Fys1, moniste 2 Vastauksia Tehtävä 1 N ewtonin ensimmäisen lain mukaan pallo jatkaa suoraviivaista liikettä kun kourun siihen kohdistama tukivoima (tässä tapauksessa ympyräradalla pitävä voima) lakkaa vaikuttamasta. Toisin sanoen pallo nousee kohtisuoraan ylöspäin, ei siis tippaakaan sivulle. Tehtävä 2 Ylin kuvaaja: S(t) on vakio, eli paikka ei muutu, joten pidät siis sormeasi tietyssä paikassa paikallaan. Keskimmäinen kuvaaja: v(t) eli nopeus ajan funktiona on vakio. Kuljetat sormeasi tasaisella nopeudella pitkin pöydän pintaa. Alin kuvaaja: Matka ajan funktiona muuttuu aluksi kaartuen kuperasti. Tämä tarkoittaa sitä, että liike on hidastuvaa. Terävän kulman jälkeen matkan kuvaaja ajan funktiona on alaspäin laskeva suora (kulmakerroin negatiivinen), mikä tarkoittaa sitä, että sormesi liikkuu tasaisella nopeudella vastakkaiseen suuntaan kuin alussa, jatkaen liikettä lähtöpisteen ohi (eli vajoaa t- akselin alapuolelle) kunnes liike lakkaa kokonaan (vaakasuora osa). Tehtävä 3 (tärkeä perustehtävä!) Ensimmäisen kahden sekunnin ajan nopeus on tasaista eli v(t) on vakio. Tässä ajassa kuljettu matka s1 saadaan yhtälöstä s1 = v t = (2 m/s) (2s)=4 m. Seuraavaksi nopeus hidastuu, eli liike on hidastuvaa. Hidastuvuus eli negatiivinen kiihtyvyys saadaan laskevan suoran kulmakertoimesta, joka on siis a = v t = 2 m/s 2 s = 1 m aikavälillä 2s 4s s2 Tällä aikavälillä (ja siis kahden sekunnin aikana) kuljettu matka s 2 saadaan yhtälöstä S = v t + 1 2 at2 = 2 m s 2s + 1 2 1 m s2 2s 2 = 4 m 2 m = 2 m joten kuljettu matka on yhteensä s = s 1 + s 2 = 4m + 2m = 6 m Sama tulos saadaan jos lasketaan kuvaajan ja t-akselin väliin jäävä pinta-ala!
Tehtävä 4 uvaaja saa aluksi aivot solmuun Miettimällä järjestelmällisesti tärkeitä ajanhetkiä (t = s, t=1s ja t=2s) tilanne alkaa hahmottua. Hetkellä t = kivi on juuri irronnut heittäjän kädestä, jolloin sillä on luonnollisesti suurin nopeus v(t) = 1 m/s. Ylöspäin nopeus on positiivista (t-akselin yläpuolella) ja alaspäin negatiivista (t-akselin alapuolella). Hetkellä t=1s kiven nopeus v(t) =, jolloin on saavutettu korkein kohta eli lakipiste. Tämän pisteen jälkeen nopeus on alaspäin, kivi putoaa ja suora sukeltaa t-akselin alapuolelle. Kuvaajan kulmakerroin on suunnilleen maan vetovoiman kiihtyvyys eli g=9,8 m/s 2 a) Lentoradan huippu saavutetaan nopeuden kääntyessä eli ajanhetkellä t =1s. b) Kiihtyvyys saadaan kulmakertoimesta, joka on siis v t = g = 9,8 m/s2 alaspäin, eli toisin sanoen g = -9,8 m/s 2 (g olisi positiivinen, jos suunta alaspäin olisi valittu kuvaajan piirtäjän toimesta positiiviseksi, tällöin kuvaaja olisi tietenkin nouseva suora) c) Kiveen vaikuttaa vain maan vetovoiman kiihtyvyys, eli siis hidastuvuus. Kivi ei kiihdy ylöspäin sen irrottua heittäjän kädestä. d) Kiveen ei vaikuta muita voimia kuin painovoima sen irrottua heittäjän kädestä. e) Lasketaan kiven kulkema matka (korkeus) aikavälillä s-1s S = v t + 1 2 gt2 = 1 m s 1s + 1 2 9,8 m s 2 (1s)2 = 1m 4,9m = 5, 1m
kiven korkeus h (m) Piirretään vielä korkeuden h(t) (tai s(t)) kuvaaja ajan funktiona perinteisellä taulukkolaskentaohjelmalla. Muista, että kivi on heitetty kohtisuoraan ylöspäin. Kuvaaja kertoo siis kiven liikkeen ajan suhteen. aika t (s) Kiven korkeus (m) h t = v t 1 2 gt2 6,1,951,2 1,84,3 2,559,4 3,216,5 3,775,6 4,236,7 4,599,8 4,864,9 5,31 1 5,1 1,1 5,71 1,2 4,944 1,3 4,719 1,4 4,396 1,5 3,975 1,6 3,456 1,7 2,839 1,8 2,124 1,9 1,311 2,4 5 4 3 2 1,5 1 1,5 2 2,5 aika t (s) Tehtävä 5
Matka S(t) Tehtävä 6 Kiihtyvyyden kuvaajat ovat vaakasuoria, koska nopeuden kuvaajat ovat suoria. 3 2 Kuvaajilla 1 ja 3 on sama kulmakerroin, joten niille saadaan sama kiihtyvyyden kuvaaja eli t-akselin yläpuolella vaakasuorassa kulkeva viiva. Samoin on kuvaajien 2 ja 4 tapauksessa, mutta nyt kiihtyvyyden kuvaaja kulkee t-akselin alapuolella. 1-1 1 2 3 4 5 Matkan S(t) kuvaajat on piirretty kaikille suorille viereiseen koordinaatistoon, olettaen, että alkunopeudet ovat ja ±1m/s ja kiihtyvyydet ±2m/s 2. -2-3 Aika t Tehtävä 7 Nopeuden kuvaaja käy välillä t-akselin alapuolella, joten kappale muuttaa suuntaansa. Kappale vaihtaa suuntaansa hetkellä t 3,4 s ja käännös takaisin alkuperäiseen suuntaan tapahtuu hetkellä t 6,5 s. Toisin sanoen, kun nopeuden v(t) kuvaaja kulkee t-akselin alapuolella matka vähenee, koska tällöin kuljetaan tulosuuntaan eli nopeus on negatiivista. Edetyn matkan saat vähentämällä t-akselin alapuolisten ruutujen määrän t-akselin yläpuolella olevien ruutujen määrästä.
matka s(t) (m) Tehtävä 8 Matkan kuvaaja kertoo, että nopeus ei ole tasaista, vaan kiihtyvää. Kiihtyvyys näyttäisi olevan tasaista, koska kuvaaja näyttää toisen asteen kuvaajalta eli paraabelilta, joka tulee matkan yhtälöstä: S(t) = v t + 1 2 at2 25 2 15 1 5,5 1 1,5 2 2,5 aika t (s)