2/2018 MATEMAATTIS-LUONNONTIETEELLINEN AIKAKAUSLEHTI 82. VUOSIKERTA IRTONUMERO 15

2/2018 MATEMAATTIS-LUONNONTIETEELLINEN AIKAKAUSLEHTI 82. VUOSIKERTA IRTONUMERO 15

Matemaattisluonnontieteellinen aikakauslehti 82. vuosikerta JULKAISIJA Matemaattisten Aineiden Opettajien Liitto MAOL ry Rautatieläisenkatu 6, 00520 Hki PÄÄTOIMITTAJA Kaisa Vähähyyppä, puh. 050 584 8416 kaisa.vahahyyppa@maol.fi VASTAAVA PÄÄTOIMITTAJA Leena Mannila, puh. 0400 187 827 leena.mannila@maol.fi TOIMITUSSIHTEERI, puh. dimensio@maol.fi PAINO Forssa Print ISSN 0782-6648, ISO 9002 TILAUKSET JA OSOITTEENMUUTOKSET maol-toimisto@maol.fi puh. 010 322 3160 TILAUSHINTA Vuosikerta 80, irtonumero 15, ilmestyy 6 numeroa vuodessa TOIMITUSKUNTA Kaisa Vähähyyppä (pj.), Peter Ahlroos, Marianna Jokila, Kai-Verneri Kaksonen, Pasi Ketolainen, Jari Koivisto, Pasi Konttinen, Hannu Korhonen, Lauri Kurvonen, Kati Kyllönen, Jarkko Lampiselkä, Leena Mannila, Maija Rukajärvi-Saarela, Jenni Räsänen, Marika Suutarinen, Thomas Vikberg, Anastasia Vlasova ja Jarkko Narvanne (siht.) NEUVOTTELUKUNTA prof. Maija Ahtee prof. Maija Aksela lehtori Irma Iho joht. Riitta Juvonen prof. Kaarle Kurki-Suonio prof. Aatos Lahtinen prof. Jari Lavonen prof. Olli Martio rehtori Jukka O. Mattila prof. Jorma Merikoski op.neuvos Marja Montonen prof. Juha Oikkonen prof. Erkki Pehkonen prof. Heimo Saarikko prof. Esko Valtaoja Tykkää MAOLista Facebook sivut Twitter @maolsuomi Instagram @maolsuomi Keskusteluryhmä Facebookissa MAOL jäsenille MAOL ry HALLITUS Puhelin Puheenjohtaja Leena Mannila 040 018 7827 I varapuheenjohtaja, talous Jouni Björkman 040 830 2352 II varapuheenjohtaja, koulutus Kati Parmanen 040 534 1438 III varapuheenjohtaja, tiedotus Marja Tamm 040 545 2927 Opettajaksi opiskelevien yhteyshenkilö Mika Antola 050 367 3421 Fysiikka ja kemia Katri Halkka 040 770 4482 Matematiikka ja tietotekniikka Tuula Havonen 040 768 2204 Edunvalvonta Teemu Hiltula 050 304 8619 Oppilas- ja kerhotoiminta Tarja Ihalin 040 842 7918 Digipalvelut ja edunvalvonta Timo Järvenpää 040 746 9110 Ammatillinen kouluyhteistyö Jorma Kärkkäinen 050 512 2375 Ruotsinkieliset palvelut Jan-Anders Salenius 040 514 5521 TOIMISTO maol-toimisto@maol.fi Puhelin Kehitysjohtaja Kaisa Vähähyyppä 050 584 8416 Koulutus- ja tiedotusassistentti Päivi Hyttinen 010 322 3161 DIMENSION TOIMITUS dimensio@maol.fi Puhelin Toimitussihteeri, dimensio@maol.fi Sähköpostiosoitteet ovat muotoa etunimi.sukunimi@maol.fi Rautatieläisenkatu 6, 00520 Hki p. 010 322 3160 maol-toimisto@maol.fi www.maol.fi MFKA-Kustannus Oy HALLITUS Puhelin Puheenjohtaja Eeva Toppari 050 557 9878 Varapuheenjohtaja, kustannustoiminta Marja Tamm 040 545 2927 Koepalvelun kehittäminen, lukio Mika Setälä, mika.setala@lempaala.fi 050 359 7297 Koepalvelun kehittäminen, peruskoulu Tarja Ihalin 040 842 7918 Digitaalisten palveluiden kehittäminen Leena Hiltunen, leena.r.k.hiltunen@jyu.fi 040 805 3262 Digitaalisten palveluiden kehittäminen Mika Antola 045 678 3413 TOIMISTO mfka@mfka.fi Puhelin Pedagoginen erityisasiantuntija Oili Leinonen 050 421 1336 Toimistoassistentti Alli Hatva 050 339 6487 Rautatieläisenkatu 6, 00520 Hki p. 010 322 3162 mfka@mfka.fi

Sisältö 5 Pääkirjoitus Kaisa Vähähyyppä 6 MAOL:n hallitus vuonna 2018 8 Vaihdantalakikeskustelu Sari Yrjänäinen ja Hannu Korhonen 14 Kohtaamisia Matikkamaassa 2 Hannu Korhonen, Anniina Hakkarainen, Rita Järvinen ja Anni Lampinen 19 Luovuus, koulu ja matematiikka Hannu Korhonen 24 Arvioinnin kivijalat yleissivistävässä koulutuksessa Mitä, miten, milloin ja miksi? Najat Ouakrim-Soivio 27 Teknologiateollisuus tutuksi Roosa Päivärinta 8e, Seidi Ruokonen 8f sekä Antti Iivari 28 Neljän tieteen kisat 36 Mitä ohjelmointikilpailuissa tehdään? Antti Laaksonen 38 Digitaalinen 4f Vihko tukee matemaattisen sisällön tuottamista Tuomas Hentunen ja Petri Salmela 42 Monta reittiä maaliin Matti Lattu ja Thomas Vikberg 45 Lukion kemian kansallisen opetussuunnitelman kehittyminen Suomen itsenäisyyden aikana Juhani Vaskuri 50 Matematiikan osaamisen kasvava merkitys vakuutus- ja finanssisektorilla Jukka Lempa 52 Matematik en förunderlig resa Matematikbiennalen i Karlstad 2018 Jan-Anders Salenius 55 Animaatioita sähköisiin kokeisiin, taulukolla geometriaa Hannu Mäkiö 57 Matematiikan ylioppilastehtävä 1927:6 Hannu Korhonen 58 Hattulan silloilta Jukka O. Mattila 59 Kirjallisuutta: Suppeaa suhteellisuusteoriaa alusta alkaen 60 Vuoden opettaja Kalle Vähä-Heikkilä 65 Matematiikan pulmasivu 66 Fysiikan pulmasivu 67 Kemian pulmasivu Bridge, pier, water and sunrise Dimensio 2/2018 3

Pääkirjoitus Kaiken takana on muutos Fysiikan professori ja tietokirjailija Michio Kaku on kehottanut tekemään listan kaikista niistä asioista, jotka ovat mahdottomia ja pohtimaan ovatko ne mahdottomia vielä tuhannen vuoden päästä. Lähes kaikki nykyteknologia olisi ollut mahdotonta tuhat vuotta sitten. Muutos on tullut jäädäkseen ja sen nopeus kiihtyy. Vastaamme tulee jatkuvasti isoja asioita, megatrendeiksi kutsuttuja kuten ilmastonmuutos, kaupungistuminen, robotisaatio, syrjäytyminen vain muutamia mainitakseni. Näiden ratkaiseminen vaatii valtavasti eri tahojen yhteistyötä ja pohdintaa globaalisti. Varsin monen ongelman ratkaisuun tarvitaan myös teknologiaa, mutta enemmän kuitenkin asenteiden muuttumista. Koulutuksella on näissäkin asioissa valtava merkitys. Koulutus, opiskelu, oppiminen tuovat tietoa ja ymmärrystä ongelmasta ja mahdollisista ratkaisuista. Laajan yleissivistyksen merkitystä ei voi koskaan liikaa korostaa. Me elämme muuttuvassa maailmassa. Ulkopuolelle on vaikea jäädä, koska maailma ympärillä muuttuu haluamme tai emme. Se tarkoittaa toimintatapojen muutosta kaikkialla, yrityksissä, julkisella sektorilla ja järjestöissä ja muutos lähtee meistä jokaisesta. Oman jaksamisen kannalta parasta on yrittää löytää isoista tai pienistä muutoksista positiivisia asioita. Megatrendit ovet olemassa kouluissakin taustalla, vaikka kouluissa muutos näkyy erilaisena, lähinnä konkreettisina rakennemuutossuunnitelmina. Koululaitos varhaiskasvatuksesta korkeakouluun, on ollut viime vuodet melkoisessa muutoksen myllerryksessä. Ammatillisen koulutuksen reformi on otettu käyttöön, varhaiskasvatuslaki, lukiolaki ja laki ylioppilastutkinnon järjestämisestä ovat lausuntokierroksella. MAOL teki oman lausuntonsa kahteen jälkimmäiseen lakiesitykseen. Ilahduttavaa oli, että joitakin hyviä kommentteja asiaan tuli suoraan jäsenistöltä. Kiitos niistä. Sitähän emme tiedä, vaikuttavatko lausunnot mihinkään, mutta koskaan ei saa luopua toivosta, että päättäjät kuuntelisivat. Edes tämän kerran. Esityksissä on monia asioita, jotka koskettavat kaikkia kouluissa työskenteleviä. Heijastusvaikutukset sekä varhaiskasvatuksen että lukion puolelta siirtyvät nopeasti myös peruskouluunkin, joten siellä kannattaa olla hereillä. Mietitäänpä lukiota. Vaikuttaako kurssien muuttuminen opintopisteiksi sisältöihin tai opintojen organisointiin? Muuttuuko opetussuunnitelma? Miten pidetään huolta tasaarvosta, kun lukioille tulee velvoite tarjota kursseja yhteistyössä korkeakoulun kanssa? Lähellä korkeakouluja sijaitsevalle lukiolle asia on jo tuttua, mutta miten haja-asutusalueella sijaitsevat lukiot hoitavat nämä opinnot. Verkossa varmaankin, mutta miten käy fysiikan ja kemian kivijalan, kokeellisuuden? Ylioppilastutkinnon rajattomasta uusimismahdollisuudesta lehdistö onkin saanut isoja otsikoita. Nyt on mahdollista uusia hyväksyttyä koetta yhden kerran, esityksessä ehdotetaan ääretöntä määrää, jos tutkinto on valmis. Hämmentävää ajatella, etteikö ykkösen ja äärettömän välillä olisi ollut muitakin lukuja valittavaksi. Lakiesityksessä on monia muitakin kysymyksiä herättäviä kohtia, joihin MAOL pyrkii vaikuttamaan jäsenistönsä eduksi lausunnossaan ja myös lausuntokierroksen jälkeen. Laki tullee jossakin muodossa voimaan suunnitellusti, mutta ensi vuonna on taas uusi hallitus ja uusia ideoita. Intoa ja jaksamista muutosten keskellä. KAISA VÄHÄHYYPPÄ MAOL:n kehitysjohtaja Dimensio 2/2018 5

Kohtaamisia Matikkamaassa 2 HANNU KORHONEN, ANNIINA HAKKARAINEN, RITA JÄRVINEN ja ANNI LAMPINEN Opetitpa matematiikkaa millä tasolla tahansa, niin seuraavien tapaiset ideat voisivat tuoda vaihtelua sekä sinun että oppilaittesi arkeen. Ne ovat esimerkkejä siitä, millaista matematiikan opettaminen, oppiminen ja ajattelun kehittyminen voisi olla yleensäkin. Jos niiden suuntainen toiminta kuuluu jokapäiväisiin rutiineihisi, niin voit iloita siitä, että olet hyvällä tiellä oppilaiden ymmärryksen tukemisessa. Toimintaa Keskustelu on monesti parasta ajattelun kehittämistä. Ja parasta keskustelun virittämistä ei ole sanallinen kuvailu tai oppikirjan kuvien katselu, vaan konkreettisesta toiminnasta nousevat omat havainnot ja tuntemukset, varsinkin alakoulussa. Luokan lattialle on piirretty sisäkkäin kolme suurta ympyrää aivan kuin tikkataulussa, kullekin ryhmälle omat ympyränsä. Keskimmäisessä ympyrässä on merkintä y eli ykkönen, keskimmäisessä ko eli kymmenesosa ja ulommaisessa so eli sadasosa. Oppilaat pelaavat joukkueittain, jokainen joukkue saa viisitoista hernepussia, jotka ryhmän jäsenet vuorotellen heittävät pelialustalle. Kun kaikki hernepussit on heitetty, on aika koota tuloksista luku. Ryhmä on heittänyt 1 hernepussin ykkösiin, 12 hernepussia kymmenes osiin ja 2 sadasosiin. Meillä on yksi ykkönen, 12 kymmenesosaa ja 2 sadasosaa, toteaa joku oppilaista. Oppilaat kiiruhtavat pöydän ääreen rakentamaan lukunsa alustalle. Jokin näyttää oudolta: voiko kymmenes osien kohdalle kirjoittaa kaksi numeroa? Hetken rakennelmaansa katseltuaan eräs oppilaista ehdottaa, että vaihdetaan 10 kymmenesosaa yhdeksi ykköseksi. Oppilaat tekevät työtä käskettyä ja nyt luku on helppo lukea alustalta: kaksi kokonaista, kaksi kymmenesosaa ja kaksi sadasosaa. Eikun sehän piti lukea tuon viimeisen yksikön kohdalta eli se on kaksi kokonaista, kaksikymmentäkaksi sadasosaa, korjaa oppilas. Jokainen ryhmän jäsen kirjoittaa luvun vihkoonsa ja seuraavaksi ryhmä kiiruhtaa luokan lattialle levitetyn lukusuoran luokse ja merkitsee lukunsa lukusuoralle ennen uuden heittokierroksen aloittamista. Kuva 1. Desimaalilukuja muodostetaan heittelemällä hernepusseja maaliympyrään. 14 Dimensio 2/2018

Pelin päätteeksi pyydän jokaista ryhmän jäsentä järjestämään omaan vihkoonsa ryhmän rakentamat luvut pienimmästä suurimpaan. Liikkuminen vahvistaa oppimista ja muistia, mikä siis parempi tapa kerrata opittua kuin reipas liikunta. Mukana ulkona meillä on pakka kortteja, joihin oli merkitty desimaalilukuja. Oppilaat asettuvat leikkialueen päätyyn, jokaisella yksi desimaalilukukortti kädessään. Opettaja huutaa kentän keskeltä: Kaikki luvut liikkeelle, joissa on ei ole yhtään sadasosaa. Silloin kaikki oppilaat, joiden luvuissa ei ole sadasosia, kävelevät kentän toiseen päähän. Muut joutuvat juoksemaan toiseen päähän yrittäen väistää heitä kiinniottavaa opettajaa. Kiinnijääneet määrittelevät seuraavan ehdon, jolla ansaitsee vapaamatkan pelialueen toiseen päähän. Muutamat oppilaat näyttävät saavan pelissä useamman kerran vapaan matkan pelialueen toiselle puolelle. Peli jatkuu ja päättyy vasta, kun kaikki on saatu kiinni. Pelin lopussa herää oppilailla kysymys: Mikä luku Adamin kortissa on? Onko kaverin kortti parempi kuin oma? Seuraavan kierroksen alkaessa oppilaat vaihtavat korttia ja nyt ei kelpaa enää pussista nostettu, vaan jokainen yrittää valikoida itselleen sen parhaan luvun. Onko tässä leikissä kuitenkin kyse myös tuurista? Kymmenkertaistamista Nolla perään. Niin mun oppikirjassa lukee ja niin opekin sanoo, toteaa erityisopetukseen tullut kuudennen luokan oppilas, kun kysyn, mitä tarkoittaa kymmenkertaistaminen eli kymmenellä kertominen. Luokassa opiskellaan parhaillaan prosenttilaskua, koekin olisi seuraavalla viikolla. Opettajana mietin, tästä on pitkä matka siihen, että oppilas ymmärtää ja osaa jakaa luvun sadalla ja tietää, että samalla saadaan sadasosa annetusta luvusta. Sitten voitaisiin päästä prosentin käsitteeseen ja soveltamiseen. Ensin pitää ymmärtää moninkertaistamisen ja osanottamisen yhteys, kymmenkertainen kymmenesosa, satakertainen sadasosa. Yhteys ei taida olla esillä edes oppilaan kirjassa. Onkohan näistä ollut puhetta tunneilla, onko asiaa kokeiltu millään toimintamateriaalilla. Sivuutan nuo ajatukset nopeasti ja aloitan luvun kymmenkertaistamisesta. Tiedän, ettei tästä ole kokeeseen pika-apua. Toivon kuitenkin, että pystyn auttamaan oppilaan taitojen kehittymistä sieltä, mitä oppilas jo osaa. Lopulta se prosenttilaskukin onnistuu, jos vain maltetaan edetä rauhassa. Ainakin ehdin ennen kesälomaa johdatella lopulta prosentin käsitteeseen, jos ei muuta. Oikotietä ymmärtävään oppimiseen ei ole. Jaa, tätä sääntöä pitää kokeilla. Miten lasket kymmenen kertaa 1 3? 10 1 1 0 3 3 Ei tainnut toimia, entä 10 0,24? 10 0,24 = 0,240 Eipä osunut kohdalleen tässäkään? Mitä tiedät kertolaskusta? Osaatko antaa esimerkin? Keskustelu jatkuu tähän tyyliin. Opettaja esittää johdattelevia kysymyksiä, antaa toimintavälineitä oppilaan käyttöön ajattelun näkyväksi tekemiseksi. Oppilas kertoo ja havainnollistaa. Jos menee oikein, jatketaan. Jos ei onnistu, palataan taaksepäin. Opettajan tehtävä on löytää kestävä pohja ja tarjota oppilaalle mahdollisuus ymmärtää ja oppia uusia asioita osaamansa päälle. Kuva 2. Kolmasosa kerrotaan kymmenellä niin, että otetaan kymmenen kolmasosakakkua. Kun ne yhdistetään, niin saadaan kolme kokonaista ja yksi kolmasosa. Murtolukujen kymmenkertaistamiseen kymmenjärjestelmävälineet eivät sovi. Otetaan esille murtokakut. Jos yhden kolmasosan kertoo kymmenellä, kolmasosia saadaan 10, ihan samaan tapaan, kun muillakin luvuilla, kun niitä kerrotaan kymmenellä. Kokonais- ja desimaalilukujen kymmenkertaistamisessa oppilas rakentaa lukuja ja niiden kymmenkertaistuksia kymmenjärjestelmävälineillä paikkapohjalle. Mielenkiinnon ylläpitämiseksi oppilas saa arpoa lukuja nopilla. Paikkapohjan yläosaan rakennetaan luku, joka kymmenkertaistetaan alapuolelle. Esimerkkejä tarvitaan useita ennen kuin oppilas osaa yleistää. Edetään yksikertaisista kohti monimutkaisempia lukuja. Oppilas tekee ja havainnoi, opettaja johdattelee ajattelua ja antaa oppilaalle varovaisesti käyttökelpoista kieltä ja oikeita sanoja. Dimensio 2/2018 15

Pilkku ei siirry paikkapohjalla, se pysyy koko ajan kokonaisten ja desimaaliosien välissä. Sen tehtävä on erottaa nämä kaksi toisistaan. Mutta kun rakennetaan kymmenkertaistuksia, niin alapuolelle tuleva lukumalli on aina siirtynyt yhden askeleen suurempaan päin eli vasemmalle. Ykkösistä tulee kymmeniä, kymmenistä satoja, sadasosista kymmenesosia ja niin edelleen. Kirjoitettaessa näistä laskuja opetellaan merkitsemään yksiköt luvun yläpuolelle ja tehdään sama siirto kymmenkertaisen päälle: sadasosista tulee kymmenesosia, kymmenesosista ykkösiä ja niin edelleen. Pilkku lisätään erottamaan kokonaiset ja desimaaliosat toisistaan. Tapaamisia tarvitaan pari, jotta asia tulee ymmärretyksi ja se siirtyy muistiin ja muuntuu lopulta myös taidoksi. Vähitellen oppilaan mieleen syntyy välineistä mielikuvia, jotka voi palauttaa muistista tarvittaessa. Tässäkin tarvitaan opettajan tukea. Välineitä ei enää tarvitse ottaa esille laskuja laskettaessa. Mielikuvat ja apumerkinnät auttavat. Myös piirroksista tai taulukoinnista voi olla apua. Kymmenkertaistamisesta siirrytään käänteiseen laskutoimitukseen, kymmenesosan ottamiseen jakamalla kymmenellä. Kokeillaan ja tutkitaan tätä kymmenjärjestelmävälineillä. Etsitään kerto- ja jakolaskun välistä yhteyttä. Kun oivallus on tapahtunut, siirrytään satakertaiseen ja sadasosaan. Nyt uutta oivallettavaa on jo aika paljon vähemmän. Ehkäpä päästään nopeasti vieläkin pidemmälle. Palataan lopulta oppilaan kanssa nollan lisäämis- ja pilkunsiirtämissääntöihin. Siltähän tuo kymmenkertaistaminen ja satakertaistaminen näyttävät, kun laskuja lasketaan: nolla tai kaksi nollaa tulee lisää tai pilkku siirtyy vastaavasti oikealle. Oppilaalle on tärkeää tietää, miten ne nollat lisääntyvät ja pilkut hyppelevät, mikä on se perusidea, joihin nämä pienet yksittäiset muistisäännöt sopivat. Jos säännöt unohtuvat tai menevät solmuun, ne on hyvä osata päätellä uudestaan itsekin. Kun oppilas huomaa, että hän on kykenevä oppimaan matematiikkaa, muuttuu usein koko oppilaan olemus. Opetuksen on kohdattava oppilas siellä, missä hän on taitoineen. Nyrkkisääntöjen oppimisen sijaan oppilas on oppinut jotakin matematiikan perusrakenteista. Ryhti nousee, katse kirkastuu, käsitys itsestä kykenevänä oppilaana alkaa palautua. Onnellinen hymykään ei ole silloin kaukana. Kun havaitsen nämä muutokset oppilaan olemuksessa, koen onnistuneeni työssäni. Kuinka paljon parempi tilanne olisi oppilaan kannalta ollutkaan, jos jo luokassa olisi aikanaan näitä sisältöjä opetettu samaan tapaan. Varsinkin, jos oppilas olisi saanut osallistua ennakoivaan tukiopetukseen. Ehkäpä ne muutkin oppilaat olisivat tarvinneet kokemusta siitä, mitä noiden sääntöhokemien takana on. Monikulmioita Pane oppilaat pohtimaan oman matemaattisen ilmaisunsa täsmällisyyttä suullisten ohjeiden antamisen kautta. Toimi niiden mukaan äläkä tee enempää kuin niihin sisältyy. Pelkässä monikulmion piirtämisessä voi jo olla pientä haastetta, sillä vasta täsmällisillä ohjeilla päästään oikeaan tulokseen. Yhdessä pohtiminen toimii myös johdatteluna uuteen käsitteeseen. Tällaisessa pohdinnassa harjoitellaan matemaattista ajattelua ja ilmaisua niin, että oppilaat ovat innostuneena mukana. Ai näinkö? Opettajan ennakkoon suunnittelemat tahalliset väärinymmärrykset ja kummalliset piirrokset koukuttavat pähkäilemään, mitä opettajalle voi sanoa. Kysymykseen mikä on monikulmio, oppilaat vastaavat usein ensimmäisenä siinä on monta kulmaa. Opettaja piirtää taululle useita erisuuruisia kulmia niin, että näkyvissä on joitakin kulmien kylkien leikkauspisteitä (Kuva 3). Kuva 3. Monta kulmaa ei muodosta monikulmiota. 16 Dimensio 2/2018

Ei noin! Ne viivat ei saa mennä päällekkäin! Opettaja kysyy oppilailta kuvioon piirrettyjen viivojen nimen ja piirtää kulmia, joiden kylkien leikkauspisteet eivät ole näkyvissä. Nyt viivat pitää yhdistää! Kylkinä olevat puolisuorat yhdistetään käyrillä viivoilla (Kuva 4). Ei kun piirrä suoria viivoja! huudahdukseen voi jo kysyä Miksi teidän haluamianne suoria viivoja kutsutaan? Mitä pitäisi piirtää, jos puolisuorat tai käyrät viivat eivät kelpaa? Opettaja lisää kuitenkin ensin janoja niin, että kuvioon muodostuu useita monikulmioita. Onko mahdollista saada aikaiseksi yksi monikulmio, jossa on mukana alkuperäiset kulmat? Miten monikulmiota lähdetään piirtämään janoista? Oppilailta kysytään tarkempia ohjeita pelkästään janoista koostuvan viivan piirtämiseen. Janat tulee olla peräkkäin, kiinni toisissaan. Opettaja voi piirtää tarkoituksella itseään leikkaavan avoimen peräkkäisistä janoista koostuvan viivan (Kuva 5). Piirrä vielä yksi jana ja sulje piirretty viiva., oppilaat ohjaavat opettajaa, joka voi vuorostaan kysyy, kuinka monta monikulmiota kuviossa on. Lopulta keskustelussa päädytään siihen, että monikulmion sivut eivät voi leikata toisiaan ja että murtoviivan pitää olla suljettu. Tämän johdattelun jälkeen piirretään monikulmio, väritetään sivujanojen rajaama tasoalue. Kuva 4. Kulmat on yhdistettävä harkitusti, jotta syntyisi monikulmio. Kuva 5. Murtoviivasta monikulmioon. Dimensio 2/2018 17

Matkaa jatketaan perehtymällä monikulmion käsitteistöön ja ominaisuuksiin. Kun oppilaat oppivat sanomaan omia ehdotuksiaan ja pohdintojaan ääneen hyväksyvässä, kannustavassa ilmapiirissä, työtapa edistää parhaimmillaan oppilaiden matemaattisen ajattelua, luovuutta ja innostusta. Joka vuosi tulee vastaan kysymyksiä, joita kukaan oppilas ei ole aikaisemmin kokeneelle opettajalle esittänyt eikä myöskään opettaja itse ole hoksannut pohtia! Oppimisen seurantaa Kuva 6. Päässälaskutehtäväsarja ja tulosten jakauma. Päässälaskemista ei tule harjoitelluksi liikaa laskemisvälineiden aikakaudella. Mekaaninen harjoittelu ei ole motivoivaa. Järjestämiseen pitää saada jokin toiminnallinen elementti. Yksi mahdollisuus on panna oppilaat itse tekemään tehtäviä. Säännölliseksi laskeminen saadaan, jos jokaisen tunnin alussa käydään läpi lyhyt tehtäväsarja. Kukin oppilas tekee vuorollaan viisi päässä laskettavaa tehtävää juuri opituista tai vanhemmistakin asioista ja esittää ne luokalle tunnin alussa. Oppilailla on pieni paperilappunen tai käytetään vastausten kirjoittamiseen vihon rivi. Kun tehtävät on tehty, tehtävientekijä esittää oikeat vastaukset. Joitakin tehtäviä lasketaan vielä tarkemmin, jos yksikin oppilas kysyy perusteluja. Oppilaat laskevat pisteensä x/5. Lopuksi tehdään tuloksesta taulukko ja piirretään histogrammi. Tämäkin on työtapa, jota pitää harjoitella. Aluksi kaikki eivät ehkä haluaisi osallistua, mutta työtavan vakiintuessa innostus kasvaa ja esiintymisvuoroja tavoitellaan. Oppilaille tämä antaa vaihtelevia harjoituksia ja mahdollisuuden arvioida muiden osaamista omaansa nähden. Lisäksi tehtävien tekijä saa tuoda omia ideoitaan näkyviin, pääsee esiintymään sekä oppii seuraamaan muiden tekemisen vauhtia ja säätämään tehtävien esittämistahtia sen mukaan. Tärkein asia tässä on ehkä kuitenkin se, että tehtävien tekeminen ja esittäminen edistää tekijän tietoisuutta omasta ajattelustaan ja ymmärryksestään itsestään aktiivisena tiedon tuottajana. Tätä metakognitiivista tietoa pidetään yhtenä kolmesta ajatteluntaitoja tehokkaasti edistävän oppimistilanteen elementistä. Tehtävien ratkaisuista käytävällä keskustelulla on siinä olennainen merkitys. Opettajalle päässälaskusarjat antavat hyvän mahdollisuuden seurata, mitä on opittu ja mitä kukin osaa, ja ennen kaikkea millaisissa tehtävissä oppilaiden ajatukset askartelevat. Tehtävät, vähintään yhtä hyvin kuin niiden vastaukset, paljastavat myös, mitä ei vielä osata. Laskujen sisältö ja vaikeustaso ovat tekijän valittavissa. Tavoitteena on, että keskimäärin neljä tehtävää viidestä osattaisiin. Tässä on kuitenkin paljon vaihtelua sen mukaan, kuka on tekemässä. Keskiarvo saattaa vaihdella alle kolmesta lähes viiteen. Joskus vastuuhenkilö unohtaa vuoronsa. Silloin pääsee joku sellainen esiintymään, jolla on oma sarja valmiina ennen omaa vuoroa, tai hätätilassa opettajakin. Seuraava tehtäväsarja (Kuva 6) on sellaisesta kohdasta, jossa on siirrytty aloittelemaan kirjaimilla laskemista. Tekijänä oli hyvin suoriutuva oppilas. Siksi tehtävät olivat vähän tavallista vaikeampia. Tuloksesta näkyi myös, että ainakin yksi oppilas ei ollut ajattelunsa kehittymisen vaiheen vuoksi vielä valmis aloittamaan algebran opiskelua. 18 Dimensio 2/2018