Marko Vauhkonen Kuopion yliopisto Sovelletun fysiikan laitos E-mail: Marko.Vauhkonen@uku.fi Marko Vauhkonen, Kuopion yliopisto, Sovelletun fysiikan laitos Slide 1
Sisältö Mallintamisesta mallien käyttötarkoituksia (suora ja epäsuora) Estimointiteoriaa havaintomalli mallin parametrien estimointia lineaarinen ja epälineaarinen tilanne huonosti asetettu ongelma Impedanssitomografia ongelman kuvaus tilannetta kuvaava matemaattinen malli mallin ratkaiseminen (suora ongelma) tomografiakuvan ratkaiseminen (käänteisongelma) sovelluksia tuloksia Marko Vauhkonen, Kuopion yliopisto, Sovelletun fysiikan laitos Slide 2
Matemaattiset mallit ja niiden soveltaminen Matemaattisia malleja sovelletaan useilla eri tieteenaloilla, useisiin eri tilanteisiin ja ongelmiiin Tutkittavasta tilanteesta tehdyn mallin avulla voidaan tietokoneella simuloida todellista tilannetta (kokeen korvike) Jatkossa tarkastellaan fysikaalisia malleja, joissa lähtökohtana on fysiikan lait. Usein ODY:ä Marko Vauhkonen, Kuopion yliopisto, Sovelletun fysiikan laitos Slide 3
Mallien suora käyttö Usein matemaattisia malleja sovelletaan tutkittaessa mallitettavan kohteen käyttäytymistä eri tilanteissa, erilaisilla parametreilla ja reunaehdoilla Testataan mitä jos -tilanteita Esimerkiksi Kolarisimulaattorilla voidaan testata erilaisa törmäysnopeuksia, törmäyssuuntia, runkorakenteita ja -vahvuuksia yms. Sekoittimen virtauslaskentamallilla voidaan testata erilaisia sekoittimen lapoja, haittalevyjen tai sekoituskammion muotoja, yms. Pään sähkökenttälaskentaan tehdyn mallin avulla voidaan testata mm. johtokyvyn muutosten vaikutusta virran kulkuun Näissä tilanteissa malli (suora ongelma) ratkaistaan käyttän siihen soveltuvaa ohjelmistoa Marko Vauhkonen, Kuopion yliopisto, Sovelletun fysiikan laitos Slide 4
Mallien epäsuora käyttö, optimointi Malleja hyödynnetään optimoitaessa esim. mallitettavan kappaleen jotakin ominaisuutta tai mallin jotakin reunaehtoa Esimerkiksi Purjeveneen runkomuodon optimointi (kestävä, kevyt, nopea + rajoitukset pituus, paino) Sädehoidon annossuunnittelussa optimoidaan säteilykenttien suunnat ja voimakkuudet parhaan hoitovasteen saavuttamiseksi Näissä minimoidaan (maksimoidaan) jotakin kriteeriä tietyin rajoituksin Mallin parametrejä muutetaan sopivaan suuntaan, jotta optimi saavutettaisiin Kunkin muutoksen jälkeen malli joudutaan ratkaisemaan uusilla parametrien arvoilla. Iteraatiota jatketaan, kunnes optimi saavutetaan Marko Vauhkonen, Kuopion yliopisto, Sovelletun fysiikan laitos Slide 5
Mallien epäsuora käyttö, parametrien estimointi Mallien suora soveltaminen ja optimointi voidaan tehdä puhtaasti tietokonetta hyödyntäen Mallin parametrejä (kohteen fysikaalisia ominaisuuksia) estimoitaessa tutkittavasta kohteesta tehdään havaintoja Havaintojen ja mallin avulla pyritään laskemaan arvio, estimaatti, mallin jollekin tuntemattomalle parametrille Esim. keskinopeuden v estimointi. Nopeutta hankala mitata suoraan. Mitataan tiettyyn matkaan s (säädettävä muuttuja) käytetty aika t (havainto). Malli on muotoa t = 1 v s (1) josta saadaan (yksi mittaus) ˆv = s t (2) Marko Vauhkonen, Kuopion yliopisto, Sovelletun fysiikan laitos Slide 6
Mallien epäsuora käyttö, parametrien estimointi Esim. jousivaa an jousivakion k määrittäminen. Malli (approksimatiivinen) on muotoa F = kx (3) missä F on jousen venyttämiseen käytetty voima ja x on poikkeama tasapainoasemasta Venymien x ja tunnettujen voimien F avulla pyritään ratkaisemaan jousivakio k (useita mittauksia, eri F ) Marko Vauhkonen, Kuopion yliopisto, Sovelletun fysiikan laitos Slide 7
Mallien epäsuora käyttö, parametrien estimointi Esim. pään sisäisen virtalähteen I paikantaminen EEG-mittausten perusteella (dipoliestimointi). Tähän liittyvä malli on muotoa σ u = I, kohteessa (4) σ u n u = U l, elektrodeilla (5) = 0, kohteen reunalla (6) missä u on potentiaali, σ on sähkönjohtavuus ja n on pinnan yksikkönormaali Pään pinnalta mitattujen jännitteiden Ul (σ oletetaan tunnetuksi) avulla pyritään estimoimaan virtalähdettä I Marko Vauhkonen, Kuopion yliopisto, Sovelletun fysiikan laitos Slide 8
Parametrien estimoinnista Parametriestimoinnissa tarvitaan siis aina kohteesta tehtyjä mittauksia, havaintoja (tietysti nämäkin voi simuloida...) Mittauksia suoritetaan useita, erilaisilla säädettävien muuttujien arvoilla (mahd. myös toistomittauksia) Esim. jousivakioesimerkissä tuntematonta jousta venytetään tunnetuilla painoilla F j. Kirjoitetaan edellä esitetty malli muotoon x j = F j 1 k (7) ja merkitään k = 1/k ja lisätän malliin vielä dummy vakio c, jolloin saadaan x j = F j k + c (8) Marko Vauhkonen, Kuopion yliopisto, Sovelletun fysiikan laitos Slide 9
ja edelleen x 1 = F 1 k + c (9) x 2 = F 2 k + c (10).. (11) Tämä voidaan kirjoittaa edelleen matriisimuotoon x 1 x 2.. x N = F 1 1 F 2 1.... F N 1 ( k c ) (12) jolloin ns. havaintomalli on muotoa x = F b (13) Marko Vauhkonen, Kuopion yliopisto, Sovelletun fysiikan laitos Slide 10
Havaintomalli Yleisesti (diskreetti) havaintomalli on muotoa z = h(θ, x, v) (14) missä z=havainnot θ= tuntemattomat (estimoitavat) parametrit x = säädettävät (tunnetut) muuttujat v = virhe (kohina) Usein havaintomalli on additiivinen kohinan suhteen z = h(θ, x) + v (15) ja edelleen, jos malli on lineaarinen parametrien θ suhteen z = H(x)θ + v (16) Marko Vauhkonen, Kuopion yliopisto, Sovelletun fysiikan laitos Slide 11
Jatkossa merkitään (epälineaarinen tilanne) tai lineaarisessa tapauksessa z = h(θ) + v (17) z = Hθ + v, z R N, H R N M, θ R M, v R N (18) Usein on myös tilanteita, jossa malli on lineaarinen säädettävien (tunnettujen) muuttujien suhteen, mutta epälineaarinen estimoitavien parametrien suhteen, jolloin z = H(θ)x + v (19) Marko Vauhkonen, Kuopion yliopisto, Sovelletun fysiikan laitos Slide 12
Estimointiteoriaa, lineaarinen tilanne Estimointiteoria käsittelee parametriestimointia huomioimalla suureiden θ, v ja z todennäköisyysjakaumat Tässä tarkastelussa keskitytään PNS-estimointiin (Pienimmän NeliöSumman), jossa θ, v ja z ovat deterministisiä Tehtävänä on siis laskea estimaatti parametrille θ kun z on mitattu PNS-mielessä tämä tapahtuu siten, että ratkaistaan minimointiongelma Ratkaisu on helppo löytää normaaliyhtälöiden min θ z Hθ 2 2 (20) H T (Hθ z) = 0 (21) avulla, josta saadaan PNS-estimaatti (jos (H T H) 1 olemassa) ˆθ = (H T H) 1 H T z (22) Marko Vauhkonen, Kuopion yliopisto, Sovelletun fysiikan laitos Slide 13
Epälineaarinen estimointi Epälineaarisessa PNS-estimoinnissa minimoidaan, kuten lineaarisessa tapauksessa funktionaalia Φ = z h(θ) 2 2 (23) Ratkaisussa joudutaan käyttämään iteratiivisia menetelmiä, esim. Gauss-Newton -menetelmää Ratkaisuksi saadaan tällöin ˆθ i+1 = ˆθ i + (J T i J i ) 1 (J T i (z h(ˆθ i )) (24) missä J i on kuvauksen h(θ) Jacobin matriisi Marko Vauhkonen, Kuopion yliopisto, Sovelletun fysiikan laitos Slide 14
Jacobin matriisi Jacobin matriisi on muotoa h 1 h 1 θ 1 θ 2 h 1 θ M h 2 h 2 θ 1 θ 2 h 2 θ M..... RN M (25) h N θ 1 h N θ 2 h N θ M Marko Vauhkonen, Kuopion yliopisto, Sovelletun fysiikan laitos Slide 15
Huonosti asetetut (ill-posed) ongelmat Useat käytännön estimointiongelmat ovat niin sanottuja huonosti asetettuja (ill-posed) Tällaisten ongelmien erityispiirteitä ovat Ratkaisu ei ole yksikäsitteinen Pienet muutokset havainnoissa saattavat aiheuttaa suuria muutoksia estimoiduissa parametreissä (herkkä mallin ja havaintojen virheille) Havaintomatriisin H (tai Jacobin) singulaariarvot lähestyvät vähitellen nollaa Suurimman ja pienimmän singulaariarvon suhde on suuri Lääkkeenä tällaisiin ongelmiin on korvata huonosti asetettu ongelma lähellä olevalla hyvin asetetulla ongelmalla. Tällöin puhutaan ongelman regularisoinnista Marko Vauhkonen, Kuopion yliopisto, Sovelletun fysiikan laitos Slide 16
Tikhonov-regularisoidut ratkaisut Lineaarisessa, huonosti asetetussa ongelmassa edellä esitetty minimointi korvataan lausekkeella min θ { z Hθ 2 + α 2 Lθ 2} (26) missä L on ns. regularisointimatriisi ja α regularisointiparametri. Tämän ratkaisu on muotoa ˆθ = (H T H + α 2 L T L) 1 H T z (27) Epälineaarisessa tilanteessa minimoidaan vastaavanlaista lauseketta ja Gauss-Newton ratkaisu on muotoa ˆθ i+1 = ˆθ i + (J T i J i + α 2 L T L) 1 (J T i (z h(ˆθ i )) α 2 L T Lˆθ i ) (28) Edelliset ovat vain esimerkkejä mahdollisista ratkaisuista. Regularisointiteoria on laaja ja paljon tutkittu Marko Vauhkonen, Kuopion yliopisto, Sovelletun fysiikan laitos Slide 17
Impedanssitomografia Impedanssitomografia (Electrical Impedance Tomography, EIT) on matemaattisessa mielessä epälineaarinen huonosti asetettu parametriestimointiongelma (käänteisongelma) EIT:ssä tavoitteena on laskea arvio tutkittavan kohteen sähkönjohtavuusjakaumalle ( impedanssijakauma ) Kohteena voi olla esim. ihmisen rintakehä, pää, teollisuuden virtausputki tai maaperä Kohteen pinnalta tehdään mittauksia elektrodien avulla. Pinnalle asetettujen elektrodien kautta syötetään virtaa (säädettävä muuttuja, x) ja mitataan vastaavat jännitteet (havainnot, z) Näiden havaintojen avulla lasketaan estimaatti johtavuusjakaumalle Marko Vauhkonen, Kuopion yliopisto, Sovelletun fysiikan laitos Slide 18
Impedanssitomografia, 3D-mittaus sylinterissä Marko Vauhkonen, Kuopion yliopisto, Sovelletun fysiikan laitos Slide 19
Matemaattinen malli Ensimmäinen tehtävä on löytää malli estimoitavan suureen ja havaintojen välille Lähtökohtana ovat Maxwellin yhtälöt, jotka ovat (osa niistä) E = B t H = J + D t (29) (30) missä E on sähkökenttä, H magneettikenttä, B magneettivuon tiheys, D sähköinen siirtymä ja J on virtatiheys Käytetään muotoa E = Ẽeiωt, B = Be iωt (31) olevia kenttiä (taajuustaso, ω) ja oletetaan väliaine lineaariseksi ja isotrooppiseksi. Marko Vauhkonen, Kuopion yliopisto, Sovelletun fysiikan laitos Slide 20
Tällöin saadaan E = iωµh (32) H = J + iωɛe (33) Jaetaan virtatiheys lähdevirtaan J s ja ohmiseen virtaan J o = σe, missä σ on kohteen johtavuusjakauma, eli J = J s + J o Nyt edellä olevat yhtälöt saadaan muotoon E = iωµh (34) H = (σ + iωɛ)e + J s (35) EIT:ssä tehdään vielä staattisuusoletus, jolloin sähkökenttä on muotoa missä u on sähköinen potentiaali E = u (36) Marko Vauhkonen, Kuopion yliopisto, Sovelletun fysiikan laitos Slide 21
Lisäksi kapasitiiviset efektit jätetään usein huomioimatta, jolloin saadaan E = u (37) H = σe + J s (38) Ottamalla nyt divergenssi yhtälöstä (38) (roottorin divergenssi = 0) ja sijoittamalla sitten (37) yhtälöön (38), saadaan joka on voimassa kohteen sisällä (σ u) = 0, x Ω (39) Marko Vauhkonen, Kuopion yliopisto, Sovelletun fysiikan laitos Slide 22
Jatkuva malli j(ζ) = C cos(kζ), (40) Matemaattisen mallintamisen jatkokurssi, 2002 Reunaehdot Mallista tulee järkevä vasta kun reunaehdot virralle (ja jännitteelle) on asetettu Reunaehdoista on useita versioita, ns. elektrodimalleja Gap-malli j = { Il e l x e l, l = 1, 2,..., L 0 x Ω/ L l=1 e l, (41) missä e l on elektrodin l pinta-ala ja I l on syötetty virta Marko Vauhkonen, Kuopion yliopisto, Sovelletun fysiikan laitos Slide 23
Oikosulkumalli, syötevirta e l σ u ν ds = I l, x e l, l = 1, 2,..., L (42) ja elektrodin oikosulkuefekti kirjoitetaan muotoon u = U l, x e l, l = 1, 2,..., L, (43) missä U l on elektrodilta l mitattu jännite Marko Vauhkonen, Kuopion yliopisto, Sovelletun fysiikan laitos Slide 24
Täydellinen elektrodimalli σ u = 0, x Ω (44) u + z l σ u ν = U l, x e l, l = 1, 2,..., L (45) e l σ u ν ds = I l, x e l, l = 1, 2,..., L (46) σ u ν = 0, x Ω \ L l=1e l, (47) missä z l on elektrodin l ns. efektiivinen kontakti-impedanssi Lisäksi tarvitsemme ehdot virralle ja jännitteelle L I l = 0 (48) l=1 L U l = 0 (49) l=1 Marko Vauhkonen, Kuopion yliopisto, Sovelletun fysiikan laitos Slide 25
Mallin diskretointi ja ratkaisu elementtimenetelmällä, FEM Diskretointi järkevintä tehdä elementtimenetelmällä Variationaalimuoto (heikko muoto) B s ((u, U), (v, V )) = L I l V l (50) l=1 missä B s ((u, U), (v, V )) = Ω σ u v dx + L l=1 1 z l e l (u U l )(v V l ) ds (51) Marko Vauhkonen, Kuopion yliopisto, Sovelletun fysiikan laitos Slide 26
FEM-teorian mukaisesti, käyttämällä u:lle ja U:lle ratkaisuapproksimaatioita u h = N n i=1 α i ϕ i (52) ja U h = L 1 j=1 β j n j, (53) missä vektorit n j R L on valittu s.e. n 1 = (1, 1, 0,..., 0) T, n 2 = (1, 0, 1,..., 0) T,..., n L 1 = (1, 0,..., 1) T, saadaan diskreetti matriisiyhtälö Ab = f (54) Marko Vauhkonen, Kuopion yliopisto, Sovelletun fysiikan laitos Slide 27
Edellisessä b = (α, β) T R N n+l 1 ja datavektori f on f = ( 0 L l=1 I l(n j ) l ) = ( 0 C T I ) (55) missä 0 = (0,..., 0) T R N n ja C R L (L 1) on harva matriisi, muotoa 1 1 1... 1 1 0... 0. 0 1 0.... C =....... 0... 1 (56) Marko Vauhkonen, Kuopion yliopisto, Sovelletun fysiikan laitos Slide 28
Matriisi A R (N n +L 1) (N n +L 1) on muotoa ( ) B C A = C T G (57) missä B i,j = C i,j = G i,j = Ω ( σ ϕ i ϕ j dx + 1 z 1 L l=1 e 1 ϕ i ds 1 z j+1 1 z l 1 i N n, 1 j L 1 L { 1 (n i ) l (n j ) l ds = z l e l l=1 1 i, j L 1. ϕ i ϕ j ds, 1 i, j N n, e l ) e j+1 ϕ i ds e 1 z 1 e 1, z 1, i j + e j+1 z j+1, i = j, Marko Vauhkonen, Kuopion yliopisto, Sovelletun fysiikan laitos Slide 29
Diskretti malli estimoitavien parametrien σ, säädettävien suureiden I (syötetyt virrat) ja (mitattujen) jännitteiden U h välillä on muotoa U h = Cβ = C R h (σ, z)c T I = R h (σ, z)i, (58) missä R h (σ, z) on osa matriisin A käänteismatriisia Nyt siis tehtävänä on estimoida σ, kun Il kiinnitetään ja mitataan vastaavat jännitteet U l Havaintoja kerätään erilaisia (riippumattomia) virtakuvioita hyväksi käyttäen Yleisin tapa on syöttää kahden vierekkäisen elektrodin väliltä ja mitata lopuista vierekkäisistä (neljäelektrodisysteemi) Myös kaikkia elektrodeja voi käyttää virransyöttöön. Vaatii monimutkaisemman laitteiston ja kontakti-impedanssi on ongelmana Marko Vauhkonen, Kuopion yliopisto, Sovelletun fysiikan laitos Slide 30
Johtavuusjakauman estimointi Merkintöjä. Mitattu jännitevektori, L elektrodia K erilaista virransyöttöä V = (V (1) 1,..., V (1) L,..., V (K) 1,..., V (K) L )T R KL. Vastaavasti lasketut jännitteet U(σ) = (U (1) 1 (σ),..., U (1) L (K) (σ),..., U 1 (σ),..., U (K) L (σ))t R KL, Kuten edellä johtavuusestimaatti voidaan ratkaista minimoimalla lauseketta Φ(σ) = V U(σ) 2 + α 2 R(σ σ ) 2, (59) missä R on regularisointimatriisi Marko Vauhkonen, Kuopion yliopisto, Sovelletun fysiikan laitos Slide 31
Ratkaisua voi hakea esim. Gauss-Newton iteroinnilla σ i+1 = σ i + (J T i J i + α 2 R T R) 1 (J T i (V U(σ i )) α 2 R T R(σ i σ )) (60) Estimoinnissa σ on usein oletettu vakioksi kussakin FEM-elementissä. Se voi olla myös paloittain lineaarinen tai esitetty kokonaan eri kannassa, erilaisessa hilassa Marko Vauhkonen, Kuopion yliopisto, Sovelletun fysiikan laitos Slide 32
Mahdollisia sovelluksia Ensimmäiset kokeilut geofysiikan ja lääketieteen alueelta, esimerkiksi Malmiesiintymien paikantaminen Maan sisään rakenettujen säiliöiden vuotojen paikantaminen Sydämen ja keuhkojen toiminnan kuvantaminen Rintasyövän havaitseminen Vatsan tyhjenemistutkimukset Pään johtavuusjakauman estimointi. Tarvitaan paikannettaessa virtalähteitä EEG:n avulla Viimevuosina teollisuudessa on kiinnostuttu prosessitomografiasta Ilmakuplien havaitseminen putkistoissa, esim. ydinvoimala Ilmajakauman ja -määrän arviointi sekoituskammioissa Mittarina prosessien säädössä Marko Vauhkonen, Kuopion yliopisto, Sovelletun fysiikan laitos Slide 33
2D-hila ja epähomogeenisuus A structured, unconstrained mesh. A structured, unconstrained mesh. Marko Vauhkonen, Kuopion yliopisto, Sovelletun fysiikan laitos Slide 34
Potentiaalijakauma sisällä ja elektrodeilla 40 35 300 30 200 100 25 0 20 100 15 200 300 15 10 5 0 5 10 15 15 10 5 0 5 10 15 10 5 0 0 2 4 6 8 10 12 14 Marko Vauhkonen, Kuopion yliopisto, Sovelletun fysiikan laitos Slide 35
Rekonstruktiot Marko Vauhkonen, Kuopion yliopisto, Sovelletun fysiikan laitos Slide 36
3D tankki, jossa epähomogeenisuus Marko Vauhkonen, Kuopion yliopisto, Sovelletun fysiikan laitos Slide 37
3D rekonstruktio Marko Vauhkonen, Kuopion yliopisto, Sovelletun fysiikan laitos Slide 38
Rintakehän kuvasta rekonstruoitu impedanssikardiografi 1.4 1.2 1 0.8 resistivity 0.6 0.4 0.2 0-0.2 0 1 2 3 4 5 time (s) Marko Vauhkonen, Kuopion yliopisto, Sovelletun fysiikan laitos Slide 39
Lisätietoja Väitöskirja (PDF,PS) sekä 2D EIT-ohjelmisto Matlabille osoitteesta http://venda.uku.fi/ mvauhkon Lisää tarinaa ja linkkejä http://venda.uku.fi/research/ip/ipindex.htm Marko Vauhkonen, Kuopion yliopisto, Sovelletun fysiikan laitos Slide 40