Ääni, akustiikka Lähdemateriaali: Rossing. (1990). The science of sound. Luvut 2-4, 23. Sisältö: 1. Johdanto 2. Värähtelevät järjestelmät 3. Aallot 4. Resonanssi 5. Huoneakustiikka 1 Johdanto Sanaa akustiikka käytetään asiayhteydestä riippuen tarkoittamaan kahta hieman eri asiaa 1. Akustiikka = ääntä tutkiva tiede (yleisesti) 2. Akustiikka = äänen käyttäytymistä suljetussa tilassa (erityisesti konserttisaleissa) tutkiva ala Akustiikka 2 Tämä esitys noudattaa samaa kaavaa; ensin luodaan katsaus ääneen yleensä, sitten huoneakustiikkaan Johdanto (2) Akustiikka 3 2 Värähtelevät järjestelmät Akustiikka 4 Myös sanalla ääni voidaan tarkoittaa joko 1. Kuuloaistimusta ihmisen kuulojärjestelmässä, tai 2. Väliaineessa tapahtuvaa värähdystä, joka voi tuottaa aistimuksen kuulijalle Ihmiskuulon takia rajoitutaan useimmiten taajuusalueelle 20 Hz 20 khz, ja väliaineena on ilma kuulo tosin toimii myös veden alla Värähtelijöille on yhteistä liike toistuu tietyn jakson välein joku voima pyrkii palauttamaan värähtelijän sen tasapainotilaan 2.1 Yksinkertainen harmoninen liike Jousi-massa järjestelmä F = K y voima (jousivakio x matka) toimii palautusvoimana tasapainotilassa maan vetovoima mg = F Yksinkertainen harmoninen liike on kyseessä mikäli palautusvoima on suoraan verrannollinen etäisyyteen tasapainotilasta tällöin värähtelytaajuus f ei riipu värähtelyn amplitudista massa + jousi: 1 f = 2π K m
Akustiikka 5 Akustiikka 6 2.2 Energia ja vaimeneminen (1) Energia ja vaimeneminen (2) Värähtelevässä järjestelmässä kineettinen energia ja potentiaalienergia vaihtelevat Jousi-massa järjestelmän tapauksessa kineettinen energia E K = ½mv 2 potentiaalienergia E P = Ky 2 Kuva: yllä: paikka ajan funktiona, alla: nopeus ajan funktiona hetkillä t 1 ja t 3 potentiaalienergia saavuttaa maksimiarvonsa, hetkillä t 2 ja t 4 kineettinen energia saavuttaa maksimiarvonsa Kaikissa todellisissa värähtelijöissä on energiahäviöitä, johtuen hankauksesta yms. Jollei järjestelmään tuoda energiaa ulkopuolelta, värähtelyn amplitude vaimenee (ks. kuva) tyypillisesti tietty murto-osa mekaanisesta energiasta poistuu yhden värähdyksen aikana. Tällöin amplitudiverhokäyrä on eksponentiaalisesti laskeva (ks. kuva) Amplitudiverhokäyrä Akustiikka 7 Akustiikka 8 2.3 Yksinkertaisia värähtelijöitä (1) Yksinkertaisia värähtelijöitä (2) Seuraavat esimerkit ovat yksinkertaisia harmonisia värähtelijöitä (massa-jousi yhdistelmän lisäksi) 1. Heiluri (pieni kulma) massa langan päässä x<<l, g: maan vetovoima taajuus f ei riipu massasta 2. Ilmajousi m-massainen mäntä liikkuu vapaasti sylinterissä, jonka ala on A ja pituus l p on paine, γ on ilmalle 1.4 värähtelytaajuus: f 1 = 2π γ pa ml 1 g f =, x << l 2π l 3. Helmholzin resonaattori kaulassa oleva ilma toimii massana tilassa oleva ilma toimii jousena värähtelyn taajuus v f = 2π a Vl missä a on kaulan ala, l sen pituus, V on resonaattorin tilavuus, ja v on äänen nopeus (v 340 m/s) intuition vastaisesti kaulan kaventaminen madaltaa ääntä esimerkkejä Helmholzin resonaattoreista tyhjän pullon suuhun puhaltaminen kaiuttimien bassorefleksiputki (kuva) kitaran kopan ääniaukko, viulun f-aukko
2.4 Kahden tai kolmen massan värähtelijät Akustiikka 9 Kahden tai kolmen massan värähtelijät (2) Akustiikka 10 Edellä esitetyissä järjestelmissä yksi koordinaatti riitti liikeen kuvaamiseen vain yksi vapausaste Seuraavassa tarkastellaan järjestelmiä, joilla on kaksi tai kolme vapausastetta tällöin myös värähtelymoodeja on enemmän kuin yksi kullakin moodilla on tyypillisesti oma värähtelytaajuutensa Kuva: kahden massan ja kolmen jousen järjestelmä kaksi moodia: massojen (a) samansuuntainen liike f a = ( 1 2π ) (b) erisuuntainen liike K f b = ( 1 2π ) 3K m m moodit toisistaan riippumattomia todellisessa tilanteessa liike on yleensä moodien yhdistelmä on vaikeaa saada järjestelmä värähtelemään vain yhdessä normaalimoodissa Kuva: esitetyllä kahden massan järjestelmällä on kaksi poikittaista värähtelymoodia pitkittäisten lisäksi värähtely tapahtuu kohtisuorassa suunnassa jouseen nähden poikittainen värähtely: esimerkiksi rummun kalvo pitkittäinen värähtely: esimerkiksi ilmapatsas puhallinsoittimessa Kuva: lisäämällä järjestelmään kolmas massa myös moodien määrä lisääntyy yhdellä: kolme pitkittäistä ja poikittaista värähtelymoodia 2.5 Usean värähtelymoodin järjestelmät Akustiikka 11 2.6 Värähtely soittimissa (1) Akustiikka 12 Kuva: yleisessä tapauksessa järjestelmällä, jossa on N massaa, on N pitkittäistä ja N poikittaista värähtelymoodia moodeja on 2N, mutta taajuuksia vain N, sillä pitkittäisen ja poikittaisen värähtelyn taajuus on sama Lisää massoja Æ aaltomaisuus värähtelyssä tulee esiin värähtelevää kieltä voidaan ajatella massa-jousi järjestelmänä, missä N on hyvin suuri Soittimissa ääni syntyy usein kahden värähtelijän yhteistoiminnassa pianon kielet ja kaikupohja, kitaran kielet ja kaikukoppa klarinetin kieli ja ilmapatsas 1. Värähtelevä kieli voidaan ajatella massa-jousi järjestelmänä: kielen massa ja elastisuus useita värähtelymoodeja, jotka tyypillisesti ovat melko tarkasti kokonaislukumonikertoja perustaajuudesta harmonisia moodeja (ks. edellisen sivun kuvan alin rivi) 2. Värähtelevä kalvo voidaan ajatella kaksiulotteisena kielenä kuva: esimerkinomaiset neljä eri värähtelymoodia
Akustiikka 13 Akustiikka 14 Värähtely soittimissa (2) Värähtely soittimissa (3) 3. Värähtelevä palkki esim. marimba, xylofoni, kellopeli palkin jäykkyys palautusvoimana; päät voivat olla vapaat tai kiinnitetyt värähtelymoodit eivät ole harmonisia, vaan taajuudet esim. kellopelissä: 1 : 2.76 : 5.40 : 8.93:... (harmoninen olisi 1:2:3:...) 4. Värähtelevä lautanen kuten värähtelevässä palkissakin, lautasen oma jäykkyys toimii palautusvoimana (vrt. ero pingotettuun rummun kalvoon) 5. Äänirauta käytetään referenssitaajuuden tuottamiseen kuva: kaksi moodia, joista pääasiallinen on matalampi ja selvempi (vasen kuva) värähtely liikuttaa kahvaa ylös-alas voidaan painaa esim. pöytälevyä vasten äänen vahvistamiseksi 6. Värähtelevä ilmapatsas putkessa esim. urkupilli, trumpetti verrattavissa värähtelevään kieleen paljon värähtelymoodeja 2.7 Värähtelyn spektri Akustiikka 15 3 Aallot Akustiikka 16 Kun värähtelyjärjestelmälle annetaan heräte, se yleensä värähtelee useissa eri moodeissa yhtä aikaa kullakin moodilla on tietty värähtelytaajuus ja amplitudi värähtelyn spektri Kuva: näpätyn kielen spektri esim. soittimen mooditaajuudet voidaan selvittää tallentamalla sen ääntä ja tutkimalla sitten äänen Fourier-muunnosta Aallot kuljettavat energiaa väliaineen avulla siten, että itse väliaine ei siirry Ääniaaltojen tapauksessa väliaine on useimmiten ilma Aallot voivat heijastua, taittua ja taipua Aallot voivat olla joko poikittaisia tai pitkittäisiä Äänen nopeus ilmassa 340 m/s (20 ºC) vrt. valon nopeus 3 10 8 m/s
3.1 Etenevä aaltoliike Akustiikka 17 3.2 Aaltoliikkeen yleisiä ilmiöitä Akustiikka 18 Väliaineen muodostama lineaarisesti kimmoinen systeemi mahdollistaa herätesignaalin etenemisen aaltoliikkeenä Etenevälle aaltoliikkeelle v = fλ missä f on taajuus, λ on aallonpituus, ja v on nopeus kuva: aalto etenee köydessä Poikittaisten aaltojen nopeus kielessä on v = T µ missä T on kielen jännitys, ja µ massa per yksikköpituus nopeus (ja taajuus) pienenee vähentämällä jännitystä, tai lisäämällä kielen massaa Kuva: heijastuminen heijastuksen voidaan ajatella tulevan kuvitteellisesta lähteestä, joka sijaitsee todellisen lähteen peilikuvana Kuva: lineaarinen superpositio aallot voivat kulkea toistensa läpi muuttamatta ominaisuuksiaan Seisova aaltoliike syntyy esim. jännitettyyn kieleen kielessä kulkeva aalto heijastuu kummistakin päistä siten, että eri suuntiin kulkevien aaltojen summa näyttää pysyvän paikallaan kielessä voi nähdä solmukohtia ja kupuja 3.3 Ääniaallot Akustiikka 19 3.4 Moniulotteinen eteneminen Akustiikka 20 Ääniaallot ovat pitkittäisiä aaltoja, jotka etenevät kiinteässä aineessa, nesteessä tai kaasussa etenemisnopeus hitain kaasuissa kuulo toimii myös veden alla, joskin aaltojen nopeusmuutoksen takia äänen tulosuuntaa ei kykene arvioimaan lainkaan Kuva: paineimpulssin heijastuminen putkessa (a) lähetetty positiivinen paineimpulssi (b) heijastus avoimesta päästä (negatiivisena) (c) heijastus suljetusta päästä positiivisena (d) absorboituminen (ei heijastusta) Useimmiten ääniaallot etenevät kaksi- tai kolmiulotteisesti Geometrialtaan eri tyyppiset lähteet säteilevät ääntä ympärilleen eri tavoilla pistemäinen lähde säteilee pallosymmetrisesti (vasen kuva) viivamainen lähde sylinterisymmetrisesti (oikea kuva) laaja tasainen lähde säteilee tasoaaltoja todellisuudessa lähteen geometria vain aproksimoi jotain näistä
3.5 Doppler-efekti Akustiikka 21 3.6 Heijastuminen (reflection) Akustiikka 22 Normaalisti havaitsijalle saapuvan aallon taajuus on sama kuin lähteen värähtelytaajuus Tilanne muuttuu, mikäli lähde tai havainnoija on liikkeessä havaitsija kohtaa aaltoja tiuhempaan liikkuessaan aaltorintamaa kohti liike toisiaan kohti: havaittu taajuus nousee liike poispäin: havaittu taajuus laskee = Doppler-efekti Ääniaaltojen heijastumista on helppo kokeilla läpsäyttämällä käsiään etäällä isosta seinästä Kuva: heijastuneet aallot tuntuvat tulevan kuvitteellisesta lähteestä heijastavan pinnan takaa 3.7 Taipuminen (refraction) Akustiikka 23 3.8 Diffraktio Akustiikka 24 Taipumista tapahtuu, kun aaltojen kulkunopeus muuttuu aaltojen kulkusuunta muuttuu Kuva: kulkunopeuden muuttuminen jyrkästi kahden väliaineen rajalla Kulkunopeus voi muuttua asteittain vasen kuva: ylhäällä lämpimämpää ilmaa oikea kuva: tuuli ei puhalla ääntä takaisin (tuulen nopeus ääneen nähden pieni), vaan koska tuulen nopeuden ollessa ylhäällä suurempi ääni pyrkii taipumaan taivaalle Ääniaallot pyrkivät taipumaan kohtaamansa esteen taakse Kuvat: vasemmalla: ääni kääntyy meluaidan taakse (ks. nuolet) oikealla: pienen aukon läpi kulkevien ääniaaltojen diffraktio syntyy ikäänkuin uusi pistemäinen äänilähde
3.9 Interferenssi Akustiikka 25 4 Resonanssi Akustiikka 26 Kuva: ääniaaltojen summautuessa lineaarisen superpositioperiaatteen mukaisesti, ne voivat joko vahvistaa tai kumota toisiaan näin voi syntyä seisovia aaltoja, kun aalto interferoi vastakkaiseen suuntaan kulkevan heijastuksensa kanssa esim. huoneessa seisovia aaltoja syntyy seinäheijastusten takia Resonanssin idea riippukeinun avulla: kun keinua lykitään sopivalla taajuudella, sen liikkeen amplitudi vähitellen kasvaa 4.1 Massa-jousi värähtelijän resonanssi kuva: massa-jousi järjestelmä on kiinnitetty kampeen massa-jousi järjestelmän luonnollinen värähtelytaajuus on f 0 kampea pyöritetään taajuudella f, jota muutetaan hitaasti värähtelyn amplitudi A muuttuu, ja saavuttaa arvon A max, kun f = f 0 Graafi: amplitudi A taajuuden f funktiona A max riippuu värähtelijän häviöistä, samoin leveys f, jolle resonanssin Q-arvo määritellään Q = f 0 / f, Q-arvo kuvaa resonanssin terävyyttä (quality factor) A A max jos energiahäviöitä on paljon, A max on pieni ja Q on pieni, ja päinvastoin jos energiahäviöitä on paljon, vapaa värähtely vaimenee nopeasti värähtelijällä, joka menettää energiansa hitaasti, on terävä resonanssi 2 4.2 Seisovat aallot kielessä Akustiikka 27 4.3 Osa-äänes, harmoninen, ylä-äänes Akustiikka 28 Seisova aaltoliike syntyy, kun aalto kulkee kielessä molempiin suuntiin, heijastuen kielen kummastakin päästä Kuva: värähtelevän kielen resonanssitaajuudet matalimman resonanssin aallonpituus λ = 2 x kielen pituus perusmoodin taajuus f 1 = v / 2L korkeammat moodit: f n = n v / 2L = n f 1 missä aallon kulkunopeus v = T µ kuten kohdassa 3.1 on esitetty Kieleen voidaan tuoda energiaa resonanssitaajuudella esimerkiksi soittamalla tietyntaajuista siniä kielen lähellä Värähtelijän, esimerkiksi soittimen, spektristä ja mooditaajuuksista puhuttaessa seurat termit auttavat: osa-äänes : mikä tahansa värähtelijän mooditaajuus ylä-äänes : osa-äänes, joka on jokin muu kuin perusmoodi (matalin osa-äänes) harmoninen : mikäli osa-äänekset ovat suurinpiirtein kokonaislukusuhteissa (kuten esimerkiksi värähtelevässä kielessä), sanotaan osa-ääneksiä harmonisiksi perustaajuus f 1 on ensimmäinen harmoninen esim. värähtelevässä kielessä kielen oma jäykkyys siirtää mooditaajuuksia hieman ideaalisista kokonaislukusuhteista syrjään, mutta virhe on ohuessa kielessä (soittimet) pieni Osa-ääneksien keskinäiset voimakkuussuhteet vaikuttavat merkittävästi äänen väriin osa-äänesten amplitudien ajallinen kehitys on toinen tekijä
4.4 Avoimet ja suljetut putket Akustiikka 29 4.5 Myötävärähtely Akustiikka 30 Positiivisen äänipulssin heijastuminen putken päästä avoimesta päästä heijastuu negatiivisena, suljetusta positiivisena Ihmisen ääniväylää voidaan mallintaa akustisena putkena muodon muuttuessa resonanssitaajuudet, formantit, siirtyvät foneemit Vasen kuva: värähtelymoodit molemmista päistään avoimessa putkessa ovat f n = n f 1, n = 1, 2, 3,... Oikea kuva: värähtelymoodit toisesta päästä suljetussa putkessa ovat f n = n f 1, n = 1, 3, 5,... esiintyy vain parittomia harmonisia Engl. sympathetic vibration Värähtelijän tuottaman äänen voimakkuus on verrannollinen sen liikuttaman ilman määrään kapea värähtelevä kieli liikuttaa hyvin vähän ilmaa, ja siten kieli säteilee vain vähän ääntä rummun kalvo tai kaiuttimen kartio liikuttaa enemmän ilmaa Äänen voimakkutta voidaan kasvattaa kiinnittämällä värähtelijä puulevyyn tai kaikukoppaan värähtelijä saa levyn liikkumaan suuren alansa takia levyn myötävärähtely vahvistaa värähtelijän ääntä, vaikka sen resonanssitaajuus ei olisikaan tarkalleen oikea Kielisoittimien toiminta perustuu puisen kaikukopan myötävärähtelyyn kaikukopan resonanssitaajuudet pitkälti määräävät soittimen äänenvärin 5 Huoneakustiikka 5.1 Äänen eteneminen ulkona ja sisällä Vapaa kenttä -termi Akustiikka 31 lähde on riittävän pieni jotta sitä voidaan pitää pistemäisenä lähde on ulkona ja kaukana heijastavista kohteista ääniaallot etenevät pallomaisesti joka suuntaan, äänenpaine 1/r 2 vapaa kenttä esiintyy sisätiloissa vain kaiuttomassa huoneessa Sisällä ääniaallot kohtaavat nopeasti seinät yms. esteitä kuvat: esteet heijastavat ja absorboivat ääntä tavoilla jotka määrittelevät huoneen akustiset ominaisuudet 5.2 Suora ääni, varhaiset heijastukset ja jälkikaiunta Akustiikka 32 Auditoriossa suora ääni saavuttaa kuulijan 20-200 ms:ssa riippuu luonnollisesti lähteen ja kuulijan etäisyydestä Hetkeä myöhemmin sama ääni saavuttaa kuulijan erilaisten heijastavien pintojen kautta (seinät, katto) näitä kutsutaan varhaisiksi heijastuksiksi aikaero suoraan saapuneeseen ääneen yleensä < 50 ms Viimeistä heijastusten ryhmää kutsutaan jälkikaiunnaksi heijastukset monen pinnan kautta heikompia, paljon heijastuksia ajallisesti lähellä toisiaan kun ääni katkeaa, jälkikaiunta vaimenee noin eksponentiaalisesti (db-taso noudattaa laskevaa suoraa ajan funktiona)
Suora ääni, heijastukset, jälkikaiunta (2) Akustiikka 33 5.3 Presedenssi-ilmiö (Haasin ilmiö) Akustiikka 34 Kuva: suora ääni (direct sound) varhaiset heijastukset (early reflections) jälkikaiunta (reverberation) Äänilähteet säteilevät ääntä usein melko tasaisesti joka suuntaan Kuulojärjestelmällä on kyky määrittää äänen tulosuunta, huolimatta eri suunnista seinien yms. kautta tulevista heijastuksista Presedenssi-ilmiö varhaisia heijastuksia ei kuulla erillisinä ääninä varhaiset heijastukset vahvistavat suoraa ääntä, mutta korva tulkitsee tulosuunnan ensimmäisen aaltorintaman mukaan Presedenssi-ilmiö toimii mikäli 1. varhaiset heijastukset saapuvat alle 35 ms suoran äänen jälkeen 2. heijastukset spektri muistuttaa riittävästi suoran äänen spektriä 3. heijastukset eivät ole liian paljon äänekkäämpiä kuin suora ääni Konserttisali koetaan intiimiksi, mikäli aikaero suoran äänen ja ensimmäisen heijastuksen välillä on alle 20 ms pitkänomaiset, kenkälaatikkomaiset konserttisalit ovat hyviä 5.4 Jälkikaiunta-aika Akustiikka 35 Jälkikaiunta-aika Akustiikka 36 Jälkikaiunta-aika on tutuimpia konserttisalien määreitä jälkikaiunnan koko monimutkaisuus ei silti puristu yhteen lukuun Jälkikaiunta-aika keskitaajuuksilla ( 500 Hz) antaa hyvän ensiarvauksen salin eloisuudesta jälkikaiunta myös lisää kuuluvuutta liika jälkikaiunta vie selkeyden: mikäli suora ääni ei ole riittävästi voimakkaampi kuin jälkikaiunta, tarvitaan äänentoistoa Kuva: jälkikaiunnan tutkiminen ääni päälle ajaksi T, sitten pois äänitetään toisessa kohti salia äänekkyys kasvaa aluksi portaittain, kun heijastukset vahvistavat Jälkikaiunta-aikaa merkitään yleensä T 60 aika jossa äänen taso laskee 60 db maksimistaan kuva: äänen taso laskee suurinpiirten eksponentiaalisesti, eli db taso noudattelee laskevaa suoraa ajan funktiona p [lin.] L p [db]
Jälkikaiunta-ajan laskeminen Akustiikka 37 5.5 Ilman absorptio Akustiikka 38 Jälkikaiunta-ajan voi luonnollisesti määrittää mittaamalla tuotetaan heräte ja tutkitaan sen vaimenemista Jälkikaiunta-aikaa voidaan myös arvioida kaavalla V T 60 = (0.161 s / m) A missä V on huoneen tilavuus (m 3 ) ja A on absorboivien pintojen ala (m 2 ) Absorptioala voidaan laskea summaamalla osapinnat A = S a + S a +... + S a 1 1 2 2 n n missä S n on pinnan n absorptiokerroin 0 < S n < 1 avoimen ikkunan absoptiokerroin on 1, maalatun betoniseinän 0.1 Huonekalujen absorptioalan unohtaminen tuottaa epärealistisen pitkiä jälkikaiunta-aikoja myös ihmiset absorpoivat ääntä tehokkaasti, yleisössä yksi ihminen vastaa noin 0.2 0.6 m 2 absorptioalaa Isossa konserttisalissa ilma vaikuttaa korkeiden taajuuksien (f > 2 khz) absorboitumiseen riippuu lämpötilasta ja ilmankosteudesta Edellä esitettyyn kaavaan voidaan lisätä termi mv m riippuu äänen taajuudesta, sekä ilman lämpötilasta ja kosteudesta, arvo on korkeille taajuuksille on luokkaa 0.01 0.15, matalille nolla T 60 V = (0.161 s / m) A + mv 5.6 Hyvän akustiikan kriteereitä Akustiikka 39 Hyvän akustiikan kriteereitä Akustiikka 40 Sopiva jälkikaiunta-aika on kompromissi selkeys edellyttää lyhyttä jälkikaiunta-aikaa äänen kuuluvuus ja eloisuus edellyttävät pitkää jälkikaiunta-aikaa room volume, Kuva: sopiva jälkikaiunta-aika riippuu salin koosta ja käyttötarkoituksesta puhe-audiotoriolle lyhyempi kuin konserttisalille Hyvän akustiikan tekijöitä ovat mm. [Beranek 1962] Intiimiys: tila kuulostaa pieneltä. Suoran äänen ja ensimmäisen heijastuksen välinen aikaero pitäisi olla vähemmän kuin 20 ms Eloisuus: riippuu ensisijaisesti jälkikaiunta-ajasta keski- ja korkeilla taajuuksilla. Liian kaiuton sali on kuiva. Lämpimyys: suhteessa matalien äänten täyteläisyyteen. Jälkikaiunta-ajan alle 250 Hz äänille pitäisi olla pitempi kuin muille. Suoran äänen äänekkyys: kuulija ei saa olla liian kaukana äänilähteestä. Muussa tapauksessa vahvistus on tarpeen. Selkeys: suoran äänen ja varhaisten heijastusten taso pitää olla joka paikassa salia suurempi kuin jälkikaiunnan taso. Yhdenmukaisuus: äänen taso ja jälkikaiunta jakautuu tasaisesti. Sekoittuminen: esiintymislava on suunniteltu siten, että esiintyjien äänet sekoittuvat hyvin. Esim. matala ja epäsäännöllinen katto. Yhteissoitto: esiintyjät kuulevat toisensa. Seinät lavan reunoilla. Meluttomuus: taustamelua mahdollisimman vähän.
5.7 Konserttisaliesimerkkejä Akustiikka 41 Jälkikaiunta-aikoja (RT) annettu eri taajuuksille Aika t 1 on suoran äänen ja 1. heijastuksen välinen aikaero