Kertaus K. a) 6 4 64 0, 0 0 0 0 b) 5 6 = 5 6 = =, 0 c) d) 4 4 4 7 4 ( ) 7 7 7 7 87 56 7 7 7 K. a) b) c) d) 6 6 a a a, a > 0 6 6 a a a a, a > 0 5 5 55 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 a a a a a ( a ) a a a, a > 0
K. Koska vaa an lukema on kääntäen verrannollinen Maan keskipisteestä mitatun etäisyyden neliöön, saadaan yhtälö l k. Ratkaistaan k, kun r tiedetään, että vaa an lukema on 55,7 kg, kun etäisyys keskipisteestä on 680 km. 55,7 k 680 k 55,7 680 675080 Pohjoisnavalla r = 660 km. Ratkaistaan vaa an lukema l. l 675080 56,05... 56, 660 Vaa an lukema on pohjoisnavalla 56, kg. K4. Olkoon verrannollisuuskerroin k. Sisälämpötilan ollessa C, lämmityskustannukset ovat k ( ( )) = 4k. Sisälämpötilan ollessa C, lämmityskustannukset ovat k ( ( )) = k. Lämmityskustannukset pienenevät 4 k k 0,046... 4, %. 4k 4
K5. a) Funktio f ( ) 5 on määritelty, kun 5 0, eli 5. f( ) D(5 ) (5 ) ( ) 5 f () 5 4 4 b) Funktio f( ) 6 on määritelty, kun + 6 0, eli. f( ) D(6) (6) 6 f () 6 9 6
K6. a) 5 5 4 : ( ) 8 b) 000 Yhtälön vasen puoli on määritelty, kun 0. Tällöin yhtälön molemmat puolet ovat ei-negatiivisia ja yhtälö voidaan korottaa puolittain toiseen potenssiin. 000 000000 00 Ratkaisu toteuttaa määrittelyehdon. c) Yhtälön vasen puoli on määritelty ja ei-negatiivinen, kun. Myös yhtälön oikean puolen tulee olla ei-negatiivinen, eli. Molemmat ehdot toteutuvat, kun. Korotetaan yhtälö puolittain toiseen potenssiin. ( ) 0 ( ) 0 0tai Ratkaisuista ehdot toteuttaa vain =.
d) 4 0 4 Yhtälön vasen puoli on määritelty, kun. Tällöin myös oikea puoli saa ei-negatiivisia arvoja. Korotetaan yhtälö puolittain toiseen potenssiin. 6( ) 648 0 4tai Molemmat ratkaisut toteuttavat ehdot. e) f ( ) Funktio f on määritelty, kun juurrettava + 0. + = 0 ( + ) = 0 = 0 tai = Kuvaaja on ylöspäin aukeava paraabeli, joten + 0, kun tai 0. f( ) D( ) ( ) (), < ja < 0 0, kun 0 Ratkaisu ei kuulu määrittelyjoukkoon, joten yhtälöllä ei ole ratkaisuja.
K7. Funktion f kuvaajan ja suoran leikkauspisteet ratkaistaan yhtälöstä 5 0. Yhtälön vasen puoli on määritelty ja ei-negatiivinen, kun 5 0, eli 5. Yhtälön oikean puolen tulee myös olla ei-negatiivinen: 0 0, eli 5. Molemmat ehdot toteutuvat, kun 5. Korotetaan yhtälö puolittain toiseen potenssiin. 5 (0) 54 4000 4 4 05 0 5 tai 7 4 Ratkaisuista ehdon täyttää vain = 7. Leikkauspisteen y-koordinaatti on y = 7 0 = 4. Leikkauspiste on (7, 4)
K8. Vaakasuoran tangentin kulmakerroin on 0. Funktion kuvaajalla on vaakasuora tangentti, jos jollakin muuttujan arvolla f () = 0. f( ) D( ) Ratkaistaan derivaatan nollakohdat, kun > 0. 0 Koska > 0, ei yhtälön vasen puoli voi olla negatiivinen millään :n arvolla, joten yhtälöllä ei ole ratkaisua. Opiskelijan väite on siis tosi.
K9. Laaditaan funktion f ( ), 0, kulkukaavio. Määritetään funktion f derivaatta. f( ) D D ( ) ( ) ) ( ) ( ) Lasketaan derivaatan nollakohdat. 0, kun 0 Kun > 0, on derivaatan lausekkeen nimittäjä aina positiivinen. Derivaatan merkki määräytyy osoittajan merkin perusteella. > 0, kun > ja < 0, kun 0 < <. 0 f () + f() Funktion f pienin arvo on f (). Suurinta arvoa ei ole.
K0. Funktio f ( ) 4 4 on määritelty, kun + 4 0, eli ja 4 0, eli 4. Funktio f on siis määritelty välillä 4. Tutkitaan funktion kulkua derivaatan avulla. f( ) D( 4 4 ) D((4) (4 ) ) (4) (4 ) ( ), 4 4 4 Ratkaistaan derivaatan nollakohdat. 0 4 4 4 4 4 4 (), 4 4(4 ) 4 6 44 6 : ( 6) Derivaatan nollakohta = kuuluu funktion määrittelyvälille. Lasketaan derivaatan merkki nollakohdan kummallakin puolella testikohtien avulla. f (0) = 0 4 f () = 0 0 Funktio f on kasvava, kun ja vähenevä, kun 4. Jatkuva funktio saa suurimman ja pienimmän arvonsa suljetulla välillä välin päätepisteissä tai derivaatan nollakohdissa. f( ) = 0 + 6 = 6 f(4) = 0 4 f() = 8 (suurin). Funktion suurin arvo on.
K. a) b) f ( ) e D( ) e ( ) e f ( ) e D( ) e 6e f 0 (0) 6e 6 6 K. Määritetään derivaattafunktio. f e e ( ) 8 8 Lasketaan derivaattafunktion nollakohdat. e 80 e 8 : e 9 ln9 : ln 9 ln 9 ln 9 ln 9 ln
K. Pinta-alan funktio on f( ) 400 000 0,995. Vuodesta 970 on kulunut vuoteen 00 mennessä 60 vuotta. 60 f (60) 400 0000,995 400 000 0,740... Pinta-ala on pienentynyt vuoteen 00 mennessä 6 %. Pinta-ala on puolittunut, kun kerroin 0,995 on 0,5. 0,995 = 0,5 ln 0,995 = ln 0,5 ln 0,995 = ln 0,5 : ln 0,995 ln 0,5 = 8,8... ln 0,995 Pinta-ala on puolittunut, kun on kulunut 8, vuotta vuodesta 970, eli vuoden 08 aikana. K4. Tarkastellaan funktion f ( ) kulkua derivaatan avulla. e ( ) e f e e ( ) ( e ) e e e Derivaattafunktion lausekkeessa nimittäjä e on positiivinen kaikilla muuttujan arvoilla. Derivaatan merkkiin vaikuttaa vain osoittajan merkki. Funktio f on kasvava, kun 0, eli ja vähenevä, kun.
K5. Laaditaan funktion f ( ) ( ) ( ) e kulkukaavio. f e Derivaatan lausekkeessa tekijä e on aina positiivinen. Derivaatan merkkiin vaikuttaa vain tekijä. Lasketaan derivaatan nollakohdat. = 0 = = tai f () + f() Funktion f paikallinen minimiarvo on ( ) f ( ) e e e. Funktion f paikallinen maksimiarvo on ( ) f ( ) e e e. Lasketaan funktion arvo suljetun välin [, ] päätepisteissä. ( ) 0 f ( ) e e 6 f () e e 6 e Funktion suurin arvo välillä [, ] on e ja pienin arvo 6 e.
K6. Tutkitaan funktion f() = ( 5)e kulkua derivaatan avulla, kun 0. f e e e ( ) ( ) ( 5) ( ) ( 4) Derivaatan lausekkeessa tekijä e on aina positiivinen, joten derivaatan merkkiin vaikuttaa vain tekijän + + 4 merkki. Lasketaan derivaatan nollakohta. + + 4 = 0 = tai = 4 Laaditaan kulkukaavio. 0 4 f () + f() Funktion suurin arvo on f(4) = (4 4 5)e 4 = 7e 4 = 7 4. e Funktion arvo kohdassa = 0 on f(0) = 5. Kun muuttujan arvot kasvavat kohdan = 4 jälkeen, funktio arvot pienenevät. Funktion lausekkeessa tekijän 5 nollakohdat ovat,8 ja,8. Tekijällä 5 ei ole nollakohtia kohdan = 4 oikealla puolella ja koska sen kuvaaja on ylöspäin aukeava paraabeli, on tekijä aina positiivinen, kun > 4. Myös tekijä e on aina positiivinen. Funktio f saa siis vain positiivisia arvoja kohdan = 4 oikealla puolella. Tällöin funktion f pienin arvo on 5.
K7. a) log 6 = 4, koska 4 = 6. b) Yhtälön = 0 ratkaisu on = log 0,7 c) log 9 =, koska = 9 log, koska log = 0, koska 0 = d) log 5 = = 5 = 5 5 e) ln 7 7 e K8. a) b) c) d) log log log64 log69 log64 9 log66 log66 ln 7 ln ln 7 ln 7 0,5 ln 0,5ln6 ln ln6 ln ln 6 ln ln 4 ln 4 ln ln ln
K9. Lasketaan kuvaajien leikkauspiste yhtälöstä g() = h(). lg = lg( ) = = = y = g( ) = lg = lg Leikkauspiste on (, lg ).
K0. a) 7 b) + ln = ln = = e = e tai = e c) log log ( 8), 0 log log ( 8) log ( 8) ( 8) 890 9tai Määrittelyehdon täyttää vain =. d) 55 0, 5 5 0 5 5 5 5
K. Funktio f() = ln ( ) on määritelty, kun > 0, eli kun <. Funktion f arvo kohdassa nolla: f(0) = ln ( 0) = ln. Funktion f nollakohdat: ln ( ) = 0 = e 0 = = K. a) f ( ) ln ln, > 0 f( ) b)
K. Tutkitaan funktion f() = ln, > 0 kulkua derivaatan avulla. f ( ) ln ln, > 0 Lasketaan derivaatan nollakohdat. ln + = 0 (ln + ) = 0 = 0 tai ln + = 0 ln = ln = e 0,6 e Vain nollakohta = toteuttaa määrittelyehdon. e Laaditaan funktion kulkukaavio. Kun > 0, derivaatan lausekkeessa tekijä on positiivinen, joten derivaatan merkkiin vaikuttaa vain tekijä ln +. Lasketaan derivaatan merkki testipisteissä. f () merkki 0,5 0,9 + 0 e f () + f() Funktion pienin arvo on f ( ) ( ) ln ln e ( ). e e e e e e
K4. Epäyhtälö ln voidaan kirjoittaa muodossa ln 0. Tarkastellaan funktiota f() = ln. Funktio f on määritelty, kun > 0. Tutkitaan funktion f kulkua derivaatan avulla. f( ), > 0 Lasketaan derivaatan nollakohdat. 0 Laaditaan funktion kulkukaavio. Lasketaan derivaatan merkki testipisteissä. f () merkki 0,5 + 0 f () + f() Funktion f pienin arvo on f() = ln = 0. Tällöin epäyhtälö ln 0 pätee aina, joten myös epäyhtälö ln on tosi.