13 Luvun potenssi Kertolasku, jonka kaikki tekijät ovat samoja, voidaan merkitä lyhyemmin potenssin avulla. Potenssimerkinnässä eksponentti ilmaisee, kuinka monta kertaa kantaluku esiintyy tulossa. Potenssin arvo on kertolaskun tulos. EsimErkki 1 Merkitse kertolasku 3 3 3 3 potenssin avulla ja laske sen arvo. Ratkaisu Kertolasku 3 3 3 3 merkitään lyhyemmin 3 4. Potenssin arvo on kertolaskun tulos, joka on 81. eksponentti kantaluku 3 4 = 81 potenssin arvo Merkintä 3 4 luetaan kolme neljänteen tai kolme potenssiin neljä. EsimErkki 2 Muunna potenssimerkintä kertolaskuksi ja laske potenssin arvo. a) 4 2 b) 5 3 c) 10 6 Ratkaisu a) 4 2 = 4 4 = 16 b) 5 3 = 5 5 5 = 125 c) 10 6 = 10 10 10 10 10 10 = 1 000 000 Merkintä 4 2 voidaan lukea myös luvun 4 neliö. Se ilmaisee pinta-alan neliölle, jonka sivu on 4. Merkintä 5 3 voidaan lukea myös luvun 5 kuutio. Se ilmaisee tilavuuden kuutiolle, jonka sivu on 5. Luvun ensimmäinen potenssi on luku itse. Sen vuoksi eksponenttia 1 ei yleensä merkitä näkyviin. Käytännön tilanteissa potenssin arvo on usein niin hankala laskea, että apuna kannattaa käyttää laskinta tai tietokonetta. 48
EsimErkki 3 Sähköpostimato leviää lähettämällä itsensä samanaikaisesti viiteen osoitteeseen. Jokainen näistä lähettää uudet 5 sähköpostimatoa. Myös nämä madot lähettävät 5 matoa ja niin edelleen. Kuinka monta matoa on lähettämässä uusia viestejä, kun lähetyskertoja on ollut a) 2 b) 10 c) 14? 1. kerta 2. kerta Ratkaisu a) 5 2 = 25 b) 5 10 = 9 765 625 Näppäily laskimessa: 5 x 2 = tai 5 y x 2 = Näppäily laskimessa: 5 y x 1 0 = c) 5 14 = 6 103 515 625 Negatiivinen kantaluku Kun potenssimerkinnän kantaluku on negatiivinen, se merkitään sulkeisiin. Potenssin arvon etumerkki määräytyy tällöin seuraavasti: Jos eksponentti on parillinen, potenssin arvo on positiivinen. Jos eksponentti on pariton, potenssin arvo on negatiivinen. EsimErkki 4 a) ( 5) 1 = 5 b) ( 3) 2 = ( 3) ( 3) = 9 c) ( 4) 3 = ( 4) ( 4) ( 4) = 64 d) ( 2) 4 = ( 2) ( 2) ( 2) ( 2) = 16 Eksponentin vaikutusalue ulottuu vain sen edessä olevaan lukuun. Vaikutusalue ei ulotu esimerkiksi luvun edessä olevaan miinusmerkkiin. Sen vuoksi negatiivinen kantaluku on merkittävä sulkeisiin. EsimErkki 5 a) ( 3) 4 = ( 3) ( 3) ( 3) ( 3) = 81 b) 3 4 = (3 3 3 3) = 81 Kantaluku on 3. Luku 3 on korotettu potenssiin 4. Kantaluku on 3. Kyseessä on luvun 3 4 vastaluku. 49
HarjoitustEHtävät 1. Mikä on potenssimerkinnässä 5 3 = 125 a) eksponentti b) kantaluku c) potenssin arvo? 2. Merkitse kertolasku potenssin avulla. a) 5 5 5 b) 6 6 6 6 6 c) 9 9 9 9 9 9 d) 15 15 3. Merkitse kertolasku potenssin avulla. a) 3 3 3 3 b) 8 8 8 8 9 kpl c) 59 59 59 59 59 kpl 15 kpl d) 2 2 2 2 1024 kpl 4. Muunna kertolaskuksi ja laske potenssin arvo. a) 6 2 b) 2 5 c) 10 3 d) 2 7 Laske potenssin arvo. 5. a) 5 2 b) 2 5 c) 1 5 d) 0 5 6. a) 10 2 b) 2 3 c) 1 247 d) 350 1 7. Merkitse potenssina, kun a) kantaluku on 3 ja eksponentti 7 b) kantaluku on 7 ja eksponentti 3 c) kantaluku on 1 ja eksponentti 8 d) kantaluku on 10 ja eksponentti 1. 8. Merkitse kertolasku potenssin avulla. a) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) b) ( 7) ( 7) ( 7) ( 7) ( 7) ( 7) c) ( 13) ( 13) ( 13) 9. Merkitse kertolasku potenssina ja laske potenssin arvo. a) ( 6) ( 6) b) ( 2) ( 2) ( 2) c) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) 10. Merkitse potenssina ja laske potenssin arvo, kun a) kantaluku on 3 ja eksponentti 4 b) kantaluku on 4 ja eksponentti 3 c) kantaluku on 3 ja eksponentti 2 d) kantaluku on 2 ja eksponentti 5. 11. Laske potenssin arvo. a) 9 2 b) 9 2 c) ( 9) 2 d) ( 3) 3 e) 3 3 f) 3 3 12. Mikä kokonaisluku käy kirjaimen n paikalle? a) 2 n = 64 b) n 3 = 27 c) n 5 = 32 d) 10 n = 10 000 13. Mikä tai mitkä kokonaisluvut käyvät kirjai men n paikalle? a) n 3 = 1 000 b) 1 n = 1 c) n 10 = 1 d) 2 n = 16 14. Laske laskimella. a) 17 4 b) ( 24) 4 c) 6 7 d) ( 225) 2 e) ( 14) 5 f) ( 3) 9 15. Päättele, onko potenssin arvo positiivinen vai negatiivinen. a) 3 579 7 307 b) ( 2 035) 5 302 c) ( 9 034) 4 531 d) 2 140 1 284 16. Päättele, onko potenssin arvo parillinen vai pariton, kun a) kantaluku ja eksponentti ovat parillisia b) kantaluku ja eksponentti ovat parittomia c) kantaluku on parillinen ja eksponentti pariton d) kantaluku on pariton ja eksponentti parillinen. 50
kotitehtävät 17. Merkitse potenssin avulla. a) 3 3 3 3 3 3 b) 7 7 7 7 7 7 7 7 7 c) 13 13 18. Muunna potenssimerkintä kertolaskuksi ja laske potenssin arvo. a) 1 2 b) 2 4 c) 3 4 d) 4 3 19. Merkitse potenssina ja laske potenssin arvo. a) ( 4) ( 4) ( 4) b) ( 3) ( 3) ( 3) ( 3) c) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) 20. Laske potenssin arvo. a) 6 2 b) 3 3 c) 5 3 d) 10 5 e) 2 6 f) ( 2) 6 21. Aseta tulot suuruusjärjestykseen pienimmästä alkaen. a) 3 2, 2 3 ja 2 3 b) ( 3) 2, 2 ( 3) ja ( 2) 3 c) 6 5, 5 6, 7 4 ja 4 7 Tarinan mukaan shakki pelin keksijä pyysi palk kioksi yhden jyvän laudan ensimmäiselle ruudulle ja seuraaville aina kaksin kertai sen määrän. Loppu tulos oli 18 446 744 073 709 551 615 jyvää. Ekstra 22. a) 10 4 b) 10 7 c) 10 9 d) 10 12 P U L M A Miten alarivillä olevat luvut on muodostettu yläpuolella olevista luvuista? 5 6 7 8 9 23. Laske luvun x neliö ja kuutio, kun a) x = 2 b) x = 2 c) x = 5 d) x = 20. 24. Laske laskimella. a) 9 4 b) ( 12) 5 c) 21 3 d) ( 30) 6 e) 15 4 f) ( 356) 2 25. Päättele, onko potenssin arvo positiivinen vai negatiivinen, kun a ja n ovat positiivisia kokonaislukuja. a) ( a) 2 n b) a 2 n c) ( a) 2 n + 1 d) a 2 n 52 63 94 46 18 51
14 Yhdistettyjä laskutoimituksia Jos laskulausekkeessa on erilaisia laskutoimituksia, potenssiin korotukset suoritetaan ensin, sitten kerto- ja jakolaskut vasemmalta oikealle ja viimeiseksi yhteen- ja vähennyslaskut vasemmalta oikealle. Sulkeiden sisällä olevat laskutoimitukset lasketaan aina ensin. Laskujärjestys: 1. potenssiin korotukset 2. kerto- ja jakolaskut 3. yhteen- ja vähennyslaskut Sulkeilla voidaan muuttaa laskujärjestystä. EsimErkki 1 a) 9 + 2 3 = 9 + 6 = 15 b) 7 3 16 : 4 = 21 4 = 17 c) 18 : 3 5 2 = 18 : 3 25 = 6 25 = 19 d) 2 3 + 4 2 3 = 2 3 + 4 8 = 6 + 32 = 38 Välivaiheet merkitään näkyviin. EsimErkki 2 Sievennä ja laske. a) 2 (6 + 4) b) 2 (6 + 4) 3 c) 2 (6 + 4 3 ) Ratkaisu a) 2 ( 6 + 4 ) = 2 10 = 20 b) 2 ( 6 + 4 ) 3 = 2 10 3 = 2 1 000 = 2 000 c) 2 (6 + 4 3 ) = 2 ( 6 + 64 ) = 2 70 = 140 Aloitetaan sievennys sulkeista. Jos jakolaskun merkkinä käytetään jakoviivaa, jaettavana ja jakajana olevien lausekkeiden arvot on laskettava ennen osamäärän laskemista. EsimErkki 3 a) 8 + 6 = 14 = 7 3 1 2 Lasku voidaan merkitä myös näin: (8 + 6) : (3 1) = 14 : 2 = 7. b) 8 + 6 : 3 1 = 8 + 2 1 = 9 52
Sulkeet laskulausekkeessa Jos lausekkeessa on useampia sisäkkäisiä sulkeita, avaaminen aloitetaan sisimmistä sulkeista. EsimErkki 4 a) 2 (5 ( 7 4 )) = 2 ( 5 3 ) = 2 2 = 4 b) 3 (( 2 + 7 ) + ( 5 2 )) = 3 ( 9 + 3 ) = 3 12 = 36 Sisäkkäiset sulkeet voidaan merkitä sisimmistä alkaen myös kaarisulkeilla ( ), hakasulkeilla [ ] ja aaltosulkeilla { }. Ensimmäisenä avataan kaarisulkeet, sitten hakasulkeet ja viimeiseksi aaltosulkeet. EsimErkki 5 Laske 2 {15 [13 4 (3 + 2)]}. Ratkaisu 2 {15 [13 4 ( 3 + 2 )]} = 2 {15 [13 4 5 ]} = 2 {15 [ 13 20 ]} = 2 {15 [ 7]} = 2 { 15 + 7 } = 2 22 = 44 Liikenteessä ajo järjestystä muutetaan kärkikolmiolla ja stop-merkillä. HarjoitustEHtävät 1. a) 3 6 + 3 b) 6 2 3 c) 15 4 3 d) 12 + 2 4 2. a) 16 : 4 3 b) 7 8 + 4 5 c) 6 3 3 4 d) 2 3 + 9 : 3 3. a) 2 ( 5) + 7 b) 2 + 5 2 c) 4 2 3 5 + 3 2 d) 2 3 + 4 6 : 2 4. a) 6 2 : 3 b) 6 : 2 3 c) 2 3 : 6 d) 6 : 3 2 5. a) 2 3 3 2 b) 5 (4 2) c) (9 + 6) : 3 d) 3 (20 4 2 ) 6. a) c) 9 3 1+ 2 7 8 + 4 4 5 b) d) 4 5 7 2 3 15 4 + 2 3 7. a) 5 3 2 3 b) 3 5 2 3 c) (5 3) 2 3 d) (3 5) 2 3 8. a) 2 5 4 3 b) 2 (5 4) 3 c) (2 5 4) 3 d) 2 (5 4 3) 9. a) 4 6 : 3 ( 2) b) 4 (6 : 3) ( 2) c) 4 6 : (3 ( 2)) d) 4 (6 : 3 ( 2)) 53
10. Mikä luku sopii kirjaimen x paikalle? a) 29 3 x = 2 b) (x + 5) 3 = 8 c) 15 4 x = x d) x (4 + 1) = 20 e) 3 (x + 7) = 24 f) 4 x + 9 = 1 Kirjoita lauseke ja laske. 11. a) Lukuun 3 lisätään lukujen 10 ja 5 osamäärä. b) Lukuun 12 lisätään lukujen 3 ja 5 tulo. c) Lukujen 2 ja 6 tulosta vähennetään lukujen 5 ja 4 tulo. d) Lukujen 20 ja 5 osamäärästä vähennetään lukujen 3 ja 7 tulo. 12. a) Lukujen 2 ja 7 summa kerrotaan luvulla 3. b) Lukujen 30 ja 10 erotus jaetaan luvulla 5. c) Luvusta 21 vähennetään lukujen 8 ja 5 erotus. 13. a) 4 + 3 6 b) 4 + 3 ( 6) c) 4 3 6 d) 4 3 ( 6) Tarkista tulos laskimella. 14. a) 7 (5 + 3 (2 + 3)) b) (4 (5 2) 7) : 5 c) 2 (8 (1 + 4)) 15. a) 40 [5 + 4 (2 + 2 3)] b) 12 {11 [10 (9 8)]} c) 3 {1 + [4 (2 + 3) 10] : 5} 16. Esitä lauseke sanallisesti ja laske lausekkeen arvo. a) (5 + 15) 4 b) (14 6) : 4 c) (12 5) (5 + 3) d) 18 (80 50) : 10 kotitehtävät 17. a) 12 4 2 b) 6 8 7 5 c) 3 + 4 10 d) 8 + 32 : 8 9 18. a) 3 4 + 5 2 b) 3 (4 + 5) 2 c) (3 4 + 5) 2 d) 3 (4 + 5 2) 19. a) 6 9 5 8 b) 6 (9 5) 8 c) (6 9 5) 8 d) 6 (9 5 8) 20. a) ( 7) ( 8) + ( 5) 6 b) 2 10 3 + 7 10 2 + 5 10 + 9 c) 15 24 : 12 4 d) 3 (10 8) 3 21. Tarkista tulos laskimella. a) 4 (2 (3 + 1) 5) b) (12 2 (4 1)) : 3 c) (2 ((3 + 4) 6)) : (10 : 5) d) 32 {11 [7 (3 + 2)]} 22. Kirjoita lauseke ja laske. a) lukujen 5 ja 3 summa kerrottuna neljällä b) lukujen 14 ja 8 erotus jaettuna kolmella c) lukujen 6 ja 3 tulon ja osamäärän summa d) lukujen 4 ja 5 tulo vähennettynä luvusta 18 54
Ekstra Päässälaskukeinoja Summa ja tulo pysyvät samoina, vaikka lukujen järjestystä vaihdetaan. Laskemista voidaankin usein helpottaa vaihtamalla lukujen järjestystä. Myös kerto- ja jakolaskua voidaan yksinkertaistaa laskemalla lukuyksiköittäin tai yhdistämällä lukuja. EsimErkki 6 a) 57 77 56 38 + 77 + 37 = 57 56 77 + 77 38 + 37 = 1 + 0 1 = 0 b) 4 59 25 = 4 25 59 = 100 59 = 5 900 EsimErkki 7 a) 102 32 = 100 32 + 2 32 = 3 200 + 64 = 3 264 b) 99 57 = 100 57 1 57 = 5 700 57 = 5 643 c) 93 67 + 7 67 = (93 + 7) 67 = 100 67 = 6 700 d) 130 : 5 80 : 5 = (130 80) : 5 = 50 : 5 = 10 23. Ryhmittele luvut ja laske. a) 8 + 7 + 2 + 3 + 9 b) 26 37 + 14 c) 67 + 81 + 75 + 19 + 25 + 33 d) 99 45 20 + 1 24. Miten lasket helpoimmin? a) 99 + 50 98 49 b) 87 + 25 + 13 + 75 + 9 c) 17 + 29 + 17 + ( 29) d) 1 + 2 3 + 4 5 + 6 7 + 8 9 + 10 Laske ilman laskinta. 25. a) 12 7 b) 16 8 c) 9 16 d) 6 32 26. a) 7 24 + 3 24 b) 93 37 + 7 37 c) 87 42 85 42 d) 56 120 56 20 27. a) 2 15 + 3 15 + 5 15 b) 101 53 c) 98 4 d) 25 103 28. a) 13 7 b) 15 : 4 + 5 : 4 c) 99 20 d) 11 12 P U L M A 2 2 2 2 = 10 3 3 3 3 = 10 4 4 4 4 = 5 5 5 5 5 = 4 Kopioi lasku vihkoosi ja lisää ruutuihin puuttuva laskutoimitus merkki, :, + tai. Voit myös käyttää sulkeita. 55
15 Kertaus 1 Numeroista lukuja 1. Kirjoita luku lukuyksiköiden mukaisena summalausekkeena. a) 235 b) 3 700 c) 10,25 d) 0,029 2 Luonnolliset luvut 2. Esitä luku 12 kahden luonnollisen luvun a) summana b) erotuksena c) tulona d) osamääränä. 3 Luonnollisten lukujen jaollisuus 3. Tutki, onko luku 96 jaollinen luvulla a) 2 b) 3 c) 5 d) 9. Perustele. 4 Tekijöihin jakaminen ja alkutekijät 4. Mitkä luvuista 4, 7, 10, 11, 15, 17, 23 ja 33 ovat alkulukuja? Perustele. 5. Jaa luku alkutekijöihin. a) 24 b) 50 c) 54 d) 143 5 Kokonaisluvut 6. Mikä kokonaisluku on yhtä kaukana luvuista a) 3 ja 11 b) 2 ja 10 c) 5 ja 11 d) 8 ja 22? 6 Vastaluku 7. Mikä on luvun a) 5 vastaluvun vastaluku b) 3 vastaluvun vastaluku c) +6 vastaluvun vastaluvun vastaluku d) 11 vastaluvun vastaluvun vastaluku? 7 Kokonaislukujen yhteenlasku 8. a) 3 + ( 5) b) 6 + ( 9) c) 5 + 4 d) 9 + ( 5) 8 Kokonaislukujen vähennyslasku 9. a) 5 ( 8) b) 3 9 c) 5 11 d) 5 ( 1) 10. Mikä luku sopii kirjaimen x paikalle? a) 15 + x = 9 b) 4 + x = 3 c) 5 x = 9 d) x 8 = 2 9 Yhteen- ja vähennyslaskua kokonaisluvuilla 11. a) 18 ( 12) b) 14 + ( 22) c) 21 (+18) d) 27 + (+12) 12. a) 5 3 + 6 b) 12 5 7 c) 15 4 + 10 d) 8 + 13 7 13. a) 8 + ( 5) ( 2) b) 8 + ( 3) 10 c) 9 + ( 6) ( 2) d) 11 + 7 ( 4) 10 Itseisarvo 14. a) 12 4 b) 2 1 c) 3+ 7 d) 7 + 7 15. a) 9 + 7 b) 15 + 3 c) 1 7 d) 5 + 7 56
11 Kokonaislukujen kertolasku 16. a) 5 ( 6) b) 4 ( 8) c) 3 ( 2) 5 d) 4 ( 2) ( 1) 3 17. Mikä luku sopii kirjaimen x paikalle? a) 3 x = 36 b) 5 x = 45 c) x ( 6) = 60 d) x ( 7) = 49 12 Kokonaislukujen jakolasku 18. a) 48 8 d) 55 5 b) 75 15 c) 45 5 e) 72 : ( 9) f) 84 : ( 7) 19. Kirjoita kolme erilaista osamäärää, joiden arvo on a) 3 b) 5 c) 15. 13 Luvun potenssi 20. Laske potenssin arvo. a) 8 2 b) 4 2 c) ( 5) 2 d) ( 2) 3 e) 2 3 f) 4 3 21. Päättele, onko potenssin arvo positiivinen vai negatiivinen. a) 457 395 b) ( 528) 689 c) ( 975) 848 d) 589 724 14 Yhdistettyjä laskutoimituksia 22. a) 5 7 16 b) 25 8 5 c) 7 8 4 14 d) 12 3 + 5 4 23. a) 24 : 6 5 b) 4 7 + 20 : 4 c) 96 : 3 3 4 d) 72 : 3 + 45 : 3 24. a) 12 3 2 + 1 c) 27 36 3+ 6 b) 7 5 9 2 4 2 1 d) 3 ( 1) 25. a) 7 3 b) 5 9 + 6 + 8 c) 48: 4 5 3 d) 3 2+ 5 4 5 26. a) 36 5 (2 + 3) b) 15 : (5 2) + 3 c) 4 (10 (12 4)) d) 9 (12 4) : 12 Kokoavia tehtäviä 27. Mikä on pienin luonnollinen luku, joka on jaollinen a) kolmella ja viidellä b) kahdella, kolmella ja viidellä c) kahdella, kolmella, viidellä ja seitsemällä? 28. a) 2 5 5 7 b) 12 + 6 2 c) 2 3 3 8 + 4 2 d) 6 : 2 + 3 2 3 10 : 2 5 29. a) 5 + [14 3 (2 + 2)] b) 25 {6 + [18 (5 + 3)]} c) 48 : {2 [4 (8 2) 10]} 30. Mikä numero X:n paikalla voi olla, kun luku 81 X75 on jaollinen a) kahdella b) kolmella c) viidellä d) yhdeksällä e) kymmenellä f) 25:llä? 31. Laske laskimella. a) 12 3 b) ( 18) 5 c) 4 10 d) ( 45) 4 e) ( 9) 5 f) ( 2) 20 32. Mikä tai mitkä kokonaisluvut käyvät kirjai men n paikalle? a) n 5 = 32 b) 10 n = 1 000 c) n 15 = 1 d) n 20 = 1 e) 1 n = 1 f) 5 n 4 = 405 57