Osoita, että kulmien välinen järjestysrelaatio < on täydellinen eli että kaikkia kulmia voidaan vertailla eli että kaikille kulmille A ja B pätee joko A < B, B < A tai A = B. 4.5 Janan monikerta määritellään (määr. 2.11) luentomonisteen sivulla 27. Olkoot AB ja CD janoja. Osoita, että kaikille k N = {1,2,3,...} pätee AB < CD k AB < k CD. Ohje: Tämä on melko työläs suoraan määritelmistä lähtien. Hyväksytään tässä lauseen 2.4.4 käyttö, vaikka sitä ei olekaan todistettu tämän lauseen todistus on helppo eikä puututa siihen. Laitetaan uskomusten listaan vielä määritelmän 2.11 jälkeinen huomautus, joka sanoo, että jos AB = CD, niin n AB = n CD kaikille n N. Tämäkin on helppo (induktiolla) todistaa. Sitten taas karteesiseen geometriaan. 4.6 Osoita, että siirrot, kierrot ja peilaukset säilyttävät karteesiset suorat, ts. jos l on suora ja A on siirto, kierto tai peilaus (tai niiden yhdistelmä), niin A(l) on suora. 4.7 Osoita, että siirrot, kierrot ja peilaukset säilyttävät karteesisen välissäolon (ks. tehtävän 3.4 jälkeinen huomautus), ts. jos karteesisille pisteille U,V,W R 2 pätee U V W ja A on siirto, kierto tai peilaus (tai niiden yhdistelmä), niin A(U) A(V ) A(W). Osoita myös, että A säilyttää suoran rajoittamat puolitasot, ts. jos l on karteesinen suora, joka ei kulje pisteiden U ja V kautta, niin U ja V ovat samalla puolella suoraa l jos ja vain jos A(U) ja A(V ) ovat samalla puolella suoraa A(l). Y.7 Tarkastellaan taas Poincarén hyperbolisen geometrian mallia ja Möbiusmuunnoksia, ks. tehtävän Y.6 määritelmät. Osoita, että aksioomat (H1), (H2) ja (H3) pätevät tässä mallissa.

Ohje: Tässä (H2) on triviaali ja (H3):ssa tarvittavat kolme pistettä keksii helposti tehtävää Y.6 b) soveltaen. (H1) on näistä vaikein. Sen olemassaolopuolen todistus onnistuu tehtäviä Y.6 e) ja g) soveltaen. Yksikäsitteisyystodistus sujuu myös näitä kohtia ja lisäksi b)-kohtaa käyttäen. Olkoot A ja B Poincarén pisteitä, A B. Aksiooman (H1) nojalla pisteiden A ja B kautta kulkee yksikäsitteinen Poincarén suora l. Tämä l on karteesisessa mielessä joko yksikkökiekon halkaisija tai yksikköympyrän kanssa ortogonaalinen ympyrän kaari. Kummassakin tapauksessa l kohtaa yksikköympyrän kahdessa eri (karteesisessa) pisteessä; olkoot ne P ja Q (ks. kuva luentomonisteen sivulta 147). Määritellään Poincarén pisteiden A ja B välinen hyperbolinen etäisyys d(a,b) asettamalla d(a,b) = A P B Q log A Q B P, missä on tavallinen euklidinen normi, (x,y) = x 2 + y 2. Näyttäisi vähän sille, että hyperbolisen etäisyyden määritelmä on huonosti asetettu, koska siinä ei ole spesifioitu hyperbolisen suoran l päätepisteiden P ja Q järjestystä. Määritelmän onneksi tämä on kuitenkin vain näennäinen puute tämän sanoo seuraava tehtävä. Y.8 Osoita, että hyperbolisen etäisyyden määritelmä ei muutu, jos pisteiden P ja Q järjestystä vaihdetaan. Osoita myös, että d(a,b) = d(b,a). Jotta Poincarén mallista saataisiin malli, siellä pitää määritellä (ensi alkuun) välissäolon käsite. Sovitaan, että Poincarén pisteille A,B,C pätee A B C Poincarén mielessä jos ja vain jos A, B ja C ovat samalla Poincarén suoralla ja pätee d(a, B) + d(b, C) = d(a, C). Y.9 Olkoon l sellainen Poincarén suora, joka on yksikkökiekon B halkaisija, ja olkoot A, B, C l eri pisteitä. Osoita, että A B C Poincarén mielessä jos ja vain jos A B C karteesisessa mielessä. Y.10 a) Osoita, että Möbius-muunnos säilyttää hyperbolisen etäisyyden, ts. jos A ja B ovat Poincarén pisteitä ja T on Möbius-muunnos, niin pätee d(a,b) = d(t(a),t(b)). b) Osoita, että Möbius-muunnos säilyttää hyperbolisen välissäolon, ts. jos A

B C Poincarén mielessä, niin myös T(A) T(B) T(C) Poincarén mielessä. Y.11 Osoita, että Poincarén malli toteuttaa aksioomat (H4), (H5) ja (H6). Ohje: (H4) seuraa helposti tehtävästä Y.8. Aksioomia (H5) ja (H6) varten kannattaa soveltaa tehtäviä Y.6 g) ja d), Y.10 b) sekä Y.9.

Geometrian harjoitustehtäviä 10.6.2015 5.1 Euklidinen paralleeliaksioomahan sanoo, että suoran ulkopuolella olevan pisteen kautta kulkee täsmälleen yksi sen suuntainen suora. Tätä ei voi todistaa aksioomien (H1) - (H13) avulla. Todista sen sijaan lause 2.4.18, joka sanoo, että suoran ulkopuolella olevan pisteen kautta kulkee ainakin yksi sen suuntainen suora. 5.2 Seuraavassa yritetään kuitenkin todistaa paralleeliaksiooma aksioomien (H1) - (H13) avulla. Etsi virhe! Olkoon l suora ja P piste l:n ulkopuolella. Olkoon t pisteen P kautta kulkeva l:n normaali; leikatkoon se l:ää pisteessä Q. Olkoon m pisteen P kautta kulkeva t:n normaali. Tällöin m l. Olkoon n jokin toinen P:n kautta kulkeva suora, n m. Pitää osoittaa, että n l, ts. että n ja l leikkaavat toisensa. Asia on selvä, jos n = t; olkoon siis n t. Valitaan pisteet A ja B siten, että P A Q, A Q B ja AQ = QB. Olkoon u pisteen A kautta kulkeva n:n normaali; leikatkoon u suoraa n pisteessä R. Valitaan piste C siten, että A R C ja AR = RC. n B A Q P t R C l m u α D?

Tällöin A,B ja C eivät ole samalla suoralla, joten niiden kautta kulkee yksikäsitteisesti määrätty ympyrä α, jonka keskipiste on janojen AB ja AC keskinormaalien leikkauspiste D. Mutta nyt l on janan AB ja n janan AC keskinormaali, joten l ja n leikkaavat pisteessä D. MOT 5.3 Ovatko seuraavat väitteet päteviä? a) Jos A on kulma, piste P kulman A sisäpuolella ja suora l kulkee pisteen P kautta, niin l leikkaa ainakin toista kulman A kyljistä. b) Jos ABC on kolmio ja piste P kolmion ABC ulkopuolella, niin on olemassa suora, joka kulkee P:n kautta ja on kokonaisuudessaan kolmion ABC ulkopuolella, ts. mikään sen pisteistä ei ole kolmion sisällä tai sen sivuilla. Ohje: Tässä siis oletetaan, että aksioomat (H1) - (H13) pätevät; sen sijaan paralleeliaksioomasta ei oleteta mitään. Jos uskot, että väite on pätevä, todista se. Väärää väitettä on tässä vaiheessa hankala todistaa vääräksi, mutta uskotaan Poincarén malliin (eli erityisesti siihen, että se on malli) ja piirroskuviin siellä. 5.4 Sanotaan (paremman terminologian puutteessa), että janat AB ja CD ovat puoliyhdensuuntaisia, jos jana AB ei leikkaa suoraa CD eikä jana CD leikkaa suoraa AB. Huomaa, että tämä ehto ei takaa sitä, että suorat AB ja CD olisivat yhdensuuntaisia. Olkoon ABCD nelikulmio (ks. määr. 2.21), jossa sivut AB ja CD ovat puoliyhdensuuntaisia. Osoita, että myös toiset vastakkaiset sivut eli janat BC ja DA ovat puoliyhdensuuntaisia. Huomaa, että nelikulmion vastakkaiset sivut eivät aina ole puoliyhdensuuntaisia. B B D C A C A D 5.5 Olkoon ABCD nelikulmio, jonka vastakkaiset sivut ovat puoliyhdensuuntaisia, ks. tehtävä 4. Sanotaan, että piste P on nelikulmion ABCD sisäpuo-

lella, jos P on kaikkien nelikulmion kulmien A, B, C ja D sisäpuolella. Nelikulmion ABCD sisäpuoli on (tietenkin) kaikkien sen sisäpuolella olevien pisteiden joukko. Osoita, että tämä joukko on epätyhjä ja konveksi, mikä tarkoittaa sitä, että jos P ja Q ovat nelikulmion ABCD sisäpuolella, niin myös jana PQ on kokonaisuudessaan nelikulmion ABCD sisäpuolella. Huomautus. Tehtävän 5 perusteella on järkevää sanoa, että nelikulmio ABCD on konveksi, jos sen vastakkaiset sivut ovat puoliyhdensuuntaisia. Sitten taas karteesiseen geometriaan. 5.6 Olkoon l karteesinen suora l = R {0}. Olkoot lisäksi U = (u 1,u 2 ) R 2 ja V = (v 1,v 2 ) R 2 karteesisia pisteitä suoran l eli reaaliakselin ulkopuolelta, jolloin siis u 2 0 ja v 2 0. Osoita, että U ja V ovat samalla puolella suoraa l (määritelmän 2.5 mielessä, siis) jos ja vain jos u 2 ja v 2 ovat samanmerkkiset. 5.7 Osoita, että karteesinen malli toteuttaa aksiooman (H7). Ohje: Siirrä ja kierrä tarkasteltava suora ensin reaaliakselille, sovella aikaisempia tehtäviä, erityisesti tehtävää 6 ja kierrä/siirrä suora takaisin paikalleen. 5.8 Osoita, että jokainen siirto voidaan esittää yhdisteenä peilauksista. Y.11 Olkoon l sellainen Poincarén suora, joka on reaaliakselin jana eli l = ] 1,1[ {0} B. Olkoon lisäksi P Poincarén piste ja olkoon m jokin P:n kautta kulkeva Poincarén suora. Osoita, että on olemassa Möbius-muunnos T siten, että T(P) = 0 ja T(m) = l. Vertaa tehtävän Y.6 kohtiin e) ja g). Y.12 Olkoon l kuten tehtävässä Y.11. Olkoot P Q Poincarén pisteitä suoran l ulkopuolelta. Osoita, että P ja Q ovat samalla puolella suoraa l Poincarén mielessä jos ja vain jos ne ovat samalla puolella reaaliakselia karteesisessa mielessä. Ohje: Tässä kannattaa todistaa väite muodossa eri puolella l:ää eri puolella R:ää. Suunta onnistuu parhaiten niin, että kuvaat l:n ja Poincarén janan P Q leikkauspisteen Möbius-muunnoksella T origoon niin että T(l) = l; tämä on mahdollista tehtävän Y.11 perusteella. Sen jälkeen voi käyttää tehtäviä Y.9 ja Y.10 b). Käänteinen suunta taitaa sujua parhaiten R:n täydellisyyttä soveltaen. Y.13 Osoita, että Poincarén malli toteuttaa aksiooman (H7). Ohje: Kuvaa tarkasteltava suora Möbius-muunnoksella reaaliakselille ja käytä tehtävää Y.12.

Geometrian harjoitustehtäviä 12.6.2015 6.1 Olkoon ABC kulma ja piste P tämän kulman sisäpuolella. Onko puolisuorilla BA ja BC välttämättä pisteet D ja E siten, että P on kolmion DBE sisäpuolella? D A B P C E 6.2 Olkoon ABCD konveksi nelikulmio, ks. tehtävä 5.5. Osoita, että sen lävistäjät eli janat AC ja BD leikkaavat toisiaan. Huomaa, että tämä väite ei päde mielivaltaisessa nelikulmiossa. 6.3 Olkoon ABCD nelikulmio, jossa BC AD. Kyseessä on siis ns. puolisuunnikas. Osoita, että nelikulmio ABCD on konveksi. A D B C 6.4 Osoita, että suorakulmion ABCD vastakkaiset sivut ovat yhteneviä eli että AB = CD ja BC = AD. D δ β C A γ α B

Ohje tehtävään 4: Saccheri-Legendre. Ole tarkkana kulmien yhteenlaskun kanssa; viisainta on käyttää hyväksi tehtäviä 2 ja 3. Huomaa, että tätä tehtävää tarvitaan lauseen 2.5.26 todistuksessa, joten kyseinen lause on käyttökiellossa tässä. 6.5 Todista lause 2.6.4, jossa ABC on kolmio ja B D C. Väitteenä on, että AD < max{ab,ac}. 6.6 Todista lause 2.6.5, jossa α on ympyrä ja pisteet A, B joko ympyrällä α tai sen sisäpuolella. Lisäksi oletetaan, että A C B. Väitteenä on, että C on α:n sisäpuolella. Sitten taas karteesiseen geometriaan. Karteesisessa mallissahan janojen yhtenevyys määritellään niin, että AB = CD jos A B = C D. Siirrot säilyttävät tällöin triviaalisti yhtenevyyden ja tehtävän 3.8 ohjeesta seuraa, että kaikki kierrot ja peilaukset säilyttävät myös janojen yhtenevyyden. Tällöin (ks. myös tehtävä 4.7) yhtenevyysaksioomien (H8) - (H10) todistamiseksi voidaan janat/puolisuorat siirtää/kiertää/peilata laskujen kannalta soveliaampaan paikkaan yleensä reaaliakselille. 6.7 Aksiooma (H9) pätee triviaalisti, mutta osoita, että myös aksioomat (H8) ja (H10) pätevät karteesisessa mallissa. 6.8 Osoita, että jokainen kierto voidaan esittää yhdisteenä peilauksista. Huomautus. Tehtävien 5.8 ja 6.8 valossa voisi ajatella, että peilaukset voitaisiin vastaavasti esittää yhdisteenä siirroista ja kierroista. Näin ei kuitenkaan ole: yhtäkään peilausta ei voida näin esittää. Tätä ei todisteta tällä kurssilla. Todistus ei kuitenkaan ole vaikea; se onnistuu differentiaalilaskennan keinoin tarkastelemalla näiden kuvausten Jacobin determinanttia. Poincarén malliin tarvitaan vielä janojen ja kulmien yhtenevyyden käsitteet. Sovitaan, että Poincarén janat AB ja CD ovat yhteneviä, mikäli niillä on sama hyperbolinen pituus (ks. tehtävää Y.8 edeltävä määritelmä), ts. mikäli d(a,b) = d(c,d). Y.14 Olkoon T Möbius-muunnos ja AB Poincarén jana. Osoita, että T(A)T(B) = AB.

Y.15 Osoita, että Poincarén malli toteuttaa aksiooman (H8). Ohje: Kuvaa ensin Möbius-muunnoksella T aksioomassa (H8) oleva puolisuora P Q positiiviselle reaaliakselille siten, että T(P) = 0 käytä tässä tehtävää Y.11. Käytä sitten tehtäviä Y.6 d) ja Y.14. Y.16 Osoita, että Poincarén malli toteuttaa aksiooman (H9). Y.17 Osoita, että Poincarén malli toteuttaa aksiooman (H10). Ohje: Tässä kannattaa kuvat molemmat aksiooman (H10) janat AB ja A B Möbius-muunnoksilla T ja T positiiviselle reaaliakselille siten, että T(A) = 0 = T (A ). Y.18 Osoita, että Poincarén mallissa ympyrät ovat karteesisia ympyröitä, keskipiste on vain eri paikassa. Ohje: Siirrä keskipiste origoon Möbius-muunnoksella; huomaa, että Möbiusmuunnos kuvaa ympyrät ympyröiksi sekä karteesiset että Poincarén ympyrät.

Geometrian harjoitustehtäviä 17.6.2015 Huomautus. Tehtävissä 7.1-4 liikutaan neutraalissa geometriassa eli paralleeliaksiooman kumpaakaan versiota (siis euklidista/hyperbolista) ei käytetä. Siten tulokset pätevät sekä euklidisessa että hyperbolisessa geometriassa. 7.1 Olkoon ABCD nelikulmio, jossa kulmat A ja B ovat suoria ja AD = BC. D C A B Osoita, että nelikulmio ABCD on konveksi ja että C = D. Huomautus. Tehtävässä 1 kulmat C ja D ovat euklidisessa geometriassa suoria, mutta hyperbolisessa geometriassa teräviä eli niiden astemitta on aidosti alle 90. Tämän jälkimmäisen väitteen näkee helposti oikeaksi: Saccheri-Legendren lauseen avulla nähdään, että näiden kulmien astemitta on korkeintaan 90, mutta hyperbolisessa geometriassa se ei voi olla tasan 90, koska silloin syntyisi suorakulmio, mikä on mahdotonta. Euklidista geometriaa koskevaa väitettä ei osata vielä todistaa, mutta se on myös helppo: euklidisessa geometriassa kaikkien kolmioiden defekti on nolla, jolloin kyseisten kulmien astemitaksi tulee tasan 90 jolloin siis kyseessä on suorakulmio. 7.2 Olkoon ABCD nelikulmio kuten tehtävässä 1, siis kulmat A ja B ovat suoria ja AD = BC. Olkoon lisäksi M janan AB ja M janan CD keskipiste. a) Osoita, että MM on suorien AB ja CD yhteinen normaali. Huomautus. Hyperbolisessa geometriassa MM on suorien AB ja CD ainoa yhteinen normaali, mutta euklidisessa geometriassa normaaleja on paljon muitakin. Tässä todistuksessa pitää käyttää erilaisia kolmioita, mutta ole tarkkana niiden kanssa: se, että esimerkiksi AMM on todella kolmio, vaatii peruste-

lun. Helpointa on turvautua tehtävän 1 antamaan konveksisuustulokseen. b) Osoita, että AD BC ja AB CD. Kyseessä on siis suunnikas. 7.3 Olkoon ABCD nelikulmio, jossa kulmat A ja B ovat suoria. C D A B Osoita, että C < D AD < BC. 7.4 Olkoon ABCD nelikulmio, jossa kulmat A, B ja C ovat suoria. D? C A B Osoita, että ( D) 90. Huomautus. Tehtävässä 4 kulma D on euklidisessa geometriassa suora, mutta hyperbolisessa geometriassa terävä. Tämä on helppo nähdä samaan tapaan kuin tehtävän 1 jälkeisessä huomautuksessa. 7.5 Oletetaan, että tehtävän 4 oletuksin ( D) < 90, jolloin siis edellisen huomautuksen nojalla ollaan välttämättä hyperbolisessa maailmassa tosin tätä ei tarvitse tässä tietää. Osoita, että tällöin AB < CD ja BC < AD. Huomautus. Tehtävässä 5 nelikulmio ABCD on suunnikas (miksi?), jonka vastakkaiset sivut eivät ole yhteneviä. Tämä on siis mahdollista hyperbolisessa geometriassa, kun taas euklidisessa geometriassa voidaan todistaa, että

suunnikkaan vastakkaiset sivut ovat aina yhteneviä. Sitten taas karteesiseen geometriaan. Karteesisessa mallissahan kulmien yhtenevyys määritellään niin, että ABC = DEF (A B C B) (D E F E) = A B C B D E F E, missä on euklidinen normi ja ( ) on euklidinen sisätulo. Tämä määritelmä on vähän huolimattomasti asetettu, sillä se riippuu valituista kylkipisteistä A,C,D ja F. 7.6 Osoita, että karteesinen kulmien yhtenevyys on hyvin määritelty, ts. jos ABC = A BC ja DEF = D EF, niin ABC = DEF A BC = D EF. 7.7 Osoita, että karteesisen tason siirrot, kierrot ja peilaukset säilyttävät kulmien yhtenevyyden, ts. jos T on tason siirto/kierto/peilaus tai näiden yhdistelmä ja ABC = DEF niin T(A)T(B)T(C) = T(D)T(E)T(F). (1) Tässä on varmaan syytä ensin perustella se, että väitteessä (1) olevat kulmat ovat todella kulmia. Karteesinen kulmien yhtenevyys toteuttaa triviaalisti aksiooman (H12), joten aksioomista (H1) - (H13) todistettavana on vielä aksiooma (H11) ja SKS-sääntö. 7.8 Osoita, että karteesinen malli toteuttaa aksiooman (H11). Ohje: Siirrä ja kierrä ensin aksiooman (H11) puolisuora DE positiiviselle reaaliakselille niin, että D siirtyy origoon. Peilaa vielä tarvittaessa niin, että aksiooman (H11) piste P tulee ylempään puolitasoon. Tehtäväksi tulee silloin osoittaa, että löytyy annetun kulman kanssa yhtenevä kulma, jonka kärki on origossa, toinen kylki positiivisella reaaliakselilla ja toinen kylki ylemmässä puolitasossa. Sitten pitää vielä osoittaa tämän löydetyn kulman yksikäsitteisyys. Poincarén mallissa kulmien yhtenevyys määritellään seuraavasti. Olkoot ABC ja DEF Poincarén kulmia. Sovitaan, että kulmat ABC ja DEF ovat yh-

teneviä, jos pätee ehto jos A BA, C BC, D ED ja F EF siten että BA = ED ja BC = EF Poincarén mielessä, niin myös A C = D F Poincarén mielessä. Y.19 Osoita, että Möbius-muunnos säilyttää kulmien yhtenevyyden, ts. jos ABC on kulma ja T Möbius-muunnos, niin ABC = T(A)T(B)T(C). Y.20 Osoita, että Poincarén malli toteuttaa aksiooman (H12). Y.21 Olkoot ABC ja A B C Poincarén kulmia, joiden kärkipisteet B ja B ovat origossa. Tällöin kyljet BA, BC, B A ja B C ovat yksikköympyrän säteitä ja kulmat voidaan tulkita myös karteesisiksi kulmiksi. Osoita, että ABC = A B C ABC = A B C Poincarén mielessä karteesisessa mielessä. Y.22 Osoita, että Poincarén malli toteuttaa aksiooman (H11). Ohje: Siirrä aksiooman (H11) piste D Möbius-muunnoksella origoon ja käytä tehtäviä Y.21, Y.19, Y.12 ja ja 7.8. Y.23 Osoita, että Poincarén malli toteuttaa aksiooman (H13) eli SKS-aksiooman.

Geometrian harjoitustehtäviä 24.6.2015 Huomautus. Nämä ovat kaikki hyperbolisen geometrian tehtäviä. 8.1 Olkoon ABCD kuten tehtävässä 7.1, ts. kulmat A ja B ovat suoria ja AD = BC. Osoita, että AB < CD. Huomautus. Tehtävässä 1 on jälleen esimerkki suunnikkaasta, jonka vastakkaiset sivut eivät ole yhteneviä. Lisäksi tässä toiset vastakkaiset sivut ovat yhteneviä, mutta se ei siis riitä implikoimaan toisen sivuparin yhtenevyyttä. 8.2 Olkoon ABC suorakulmainen kolmio, jossa kulma A on suora. Valitaan piste C siten, että C C B ja C C = CB, jolloin C B = 2 CB. Olkoon A suoran AB piste siten, että C A AB, jolloin syntyy suorakulmainen kolmio A BC. Osoita, että tämän kolmion kateeteille pätee A C > 2 AC ja A B < 2 AB. C C A A B 8.3 Olkoot suorat l ja l divergoivasti yhdensuuntaisia, ts. niillä on yhteinen normaali PQ, missä P on suoran l ja Q suoran l piste. Olkoot lisäksi A ja B suoran l pisteitä siten, että P A B. a) Osoita, että d(a, l) < d(b, l). b) Kohdan a) nojalla siis etäisyys d(a,l) kasvaa, kun suoran l pisteen A etäisyys P:stä kasvaa. Osoita, että tämä etäisyys d(a,l) kasvaa rajatta, kun A:n etäisyys P:stä kasvaa rajatta. l ja olkoon PR puolisuo- AT PR. Osoita ensin, Ohje: Olkoon A suoran l piste siten, että AA raa QA lähestyvä puolisuora sekä T PR siten, että että AT < d(a,l) ja sitten tehtävän 2 avulla, että AT kasvaa rajatta, kun AP kasvaa rajatta. Katso kuva seuraavalta sivulta.

A P T R Q A 8.4 Olkoon ABC kolmio sekä pisteet L ja M sivujanojen BC ja CA keskipisteet vastaavassa järjestyksessä. Olkoot D, E ja F suoran LM pisteitä siten, että AD LM, BE LM ja CF LM. Osoita, että BE = FC = AD. B A E L F M D C Varoitus. Yllä olevassa kuvassa suoran LM pisteet ovat järjestyksessä E L F M D. Näin ei välttämättä tarvitse olla. Osa näistä pisteistä voi olla samoja; aina kuitenkin on esimerkiksi E D mieti miksi näin on ja mitkä pisteet loppujen lopuksi samoja voivat olla. Todista väite ensin näissä erikoistapauksissa ja oleta sitten, että pisteet ovat kaikki eri pisteitä. Todista aluksi, että tässä tapauksessa E L F ja F M D. 8.5 Osoita, että tehtävässä 4 suorat AB ja LM ovat divergoivasti yhdensuuntaisia. 8.6 Osoita, että tehtävän 4 merkinnöin pätee LM = 1 2 ED. Varoitus uudestaan. Kuten tehtävän 4 varoituksessa todettiin, suoran LM pisteet eivät välttämättä ole kuvan osoittamassa järjestyksessä. Todista taas väite ensin siinä erikoistapauksessa, että osa pisteistä on samoja ja oleta sitten, että nämä ovat kaikki eri pisteitä. Viisi eri pistettä voidaan periaatteessa järjestää

5! = 120 eri tavalla, mutta tietysti tässä samastetaan päinvastaiset järjestykset eli siis esimerkiksi E L F M D = D M F L E, jolloin vaihtoehtojen määrä putoaa puoleen. Näistä vielä suurin osa on mahdottomia tehtävässä 4 todistettujen ehtojen E L F ja F M D nojalla, mutta puolenkymmentä vaihtoehtoa jää erikseen tutkittavaksi. Intuitiivisesti näistä saa helpoiten käsityksen, kun kiinnittää ensin pisteet A, B, E ja D ja tarkastelee sitten pisteen C mahdollista sijaintia. Tämä intuitiivinen tarkastelu ei tietysti mitään todista, joten paras ratkaisu lienee tarkastella erikseen vaihtoehdot F E D, E F D ja E D F, joista keskimmäinen on kuvan tapaus ja laitimmaisissa on kummassakin pari mahdollista alatapausta. 8.7 Osoita, että tehtävän 4 merkinnöin pätee LM < 1 2 AB. 8.8 Osoita, että Pythagoraan lause ei päde. Ohje: Valitse tehtävässä 4 kulma C suoraksi. Y.24 Tässä tehtävässä palataan hyperbolisesta geometriasta neutraaliin geometriaan, ts. ei oleteta hyperbolista eikä euklidista paralleeliaksioomaa. Olkoon P kaikkien pisteiden joukko. Sanotaan, että bijektiivinen kuvaus F : P P on isometria, jos se säilyttää etäisyydet, ts. kaikille pisteille A B pätee F(A)F(B) = AB. a) Osoita, että isometria F kuvaa janat janoiksi, ts. kaikille pisteille A B pätee F(A)F(B) = F(AB). b) Osoita, että isometria F säilyttää kulmat, ts. jos ABC on kulma, niin F(A)F(B)F(C) on kulma ja ABC = F(A)F(B)F(C). Jatkokysymys. Karteesisen mallin siirrot, kierrot ja peilaukset ovat isometrioita. Minkä takia ei ole järkevää käyttää tätä yllä olevaa yleisempää tulosta tehtävän 7.7 väitteen todistuksessa? Y.25 Olkoon ABC kolmio ja l,m,n sen sivujen keskinormaalit. Euklidisessa geometriassa voidaan todistaa, että nämä keskinormaalit kulkevat kaikki saman pisteen kautta, joka piste on kolmion ympäri piirretyn ympyrän keskipiste. Hyperbolisessa geometriassa nämä normaalit eivät kuitenkaan välttämättä leikkaa toisiaan, ks. tehtävän 5.2 ratkaisu. Osoita, että jos kaksi keskinormaaleista l, m, n leikkaa toisiaan, niin myös kolmas kulkee tämän saman leikkauspisteen kautta näin siis sekä euklidisessa että hyperbolisessa geometriassa.

Y.26 Koska hyperbolisessa geometriassa kolmion sivujen keskinormaalit eivät siis välttämättä leikkaa toisiaan, niin jokaisen kolmion ympäri ei välttämättä voi piirtää ympyrää. Entä voiko jokaisen kolmion sisälle piirtää ympyrän? Kysymys tarkoittaa täsmällisemmin asetettuna sitä, että jos ABC on mielivaltainen (hyperbolinen) kolmio, niin onko välttämättä olemassa ympyrää, joka sivuaisi kaikkia kolmion kylkijanoja AB, AC ja BC? Entä jos puhutaan kylkisuorista AB, AC ja BC? Y.27 Osoita, että karteesinen malli sekä Poincarén malli toteuttavat Dedekindin aksiooman.

Geometrian harjoitustehtäviä 26.6.2015 Huomautus. Nämä ovat taas kaikki hyperbolisen geometrian tehtäviä. 9.1 Oletetaan, että tehtävän 8.4 oletuksien lisäksi kolmio ABC on tasakylkinen niin, että AC = BC ja olkoon K janan AB keskipiste. Osoita, että pisteet K, F ja C ovat samalla suoralla, mutta F ei ole janan KC keskipiste. B K A E L F M D C 9.2 Osoita, että kulman siniä/kosiniä ei voi määritellä vastaisen/viereisen kateetin suhteena hypotenuusaan, koska tämä suhde ei pysy vakiona, ts. jos suorakulmaisessa kolmiossa on kulma α, niin kyseinen suhde voi vaihdella riippuen kolmiosta, samalle α:lle siis. 9.3 Todista lemma 4.3.21, jossa l m ovat suoria, A,B suoran m ja C,D suoran l pisteitä. Oletetaan lisäksi, että A BCD ja ABC = BCD. Väitetään suorat l ja m ovat divergoivasti yhdensuuntaisia. Pelkkä yhdensuuntaisuushan saadaan vuorokulmalauseesta. 9.4 Todista lemma 4.3.27, jossa PR on puolisuoraa QS lähestyvä puolisuora ja A,B PR siten, että P A B. Väitetään, että d(a, QS) > d(b, QS). 9.5 Olkoon PR puolisuoraa QS lähestyvä puolisuora. Lemman 4.3.27 nojalla siis d(a, QS) vähenee monotonisesti, kun A PR ja PA kasvaa. Lauseessa 4.3.29 osoitetaan, että tämä etäisyys d(a, QS) konvergoi nollaan. Jos A on PR:n vastakkaisella puolisuoralla eli A P R ja PA kasvaa, niin d(a, QS) kasvaa. Tämä seuraa myös lemmasta 4.3.27, kun käytetään lisäksi lausetta 4.3.16. Tässä käy itse asiassa samoin kuin divergoivassa yhdensuuntaisuudessa eli että d(a, QS) kasvaa rajatta, kun A P R ja PA kasvaa rajatta. Todista tämä.

9.6 Olkoon ABC kolmio ja l, m, n sen sivujen keskinormaalit. Euklidisessa geometriassa voidaan todistaa, että nämä keskinormaalit kulkevat kaikki saman pisteen kautta, joka piste on kolmion ympäri piirretyn ympyrän keskipiste. Hyperbolisessa geometriassa nämä normaalit eivät kuitenkaan välttämättä leikkaa toisiaan, ks. tehtävän 5.2 ratkaisu. a) Osoita, että jos kaksi keskinormaaleista l, m, n leikkaa toisiaan, niin myös kolmas kulkee tämän saman leikkauspisteen kautta. b) Oletetaan, että keskinormaalit l, m, n eivät leikkaa toisiaan samassa pisteessä, jolloin ne ovat a)-kohdan nojalla kaikki yhdensuuntaisia. Oletetaan, että l ja m ovat divergoivasti yhdensuuntaisia. Osoita, että myös l ja n sekä m ja n ovat divergoivasti yhdensuuntaisia. Ohje: l:n ja m:n yhteinen normaali on myös n:n normaali. Todista ensin aputuloksena, että lause 4.3.7 kääntyy: Olkoot u ja v yhdensuuntaisia suoria, joilla on yhteinen normaali, joka leikkaa näitä suoria pisteissä U ja V. Jos R,S ovat u:n pisteitä siten, että R U S ja RU = SU, niin d(r,v) = d(s,v). 9.7 Olkoon ABC kolmio, jossa sivu AC on pisin, ts. AC AB,BC. Osoita, että kolmion ABC sivujen AB ja BC keskinormaalit leikkaavat sivua AC. 9.8 Tarkastellaan kolmasti asymptoottista kolmiota Ω 1 Ω 2 Ω 3, joka Poincarén mallissa voisi näyttää vaikka tältä: Ω 2 Ω 3 Ω 1 Täsmällisemmin ilmaistuna tässä on kolme suoraa l, m ja n sekä niiden pisteet L i, M i ja N i, i = 1,2,3 siten, että L 1 L 2 L 3, M 1 M 2 M 3 ja N 1 N 2 N 3. Oletetaan, että L 2 L 3 ja M 2 M 1 ovat toisiaan lähestyviä puolisuoria (vrt. lause 4.3.19), M 2 M 3 ja N 2 N 1 ovat toisiaan lähestyviä puolisuoria sekä N 2 N 3 ja L 2 L 1 ovat toisiaan lähestyviä puolisuoria. Tällöin sanotaan, että suorat l, m ja n muo-