MS-A3/A - Matriisilaskenta Laskuharjoitus 6 Ratkaisuehdotelmia. Diagonalisointi on hajotelma A SΛS, jossa diagonaalimatriisi Λ sisältää matriisin A ominaisarvot ja matriisin S sarakkeet ovat näitä ominaisarvoja vastaavat ominaisvektorit samassa järjestyksessä. Ratkaistaan siis ensin matriisin A ominaisarvot: λ + λ Tr(A) λ λ det(a) λ, λ Tässä merkintä Tr(A) tarkoittaa matriisin jälkeä (engl. trace) eli diagonaalialkioiden summaa, joka siis on aina yhtä suuri kuin ominaisarvojen summa. Lasketaan ominaisarvoja vastaavat ominaisvektorit: [ λ : 6 3] [ λ : 6 ] Huomaa, että ominaisvektorit eivät ole yksikäsitteiset, joten myöskään näistä muodostettu matriisi S ei ole yksikäsitteinen. Lopuksi etsitään matriisin S käänteismatriisi: [ 3 ] [ ] 3 Näin ollen hajotelmaksi saadaan A SΛS. 3 3
. Idea on sama kuin tehtävässä. Lasketaan siis matriisin A ominaisarvot: λ 4 3 det(a λi) 4 6 λ 3 3 3 λ ( λ)( 6 λ)( λ) 36 36 + 9( λ) + 6( λ) + 9(6 + λ) λ 3 3λ + 4 (λ )(λ + 4λ + 4) (λ )(λ + ) λ, λ λ 3. Matriisi A on diagonalisoituva, jos ja vain jos sillä on kolme lineaarisesti riippumatonta ominaisvektoria. Eri ominaisarvoihin liittyvät ominaisvektorit ovat aina lineaarisesti riippumattomat. Ominaisarvon λ algebrallinen kertaluku on, joten sitä vastaa täsmälleen yksi lineaarisesti riippumaton ominaisvektori. Nyt kuitenkin ominaisarvon λ algebrallinen kertaluku on, joten siihen voi liittyä yksi tai kaksi ominaisvektoria. Ehto matriisin A diagonalisoitumiselle on siis nyt se, että ominaisarvoa λ vastaa kaksi lineaarisesti riippumatonta ominaisvektoria: λ : 4 4 3 4 4 3 3 3 3 t, t R. 4 4 3 Löydettiin siis vain yksi ominaisvektori. Näin ollen matriisilla A on vain kaksi lineaarisesti riippumatonta ominaisvektoria. Siispä A ei ole diagonalisoituva. 3. Olkoon 3 4 3 4 4 3 4 3 A 3 4 4 3 3 4 3 4 ja 4 3 4 3, joten matriisi A voidaan diagonalisoida unitaarisesti eli se voidaan esittää muodossa A UDU, jossa D U AU. Lasketaan ensin ominaisarvot: det(a λi) 3 λ 4 4 3 λ λ 3 + 4i, (3 λ)(3 λ) ( 6) λ 6λ + λ 3 4i
Lasketaan ominaisarvoja vastaavat ominaisvektorit: λ 3 + 4i : λ 3 4i : [ 4i 4 4 4i i] 4i 4 4 4i i Vektorit v ja v ovat ortogonaaliset, kuten pitääkin. Löytääksemme unitaarimatriisin U saadut ominaisvektorit täytyy normeerata ykkösen pituiseksi. Molempien normi on, joten tarvittavat vektorit ovat v, v i. i Näistä saadaan ratkaisuksi U, U U i. i i i Tarkistuksessa matriisille A saadaan siis unitaarinen diagonalisointi A UDU 3 + 4i i. i i 3 4i i 4. Nyt ak+ s k+, 7, 8 ak., 3, s k Missä a k on aurinkoisen päivän todennäköisyys tiettynä päivänä ja s k sateisen päivän todennäköisyys tiettynä päivänä. Merkitään yhtälön kerroinmatriisia symbolilla A ja x k [a k s k ] T. Lasketaan matriisin A ominaisarvot ja -vektorit. det(a λi).7 λ.8.3. λ (.7 λ)(. λ).4 λ.9λ. λ, λ., 3, 8 λ :, 3, 8, 8, 8 λ. :, 3, 3 [ 8 3] 3
Ominaisvektorit v ja v muodostavat kannan, joten mikä tahansa vektori v voidaan esittää yksikäsitteisesti niiden lineaarikombinaationa, v av + bv. Lisäksi alun rekursiivisesta matriisiyhtälöstä seuraa, että x k A k x. Nyt voidaan helposti laskea A n v, nimittäin A n v A n (av + bv ) aλ n v + bλ n v. Alkuehtona on x T. Tämä voidaan kirjoittaa ominaisvektoreiden lineaarikombinaationa Kun k kasvaa äärettömään, saadaan x v + 3 v. x λ v + 3 λ v v. Joten nyt aurinkoisen päivän todennäköisyys satunnaisena päivänä on 8 ja sateisen päivän todennäköisyys taas 3.. Matriisin A singulaariarvot ovat matriisin A T A ominaisarvojen neliöjuuret, ja matriisin U sarakkeet ovat näitä ominaisarvoja vastaavat ominaisvektorit. Nyt A T 74 3 A, 3 6 joten matriisin A T A ominaisarvoiksi saadaan λ + λ Tr(A T A) λ λ det(a T A) 74 6 3 9 λ 9, λ Näitä vastaavat ominaisvektorit ovat 6 3 λ 9 : 3 64 64 3 λ : 3 6 ] [ Huomaa, että edellä skaalattiin tarkoituksella molempia ominaisvektoreita tekijällä, koska singulaariarvohajotelmassa matriisien U ja V sarakkeiden tulee olla yksikkövektoreita. Saatiin siis 9 Σ, V 4
6. Matriisin A jokaiselle singulaarivektoriparille pätee Av i σ i u i. Tästä saadaan ratkaistua singulaarivektorit u matriisiin U: u Av 7 σ 9 u Av 7 σ Kolmas singulaarivektori u 3 saadaan ottamalla mikä tahansa singulaarivektoreita u ja u kohtisuoraan oleva yksikkövektori, joka saadaan esimerkiksi ristitulolla: i j k u 3 u u ( ( ))j Näin ollen matriisin A singulaariarvohajotelma on 9 A UΣV T 7. Koska matriisin V sarakkeet muodostavat lähtöavaruuden ortonormaalin kannan, mikä tahansa vektori x voidaan lausua V sarakevektorien lineaarikombinaationa x w v + w v, w, w R. Lisäksi singulaariarvohajotelman määritelmän mukaan pätee Av i σ i u i kaikilla i,..., n. Hyödyntämällä näitä, saadaan kuvavektoriksi Ax A(w v + w v ) w Av + w Av w σ u + w σ u. Matriisin U sarakkeet ovat myös ortonormaaleja, eli u u, joten σ u > σ u, koska σ > σ (σ 9 ja σ ). Jos vektorin Ax pituus halutaan maksimoida ehdolla x, tulee siis valita w itseisarvoltaan mahdollisimman suureksi ja asettaa w nollaksi. Valitaan siis w ± ja w, eli kuvavektorin pituus maksimoituu kun kuvattava vektori on x ±v. (Huomaa, että tulos pätee yleisemminkin, eli pisimmän kuvavektorin antaa se v i, jota vastaava singulaariarvo on suurin. Tämä johtuu siitä, että riippumatta matriisin A dimensioista kuvattava vektori voidaan aina kirjoittaa muodossa x w v +... + w n v n, w,..., w n R, ja päättely voidaan tehdä täsmälleen kuten yllä. Yleensä sovitaan, että singulaariarvot järjestetään suurimmasta pienimpään, jolloin siis suurimman kuvavektorin pituuden antaa aina x ±v.)