INTERNETIX Ylioppilaskirjoitusten tehtävät Page YLIOPPILSTUTINTO MTEMTIIN OE PITÄ OPPIMÄÄRÄ okeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään Eräät tehtävät sisältävät useita osia [merkittynä a), b) jne], jolloin kaikkien kohtien käsittely kuuluu tehtävän täydelliseen suoritukseen Tasakylkisen kolmion piiri on 5 cm Sen kyljet ovat,5 cm pitemmät kuin kanta Laske kolmion ala Lukion jazzyhtyeen konsertin tuotto 9 euroa ( ) on jaettava tasan yhtyeen jäsenille Jos jäseniä olisi enemmän, jokainen saisi 8 vähemmän Montako jäsentä yhtyeessä on? a) Sievennä lauseke b) Sievennä lauseke c) Ratkaise tämän jälkeen yhtälö 4 Tuoreissa omenissa on vettä 8 % ja sokeria 4 % uinka monta prosenttia sokeria on samoissa omenissa, kun ne on kuivattu siten, että kosteusprosentti on? 5 aksi matkapuhelinmastoa näkyy paikkaan, jonka etäisyys toisesta mastosta on 5,7 km ja toisesta,6 km Tähtäyssuunnat mastoihin muodostavat 7' 5' suuruisen kulman uinka etäällä mastot ovat toisistaan? Etäisyydet mitataan vaakasuorasti, eikä maaston mahdollisia korkeuseroja oteta huomioon 6 ulman kärkionpisteessä (, ), ja pisteet (4, 6), (, ) sijaitsevat sen kyljillä Laske kulman puolittajan suuntainen yksikkövektori 7 Reaalilukujen joukossa määritellyn funktion f kuvaajan mielivaltaiseen pisteeseen (, y) piirretyn tangentin kulmakerroin on k() = e Funktion f pienin arvo on Määritä f 8 Puhelinkeskukseen tulevien puhelujen määrä noudattaa ns Poissonin jakaumaa: todennäköisyys, että minuutissa tulee n (> ) puhelua, on, jossa vakio kuvaa keskuksen ruuhkaisuutta Laske todennäköisyys, että keskukseen tulee minuutissa ainakin 5 puhelua, kun a = 9 Pisteen P keskusprojektio suoralle s projektiokeskuksena piste määritellään pisteiden ja P kautta kulkevan suoran ja suoran s leikkauspisteeksi (mikäli tämä on olemassa) Olkoon projektiokeskus = (,4) ja suora s akseli Olkoon = (, ) ja = (4,) Tutki, mille akselin välille janan pisteet kyseisessä keskusprojektiossa projisioituvat Mihin pisteeseen projisioituu janan keskipiste? Jos janalle asetetaan jakopisteitä tasavälisesti, projisioituvatko nämä tasaväliseksi pisteistöksi akselille? uution jokaiselle sivutahkolle asetetaan samanlainen säännöllinen nelisivuinen pyramidi Näiden yhteinen korkeus määräytyköön siten, että kahden vierekkäisen pyramidin huiput ja vastaavien tahkojen leikkaussärmä sijaitsevat samassa tasossa Tällöin syntyy monitahokas, jota kutsutaanrombidodekaedriksi Sen sivutahkot ovat suunnikkaita, jotka muodostuvat kahdesta http://wwwkoulutkuopiofi/~muslukio/harkokeita/khtm 56 6:45:7
INTERNETIX Ylioppilaskirjoitusten tehtävät Page vierekkäisten pyramidien sivutahkosta a) Laske pyramidin korkeuden ja kuution särmän pituuden suhde b) Laske rombidodekaedrin sivutahkon kulmat asteen tarkkuudella c) Laske rombidodekaedrin ja kuutiontilavuuksien suhde stia on kärjellään seisova avonainen ympyräkartio artion pohjan säde on 6,6 cm ja sivujana, cm stia ontäynnä vettä stiaan asetetaan pallo, joka sivuaa kartionvaippaa Määritä pallon säde siten, että astiasta valuva vesimäärä on mahdollisimman suuri Ovatko seuraavat väitteet tosia? a) Jos funktion derivaatta on positiivinen kaikilla muuttujan arvoilla, niin funktio kasvaa rajatta eli b) Josfunktion derivaatta on positiivista vakiota suurempi kaikilla muuttujan arvoilla, niin Perustele vastauksesi Laske funktion f, f() = e (sin + cos ), derivaatta Osoita, että käyrän y = e sin ja akselin alueessa > rajoittamien alueiden,,, pintaalat muodostavat geometrisen jonon Laske integraali 4 esätapahtumassa hyttysten määrä oli tilaisuuden alussa ja kolme tuntia myöhemmin 7 Määrän kasvunopeus hetkellä t oli suoraan verrannollinen hyttysten määrään sinä hetkenä Muodosta hyttysten määrää kuvaava differentiaaliyhtälö ja sen ratkaisuna hyttysten määrä mielivaltaisella hetkellä t Mikä oli hyttysten määrä viiden tunnin kuluttua tilaisuuden alkamisesta? 5 Määritä Eukleideen algoritmilla lukujen 486 ja 46 suurin yhteinen tekijä syt (486,46) Esitä tämä lukujen lineaariyhdistelynä, ts määritä kokonaisluvut a ja b siten, että syt(486, 46) = 486 a + 46 b http://wwwkoulutkuopiofi/~muslukio/harkokeita/khtm 56 6:45:7
MTEMTIIN OE PITÄ OPPIMÄÄRÄ (HS) Tasakylkisen kolmion piiri on 5 cm Sen kyljet ovat,5 cm pitemmät kuin kanta Laske kolmion ala Ratkaisu: Jos kolmion kanta on cm, ovat sen kyljet + 5 cm oska kolmion piiri on 5 cm, niin + ( +,5) = 5 + + = 5 = : = 4 + olmion kantaa vasten piirrety korkeusjana saadaan Pythagoraan lauseen avulla h + = 5,5 h = 5,5 = 6, 5 4 6,5 olmion ala on»,47 Vastaus: cm Lukion jazzyhtyeen konsertin tuotto 9 euroa ( ) on jaettava tasan yhtyeen jäsenille Jos jäseniä olisi enemmän, jokainen saisi 8 vähemmän Montako jäsentä yhtyeessä on? Ratkaisu: Jos yhtyeesä on n (> ) jäsentä, on 9 9 = 8 nn ( + ) n n+ 9( n+ ) 9n= 8 n( n+ ) 9n+ 84 9n= 8n + 6n 8n 6n+ 84= : 8 n + n 48= ( ) a) Sievennä lauseke + b) Sievennä lauseke ( )( + ) c) Ratkaise tämän jälkeen yhtälö = + ( )( + ) Ratkaisu: ( )( + ) a) = = = = = + + + + + b) = = = = ( )( + ) ( ) ( ) ± + 4 48 ± 96 ± 4 n = = = + 4 4 n= = 6 tai n= =8 ei käy c) lkuperäinen yhtälö on määritelty, kun > ja ¹ Yhtälö voidaan nyt esittää muodossa = Þ = Vastaus: a), b), c) = + + + + Vastaus: Jäseniä on 6 +,5 +,5 h 4 Tuoreissa omenissa on vettä 8 % ja sokeria 4 % uinka monta prosenttia sokeria on samoissa omenissa, kun ne on kuivattu siten, että kosteusprosentti on? Ratkaisu: Massa ennen kuivausta a uivauksen jälkeen vettä,8a vettä a sokeria,4a sokeria,4a muuta,6a muuta,6a + + +
MTEMTIIN OE PITÄ OPPIMÄÄRÄ (HS) Massa kuivausen jälkeen,4a +,6a + a = (, + )a oska kosteusprosentti on, niin saadaan yhtälö a =, (, + ) a : a =,4 +,,8 =,4 :,8 + =,5 Täten omenien ainemäärä kuivauksen jälkeen on a (,8a,5a) =,5a Tästä sokerin osuus on,4a,6 6%,5a = = Vastaus: uivatuissa omenissa on sokeria 6 % + 5 aksi matkapuhelinta näkyy paikkaan, jonka etäisyys toisesta mastosta on 5,7 km ja toisesta,6 km Tähtäyssuunnat mastoihin muodostavat 7 5 suuruisen kulman uinka etäällä mastot ovat toisistaan? Etäisyydet mitataan vaakasuorasti, eikä maston mahdollisia korkeuseroja oteta huomioon Ratkaisu: Piirretään kuvio olmiossa on voimassa kosinilause = 5, 7 +,6 5, 7,6 cos 7 5» 7, 98» 5, 8 5 5 Huomaa, että 7 5 = (7 + ) = 7 6 6 Vastaus: Mastojen välinen etäisyys on 5,8 km 6 ulman kärki on pisteessä (, ), ja pisteet (4, 6), (, ) sijaitsevat sen kyljillä Laske kulman puolittajan suuntainen yksikkövektori Ratkaisu: Olkoon piste O origo Tällöin pisteiden (, ), (4, 6) ja (, ) paikavektorit uuur uuur uuur O = i + j, O = 4i + 6 j ja O = i j ja uuur uuur = 4i + 6 j ( i + j ) = i + 4 j ; = + 4 = 5 uuuur uuuur = i j ( i + j ) = i 5 j ; = + 5 = + Jos D on kulman puolittajan ja :n leikkauspiste, niin D : D = : (kulmanpuolittaja jakaa vastaisen sivun viereisten sivujen suhteesa) Tällöin uuuur uuur uuur uuur 5 uuur uuur 5 uuur uuuur D = + D = + = + ( + ) 5+ 5+ 5 = i + 4 j + (i j (4i + 6 j)) + 5+ 5 5 5 = i + 4 j + (9i 9 j) = i + 4j + i j 5 D 8 uuuur = + = + = + i j; D æ ö æ ö è ø èø Puolittajan suuntainen yksikkövektori on uuuur D i + j uuuur = = D ( i + j ) Vastaus: ulman puolittajan suuntainen yksikkövektori on + +,6 km 7 5 5,7 km (i + j) +
MTEMTIIN OE PITÄ OPPIMÄÄRÄ (HS) 7 Reaalilukujen joukossa määritellyn funktion f kuvaajan mielivaltaiseen pisteeseen (, y) piirretyn tangentin kulmakerroin on k ( ) = e Funktion f pienin arvo on Määritä f Ratkaisu: Tangentin kulmakerroin on derivaatta pisteessä eli f ( ) = e Tälöin f on muotoa f( ) = ò ( e ) d= + e + + Vain ääriarvokohdassa jatkuvan funktion derivaatta on nolla eli f ( ) = Û e = e = ( e = ) = = + oska nyt f ( ) = e ja siten f () = e = = >, niin = on minimikohta ja ainoana ääriarvokohtana funktio saa tässä kohdassa pienimmän arvonsa + Täten integraalifunktion on täytettävä ehto f() = eli + e + = Huom Voit myös perustella, että kohdassa saadaan pienin arvo derivaatan merkkikaavion = = + avulla antamalla derivaatalle arvoja nollakohdan kummaltakin puolelta; jatkuvana funktiona se Vastaus: f( ) = + e + + ei voi vaihtaa etumerkkiä muualla kuin nollakohdissa 8 Puhelinkeskukseen tulevien puhelujen määrä noudattaa ns Poissonin jakaumaa: todennäköisyys, että minuutissa tulee n ( ³ ) puheluja, on pn = e, jossa vakio a kuvaa keskuk an a n! sen ruuhkaisuutta Laske todennäköisyys, että keskukseen tulee minuutissa ainakin 5 puhelua, kun a = 4 Ratkaisu: P(ainakin 5) = p p p p p4 = e ( + + + + ) =!!!! 4! 9 7 8 e ( + + + + ) = e»,847 + 6 4 8 Vastaus: Todennäköisyys, että minuutissa tulee ainakin 5 puhelua on,8 + 9 Pisteen P keskusprojektio suoralle s projektiokeskuksena piste määritellään pisteiden ja P kautta kulkevan suoran ja suoran s leikkauspisteeksi (mikäli tämä on olemassa) Olkoon projektiokeskus = (, 4) ja suora s akseli Olkoon = (, ) ja = (4, ) Tutki, mille akselin välille janan pisteet kyseisessä keskusprojektiossa projisioituvat Mihin pisteeseen projisioituu janan keskipiste? Jos janalle asetetaan jakopisteitä tasavälisesti, projisioituvatko nämä tasaväliseksi pisteistöksi akselille? y Ratkaisu: Pisteen P keskusprojektio P on nyt pisteiden 4 ja P kautta kulkevan suoran s(, P) ja akselin leikkauspiste Janan jokaisen pisteen P projektiosuora s(, P) on päätepisteiden ja projektiosuorien s(, ) ja s(, ) välisessä sektorissa Tästä seuraa, että kaikki janan pisteet projisioituvat päätepisteiden projektioiden väliselle janalle 4 6 8 4 Suoran s(, ) yhtälö on y = Suora leikkaa akselin pisteessä (,), joten = (,) Vastaavasti suoran s(, ) yhtälö on y = ( 4), josta saadaan = (, ) Jana projisioituu siis akselin janalle
MTEMTIIN OE PITÄ OPPIMÄÄRÄ (HS) + é, ù + êë ú Janan keskipiste = (, ) Suoran s(, ) yhtälö on ( ) û y = ja suora leikkaa akselin pisteessä (, ), joten keskipisteen projektio = (, ) Janan pituus on ja janan pituus Näin ollen janan keskipiste ei projisioidu janan keskipisteeksi Janan tasavälinen jako ei projisioidu tasaväliseksi pisteistöksi akselille, koska jana ei ole akselin suntainen é Vastaus: Janan pisteet projisioituvat välile, ù êë ú eskipiste (, ) projisioituu pisteeksi (, ) ei projisioidu tasaväliseksi pisteistöksi û + uution jokaiselle sivutahkolle asetetaan samanlainen säännöllinen nelisivuinen pyramidi Näiden yhteinen korkeus määräytyköön siten, että kahden vierekkäisen pyramidin huiput ja vastaavien tahkojen leikkaussärmä sijaitsevat samassa tasossa Tällöin syntyy monitahokas, jota kutsutaan rombidodekaedriksi Sen sivutahkot ovat suunnikkaita, jotka muodostuvat kahdesta vierekkäisten pyramidien sivutahkoista a) Laske pyramidin korkeuden ja kuution särmän pituuden suhde b) Laske rombidodekaedrin sivutahkon kulmat asteen tarkkuudella c) Laske rombidodekaedrin ja kuution tilavuuksien suhde Ratkaisu: Piirretään kuvio a) Tarkastellaan tasoa, appale sivulta Hahmotelma kappaleesta joka kulkee kuution keskipisteen O ja kahden vie h a D a F rekkäisen pyramidin huippujen ja kautta E O Merkitään, että kuution särmän pituus on a ja pyramidin korkeus h Suorakulmaiset kolmiot D ja O ovat yhdenmuotoiset (kk) Lisäksi kolmio O on tasakylkinen kolmio, joten myös D on tasakylkinen kolmio Täten h = D = D = a Siis pyramidin korkeus on puolet kuution särmästä b) ärkien ja määräämän sivutahkon muut kärjet olkoon E ja F Piste on sivutahkon keskipiste a)kohdan nojalla = a ja E = a Jos nyt SEF = S F = a, niin suorakulmaisesta kolmiosta E saadaan a tana =», 77 a a» 5, 64 a» 7,58 + Toisaalta jos SE = S F = b, niin tiedosta, että nelikulmion kulmain summa on 6, saadaan b = 8 a» 9,47 + 4 c) Pyramidin tilavuus on ( a) a= a 4 Rombidodekaedrin tilavuus on siten 6 a + ( a) = 8a + 8a = 6 a 6a ysyty tilavuuksien suhde on = 8a Vastaus: a) Suhde on :, b) 9 ja 7, c) suhde : + 4
MTEMTIIN OE PITÄ OPPIMÄÄRÄ (HS) stia on kärjellään seisova avonainen ympyräkartio artion pohjan säde on 6,6 cm ja sivujana, cm stia on täynnä vettä stiaan asetetaan pallo, joka sivuaa kartion vaippaa Määritä pallon säde siten, että astiasta valuva vesimäärä on mahdollisimman suuri Ratkaisu: Olkoon kartiossa pohjan keskipiste ja O kärki Olkoon pallon keskipiste P ja säde r sekä pallon piste, joka on lähinnä kartion kärkeä P on janalla O tai sen jatkeella Janan O pituus on 6,6 = 8,8 Yhdenmuotoisista kolmiosta saadaan, r P että OP = r Pallon sisässä oleva osa on pallosegmentti, jonka r 6,6 korkeus h = = O OP + r = 8,8 r Siis r= (8,8 h) Valuva vesimäärä on suurin, kun pallosegmentin tilavuus V = ph ( r h) on suurin Lausutaan tilavuus h:n funktiona 6 Vh ( ) = p(, h h) < h< 8,8 Derivaatan merkkikaavio Derivoidaan V ( h) = p(6,4h5,5 h ) V + h Derivaatan nollakohta 4,8 6,4h 5,5h = h= tai 6, 4 5, 5h= h = 4,8 Vastaus: Säde on 6, cm + Tällöin pallon säde r = (8,8 4,8) 6, = Ovatko seuraavat väitteet tosia? a) Jos funktion f : derivaatta on positiivinen kaikilla muuttujan arvoilla, niin funktio kasvaa rajatta eli lim f() = b) Jos funktion f : derivaatta on positivista vakiota suurempi kaikilla muutujan arvoilla, niin lim f() = Perustele vastauksesi Ratkaisu: a) Tarkastellaan funktiota f( ) = e Sen derivaatta f ( ) = e > kaikilla reaaliluvuilla Toisaalta lim f( ) = lime = Näin ollen kohdan a väite ei ole tosi + b) Jos on olemassa a > siten, että f ( ) > a kaikilla Î, saadaan väliarvolauseesta, että f( ) f() = f ( )( ) > a kaikilla > f( ) > a+ f() Näin ollen lim f( ) ³ lim ( a+ f()) = Vastaus: a) epätosi, b) tosi Laske funktion f, f() e ( ) = sin + cos, derivaatta Osoita, että käyrän y= e sin ja akselin alueessa ³ rajoittamien alueiden,,, pintaalat muodostavat geo metrisen jonon Laske integraali ò e + sin d 8,8 Ratkaisu: f:n derivaatta saadaan tulon derivoimissäännön avulla f ( ) = e (sin + cos ) + e (cos sin ) = e [sin cos + cos sin ] =e sin 4,8 O +4 + + 5
MTEMTIIN OE PITÄ OPPIMÄÄRÄ (HS) äyrä y= e sin leikkaa akselia kohdissa (sinifunktion nollakohdat) np ( nî ) lueen n pintaala on ( n+ ) p ( n+ ) p n np ònp a = e sin d= () ( e sin ) d n ò un huomioidaan tehtävän alkuosa, niin n ( ) / n + p np n ( n+ ) p np n n+ ( n+ ) p n np p np e e e e a = () e (sin+ cos ) = n = () {[ e (sin( n+ ) p + cos( n+ ) p)] [ e (sin np + cos np)]} = = () {() ( ) } = ( + ) Peräkkäisten alueiden pintaalojen suhde a n+ an p ( n+ ) p ( + e ) e p = = e p np ( + e ) e < e <, niin pintaalat muodostavat suppenevan geometrisen jonon oska Täten p p e e p e ò e d å an p p n= e e p e e sin p ( + )( ) + sin = = =»,545 Vastaus: Derivaatta ja integraali e +», 545 4 esätapahtumassa hyttysten määrä oli tilaisuuden alussa ja kolme tuntia myöhemmin 7 Määrän kasvunopeus hetkellä t oli suoraan verrannollinen hyttysten määrään sinä hetkenä Muodosta hyttysten määrää kuvaava differentiaaliyhtälö ja sen ratkaisuna hyttysten määrä mielivaltaisella hetkellä t Mikä oli hyttysten määrä viiden tunnin kuluttua tilaisuuden alkamisesta? Ratkaisu: Muutosnopeus on suoraan verrannollinen hyttysten lukumäärään eli kyseessä on kertaluvun differentiaaliyhtälö m () t = km dm = km dt dm = kdt m ò ò dm = kdt m ò ln m = kt+ kt+ m= e kt m= e + k lukuehdosta m() = saadaan e = Þ = + Ehdosta m() = 7 saadaan nyt k e = 7 : k e =, 5 ln k = ln,5 ln,5 k =»,4 + + + 6
MTEMTIIN OE PITÄ OPPIMÄÄRÄ (HS) Hyttysten määrä ajan hetkellä t on siten ln,5 t mt () = e Hyttysten määrä 5 tunnin kuluttua on ln,5 5 e» 6,65» 6 Vastaus: Differentiaaliyhtälö m () t = km ja sen tietty ratkaisu 5 tunnin kuluttua hyttysiä on 6 ln,5 t mt () = e + 5 Määritä Eukleideen algoritmilla lukujen 486 ja 46 suurin yhteinen tekijä syt(486, 46) Esitä tämä lukujen lineariyhdistelynä, ts määritä kokonaisluvuta a ja b siten, että syt(486, 6) = 486a + 46b Ratkaisu: Sovelletaan Eukleiden algoritmia lukuihin: 4 86 = 4 6 + 4 86 4 6 = 4 86 + 5 4 86 = 5 + 44 5 = 4 + 8 4 = 8 Näin ollen syt(4 86, 4 6) = 8 äyttämällä Eukleiden algoritmia toisinpäin 8 = 5 4 = 5 (4 86 5) = 5 4 86 = (4 6 4 86) (4 86 4 6) = 4 4 6 96 4 86 4 86 = 4 4 6 96 (4 86 4 6) 4 86 = 6 4 6 97 4 86 Vastaus: syt(4 86, 4 6) = 8, a = 97 ja b = 6 + + 7