Sisältö Ravinnon vitamiinit, hivenaineet ja lisäaineet Talousmatematiikka Logaritmit ja niillä laskeminen Tiheyden huomioonottami

Sisältö Ravinnon vitamiinit, hivenaineet ja lisäaineet Talousmatematiikka Logaritmit ja niillä laskeminen Tiheyden huomioonottaminen liuoslaskuissa Toisen asteen yhtälöt Toisen asteen polynomifunktion kuvaaja Tilastolaskennan laajennus

RAVINNON VITAMIINIT, HIVENAINEET JA LISÄAINEET 1 Ravinnon vitamiinit, hivenaineet ja lisäaineet Vitamiinit ovat suojaravintoaineita. Henkilölle, joka syö liian vähän tai yksipuolisesti, voi tulla vitamiinien puutostila. Hivenaineet ovat välttämättömiä, vaikka niiden tarve on vain mikrogrammoja painokiloa ja vuorokautta kohti. Lisäaineella tarkoitetaan elintarvikkeen valmistuksessa tarkoituksella käytettyä ainetta, jolla pyritään parantamaan elintarvikkeen säilyvyyttä tai vaikuttamaan elintarvikkeen makuun, hajuun, väriin, rakenteeseen tai muuhun vastaavaan ominaisuuteen. Suola on yleisin lisäaine. Ihmisen elimistö sisältää suolaa, esimerkiksi veren suolapitoisuus on 0,9 %. Tutkimusten mukaan keskiverto suomalainen nainen nauttii suolaa 8-9 g päivässä ja mies 11-13 g. Suositeltava määrä on kuitenkin enintään 7-9 g suolaa päivässä. Teelusikallinen suolaa painaa n. 5 g. Lapset, joiden suolan tarve on vain 2 g/vrk, syövät aikuisten maun mukaan suolattua ruokaa ja saavat näin jopa viisinkertaisen yliannoksen painokiloaan kohti. Eräitä vitamiineja ja hivenaineita Aine vaikutus puutosoireet lähteet ravitsemussuositus C-vitamiini vastustuskykyyn, heikentynyt vas- sitrushedelmät, 0-1 v 30-35 mg antioksitustuskyky, keri- kasvikset, mar- 1-10 v 40-45 mg dantti, parantaa raudan imeytymistpukkjat, peruna 11-14 v 50 mg aikuiset 60 mg A-vitamiini ja beetakaroteeni ihon ja limakalvojen toimintaan "näkövitamiini", antioksidantti Magnesium hermo- ja lihastoimintaan Seleeni antioksidantti,vastustuskykyyn, suojaa raskasmetalleilta, hämäräsokeus, ihon kuivuminen, halkeilu ja sarveistuminen,limakalvomuutoksia maitorasva, maksa, kananmuna beetakaroteenia:vihreät kasvit, hedelmät kouristukset, suonenveto, hidastuvut, idut, kaakao, mantelit, soijapanut pituuskasvu, hiiva sydämen rytmihäiriöt heikentynyt vastustuskyky, lihaskivut, lihasrappeuma kala, sianliha, maito, viljatuotteet 0-1 v 1238 ky 1-10 v 1320-2310 ky aikuiset 2640-3300 ky 0-1 v 40-60 mg 1-3 v 80 mg 4-6 v 120 mg 7-10 v 170 mg aikuiset 280-400 mg 0-1 v 10-15 μg 1-6 v 20 μg 7-10 v 30 μg 11-14 v 35-40 μg aikuiset 55-70 μg

2 RAVINNON VITAMIINIT, HIVENAINEET JA LISÄAINEET Banaani, omena ja appelsiini/100 g Aine BANAANI OMENA APPELSIINI A-vitamiini 0,038 mg 0,008 mg 0,015 mg C-vitamiini 12,0 mg 7,0 mg 50,0 mg magnesium 36,0 mg 6,0 mg 14,0 mg kalium 382,0 mg 127,0 mg 189,0 mg natrium 1,0 mg 2,0 mg 1,0 mg Näin suolaa kertyy Elintarvike NaCl g/ 100 g Makkarat metvursti 4,1 lenkkimakkara 1,9 maksamakkara 1,8 Lihaleikkeet keittokinkku 2,4 suolaliha 2,6 pekoni 2,3 Rasvat voi 1,7 margariini 1,7 Juustot edam 1,4 raejuusto 1,0 sinihomejuusto 3,0 Kalavalmisteet maustesilakka 3,6 suolasilli 12,4 sardiinisäilyke 1,3 Leivät ruisleipä 1,3 ranskanleipä 1,2 Einekset jauhelihakastike 0,7 hernekeitto 0,5 suolakurkku 1,3 perunalastut 2,5

RAVINNON VITAMIINIT, HIVENAINEET JA LISÄAINEET 3 Tehtäviä 1. Paljonko a) banaania b) appelsiinia c) omenaa tarvitaan tyydyttämään päivän C-vitamiinitarve? 2. Saako 1/2-vuotias yhdestä 100 g:n banaanista päivän magnesiumtarpeensa? 3. Paljonko appelsiinia aikuisen pitää syödä, jotta hän saisi tarpeeksi magnesiumia? 4. Verenpainetautia sairastavan vanhuksen kaliumin taso on laskenut liian alas. Mistä hedelmästä hän saa helposti kaliumia? 5. Vähäsuolaisessa näkkileivässä on 1,0 % suolaa ja voimakassuolaisessa 1,7 %. Laske montako milligrammaa vähemmän suolaa on kevyesti suolatussa 50 g:n näkkileipäannoksessa? 6. Henkilö syö aamiaisella 2 siivua ruisleipää á 40 g. Toisen päällä on 2 viipaletta metvurstia á 10 g ja puolikas suolakurkkua, 50 g. Toisen päällä on 2 viipaletta edamjuustoa á 30 g. Leivät on voideltu margariinilla á 5 g. Paljonko hän saa aamiaisella suolaa? 7. Toni (35 kg) syö välipalana koulusta tultuaan 80 g:n pussillisen perunalastuja. Saako hän mielestäsi liikaa suolaa?

4 RAVINNON VITAMIINIT, HIVENAINEET JA LISÄAINEET

TALOUSMATEMATIIKKA 1 Talousmatematiikka OPISKELIJAN TALOUSMATEMATIIKKAA Opiskelijan talousmatematiikkaan liittyvien tietojen lähteenä on käytetty Kelan internetsivuja www.kela.fi Päätoimisen opiskelun yleinen tukimuoto on opintotuki. Opintotukena voidaan myöntää opintorahaa tai opintotuen asumislisää sekä opintolainan valtiontakaus. Opintotuki = Opintoraha + asumislisä + opintolainan valtiontakaus

2 TALOUSMATEMATIIKKA OPINTORAHA Opintorahaa maksetaan opintotukeen oikeutetulle opiskelijalle. Sitä ei kuitenkaan saa alle 17-vuotias opiskelija, joka saa vielä lapsilisää. Muu oppilaitos euroa / kk Avioliitossa tai elatusvelvollinen Itsenäisesti asuva 20 vuotta täyttänyt Itsenäisesti asuva 18 19-vuotias Itsenäisesti asuva 17-vuotias Itsenäisesti asuva alle 17-vuotias Vanhempansa luona asuva 20 vuotta täyttänyt Vanhempansa luona asuva 18 19-vuotias Vanhempansa luona asuva 17- vuotias Vanhempansa luona asuva alle 17-vuotias Opintoraha Asumislisä (1) Opintolaina (2) yhteensä 246 (3) 160 / 300 (4) 406 / 546 246 201,60 300 747.60 246 (A) 201,60 300 747,60 (A) 100 ( C ) 201,60 (A) 160 461,60 ( C ) 0 201,60 (A) 0 / 160 (5) 201,60 / 361,60 80 (B) 0 300 380 (B) 38 ( C ) 0 300 338 ( C ) 38 ( C ) 0 160 198 ( C ) 0 0 0 0 (A) = voidaan alentaa vanhempien tulojen perusteella (B) = voidaan korottaa vanhempien tulojen perusteella (C) = voidaan alentaa tai korottaa vanhempien tulojen perusteella (1) = Vuokralla asuva, asumismenot vähintään 252 e/kk. Samassa asunnossa asuvan puolison tulot vaikuttavat. (2) = Lainatakaus voidaan myöntää opintorahaa saavalle. (3) = Asumislisä tai yleinen asumistuki, asumis- ja perhemuoto ratkaisevat. (4) = 18 vuotta täyttäneelle 220 e/kk (1.8.2008 lukien 300 e/kk) ja alle 18-vuotiaalle 160 e/kk. (5) = Lainatakaus voidaan myöntää, jos vanhempien tulot eivät ylitä opintorahan tulorajaa (vuositulot alle 61 000 euroa) ei kuitenkaan lukiolaiselle. Vanhempien tulot voivat pienentää opintorahaa tai estää sen myöntämisen toisen asteen oppilaitoksessa opiskelevilla perheettömillä alle 20-vuotiailla. Asumislisää myönnettäessä

TALOUSMATEMATIIKKA 3 vanhempien tulot vaikuttavat vain alle 18-vuotiailla, kun hakija opiskelee muussa kuin korkeakoulussa ja on naimaton ja lapseton. Opintorahan määrää voidaan myös korottaa, jos vanhemmat ovat pienituloiset. Tuloraja on 40 800 euroa vuodessa. Jokainen tulorajan ylittävä täysi 1 010 euroa vähentää opintorahaa ja asumislisää 5 prosenttia. Jos vanhempien tulot ovat enintään 22 769 euroa vuodessa, opintorahaa voidaan korottaa Opintorahaa ja asumislisää ei enää myönnetä, kun vanhempien vuositulot ovat 61 000 euroa tai enemmän. Käytännössä raja voi olla alhaisempi, koska pienin maksettava määrä on 8,40 euroa kuukaudessa (opintorahan ja asumislisän yhteismäärä). Oheisessa taulukossa on esitetty prosentti, jonka suuruisena kyseistä tukimuotoa myönnetään eri tuloilla. Opintorahaa ja asumislisää ei myönnetä, jos kuukausierän määrä jäisi vähennyksen jälkeen pienemmäksi kuin 8,40 euroa. Etuudet lasketaan ja maksetaan yhden sentin tarkkuudella (0,5 senttiä pyöristetään ylöspäin). Jos vanhemman ja puolison tulot vähentävät asumislisää, erikseen lasketut vähennysprosentit lasketaan yhteen. Vanhempien ansio- ja pääomatulot euroa vuodessa Opintoraha ja asumislisä: prosenttia täysimääräisestä 41 809 * 100 42 820 43 829 * 90 44 840 45 849 80 46 860 47 869 70 48 880 49 889 60 50 900 51 909 50 52 920 53 929 40 54 940 55 949 30 56 960 57 969 20 58 980 59 989 10 61 000 0 * Väliin jäävässä tuloluokassa etuus on annettujen prosenttiarvojen keskimäärä; esimerkiksi tässä kohdassa, vuosituloilla 41 810 42 819 euroa etuus on 95 % täysimääräisestä

4 TALOUSMATEMATIIKKA Vapaa tulo. Jokaiselle opiskelijalle lasketaan henkilökohtainen vuosituloraja, johon asti hänellä voi olla tuloja niiden vaikuttamatta opintotuen määrän. Tämä ns. vapaa tulo perustuu tukikuukausien määrään. Veronalaisia tuloja ei tutkita tukea maksettaessa, joten opiskelijan tulee itse huolehtia siitä, että hänen vapaa tulonsa ei ylity. Vapaa tulo eli vuosituloraja lasketaan kalenterivuoden aikaisten tukikuukausien ja tuettomien kuukausien lukumäärän perusteella. Jos omat tulot ovat yhtä suuret tai pienemmät kuin vapaan tulon määrä, tulot eivät vaikuta opintorahaan tai asumislisään. Tukikuukaudella tarkoitetaan tässä yhteydessä kuukautta, jolta opiskelija on saanut opintorahaa ja asumislisä tai jompaakumpaa niistä. Vapaa tulo 1.1.2008 lukien Vapaa tulo euroa / vuosi Tukikuukausia Tukikuukausia Vapaa tulo euroa / vuosi 1 22 330 7 14 470 2 21 020 8 13 160 3 19 710 9 11 850 4 18 400 10 10 540 5 17 090 11 9 230 6 15 780 12 7 920 ASUMISLISÄ Asumislisään on oikeus kaikilla muilla opiskelijoilla, paitsi opiskelijoilla, jotka asuvat samassa asunnossa oman tai puolison lapsen kanssa tai jotka asuvat omistamassaan tai puolison omistamassa asunnossa tai asuvat vanhempiensa luona. Asumislisä on 80 % asumismenoista (esim. vuokrasta). Asumismenoja ei oteta huomioon 252 euroa ylittävältä osalta. Jos asumismenot ovat alle 33,63 euroa kuukaudessa, asumislisää ei makseta. Suomessa opiskelevan asumislisä on siten 26,90 201,60 euroa kuukaudessa Jos opiskelija asuu vanhemmaltaan vuokratussa tai vanhempansa omistamassa asunnossa, asumislisä on enintään 58,87 euroa kuukaudessa. Jos vanhemmalta vuokrattu tai vanhemman omistama asunto on samassa kiinteistössä kuin vanhemman vakituinen asunto, opintoraha myönnetään sa-

TALOUSMATEMATIIKKA 5 mansuuruisena kuin vanhemman luona asuvalle ja asumislisä on enintään 58,87 e/kk. Asumislisään vaikuttavat omat tulot, puolison tulot ja vanhempien tulot. Omat tulot vaikuttavat vuositulomallin mukaisesti samoin kuin opintorahaankin. Tätä opiskelijan tulee itse seurata. Puolison tulot vaikuttavat kun ne ylittävät 15 200 vuodessa. Puolison tulot otetaan huomioon samoin perustein kuin vanhempien tulot. Asumismenot asuntoa kohden jaetaan pääsäännön mukaan asukkaiden kesken. Esimerkiksi jos vuokra asunnossa on 340 /kk ja asunnossa asuu opiskelija ja tämän työssäkäyvä sisko, otetaan opiskelijan asumismenoina huomioon 170. Asumislisä = 0,80 asumismenot Asumismenot otetaan huomioon enintään 252 /kk OPINTOLAINAN VALTIONTAKAUS Opintolainan valtiontakaus myönnetään opiskelijalle, joka saa opintorahaa tai aikuisopintorahaa. Valtiontakauksen voi saada myös silloin, jos opintorahaa ei makseta, koska opiskelija saa harjoitteluajan palkkaa tai oppilaitoksen maksamaa palkkaa, päivärahaa tai apurahaa. Lisäksi opintolainan valtiontakauksen voi saada ilman opintorahaa, jos opiskelija asuu muualla kuin vanhempiensa luona ja ei saa opintorahaa lapsilisän takia eikä opiskele lukiossa tai on 18 19-vuotias, ei saa opintorahaa vanhempiensa tulojen takia ja opiskelee muualla kuin korkeakoulussa tai lukiossa. Opintolainan valtiontakauksen enimmäismäärä on 18 vuotta täyttäneillä Suomessa opiskelevilla 300 /kk ja alle 18-vuotiailla 160 /kk. Valtion takaamaa opintolainaa haetaan pankista. Opintolainaan ja valtiontakauksen määrään lisätään lainan opiskeluaikaiset korot. Siten opiskelija maksaa opintolainan korot vasta opintojen päätyttyä muun opintolainan yhteydessä.

6 TALOUSMATEMATIIKKA Esimerkki 1 18-vuotias Leena Loimaalta lähti opiskelemaan Mikkeliin lähihoitajaksi. Leenan vanhempien yhteenlasketut vuositulot olivat vuonna 2007 olivat 37 500 euroa. Leena maksoi opiskelijaboksistaan vuokraa 151 / kk, vedestä 3,5 /kk ja sähköstä 22 neljännesvuodesta. Lasketaan Leenan saama opintotuen määrä: Opintoraha: Leena ei ole vielä täyttänyt 20 vuotta, joten hänen opintorahansa on taulukon mukaan 246 /kk. Korotusta hän ei opintorahaan saa, koska hänen vanhempiensa ansiotulot ylittävät 22 769 euroa. Asumislisä: Asumismenot ovat Leenalla yhteensä 151 + 3,5 + 22 : 3 = 161,85 /kk Tämä ei ylitä ylärajaa 252 /kk, joten asumislisä maksetaan koko summasta. Asumislisä: 0,80 x 161,85 = 129,48 /kk. Opintotuki: Opintoraha + asumislisä 246 + 129,48 = 375,48 /kk.

TALOUSMATEMATIIKKA 7 Tehtäviä 1. Minna on 18-vuotias ja opiskelee lähihoitajaksi Oulussa. Hän asuu vanhempiensa luona. Hänen vanhempansa tulot ovat sellaiset, että niiden perusteella ei Minnan opintorahaa alenneta tai koroteta. Kuinka suuren opintotuen hän saa? 2. Kimmo opiskelee lääketiedettä Helsingin yliopistossa. Hän on 20-vuotias ja asuu soluasunnossaan yksin. Asunnosta hän maksaa 247 kuukaudessa. Paljonko hän saa opintotukea? 3. Jos opiskelija saa opintotukea yhdeksältä kuukaudelta vuodessa, kuinka paljon hänellä saa olla muita verotettavia tuloja kuin opintotukea vuodessa? 4. 23-vuotiaan tamperelaisen sairaanhoitajaopiskelijan Petterin vanhempien yhteenlasketut vuositulot ovat 30 100. Petteri maksaa asunnostaan vuokraa 219 /kk, johon sisältyvät vesi ja sähkö. Laske Petterin saama opintotuen määrä ja käteen jäävä määrä asumismenojen jälkeen. 5. Yksinhuoltajaäidin ainoa lapsi, 17- vuotias Riikka asuu kotona äitinsä kanssa. Äidin vuositulot ovat 23 500. Riikka ei maksa vuokraa kotiinsa. Mikä on Riikan saama opintotuen määrä? 6. 19-vuotias Juho asuu Oulaisissa kotonaan, mutta opiskelee Oulussa. Juhon maanviljelijävanhempien vuositulot ovat 27 000. Laske Juhon saama opintotuen määrä. 7. Ammattikorkeakoulun sosiaalialan opiskelija Tytti on 20-vuotias ja asuu kaukana kotoaan. Hän maksaa asunnostaan vuokraa 294 /kk, vesimaksua 6 ja sähköstä 24 neljännesvuosittain. Tytin vanhempien vuositulot ovat 51 000. Laske Tytin saama opintotuen määrä ja käteen jäävä määrä asumismenojen jälkeen.

8 TALOUSMATEMATIIKKA PERHEEN TALOUSMATEMATIIKKAA Perheen talousmatematiikkaan liittyvien tietojen lähteenä on käytetty Marja-Liisa Lehtisen toimittamaa kirjaa Toimeentuloturva 1997, sekä Kelan internet sivuja www.kela.fi SAIRAUSPÄIVÄRAHA JA LAKISÄÄTEINEN SAIRAUSVAKUUTUS Sairausvakuutusetuuksiin on yleensä oikeus kaikilla Suomessa asuvilla. Sairausvakuutuksen päivärahaa maksetaan 16 67-vuotiaalle henkilölle, joka on sairauden vuoksi kykenemätön tekemään tavallista tai siihen läheisesti verrattavaa työtä. Päivärahalla korvataan ansionmenetystä. Päiväraha lasketaan yleensä viimeksi toimitetussa verotuksessa todetusta työtulosta, joka tarkistetaan yhden vuoden TEL-indeksillä. Työtulosta vähennetään mm. tulonhankkimiskustannukset ja 4,44 % (vuonna 2008) työttömyys- ja työeläkevakuutusmaksun osuutena. Sairauspäivärahan määrä v. 2008 Vuosityötulo/eläkevakuutuksen vuosityötulo euroa Päivärahan laskentakaavat euroa/arkipäivä Enintään 1 153 Ei päivärahaa 1 154 30 033 0,7 vuosityötulo : 300 30 034 46 207 70,08 + 0,4 (vuosityötulo 30 033) : 300 Yli 47 207 91,64 + 0,25 (vuosityötulo 46 207) : 300

TALOUSMATEMATIIKKA 9 PÄIVÄRAHA TYÖTTÖMÄLLE, OPISKELIJALLE..? Työttömälle Jos hakijalle on maksettu työkyvyttömyyttä edeltäneen 4 kuukauden aikana työttömyysetuutta, koulutustukea tai työllistämistukea työelämävalmennukseen, hänen sairauspäivärahansa on vähintään 86 prosenttia maksetun etuuden määrästä. Jos työttömyysetuuteen tai koulutustukeen on sisältynyt korotettu ansio-osa, päivärahan määrää laskettaessa otetaan huomioon perusosan lisäksi vain pääsäännön mukainen ansio-osa. Kuntoutujalle Jos hakija on saanut sairauspäivärahan alkamista edeltävän kuuden kuukauden aikana kuntoutusrahaa, päiväraha on vähintään kuntoutusrahan suuruinen. Opiskelijalle Jos hakija on saanut opintorahaa 4 kuukauden aikana ennen kuin hänen työkyvyttömyytensä alkoi, hänen sairauspäivärahansa lasketaan opintorahan perusteella. Päiväraha on vähintään opintorahan kuukausimäärän 25. osa. Hakijalle voidaan maksaa sairauspäivärahaa, jos hänen opinto- tai kuntoutusetuutensa maksaminen on keskeytetty työkyvyttömyyden takia. Jos hakija on saanut useampaa edellä mainituista etuuksista, päiväraha määräytyy viimeisimmän etuuden mukaan ennen työkyvyttömyyden alkamista. Kela ei maksa päivärahaa hakijalle, joka palvelee asevelvollisena tai on siviilipalveluksessa.

10 TALOUSMATEMATIIKKA Esimerkki 2 Maanviljelijä Vieno Väinönen on sairastellut. Hänen vuotuinen ansionsa on arvioitu 33 781,51. Paljonko hän saa sairauspäivärahaa? Päiväraha: Vähennetään ensin vuotuisesta ansiosta 4,44 % pois eli 33 781,51 0,0444 33 781,51 = 32 281,61. Tämä kuuluu taulukossa kolmanteen tuloluokkaan ja päiväraha lasketaan siis 70,08 + 0,4 (32 281,61 30 033 ) : 300 = 73,08 päivässä Esimerkki 3 Lähihoitajan työtulo on 14 117,65 vuodessa viimeksi suoritetun verotuksen mukaan. Lasketaan hänen sairauspäivärahansa määrä. Vähennetään työtulosta 4,44%: 14 117,65 0,0444 14 117,65 = 13 494,83 Taulukon mukaan sairauspäiväraha lasketaan kaavalla 0,7 13 494,83 : 300 = 31, 49 päivässä.

TALOUSMATEMATIIKKA 11 Esimerkki 4 Päällikkö Markkasen vuotuinen työtulo on 57 142,86. Työpaineiden kasaantuessa hän sai sydäninfarktin ja joutui kahdeksi kuukaudeksi sairauslomalle. Lasketaan sairauspäivärahan määrä koko loman ajalta. Työtulo vähennettynä 4,44 % 57 142,86 0,0444 57 142,86 = 54 605,71 Taulukon mukaan sairauspäivärahan määrä on 91,64 + 0,25 (54 605,71 46 207 ) : 300 = 98,64 päivässä Ja koko ajalta (= 2 25 = 50 päivää) 50 98,64 = 4 932 ÄITIYS- JA ISYYSRAHA Äitiysrahaan (äitiyspäiväraha) on oikeus naisella, jonka raskaus on kestänyt vähintään 154 päivää ja joka on asunut vähintään 180 päivää välittömästi ennen laskettua synnytysaikaa Suomessa. Isyysrahan (isyyspäiväraha) edellytyksenä on, että isä osallistuu lapsensa hoitoon eikä ole sinä aikana ansiotyössä. Myös isän tulee täyttää 180 päivän asumisehto. Äitiysrahaa maksetaan 105 arkipäivältä eli noin neljältä kuukaudelta. Äitiysrahakausi alkaa odottavan äidin valinnan mukaan aikaisintaan 50 ja viimeistään 30 arkipäivää ennen laskettua synnytysaikaa. Keskoslapsen äidille maksetaan kuitenkin äitiysrahaa lapsen syntymästä lukien. Isyysrahaa voidaan maksaa yhteensä enintään 18 arkipäivältä. Isä voi pitää näistä päivistä kuusi valitsemanaan aikana äitiys- tai vanhempainrahakaudella ja 6 12 valitsemanaan aikana äitiysrahakaudella. Isyysrahajaksot eivät vaikuta vanhempainrahakauden pituuteen. Myös ottoisällä on oikeus kuuteen isyysrahapäivään vanhempainrahakaudella. Tiettyjen edellytysten täyttyessä isä voi saada 24 päivän isyyskuukauden. Äitiys- ja isyysrahan perusteena on yleensä vanhemman verotuksessa todettu työtulo samoin kuin sairauspäivärahaa

12 TALOUSMATEMATIIKKA laskettaessa. Äitiysraha määräytyy äidin ja isyysraha isän työtulojen perusteella. Äitiys- ja isyysraha lasketaan samalla tavalla kuin sairauspäiväraha. Äitiys- ja isyysrahan suuruus on aina vähintään 15,20 euroa päivässä vuoden 2005 tasolla. Äitiysraha maksetaan tämän vähimmäismäärän suuruisena äitiysraha-aikana ansiotyössä olevalle äidille. Myös asevelvollisen tai siviilipalvelusmiehen isyysraha on vähimmäismäärän suuruinen. Esimerkki 5 Nuoren äidin vuotuinen työtulo on 24 873,95. Lasketaan äitiyspäivärahan suuruus. Nuoren äidin vuotuinen työtulo on 24 873,95. Lasketaan äitiyspäivärahan suuruus. Työtulo vähennettynä 4,44 %:lla: 24 873,95 0,0444 24 873,95 = 23 769, 55 Sairauspäivärahataulukkoa käyttämällä nähdään äitiyspäivärahan suuruus: 0,7 23 769, 55 : 300 = 55,46 päivässä LAPSILISÄ Lapsilisää maksetaan Suomessa asuvasta alle 17-vuotiaasta lapsesta hänen elatustaan varten. Lapsilisä maksetaan perheen lapsiluvun mukaan porrastettuna. Määrät olivat vuonna 2008 seuraavat: 1. lapsesta 100 /kk 2. lapsesta 110,50 /kk 3. lapsesta 131 /kk 4. lapsesta 151,50 /kk 5. ja jokaisesta seuraavasta lapsesta 172 /kk Yksinhuoltajalle lapsilisä maksetaan korotettuna 46,60 eurolla jokaisesta lapsesta. Edellytyksenä on, ettei huoltaja ole aviotai avoliitossa. Asumuserossa oleva voi saada korotuksen.

TALOUSMATEMATIIKKA 13 Esimerkki 6 Perheessä on 2-, 4-, 6-, 8- ja 10-vuotiaat lapset. Lasketaan lapsilisän suuruus. 1. lapsesta 100,00 2. lapsesta 110,50 3. lapsesta 131,00 4. lapsesta 151,50 5. lapsesta 172,00 yhteensä 665,00 LASTEN PÄIVÄHOITO Lasten kotihoidon tuen saamisen edellytyksenä on, että perheessä on alle 3-vuotias lapsi, jota ei hoideta kunnan järjestämässä päivähoidossa. Kotihoidon tukea maksetaan myös muista alle kouluikäisistä lapsista, jotka hoidetaan samalla tavalla. Kotihoidon tuki koostuu kahdesta osasta Kotihoidon tuki = hoitoraha + hoitolisä Hoitoraha 1. lapsi < 3v 294,28 /kk seuraavat < 3v 94,09 /kk 3v < ikä < oppivelv. ikä 60,49 /kk Hoitolisää maksetaan vain yhdestä lapsesta enintään 168,19 /kk. Hoitolisään vaikuttaa perheen kuukausitulot ja perheen koko. Hoitolisä maksetaan täysimääräisenä, jos perheen kuukausitulot eivät ylitä perheen koon mukaan määräytyviä tulorajoja. Tulorajan ylittävä osa vähentää hoitolisän täyttä määrää oheisen taulukon prosentin verran. Hoitolisän tulorajat Perheen koko Tuloraja /kk Vähennys % Tuloraja, josta hoitolisää ei saa 2 1 160 11,5 2 622,48 3 1 430 9,4 3 219,21 > = 4 1 700 7,9 3 828,93

14 TALOUSMATEMATIIKKA Esimerkki 7 Perheessä on isä, äiti ja kaksi lasta (1-vuotias ja yli 3-vuotias). Lapset hoidetaan kotona. Perheellä on tuloja yhteensä 2 189 /kk. Lasketaan pienten lasten hoidon tuen määrä. Hoitoraha 294,28 + 60,49 = 354,77 Hoitolisä 2189 1700 = 489 7,9 %:n vähennys: 0,079 489 = 38,63 /kk 168,19 38,63 = 129,56 Lasten kotihoidon tuki on yhteensä: 354,77 /kk + 129,56 /kk = 484,33 /kk Esimerkki 8 Yksinhuoltajaäidillä on 2-vuotias Minna ja yli 4-vuotias Sanna. Lapsia ei hoideta kunnallisessa päiväkodissa. Äidin tulot ovat yhteensä 1 598 /kk. Lasketaan äidin saama kotihoidon tuki. Lasten kotihoidon tuki kuukaudessa Hoitoraha 294,28 + 60,49 = 354,77 Hoitolisä: 1 598 1 430 = 168 9,4 % :n vähennys = 0,094 x 168 = 15,79 168,19 15,79 = 152,40 Kotihoidon tuki yhteensä: 354,77 + 152,40 = 507,17 Kun lapsi on kunnan järjestämässä päivähoidossa, vanhemmat joutuvat maksamaan hoidosta tulojensa mukaan. Tuloiksi katsotaan vanhempien viimeksi kuluneen vuoden keskimääräinen kuukausitulo. Tuloiksi ei katsota kaikkia tulomuotoja, kuten lapsilisää, opintorahaa ja erilaisia tukia ja avustuksia. Päivähoitomaksu lasketaan perheen koon mukaan määräytyvän tulorajan ylittävästä tulosta alla olevan prosentin mukaisesti Perheen koko Tuloraja /kk Korkein maksu-% 2 866 11,5 3 1 068 9,4 > tai =4 1 268 7,9

TALOUSMATEMATIIKKA 15 Jos perheen tulot ovat pienemmät tai yhtäsuuret kuin taulukon tuloraja, päivähoidosta ei makseta mitään, ja jos taas suuremmat, ylimenevästä tulosta maksetaan päivähoitomaksua taulukon prosentin mukaan. Jos lapsia on enemmän kuin kaksi, muista lapsista maksetaan 20 % kahden ensimmäisen lapsen maksusta ja tuloista tehdään sitä ennen 84 euron vähennys. Katso esimerkki 14. Esimerkki 9 Yksinhuoltajaäidillä on 2-vuotias Minna ja yli 4-vuotias Sanna. Lapsia ei hoideta kunnallisessa päiväkodissa. Äidin tulot ovat yhteensä 1 598 /kk. Lasketaan äidin saama kotihoidon tuki. Päivähoitomaksu Vähennetään tuloraja: 2 237 1 268 = 969 Maksu yhdestä lapsesta: 7,9 % 969 eurosta = 0,079 969 = 76,55 /lapsi Maksu kahdesta lapsesta: 2 76,55 = 153,10 Esimerkki 10 Yksinhuoltjaisän lapset, 1-vuotias ja 5-vuotias, ovat kunnallisessa päivähoidossa. Isän kuukausitulot ovat 1 598. Lasketaan päivhoitomaksu 1 598 1 068 = 530 9,4 % 530 eurosta = 0,094 530 = 49,82 /lapsi Maksu kahdesta lapsesta = 99,64 Esimerkki 11 Viisihenkisen perheen kolme lasta ovat kunnallisessa päivähoidossa. Isän ja äidin yhteenlasketut kuukausitulot ovat 3 482. Lasketaan päivähoitomaksu. Koska lapsia on enemmän kuin kaksi, vähennetään ensin tuloista 84. 3 482-84 = 3 398 3 398-1 268 = 2 130 kahdesta ensimmäisestä lapsesta: 7,9 % 2 130 eurosta = 168,27 /kk/lapsi Kahdesta siis 336,54 Kolmas lapsi: 20 % 168,27 eurosta = 33,65 Yhteensä: 336,54 + 33,65 = 370,19 /kk

16 TALOUSMATEMATIIKKA TYÖTTÖMYYSKORVAUS Työtön saa Suomessa työttömyyskorvausta, jota on kahdenlaista: peruspäiväraha, joka kuuluu kaikille työttömiksi katsotuille ja ansiosidonnainen työttömyyskorvaus, joka riippuu edellisen työpaikan tuloista. Ansiosidonnaista ei saa, jos työttömyys on kestänyt riittävän kauan. Tällöin saa vain peruspäivärahan. Peruspäivärahan määrä on 23,24 päivältä (v:n 2005 määrä). Päivärahaan lisätään lapsikorotus, joka on yhdestä alle 18-vuotiaasta lapsesta 4,40, kahdesta yhteensä 6,46 ja kolmesta tai useammasta lapsesta yhteensä 8,34 päivässä. Ansiosidonnaisen päivärahan maksavat työttömyyskassat. Kullakin ammattikunnalla on omat ansiosidonnaiset päivärahansa, joihin ei tässä puututa. Ansiopäiväraha muodostuu perusosasta ja palkan mukaan määräytyvästä ansio-osasta. Lisäksi päivärahaan maksetaan lapsikorotukset samoin kuin peruspäivärahaan. Mikäli oikeutta peruspäivärahaan tai ansiosidonnaiseen päivärahaan ei ole, voi olla oikeus tiettyjen edellytysten täyttyessä työmarkkinatukeen.

TALOUSMATEMATIIKKA 17 Tehtäviä 1. Ympäristösihteerin vuotuinen työtulo on 4,44 %:n vähennyksen jälkeen 41 731,10. Mikä on hänen sairauspäivärahansa päivää / kuukautta kohti? 2. Kulttuurialan opiskelijan vuotuinen työtulo 4,44 %:n vähennyksen jälkeen on 1 605,04. Mikä on hänen sairauspäivärahansa päivää / kuukautta kohti? 3. Toimittaja Tammisen vuotuinen työtulo on 39 495,80. Mikä on hänen sairauspäivärahansa päivää / kuukautta kohti? 4. Satunnaisen keikkamuusikon vuotuinen työtulo on 857,14. Hän joutui auto-onnettomuuteen, jossa häneltä murtui jalka. Laske sairauspäivärahan suuruus 55 sairastamispäivän jälkeen. 5. Nuoren laboratoriohoitajan vuotuinen työtulo on 17 266,90. Laske sairauspäivärahan suuruus. 6. Peruskoulun opettaja lähti suoraan tunnilta lääkärille, joka antoi hänelle puolen vuoden sairausloman. Kuinka paljon opettajalle kertyi sairauspäivärahoja koko ajalta, jos hänen vuotuinen työtulonsa on 22 689,10? 7. Paperitehtaan nuoren laborantin vuosiansio on 18 449,92. Kuinka suureen sairauspäivärahaan hän on oikeutettu? 8. Humanististen tieteiden opiskelijan vuotuinen työtulo on 853,78. Laske hänen äitiyspäivärahansa suuruus. 9. Laske äitiyspäivärahan suuruus valokuvamallitoimiston johtajalle, jonka vuotuinen työtulo on 48 235,30. 10. Laske isyysrahan suuruus jääkiekkoilijalle, jonka vuotuinen työtulo on 201 825,51. Mikä osuus isyysraha on normaalista kuukauden työtulosta? 11. Perheessä on 5-vuotiaat kolmoset, 11-vuotiaat kaksoset ja yksi 17-vuotias. Laske paljonko äiti saa lapsilisää. 12. Yksinhuoltajaäidillä on kolme alle 17-vuotiasta. Laske lapsilisän suuruus. 13. Seitsemästä veljeksestä Juhani, vanhin, täyttää tänään 17 vuotta. Laske lapsilisien suuruus. 14. Perheessä on isä, äiti ja 1-vuotias Tatu, 3-vuotias Miia ja 5-vuotias Pekko. Perheen kuukausitulot ovat yhteensä 2 606,91. Laske perheen lasten kotihoidon tuen suuruus. 15. Yksinhuoltajaäiti ansaitsee 1 177,32 /kk. Hänellä on 2-vuotias poika, jolla ei ole kunnallista päivähoitopaikkaa. Laske äidin saama kotihoidon tuki.

18 TALOUSMATEMATIIKKA ELÄKELÄISEN TALOUSMATEMATIIKKAA ELÄKKEEN MÄÄRÄ Eläkkeen määrä riippuu hyvin monista eri seikoista. Seuraavassa esitetään vain pääpiirteet. Suomessa on kahdenlaista eläkettä: kansaneläke ja ansioeläke. Kansaneläkkeessä eläkeikä on 65 vuotta. Kansaneläkkeen määrään vaikuttaa muiden eläketulojen määrä, asuinkunta ja eläkkeen saajan perhesuhteet. Ansioeläkkeellä tarkoitetaan työ- tai yrittäjäeläkettä. Eläkkeensaajalle maksettavien eläkkeiden kokonaismäärää rajoitetaan yhteensovituksella niin, ettei niiden summa ylitä eläkkeille sovittua yhteismäärää. Eläkkeitä maksetaan korkeintaan 60 % (virkasuhteissa enintään 66 %) korkeimmasta eläkkeen perusteena olevasta palkasta tai työtulosta. Esimerkiksi kansaneläkkeen ja työeläkkeen yhteensovittaminen näkyy taulukosta.

TALOUSMATEMATIIKKA 19 ERILAISIA KORVAUKSIA Lääkärinpalkkiot Lääkärinpalkkioista korvataan 60 prosenttia. Korvaus maksetaan vahvistetusta palkkiosta, vaikka palkkio olisikin suurempi. Esimerkki 12 Lasketaan, paljonko Kela korvaa erikoislääkärin 30,27 :n palkkiosta. Erikoislääkärin vahvistettu palkkio on 21,36. Kela korvaa 60 % palkkiosta: 0,60 21,36 = 12,82 Potilaan maksetavaksi jää 30,27 12,82 = 17,45. Tutkimus ja hoito Lääkärin määräämän tutkimuksen ja hoidon kustannuksista korvataan 75 prosenttia 11,77 ylittävältä osalta. Korvaus maksetaan enintään vahvistettujen palkkioiden mukaisista kustannuksista. Yhtenä kokonaisuutena korvataan samalla kertaa määrätty tutkimus- ja hoitosarja, joka sisältää enintään 15 hoito- ja tutkimuskertaa kolmen kuukauden aikana. Esimerkki 13 Lääkäri suoritti potilaalle hoitotoimenpiteen, jonka vahvistetun palkkion mukainen korvaus oli 55,50. Lääkäri veloitti 67,28. Lasketaan paljonko potilas maksoi. 11,77 :n ylittävä osuus oli 35,50 11,77 = 23,73, josta 75 % 0,75 43,73 = 32,80. Potilaan maksettavaksi jäi 67,28 32,80 = 34,48. Lääkkeet Kelasta voi hakea korvausta lääkkeistä, perusvoiteista ja kliinisistä ravintovalmisteista, joita lääkäri on määrännyt hakija sairauden hoitoon. Kelan korvauksen saa yleensä jo apteekissa esittämällä Kela-kortin.

20 TALOUSMATEMATIIKKA Lääkeostoista maksetaan korvauksia kolmessa eri korvausryhmässä. Korvaukset maksetaan prosenttiosuutena lääkkeen hinnasta. Peruskorvaus Alempi erityiskorvaus Ylempi erityiskorvaus Peruskorvaus on 42 prosenttia lääkkeen hinnasta. Alempi erityiskorvaus on 72 prosenttia lääkkeen hinnasta. Ylempi erityiskorvaus on 100 prosenttia, mutta jokaisesta samalla kertaa ostetusta lääkkeestä asiakas maksaa 3 euron omavastuun. Asiakkaalla on oikeus lisäkorvaukseen, jos saman kalenterivuoden aikana korvatuista lääkkeistä, kliinisistä ravintovalmisteista ja perusvoiteista maksetut omavastuuosuudet ylittävät 643,14 euroa (v. 2008). Vuotuisen omavastuuosuuden täytyttyä, asiakas maksaa 1,50 euroa/lääke, ja Kela maksaa loput lääkkeen hinnasta. Esimerkki 14 Erään peruskorvattavan lääkkeen kolmen kuukauden annos maksaa 23,88. Lasketaan asiakkaan maksettavaksi jäävä hinta. 23,88 0,42 23,88 = 13,85 Matkat Sairausvakuutus korvaa kokonaan potilaan matkakustannukset, jotka ylittävät 9,25 yhdensuuntaista matkaa kohden. Korvaus maksetaan enintään taksan mukaiseen määrään saakka. Myös saattajan matkakustannukset korvataan, jos saattaja on välttämätön. Lisäksi potilaalle korvataan kokonaan matkakustannukset siltä osin kuin hänen ja saattajan maksettavaksi jääneet, taksan mukaiset matkakustannukset ylittävät 157,25 kalenterivuodessa. Täyttä matkakorvausta voi hakea heti, kun 157,25 omavastuu on täyttynyt. Esimerkki 15 Munuaistautia sairastava Eero Heinänen matkustaa viikoittain kotipaikkakunnalta sairaalaan taksilla, jonka taksanmukainen hinta on 20,18 yhteen suuntaan. Lasketaan, milloin hän alkaa saada täyttä matkakorvausta. 157,25 täyttyy 157,25 : 20,18 = 7,8 eli 8 matkan jälkeen. Siispä kuukauden jälkeen matkat korvataan kokonaan.

TALOUSMATEMATIIKKA 21 Tehtäviä Erilaisia korvauksia 1. Pirjo K. Kourunen kävi gynekologilla, joka kirjoitti hänelle 45,41 :n laskun. Kuinka suureksi muodostui Pirjon osuus? 2. Tutkija Jarmo Salonen kävi silmälääkärillä, joka veloitti 37,00. Paljonko Kela korvaa? 3. Erikoislääkärin palkkiosta asiakkaan maksettavaksi jäi 15,14. Kuinka suuren laskun lääkäri oli hänelle kirjoittanut? Tutkimus ja hoito 4. Lääkäri oli määrännyt Annen verikokeeseen, jossa määritettiin veren kolesteroli. Laboratorio laskutti 16,82. Vahvistetun palkkion mukainen kustannus on 7,74 /analyysi. Laske Annen maksettavaksi jäävä markkamäärä. 5. Eläkeläinen Elina Virtanen kävi yksityisellä lääkäriasemalla EKG:ssä, jonka Vahvistetun palkkion mukainen hinta oli 21,70, mutta hän joutui maksamaan 50,46. Paljonko KELA korvasi? 6. Pirjo K. Kouruselta otettiin PAPAkoe gynekologin käynnillä. Lääkäri laskutti 25,23 ja Vahvistetun palkkion mukainen hinta oli 16,82. Mitä koe tuli maksamaan? Lääkkeet 7. Krooniseen verenpainetautiin määrätyn 100 tabletin erä maksaa 91,66. Laske, paljonko asiakas, jolla on lääkkeeseen alempi erityiskorvausoikeus, maksaa lääkkeestä. 8. Potilaalle määrätty Primaspan 100 mg (peruskorvattava lääke) maksaa 7,95. Paljonko asiakas niistä maksaa? 9. Verenpaineeseen tarkoitettu beetasalpaaja Sotalol Generics 80 mg 3 x 100 tablettia maksaa 45,10. Mitä Kela korvaa ja paljonko asiakas, jolla on ylempi erityiskorvausoikeus, näistä maksaa? 10. Rasvalääke Zocor 10 mg XCVIII tablettia maksaa 108,96. Paljonko alemman erityisoikeuden omaava asiakas lääkkeestä maksaa? 11. Sydänlääke Dinit-suihkepullo 1,25 mg maksaa 9,97. Paljonko asiakas, jolla on ylempi erityiskorvaus lääkkeestä maksaa? Matkat 13. Perheen isoäidin jalka murtuu metsässä. Hän lähtee sairaalaan taksilla. Matkasta kertyy kustannuksia 26,91. Paljonko Kela korvaa ja paljonko jää isoäidin maksettavaksi?

22 TALOUSMATEMATIIKKA

LOGARITMIT JA NIILLÄ LASKEMINEN 1 Logaritmit ja niillä laskeminen LOGARITMIN KÄSITE Esimerkki 1 Oletetaan, että bakteeri jakaantuu kahtia yhdessä tunnissa. Kuinka kauan sitten ensimmäinen bakteeri jakaantui, kun niitä nyt on 64 kpl. Probleemasta saadaan yhtälö 2 x = 64 (ks. kohtaa potenssit). Yhtälö voidaan ratkaista muokkaamalla sen oikeaa puolta 2 x = 2 2 2 2 2 2 Mikä kokonaisluku toteuttaa yhtälön? Kirjoitetaan yhtälön oikea puoli potenssimuotoon ja saadaan 2 x = 2 6 mistä nähdään, että x = 6 VASTAUS: Ensimmäinen bakteeri jakaantui 6 tuntia aikaisemmin. Tehtävä voidaan ratkaista ottamalla käyttöön uusi käsite: logaritmi. Sanotaan, että tehtävän ratkaisu, luku 6, on 2-kantainen logaritmi luvusta 64, ja merkitään x = log 2 64 = 6

2 LOGARITMIT JA NIILLÄ LASKEMINEN Esimerkki 2 Mitä on kolmikantainen logaritmi yhdeksästä eli log 3 9? Nyt siis kysytään, mihin potenssiin 3 on korotettava, jotta saataisiin 9: 3 x = 9 Yhtälö toteutuu, kun x = 2, sillä 3 2 = 9 Siis log 3 9 = 2 Yleisesti voidaan määritellä: Jos k x = a, niin x on luvun a logaritmi järjestelmässä k, ja merkitään x = log k a Logaritmin määritelmä voidaan esittää myös muodossa: log k a tarkoittaa sitä eksponenttia x, johon k on korotettava, jotta saataisiin tulokseksi a, siis k x = a. Muistikaavio on log k a = x potenssiin Nimitykset: k on logaritmijärjestelmän kantaluku (k>0, k 1) ja a on numerus. Huomaa! Kantaluvun logaritmi on aina yksi, siis log k k = 1, koska k 1 = k Huomaa! log k 1 on kaikissa logaritmijärjestelmissä nolla, sillä k 0 = 1 Esimerkki 3 log 10 100 = 2, sillä 10 2 = 100 Esimerkki 4 log 10 0,1 = 1 sillä 10 1 1 = ----- = 0,1 10

LOGARITMIT JA NIILLÄ LASKEMINEN 3 Esimerkki 5 log 4 2 = 0,5 sillä 4 0,5 = 4 = 2 Ilman laskinta logaritmitehtävä voidaan ratkaista muuttamalla tehtävä ensin logaritmin määritelmän mukaan eksponenttimuotoon ja muokkaamalla niin, että yhtälön kummallakin puolella on sama kantaluku, jolloin saadaan eksponenteista uusi yhtälö, joka ratkaistaan x:n suhteen. Esimerkki 6 Ratkaise x, kun log 5 125 = x Logaritmin määritelmästä seuraa, että 5 x = 125 5 x = 5 5 5 5 x = 5 3, joten x = 3 LOGARITMIJÄRJESTELMÄT Logaritmit järjestetään kantalukunsa mukaan. Yleisimmin käytetty logaritmijärjestelmä on briggsiläinen logaritmi, jonka kantaluku on 10. Tämän järjestelmän merkinnässä jätetään kantaluku usein kirjoittamatta: kirjoitetaan vain lg. Luonnonilmiöiden ja tekniikan yhteydessä käytetään kantalukuna Neperin lukua e, jonka likiarvo on 2, 718281828 Tällöin puhutaan luonnollisista logaritmeista. Niistä käytetään merkintää ln. Tietotekniikan maailmassa luku 2 on tärkeä. Siksi siellä logaritmien yhteydessä käytetään kaksikantaisista logaritmeista lyhennystä lb.

4 LOGARITMIT JA NIILLÄ LASKEMINEN LOGARITMIEN LASKUSÄÄNNÖT Logaritmien yhteydessä laskut yksinkertaistuvat, kun voidaan käyttää seuraavia laskusääntöjä: Tulon logaritmi log k ab = log k a + log k b Osamäärän logaritmi a log k -- = log k a log k b b Potenssin logaritmi log k a n = n log k a Esimerkki 7 VASTAUS: Lausu lukujen a, b ja c logaritmien avulla seuraava lauseke a log 3 b ---------. c 2 a log 3 b --------- = log a 3 b log c 2 = log a 3 + log b log c 2 c 2 = 3 log a + log b 2 log c 3 log a + log b 2 log c Esimerkki 8 Lasketaan ilman laskinta paljonko on lg 25 + lg 8 lg 2. osamäärä 8 lg 25 + lg 8 lg 2 = lg 25 + lg -- = lg 25 + lg 4 2 tulo potenssi kantaluku = lg 25 4 = lg 100 = lg 10 2 = 2 lg 10 = 2 1 = 2 VASTAUS: lg 25 + lg 8 lg 2 = 2

LOGARITMIT JA NIILLÄ LASKEMINEN 5 LOGARITMIEN KÄYTTÖ Monet luonnonilmiöt ovat luonteeltaan logaritmisia. Korvan kuulema äänenvoimakkuus muuttuu logaritmisesti äänen intensiteetin kasvaessa, ja vesiliuosten oksoniumionipitoisuus eli happamuus ilmaistaan logaritmisena ph-lukuna. Graafisissa kuvaajissa logaritmiasteikko on käyttökelpoinen silloin, kun asteikko on hyvin laaja, kun muuttujien arvot siis vaihtelevat vaikkapa sata- tai tuhatkertaisesti. Esimerkiksi seuraavassa nomogrammissa on käytössä logaritminen asteikko. EMÄSVAJAUS 20 25 15 10 NOR- MAALI 5 0 EMÄSYLIMÄÄRÄ +5 +10 +15 +20 +25 +30 akuutti emäsvajaus akuutti liikahiilidioksidisuus krooninen emäsvajaus solun emäsylimäärä (mmol/l) krooninen liikahiilidioksidisuus NOR- MAALI krooninen hiilidioksidivajaus krooninen emäsylimäärä akuutti hiilidioksidivajaus mmhg 150 140 130 120 110 100 90 80 70 60 50 40 35 30 25 pco 2 kpa 20,0 19,0 18,0 17,0 16,0 15,0 14,0 13,0 12,0 11,0 10,0 9,0 8,0 7,0 6,0 5,0 4,0 3,5 3,0 2,5 LIIKAHIILIDIOKSIDISUUS NOR- HIILIDIOKSIDIVAJAUS MAALI 2,0 30 plasman ph 6,9 7,0 7,1 7,2 7,3 7,4 7,5 7,6 7,7 1,5 140 120 100 90 80 70 60 50 40 35 30 25 20 plasman vetyionikonsentraatio (10 ph ) HAPANVERISYYS NOR- MAALI EMÄSVERISYYS Verianalyysin nomogrammi, josta nähdään sopivatko potilaan veriarvot normaalialueelle vai sairastaako hän joko akuuttia tai kroonista sairautta.

6 LOGARITMIT JA NIILLÄ LASKEMINEN Käyttämällä logaritmeja voidaan ratkaista eksponenttiyhtälöitä. Laskettaessa, miten paljon jokin tuote on vuosien kuluessa menettänyt arvoaan, voidaan soveltaa koronkorkokaavaa. Vuosittain tuotteen arvo vähenee eikä kasva. Tällöin kaava saa muodon: 100 p K = k 0 ------------------ 100 t missä K = arvo t vuoden kuluttua k 0 = alkuperäinen arvo p = arvonvähennysprosentti t = aika vuosina Esimerkki 9 Multimediatyöaseman ostohinta on 9 900. Verotuksessa sitä voi kuolettaa 30 % edellisen vuoden pääoman mukaan. Lasketaan, milloin 90 % on tullut poistetuksi. Kun 90 % on poistettu, jäljellä on vielä 10 % eli 0,1 9 900 = 9 900 100 30 --------------------- : 9 900 100 t 0,1 = 0,7 t lg lg 0,1 = lg 0,7 t lg 0,1 = t lg 0,7 lg 0,1 t = ------------- = 6,5 lg 0,7 VASTAUS: 7 vuoden päästä

LOGARITMIT JA NIILLÄ LASKEMINEN 7 SIIRTYMINEN LOGARITMIJÄRJESTELMÄSTÄ TOISEEN Esimerkki 10 Pitäisi laskea lb 8 = x, missä siis kantaluku = 2 ja numerus eli a = 8. Suoraan logaritmin määritelmän perusteella lb 8 = x 2 x = 8 2 x = 2 3 x = 3 Koska yleisemmin käytetty kantaluku on kymmenen, siirrytään kymmenkantaisiin logaritmeihin. lb 8 = x 2 x = 8 lg VASTAUS: lb 8 = 3 lg 2 x = lg 8 x lg 2 = lg 8 lg 8 lg 2 x = -------- 3 3 lg 2 = ----------- = ------------- = 3 lg 2 lg 2 lg 2 Kun tunnetaan luvun a logaritmi järjestelmässä k, voidaan yleisesti kirjoittaa m-kantaisen logaritmin laskukaava: log log m a k a = ----------------- log k m

8 LOGARITMIT JA NIILLÄ LASKEMINEN LASKIMEN KÄYTTÖ A.Lasketaan jonkin luvun logaritmi Esimerkki 11 Laske lg 5,1. Näppäillään: 5 1 log, ja laskimen näyttöön tulee luku 0.70757. Esimerkki 12 Laske ln 0,76. Näppäillään: 0 7 6 ln, ja näyttöön tulee 0.027443. B. Kysytään lukua, kun logaritmin arvo tunnetaan Esimerkki 13 Laske a, kun lg a = 1,45678 eli numerus on tuntematon. Silloin käytetään logaritmin määritelmän eksponenttimuotoa eli k x = a, mikä tässä tapauksessa on 10 1,45678 = a. Näppäillään: 1,45678 10 x, ja näyttöön tulee 28,627274. Joissakin laskimissa täytyy käyttää INV - tai 2 nd F -näppäintä ennen 10 x -näppäintä. Jos laskimessa ei ole 10 x -näppäintä, vaan sen sijaan näppäin a x, tai y x näppäillään: 10 a x 1,45678 = tai 10 y x 1,45678 = jolloin näyttöön tulee 28,627274. Esimerkki 14 Laske luku, kun sen luonnollisen logaritmin arvo on 0,312821 eli ln a = 0,312821. Näppäillään: 0,312821 +/ e x, ja näyttöön saadaan 0,73138.

LOGARITMIT JA NIILLÄ LASKEMINEN 9 C. Lasketaan muun kuin kymmenkantaisen logaritmin arvo Esimerkki 15 Laske log 8 5. Kirjoitetaan tehtävä muotoon: lg 5 log 8 5 = -------- lg 8 Näppäillään: 5 log 8 log jolloin saadaan näyttöön 0.77397. LOGARITMINEN ASTEIKKO GRAAFISESSA ESITYKSESSÄ Vertaa alla olevaa kahta asteikkoa tasavälistä ja logaritmista. 0 200 400 600 800 1000 10 0 2 3 4 5 6 7 8 910 1 2 3 4 5 6 7 8 910 2 2 3 4 5 6 7 8 910 3 Logaritminen asteikko on tasavälinen, jos jaotukseksi otetaan kymmenen potenssit. Kun käytetään kaupallisia puolilogaritmipapereita, eksponenttifunktion a = k x kuvaaja on suora, sillä logaritmin määritelmän mukaanhan x = log k a. Suoralta voi paljon helpommin ja tarkemmin lukea arvoja kuin eksponentiaalisesti nousevalta tai laskevalta käyrältä.

10 LOGARITMIT JA NIILLÄ LASKEMINEN Alla olevat kuviot on piirretty seuraavan funktiotaulukon mukaan. x a 1 10 2 100 2,5 316 3 1 000 a 10 3 a 1 000 a = 10 x 10 2 500 10 1 0 1 2 3 x 10 0 0 1 2 3 x asteikko on tasavälinen puolilogaritminen Kun kuvaaja on piirretty, usein onkin ongelmana selvittää x:n arvo kun a:n arvo tunnetaan. Kuvaajista nähdään miten eksponentiaaliselta käyrältä on aivan mahdotonta selvittää x:n arvoja kun a < 10. Jos x saisi arvon 0,5 niin eksponenttikäyrältä ei saada vastausta, mutta logaritmisestä kuvaajasta voidaan helposti lukea, että x:n arvoa 0,5 vastaava a:n arvo on 3.

LOGARITMIT JA NIILLÄ LASKEMINEN 11 Esimerkki 16 Lääkeainetta annettiin koehenkilölle suonensisäisesti. Hänestä otettiin viisi verinäytettä seuraavina ajankohtina: 1 h, 4 h, 6 h, 8 h, 10 h. Plasmasta mitattiin ajankohtia vastaavat lääkeainepitoisuudet 43, 14, 6,8, 4,0 ja 2 μg/ml. Piirretään puolilogaritmipaperille kuvaaja pitoisuus vs. aika siten, että pitoisuus tulee logaritmiseen asteikkoon piirretyksi. Saatua kuvaajaa kutsutaan lääkeaineen eliminaatiokuvaajaksi, josta voidaan määrittää puoliintumisaika T 1 2, eli se aika, jolloin lääkkeen pitoisuus on vähentynyt puoleen alkuperäisestä. Lääkeaineen eliminaatiokuvaaja 1 2 3 4 5 16 7 8 9 10 2 3 4 5 6 7 8 9 0 C (mg/ml) T 1/2 = 2h 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 aika (h) Kuvaajasta nähdään, että alkupitoisuus C 0 = 60 mg/ml. Kun pitoisuus on vähentynyt puoleen C C = o = 30 mg/ml 2 saadaan T 1/2 = 2h.

12 LOGARITMIT JA NIILLÄ LASKEMINEN Tehtäviä Laske tehtävät 1 4 ilman laskinta. 1. Mikä luku tulee x:n paikalle seuraavissa yhtälöissä? a) 2 x = 8 b) 10 x = 0,1 c) 4 x = 2 2. Kirjoita edelliset harjoitukset logaritmin muotoon. 3. Ratkaise a) log 3 27 = x, b) log 10 0,01 = x, c) log 7 49 = x. 4. Tee vihkoosi taulukko, jossa on viisi saraketta. Nimeä sarakkeet seuraavasti: Tehtävä, kantaluku, numerus, k x = a ja x. Täytä taulukko alla olevien tehtävien mukaan a) log 2 16 b) log 3 3 c) log 100 10 4 5. Laske lg a, kun a saa arvot a) 4,2 b) 1276 c) 0,35 6. Laske a, kun sen Briggsiläinen logaritmi saa arvot a) 0,47712 b) 2,47712 c) 0,256 7. Laske tehtävät 5 ja 6 luonnollisten logaritmien avulla. 8. Lausu lukujen a, b ja c logaritmien avulla ab a) log 2 3 --------- b) log 3 -- ac 6 4 log a bc c 9. Ratkaise yhtälö lg 100 x = lg 100 lg x 10. Ratkaise yhtälö log 3 x = log 3 2x 2 + 3 11. Kumpi luvuista lg(2 + 3) vai (lg2 + lg3) on suurempi? 12. Korvan kuulema äänenvoimakkuus on verrannollinen äänen intensiteetin logaritmiin. Kun on useita äänilähteitä, äänenvoimakkuus desibeleinä (db) on S = S 1 + 10 lg n missä n = äänilähteiden lukumäärä ja S 1 = yhden äänilähteen äänenvoimakkuus. a) Laske kuinka kova meteli syntyy lastenhuoneessa, jossa on 5 lasta, kun yksi lapsi aiheuttaa 80 db:n melun. b) Kuinka monta lasta tarvittaisiin, jotta kipuraja 120 db ylittyisi?

LOGARITMIT JA NIILLÄ LASKEMINEN 13 13. Yhden tiu'un äänenvoimakkuus on 10 db. Kuinka suuri on äänenvoimakkuus yhteensä, kun tiukuja on a) 10, b) 20, c) 80? (Ks. tehtävää 12.) 14. Jos kaiuttimen äänenvoimakkuus S 1 etäisyydellä l 1 tunnetaan, voidaan äänenvoimakkuus S etäisyydellä l 2 laskea yhtälöstä: l S = S 1 + 20lg --- 1 db l 2 a) Orkesterin soittaessa lavalla soitto kuuluu kaiuttimista 2 m:n päähän 85 db:n voimalla. Kuinka suuri on äänenvoimakkuus viimeisellä tuolirivillä, jonne on matkaa 20 m? b) Kuinka kauas olisi kuulijan mentävä, jotta soitto kuuluisi kuiskauksena eli 20 db:n voimakkuudella? 15. Vesiliuosten happamuuden mitta on ph-luku, mikä määritellään seuraavasti: ph = lg [H 3 O + ], missä [H 3 O + ] tarkoittaa oksoniumionien konsentraatiota (= vetyionipitoisuus yksiköissä mooli/litra). Liuos on hapan, jos oksoniumionien pitoisuus eli [H 3 O + ] > 10 7 mol/l eli ph<7, liuos on emäksinen, jos oksoniumionien pitoisuus eli [H 3 O + ] <10 7 mol/l eli ph>7, ja neutraali, jos oksoniumionien pitoisuus eli [H 3 O + ] = 10 7 mol/l eli ph = 7. a) Onko liuos hapan, jos sen [H 3 O + ] = 10 4 mol/l? b) Mikä on kyseisen liuoksen ph? c) Jos liuoksen ph = 8, niin mikä on sen oksoniumionikonsentraatio? H 2 O [H 3 O + ] 10 14 10 7 10 1 ph emäksinen hapan 14 7 1 16. Tee vihkoosi kolmesarakkeinen taulukko. Sarakkeet voidaan nimetä seuraavasti: oksoniumionikonsentraatio eli vetyionikonsentraatio, ph ja liuoksen luonne (emäksinen, neutraali vai hapan). Täytä muut sarakkeet, kun a) [H 3 O + ] = 1 10 2 mol/l b) [H 3 O + ] = 5,6 10 5 mol/l c) [H 3 O + ] = 2,1 10 8 mol/l d) ph = 3 e) ph = 7,0 f) ph = 9,2 17. Laske log 6, 36 a) ilman laskinta b) laskimella.

14 LOGARITMIT JA NIILLÄ LASKEMINEN 18. Laske log 9 a, kun tiedetään, että log 3 a = 81. 19. Laske edellisen tehtävän numeruksen arvo. 20. a) Laske log 12 a, kun tiedetään, että lg a = 2. b) Mikä on a:n arvo? 21. a) Laske lg a, jos ln a = 4. b) Mikä on a:n arvo? 22. a) Piirrä logaritmiseen asteikkoon seuraavat x:n arvot: 0,7 2,5 32,0 111,6 811,0 1 489,5 b) Piirrä samat luvut tasaväliseen asteikkoon. 23. Piirrä erään antibioottilääkkeen eliminaatiokäyrä puolilogaritmiselle asteikolle kun havainnot ovat seuraavat aika/h 0,5 1,5 3,0 5,0 14,0 24 pitoisuus/ 4,8 4,4 3,8 3,2 1,5 0,6 μg/ml 24. Tehtävän 23 antibioottilääkettä, jonka pitoisuus on 5,0 μg/ml, on annettava siten, ettei sen pitoisuus potilaassa alita arvoa 1,0 μg/ml. Onko lääkettä annettava kerran, kaksi vai kolme kertaa vuorokaudessa? 26. Käytettyjen autojen arvonvähennys on verottajan mukaan 30 % vuodessa. Mikä on seuraavien autojen arvo kolmen vuoden kuluttua käyttöön otosta? a) ostohinta 8 000 b) ostohinta 13 000 c) ostohinta 22 000 27. Kauanko on säästettävä, jotta pääoma kaksinkertaistuisi, kun korkoprosentti on 2,0 %? 28. Perämoottori maksoi uutena ostettaessa 18 000. Kahden vuoden kuluttua sen arvo oli 8 800. Alla olevaan kuvioon on piirretty arvonalennuksen mukainen kuvaaja, jonka oletetaan laskevan eksponentiaalisesti. Määritä kuvan avulla perämoottorin arvo a) vuoden kuluttua b) viiden vuoden kuluttua. 20 000 15 000 Perämoottorin arvon aleneminen 25. Mikä on syövän hoidossa käytetyn radioaktiivisen koboltti-60:n, 60 Co, puoliintumisaika, kun koboltin hajoamisesta on tehty seuraavat havainnot: aika/a 2 6 10 koboltti-60 jäljellä 76 % 45 % 27 % Merkitään hetkellä t saatua lukemaa N:llä ja hetkellä t 0 N 0 :lla. Piirrä N/N o vs. t siten, että N/N 0 tulee logaritmiselle asteikolle. 10 000 5 000 1 2 3 4 5

Tiheyden huomioonottaminen liuoslaskuissa TIHEYDEN HUOMIOONOTTAMINEN LIUOSLASKUISSA 1 Liuosten pitoisuuksien muuntamisissa tarvitaan aina molemmat sekä itse liuoksen tiheys että liuenneen aineen tiheys. Jos liuotinta ei ole erikseen mainittu, liuottimena on vesi. Jos liuottimena on vesi, muunnokset ovat helppoja, koska veden tiheys on huoneenlämmössä 1,00 kg/l tai 1,00 g/ml Lääkeliuosten yhteydessä oletetaan, että niiden tiheys on sama kuin veden, koska vaikuttavaa ainetta on hyvin vähän. Mutta kun liuottimena on jokin muu aine kuin vesi, sen tiheys pitää ottaa huomioon. Valmistettaessa pieniä liuoseriä käytetään tilavuusprosentteja, kun taas tehdasmaisessa tuotannossa käytetään massaprosentteja. Esimerkki 1 Lasketaan 38-m-%:sen etanoliliuoksen tilavuusprosenttisuus, kun etanolin tiheys on ρ (etanoli) = 0,794 g/ml huoneenlämmössä. Prosenttisuuslaskuissa, joissa ei ole mainittu absoluuttisia tilavuuksia tai massoja, voidaan itse valita jokin sopiva määrä. Massaprosenttisuuksien yhteydessä se on 1,00 kg ja tilavuusprosenttien yhteydessä se on 1,00 litraa. Koska esimerkissä on m-%, niin oletetaan, että kyseistä liuosta on 1,00 kg = 1000 g, jolloin siinä on etanolia 38 --------- 100 1 000 g = 380 g Vettä on 1 000 g 380 g = 620 g

2 TIHEYDEN HUOMIOONOTTAMINEN LIUOSLASKUISSA Tilavuus saadaan ratkaistuksi tiheyden lausekkeesta ρ m = ----, missä ρ = aineen tiheys V m = saman aineen massa V = saman aineen tilavuus Tiheyden lausekkeesta voidaan ratkaista myös massa ja tilavuus m = ρ V ja V = m ---- ρ Muistikaavio. Peittämällä haluamasi suureen symbolin näet suoraan siitä, miten se ratkaistaan. m ρ V Etanolin tilavuus voidaan nyt ratkaista V(etanoli) = V(vesi) = m(etanoli) ------------------------- ρ(etanoli) m(vesi) ------------------ ρ(vesi) 380 g --------------------------- 0,794 g/ml = 620 ml = 479 ml Liuoksen tilavuusprosenttisuus etanolin suhteen on til-% = liuenneen aineen tilavuus 479 ml ------------------------------------------------------------------ = ------------------------------------------- koko liuoksen tilavuus 479 ml + 620 ml 100% = ---------------------- 479 ml 100 % = 43,6 % 1 099 ml VASTAUS: 38-m-%:sen etanoliliuoksen til-%:suus on 44 % = = 620 g ------------------------ 1,00 g/ml

TIHEYDEN HUOMIOONOTTAMINEN LIUOSLASKUISSA 3 Esimerkki 2 Lasketaan 10-til-% etanoliliuoksen massaprosenttisuus, kun tiedetään 10-til-%:sen etanoliliuoksen ja liuenneen aineen tiheydet. ρ (10 til-% etanoliliuos) = 0,984 kg/l ja ρ (etanoli) = 0,794 kg/l Koska on kyse til-%:sta oletetaan, että 10 til-% etanoliliuosta on 1,000 litraa. Silloin siinä on etanolia liuenneena 10 --------- 100 1,000 l = 0,100 l jonka massa saadaan tiheyden kaavasta m = 0,794 kg/l 0,100 l = 0,0794 kg m = ρv Lasketaan koko liuoksen massa m = 0,984 kg/l 1 l = 0,984 kg Lopuksi lasketaan m-% 0,794 kg m-% = ---------------------- 100% = 8,07% 0,984 kg VASTAUS: 8,1 m-% Esimerkki 3 Lasketaan 2,5 til-% glyseroliliuoksen m-%. ρ (glyseroli) = 1,261 g/ml ja ρ (2,5 til-% glyseroliliuos) = 1,005 g/ml Koska on kyse til-%, niin oletetaan, että 2,5 til-% glyseroliliuosta on 1,000 l, silloin siinä on glyserolia V = 2,5 --------- 100 1 000 ml = 25 ml Glyserolin massa voidaan laskea tiheyden kaavasta m = ρ V = 1,261 g/ml 25 ml = 31,52 g

4 TIHEYDEN HUOMIOONOTTAMINEN LIUOSLASKUISSA Koko liuoksen massa saadaan vastaavasti m = 1,005 g/ml 1 000 ml = 1 005 g, jolloin voidaan laskea m-% 31,52 g m-% = ------------------- 100 % = 3,14 % 1 005 g VASTAUS: 2,5 til-% glyseroliliuoksen m-%:suus on 3,1. Nyrkkisääntö: Jos liuenneen aineen tiheys < liuottimen tiheys, niin m-% < til-%, mutta jos liuenneen aineen tiheys > liuottimen tiheys, niin m-% > til-%. Huomaa! Esimerkeissä 1 ja 2 liuottimena on vesi ja liuenneena aineena on etanoli, joten m-% til-% 38< 44 ja 8,1< 10 Esimerkissä 3 glyserolin tiheys on suurempi kuin veden, siispä nyrkkisäännön mukaan tulos on oikea eli 3,1> 2,5 Tehtäviä 1. Lääkeliuoksen tiheys on 1,1 g/ml. Montako grammaa vaikuttavaa ainetta on 25 ml:ssa liuosta, jos liuos on 20 m-%:nen? 2. Erään 18 m-%:sen liuoksen tiheys on 1,08 g/ml. Paljonko liuennutta ainetta on 150 ml:ssa liuosta? 3. Liuoksen tiheys on 1 300 kg/m 3. 100 ml liuosta sisältää lääkeainetta 15 g. Mikä on liuoksen m-%? 4. Jotta autoa voitaisiin käyttää pakkasellakin, jäähdytinnesteeseen pitää lisätä glykolia. Laske montako til-% on 10-m-% glykoliliuos, kun ρ (glykoli) = 1,109 kg/l ja ρ (10-m-% glykoliliuos) = 1,012 kg/l? Totea nyrkkisäännön paikkansapitävyys. 5. Tuulilasinpesuneste sisältää 50-til-% etanolia. Paljonko sen pitoisuus on massaprosenteissa lausuttuna, kun ρ (etanoli) = 0,794 kg/l ja ρ (50 til-%) = 0,928 kg/l?