6 Vektoriavaruus R n. 6.1 Lineaarikombinaatio

6 Vektoriavaruus R n 6.1 Lineaarikombinaatio Määritelmä 19. Vektori x œ R n on vektorien v 1,...,v k œ R n lineaarikombinaatio, jos on olemassa sellaiset 1,..., k œ R, että x = i v i. i=1 Esimerkki 30. Olkoot v 1 =(1, 1) ja v 2 =( 2, 1). Esimerkiksi x =2v 1 =(2, 2), w = v 1 +2v 2 =( 3, 3), z = v 2 v 1 =(1, 2) ja u = 2v 1 =( 2, 2) ovat vektoreiden v 1 ja v 2 lineaarikombinaatioita. Tarkastellaan sitten vektoria y = (1, 2). Se on vektorien v 1 ja v 2 lineaarikombinaatio, jos on olemassa reaaliluvut 1 ja 2,ettäy = 1 v 1 + 2 v 2 eli (1, 2) = 1 (1, 1) + 2 ( 2, 1). Tämä on yhtäpitävä yhtälöryhmän ] 1 2 2 = 1 [ 1 + 2 = 2 kanssa. htälöryhmällä on ratkaisu 1 = 5 ja 3 2 = 1,joteny voidaan kirjoittaa 3 vektoreiden v 1 ja v 2 lineaarikombinaationa y = 5 3 v 1 + 1 3 v 2 = 5 3 (1, 1) + 1 ( 2, 1) = (1, 2). 3 37

i:s Merkintä 4. Merkitään e i = (0,...,0, 1, 0,...,0) œ R n, i =1,...,n. Vektoreita e 1,...,e n kutsutaan R n :n luonnollisiksi kantavektoreiksi. Esimerkki 31. (a) Vektori (3, 4, 5) œ R 3 on luonnollisten kantavektorien e 1,e 2,e 3 œ R 3 lineaarikombinaatio, sillä (3, 4, 5) = 3(1, 0, 0) + 4(0, 1, 0) + 5(0, 0, 1) = 3e 1 +4e 2 +5e 3. (b) Olkoot x =( 1, 1, 2), v 1 =(1, 2, 0), v 2 =(3, 0, 4) ja v 3 =(2, 1, 2). Onko x vektorien v 1, v 2 ja v 3 lineaarikombinaatio? Tutkitaan, löytyykö sellaiset 1, 2, 3 œ R, että x = 1 v 1 + 2 v 2 + 3 v 3 ( 1, 1, 2) = 1 (1, 2, 0) + 2 (3, 0, 4) + 3 (2, 1, 2) ( 1, 1, 2) = ( 1 +3 2 +2 3, 2 1 + 3, 4 2 +2 3 ) _] 1 +3 2 +2 3 = 1 2 1 + 3 = 1 _[ 4 2 +2 3 = 2. _] 1 = 1 1 2 2 3 2 = 1 2 _[ 1 2 3 3 œ R. htälöryhmällä on siis äärettömän monta ratkaisua. Valitsemalla esimerkiksi 3 =0saadaan x = 1 2 v 1 1 2 v 2 +0 v 3. Siten x on vektorien v 1, v 2 ja v 3 lineaarikombinaatio. Huomaa, että esitys ei ole yksikäsitteinen. 6.2 Lineaarinen riippuvuus ja riippumattomuus Määritelmä 20. Vektorit v 1,...,v k œ R n ovat lineaarisesti riippuvia, jos on olemassa sellaiset 1,..., k œ R, että i =0jollekin i =1,...,k ja q k i=1 i v i =0. Muutoin vektorit v 1,...,v k ovat lineaarisesti riippumattomia, toisin sanoen ehdosta q ki=1 i v i =0seuraa, että 1 = = k =0. Huomautus 10. (a) Lineaarisesti riippuvien vektorien monikerroista voidaan muodostaa suljettu silmukka. 38

(b) Sanotaan, että joukko {v 1,...,v k } on lineaarisesti riippuva/riippumaton, jos vektorit v 1,...,v k ovat lineaarisesti riippuvia/riippumattomia. (a) Lineaarisesti riippuvat (b) Lineaarisesti riippuvat (c) Lineaarisesti riippumattomat Esimerkki 32. (a) Vektorit v 1 =(1, 2, 0), v 2 =(3, 0, 4) ja v 3 =(2, 1, 2) ovat lineaarisesti riippuvia, sillä 1 v 1 +1 v 2 2 v 3 =(1, 2, 0) + (3, 0, 4) (4, 2, 4) = (0, 0, 0) = 0. (b) Joukko {(1, 0, 0), (0, 0, 1)} µr 3 on lineaarisesti riippumaton, sillä ehdosta 1 (1, 0, 0)+ 2 (0, 0, 1) = (0, 0, 0), seuraa, että ( 1, 0, 2 )=(0, 0, 0) eli 1 =0= 2. (c) Olkoot v 1,...,v k œ R n. Jos v i =0jollakin i =1,...,k, niin vektorit v 1,...,v k ovat lineaarisesti riippuvia. Todistus. Valitaan j =0kaikilla j = i ja i =1. Tällöin j v j =0 v 1 + +0 v i 1 +1 v i +0 v i+1 + +0 v k =0+1 0=0 j=1 ja i =0. (d) Olkoon V = {v} µr n. Tällöin V on lineaarisesti riippumaton täsmälleen silloin, kun v = 0. Todistus. : Jos v =0, niin (c)-kohdan perusteella V on lineaarisesti riippuva. : Jos v = 0, niin v =0vain, jos =0, joten V on lineaarisesti riippumaton. (e) Jos vektorit v 1,...,v k œ R n ovat lineaarisesti riippuvia, niin vektorit v 1,..., v k,v œ R n ovat lineaarisesti riippuvia olipa v œ R n mikä tahansa. Todistus. HT. 39

(f) Lineaarisesti riippumattoman joukon jokainen epätyhjä osajoukko on lineaarisesti riippumaton. Todistus. HT. Lause 22. Olkoon äärellisessä joukossa V µ R n vähintään kaksi alkiota. Tällöin V on lineaarisesti riippuva täsmälleen silloin, kun jokin V :n alkio v on joidenkin joukon V \{v} alkioiden lineaarikombinaatio. Todistus. : Oleteaan, että v œ V on vektorien v 1,...,v k œ V \{v} lineaarikombinaatio, toisin sanoen v = q k i=1 i v i joillekin i œ R, i =1,...,k. Tällöin i v i 1 v =0, i=1 joten vektorit v 1,...,v k,vovat lineaarisesti riippuvia. Siten V on lineaarisesti riippuva esimerkin 32 (e) perusteella. : Olkoon V = {v 1,...,v k } lineaarisesti riippuva. Tällöin on olemassa sellaiset 1,..., k œ R, että i =0jollekin i =1,...,k ja q k j=1 j v j =0. Siten i v i = j v j eli v i = j=1 j =i j=1 j =i joten v i on joukon V \{v i } alkioiden lineaarikombinaatio. j i v j, Huomaa, että Lause 22 ei väitä, että jokainen vektori lineaarisesti riippuvassa joukossa voitaisiin esittää muiden vektoreiden lineaarikombinaationa. Lineaarisesti riippuvassa joukossa voi siis olla vektoreita, jotka eivät ole muiden vektoreiden lineaarikombinaatioita. Vrt. esimerkiksi joukko V = {(1, 2), (3, 0), (4, 8)} µr 2. Lause 23. Olkoon A œm(n, k). Merkitään A = Ë È A 1 A k, missä Ai œ R n on A:n i:s sarakevektori kaikilla i =1,...,k. Tällöin vektorit A 1,...,A k œ R n ovat lineaarisesti riippumattomia, jos ja vain jos homogeeniyhtälöllä Ax =0on vain triviaaliratkaisu x =0. S T a 11 a ik Todistus. Merkitään A = W X U.. V. Nyt a n1... a nk Ax =0 S T S T a 11 x 1 + + a 1k x k W X U. V = W X U0. V a n1 x 1 + + a nk x k 0 S T S T S T a 11 x 1 a 1k x k W X U. V + + W X U. V = W X U0. V x 1 A 1 + + x k A k =0, a n1 x 1 a nk x k 0 40

missä x i œ R ja A i œ R n kaikilla i =1,...,k. Jos A 1,...,A k ovat lineaarisesti riippumattomia, niin x 1 = = x k =0,joten yhtälöllä Ax =0on vain triviaaliratkaisu x =0. Jos taas yhtälöllä Ax =0on vain triviaaliratkaisu, niin vektorit A 1,...,A k ovat lineaarisesti riippumattomia. Seuraus 1. Olkoot v 1,...,v n œ R n. Määritellään matriisi A œm(n, n) asettamalla A = Ë v 1 v n È. Tällöin vektorit v1,...,v n ovat lineaarisesti riippumattomia, jos ja vain jos det A = 0. Todistus. Seuraa lauseista 23, 13 ja 18. Esimerkki 33. (a) Olkoot v 1 =(a 11,a 21 ) œ R 2 ja v 2 =(a 12,a 22 ) œ R 2. Tällöin v 1 ja v 2 ovat lineaarisesti riippumattomia, jos ja vain jos C D a11 a det 12 = 0, a 21 a 22 joka puolestaan on yhtäpitävää sen kanssa, että vektorien v 1 ja v 2 virittämän suunnikkaan pinta-ala on positiivinen, joka tapahtuu täsmälleen silloin, kun v 1 ja v 2 ovat eri suuntaiset. (b) Olkoot v 1 =(0, 3, 1), v 2 =(1, 1, 1) ja v 3 =(3, 3, 5). Tutkitaan, ovatko v 1, v 2 ja v 3 lineaarisesti riippuvia: S T 0 1 3 W X det U3 1 3 1 1 5 S T 0 1 0 W X = det U3 1 6V = (6 6) = 0, 1 1 2 V AS 23 ( 3) joten v 1, v 2 ja v 3 ovat lineaarisesti riippuvia. Kuitenkin ne ovat selvästi eri suuntaisia. 6.3 Lineaarinen verho Määritelmä 21. Olkoon S = {v 1,...,v k }µr n epätyhjä äärellinen joukko. Joukon S lineaarinen verho (peite) ÈSÍ = Èv 1,...,v k Í = { j v j j œ R, j=1,...,k} j=1 on vektorien v 1,...,v k kaikkien lineaarikombinaatioiden joukko. Vektori w kuuluu siis joukon S = {v 1,...,v k } lineaariseen verhoon ÈSÍ, jos se voidaan kirjoittaa vektoreiden v 1,...,v k lineaarikombinaationa eli on olemassa sellaiset 1,..., k œ R, että w = 1 v 1 + 2 v 2 + + k v k. 41

(a) Vektorin v œ R 3 lineaarinen verho ÈvÍ on origon kautta kulkeva suora. Esimerkki 34. (b) Vektoreiden v, w œ R 3 määräämä lineaarinen verho Èv, wí on origon kautta kulkeva taso. (c) Nollavektorin 0 œ R 3 määräämä lineaarinen verho È0Í on nollavektori. Esimerkki 35. (a) Aina pätee, että S µèsí, sillä v =1 v + q wœs\{v} 0 w kaikilla v œ S. (b) È1Í = { 1 œ R} = R. (c) Avaruuden R n luonnolliset kantavektorit e 1,...,e n ovat lineaarisesti riippumattomia ja Èe 1,...,e n Í = R n. Todistus. HT. (d) Olkoon S = {(1, 0, 0), (2, 1, 0), (0, 0, 1), (0, 1, 1)} µr 3. Tällöin ÈSÍ = R 3. Todistus. Selvästi ÈSÍ µr 3, sillä S µ R 3. Osoitetaan, että R 3 µèsí. Olkoon x œ R 3. On löydettävä sellaiset 1,..., 4 œ R, että x= 1 (1, 0, 0) + 2 (2, 1, 0) + 3 (0, 0, 1) + 4 (0, 1, 1)=( 1 +2 2, 2 + 4, 3 + 4 ) _] 1 +2 2 = x 1 2 + 4 = x 2 _[ 3 + 4 = x 3 1 = x 1 2x 2 +2 4 _] 2 = x 2 4 3 = x 3 4 _[ 4 œ R. Valitaan 4 =0, jolloin 1 = x 1 2x 2, 2 = x 2 ja 3 = x 3. Siis x =(x 1 2x 2 )(1, 0, 0) + x 2 (2, 1, 0) + x 3 (0, 0, 1) + 0 (0, 1, 1) œèsí eli R 3 µèsí. Näin ollen ÈSÍ = R 3. (e) Mikä on joukon S = {(1, 0, 1), (2, 0, 1)} lineaarinen verho? Selvästi ÈSÍ µr 3. Edelleen, x œèsí, jos ja vain jos on olemassa sellaiset 1, 2 œ R, että _] 1 +2 2 = x 1 _] 1 =2x 3 x 1 x = 1 (1, 0, 1) + 2 (2, 0, 1) 0=x 2 2 = x 1 x 3 _[ _[ 1 + 2 = x 3 x 2 =0 Siis x œèsí, jos ja vain jos x 2 =0eli ÈSÍ = {x œ R 3 x 2 =0} on xz-taso. 42

Lause 24. Olkoon S = {v 1,...,v k }µr n epätyhjä joukko ja x œ R n. Tällöin (a) x œèsí ÈS fi{x}í = ÈSÍ. (b) Jos S on lineaarisesti riippumaton, niin x/œèsí v 1,...,v k,x ovat lineaarisesti riippumattomia. Todistus. (a) : Oletetaan, että x œèsí eli x = q k i=1 i v i joillekin 1,..., k œ R. On osoitettava, että ÈS fi{x}í = ÈSÍ. Selvästi ÈSÍ µès fi{x}í, sillä jos y œèsí, niin on olemassa sellaiset µ 1,...,µ k œ R, että y = µ i v i = µ i v i +0 x, i=1 i=1 joten y œès fi{x}í. Olkoon siis y œès fi{x}í. Tällöin on olemassa sellaiset µ 1,...,µ k,µ k+1 œ R, että y = µ i v i + µ k+1 x = µ i v i + µ k+1 i v i = (µ i + µ k+1 i )v i, i=1 i=1 i=1 i=1 joten y œèsí. Siis ÈS fi{x}í µ ÈSÍ ja ÈS fi{x}í = ÈSÍ. : Oletetaan, että ÈS fi{x}í = ÈSÍ. Esimerkin 35(a) nojalla x œ ÈS fi{x}í = ÈSÍ, joten x œèsí. (b) HT. Lause 25. Olkoon S = {v 1,...,v k }µr n epätyhjä joukko ja w 1,...,w l œèsí, missä l Ø k +1. Tällöin w 1,...,w l ovat lineaarisesti riippuvia. Todistus. Koska w j œèsí kaikilla j =1,...,l, löytyy sellaiset a ij œ R, i =1,...,k, j =1,...,l,että w 1 = a 11 v 1 + + a k1 v k _] w 2 = a 12 v 1 + + a k2 v k _[. w l = a 1l v 1 + + a kl v k. Riittää löytää sellaiset 1,..., l œ R, että( 1,..., l ) = 0ja q l j=1 j w j =0, toisin sanoen yhtälöllä 1 (a 11 v 1 + + a k1 v k )+ + l (a 1l v 1 + + a kl v k ) =(a 11 1 + + a 1l l )v 1 + +(a k1 1 + + a kl l )v k =0 (ú) 43

on epätriviaali ratkaisu =( 1,..., l ) = 0. htälö (ú) toteutuu ainakin silloin, kun jokaisen v i :n kerroin on nolla eli homogeeniyhtälö a _] 11 1 + + a 1l l =0. _[ a k1 1 + + a kl l =0. toteutuu. Koska tässä yhtälöryhmässä on enemmän tuntemattomia kuin yhtälöitä (l >k), niin Gaussin ja Jordanin menetelmän tapaus (1) ei esiinny. Koska yhtälö on homogeeninen, tapaus (2) ei ole mahdollinen. Siten yhtälöllä on äärettömän monta ratkaisua. Erityisesti sillä on ratkaisu = 0. Seuraus 2. Olkoon S = {v 1,...,v k }µr n. (a) Jos k > n, niin S on lineaarisesti riippuva. (b) Jos k<n, niin ÈSÍ = R n. Todistus. (a) Koska Èe 1,...,e n Í = R n, v 1,...,v k œ R n ja k > n, niin lauseen 25 nojalla v 1,...,v k ovat lineaarisesti riippuvia. (b) Jos ÈSÍ = R n, niin lauseen 25 nojalla e 1,...,e n œ R n olisivat lineaarisesti riippuvia (n >k), mikä on ristiriita. Seuraus 3. Olkoon S µ R n lineaarisesti riippumaton. Tällöin ÈSÍ = R n S : ssä on n alkiota. Todistus. : Seuraa seurauksessa 2. : Jos ÈSÍ = R n, niin on olemassa x œ R n \ÈSÍ. Lauseen 24(b) nojalla S fi{x} on lineaarisesti riippumaton, mikä on ristiriita seurauksen 2 kanssa. Esimerkki 36. (a) Joukko {(1, 1, 5), (3, 3, 2), (e, fi, e fi ), (10, 10 10, 10 1010 )} on lineaarisesti riippuva. (b) È(4, 3, 2, 1, 0), (1, 2, 3, 4, 5)Í = R 5. (c) È(0, 3, 1), (1, 1, 1), (1, 2, 3)Í = R 3, sillä S T 0 1 1 W X det U3 1 2V = 3 = 0, 1 1 3 joten (0, 3, 1), (1, 1, 1), (1, 2, 3) ovat lineaarisesti riippumattomia seurauksen 1 nojalla. 44

6.4 Avaruuden R n aliavaruudet Tässä kappaleessa tarkastellaan sellaisia avaruuden R n osajoukkoja, jotka ovat suljettuja yhteenlaskun ja skalaarilla kertomisen suhteen. Toisin sanoen, jos kaksi joukon vektoria lasketaan yhteen, summa kuuluu samaan joukkoon, ja jos joukon vektoria kerrotaan reaaliluvulla, monikerta kuuluu edelleen samaan joukkoon. Esimerkki 37. Joukko R voidaan upottaa tasoon R 2 samastamalla se joukon R = {(x, 0) œ R 2 x œ R} kanssa. Jos x, y œ R, niin x+y =(x 1, 0)+(y 1, 0) = (x 1 +y 1, 0) œ R ja x = (x 1, 0) = ( x 1, 0) œ R kaikilla œ R. Onko R 2 :ssa muita aitoja osajoukkoja, jotka ovat suljettuja yhteenlaskun ja reaaliluvulla kertomisen suhteen? Entä R n :ssä? (a) Suora on suljettu yhteenlaskun ja skalaarilla kertomisen suhteen. (b) Suora ei ole suljettu yhteenlaskun ja skalaarilla kertomisen suhteen. Esimerkki 38. Määritelmä 22. Epätyhjä joukko V µ R n on R n :n (vektori)aliavaruus, jos (a) v, w œ V v + w œ V ja (b) œ R, vœ V v œ V. Huomautus 11. Aliavaruus on epätyhjä joukko, joten siellä on vähintään yksi alkio v œ V.Koska v œ V kaikilla œ R, niin 0=0 v œ V. Nolla-alkio kuuluu siis aina aliavaruuteen. Esimerkki 39. (a) Joukot V = {0} ja V = R n ovat R n :n triviaalit aliavaruudet. (b) Joukko V = {(t, 5t) œ R 2 t œ R} on R 2 :n aliavaruus. Todistus. Koska (0, 0) = (0, 5 0) œ V, niin V = ÿ. Olkoot v, w œ V. Tällöin on olemassa sellaiset s, t œ R, ettäv =(s, 5s) ja w =(t, 5t). Nyt v + w =(s, 5s)+(t, 5t) =(s + t, 5(s + t)) = (h, 5h) œ V, 45

sillä h = s + t œ R. Samoin kaikilla œ R, v = (s, 5s) =( s, 5 s) =(h, 5h) œ V, missä h = s œ R. Siis V on aliavaruus. (c) Joukko H = {(x, y) œ R 2 x + y =1} ei ole R 2 :n aliavaruus, sillä 0 /œ H, koska 0+0 = 1. Huomaa, että (1, 0) œ H, mutta 2 (1, 0) /œ H, sillä 2+0 = 1. Samoin (0, 1) œ H, mutta (1, 0) + (0, 1) = (1, 1) /œ H, sillä 1+1 = 1. (d) V 1 on R 2 :n aliavaruus, mutta V 2 ja V 3 eivät ole: (e) Joukko V = {x œ R 3 x 1 +2x 2 +3x 3 =0} on R 3 :n aliavaruus. Todistus. Koska 0+2 0+3 0=0, niin 0 œ V,jotenV = ÿ. Olkoot x, y œ V. Nyt (x + y) 1 +2(x + y) 2 +3(x + y) 3 = x 1 + y 1 +2x 2 +2y 2 +3x 3 +3y 3 = x 1 +2x 2 +3x 3 + y 1 +2y 2 +3y 3 =0+0=0, joten x + y œ V. Samoin kaikilla œ R ( x) 1 +2( x) 2 +3( x) 3 = x 1 +2 x 2 +3 x 3 = (x 1 +2x 2 +3x 3 )= 0=0, joten x œ V. Siis V on R 3 :n aliavaruus. Lause 26. Olkoot V,W µ R n aliavaruuksia. Tällöin V fl W on R n :n aliavaruus, mutta V fi W ei yleensä ole R n :n aliavaruus. Todistus. Koska 0 œ V ja 0 œ W, niin 0 œ V fl W,jotenV fl W = ÿ. Olkoot v, w œ V fl W ja œ R. Nyt v, w œ V,jotenv + w œ V,jav, w œ W joten v + w œ W. Siis v + w œ V fl W. Lisäksi v œ V ja v œ W,joten v œ V fl W. Näin ollen V fl W on R n :n aliavaruus. Tapaus V fi W HT. Lause 27. Olkoon V µ R n aliavaruus. Tällöin kaikilla k œ N pätee: jos v 1,...,v k œ V ja 1,..., k œ R, niin q k i=1 i v i œ V. Todistus. HT. 46

Esimerkin 39 kohdassa (e) osoitettiin, että tietyn homogeenisen lineaarisen yhtälön ratkaisut muodostavat aliavaruuden eli tietty origon kautta kulkeva taso on aliavaruus. Tämä yleistetään seuraavan lauseen (a)-kohdassa. Kohdassa (b) osoitetaan, että jos yhtälöllä Ax = b on ratkaisu, niin sen ratkaisujoukko saadaan siirtämällä homogeenisen yhtälöryhmän Ax =0ratkaisujoukko vektorin x 0 määräämään kohtaan, missä x 0 on jokin yhtälön Ax = b ratkaisu. Lause 28. (a) Olkoon A œm(k, n). htälöryhmän Ax =0ratkaisujoukko R 0 on R n :n aliavaruus. (b) Olkoon b œ R k ja A œm(k, n). Oletetaan, että yhtälöryhmällä Ax = b on jokin ratkaisu x 0. Tällöin yhtälöryhmän Ax = b ratkaisujoukko on R = x 0 + R 0 = {x 0 + y y œ R 0 }, missä R 0 on yhtälöryhmän Ax =0ratkaisujoukko. Todistus. (a) Koska A0 =0, niin 0 œ R 0. Olkoot x, y œ R 0. Tällöin joten x + y œ R 0. Samoin kaikilla œ R, joten x œ R 0. A(x + y) =Ax + Ay =0+0=0, A( x) = Ax = 0=0 (b) Olkoon z œ R. Tällöin z = x 0 + y jollakin y œ R 0. Nyt Az = A(x 0 + y) =Ax 0 + Ay = b +0=b, joten z on yhtälön Ax = b ratkaisu. Jos taas z on yhtälön Ax = b ratkaisu, niin A(z x 0 )=Az Ax 0 = b b =0, joten z x 0 œ R 0. Nyt z = x 0 + z x 0 œ R. Lause 29. Epätyhjän joukon S = {v 1,...,v k }µr n lineaarinen verho ÈSÍ on R n :n aliavaruus. Se on pienin R n :n aliavaruus, joka sisältää joukon S, toisin sanoen, jos V on R n :n aliavaruus ja S µ V, niin ÈSÍ µv. Todistus. Osoitetaan, ensin, että ÈSÍ on R n :n aliavaruus. Koska S µèsí ja S = ÿ, niin ÈSÍ = ÿ. Olkoot v, w œèsí. Tällöin on olemassa 1,..., k œ R ja µ 1,...,µ k œ R, joille v = q k i=1 i v i ja w = q k i=1 µ i v i. Tällöin v + w = i v i + µ i v i = ( i + µ i )v i œèsí. i=1 i=1 i=1 47

Samoin, jos œ R, niin v = i v i = ( i )v i œèsí. i=1 i=1 Siis ÈSÍ on R n :n aliavaruus. Olkoon V R n :n aliavaruus, jolle S µ V. Osoitetaan, että ÈSÍ µv. Olkoon v œèsí. Tällöin löytyy sellaiset 1,..., k œ R, ettäv = q k i=1 i v i.koskav i œ V kaikilla i =1,...,k, niin lauseen 27 nojalla v œ V. Siis ÈSÍ µv. Huomautus 12. (a) Joukon S lineaarista verhoa ÈSÍ kutsutaan usein S:n virittämäksi aliavaruudeksi. Jos V on aliavaruus ja V = ÈSÍ, niin S virittää V :n. (b) Luonnolliset kantavektorit e 1,...,e n virittävät R n :n, sillä Èe 1,...,e n Í = R n. Lisäksi vektorit e 1,...,e n ovat lineaarisesti riippumattomia. 6.5 Kanta Kuten esimerkissä 35 ja Lauseessa 24 osoitettiin, saman aliavaruuden voi virittää eri määrä vektoreita. Seuraavaksi määritellään mahdollisimman pieni vektorijoukko, joka virittää aliavaruuden. Jokainen aliavaruuden alkio voidaan esittää yksikäsitteisessä muodossa tämän vektorijoukon alkioiden lineaarikombinaationa. Määritelmä 23. Olkoon V µ R n aliavaruus. Vektorit v 1,...,v k œ V muodostavat aliavaruuden V kannan, jos (a) v 1,...,v k ovat lineaarisesti riippumattomia ja (b) Èv 1,...,v k Í = V. Tällöin sanotaan, että joukko {v 1,...,v k } on V :n kanta. Esimerkki 40. (a) Vektori 1 œ R muodostaa R:n luonnollisen kannan (esimerkki 32(d) ja 35(b)). Myös 2 œ R on R:n kanta. (b) Luonnolliset kantavektorit e 1,...,e n œ R n muodostavat R n :n kannan. (c) Joukko S = {(fi, e), (10, 10 10 )} on R 2.n kanta. Perustelu: Vektorit (fi, e) ja (10, 10 10 ) ovat lineaarisesti riippumattomia, sillä C D fi 10 det e 10 10 = fi 10 10 10 e = 0, koska fi 10 10 > 100 ja 10 e<30. Selvästi ÈSÍ µr 2. Olkoon x œ R 2. Etsitään sellaiset, µ œ R, että (fi, e)+µ(10, 10 10 )=(x 1,x 2 ) ] [ = 109 x 1 x 2 10 9 fi e µ = fix 2 ex 1 10 10 fi 10e. 48 I fi +10µ = x1 e +10 10 µ = x 2

Siis (x 1,x 2 )= 109 x 1 x 2 (fi, e) + fix 2 ex 1 (10, 10 9 fi e 10 10 fi 10e 1010 ). Näin ollen ÈSÍ = R 2 ja S on R 2 :n kanta. Huomaa, että seuraus 3 antaa suoraan tiedon ÈSÍ = R 2. (d) Aliavaruudella voi olla useita eri kantoja (vrt. (c)-kohta). (e) Joukko S = {(1, 0, 0), (2, 1, 0), (0, 0, 1), (0, 1, 1)} µr 3 ei ole R 3 :n kanta, vaikka ÈSÍ = R 3 (esimerkki 35(d)), sillä S on lineaarisesti riippuva seurauksen 2(a) perusteella. (f) Esimerkissä 39(f) todettiin, että V = {x œ R 3 x 1 +2x 2 +3x 3 =0} on R 3 :n aliavaruus. Etsitään V :lle kanta. Koska x œ V, jos ja vain jos x 1 = 2x 2 3x 3 on V = {( 2s 3t, s, t) œ R 3 s, t œ R}. Siis x œ V, jos ja vain jos on olemassa sellaiset s, t œ R, että x =( 2s 3t, s, t) =( 2s, s, 0) + ( 3t, 0,t)=s( 2, 1, 0) + t( 3, 0, 1). Näin ollen V = È( 2, 1, 0), ( 3, 0, 1)Í. Osoitetaan vielä, että ( 2, 1, 0) ja ( 3, 0, 1) ovat lineaarisesti riippumattomia. Olkoot, µ œ R sellaiset, että _] ( 2, 1, 0) + µ( 3, 0, 1) = 0 _[ 2 3µ = 0 = 0 µ = 0 I = 0 µ = 0. Siis vektorit ( 2, 1, 0) ja ( 3, 0, 1) ovat lineaarisesti riippumattomat. Siten joukko {( 2, 1, 0), ( 3, 0, 1)} on V :n kanta. (g) Jokainen lineaarisesti riippumaton joukko on lineaarisen verhonsa kanta. (h) Triviaalilla vektoriavaruudella {0} ei ole kantaa, sillä sillä ei ole yhtään lineaarisesti riippumatonta osajoukkoa. Lause 30. Jos vektorit v 1,...,v k œ R n ovat lineaarisesti riippumattomia, niin jokainen v œèv 1,...,v k Í voidaan esittää yksikäsitteisesti muodossa missä 1,..., k œ R. v = i v i, i=1 Todistus. Olkoon v œèv 1,...,v k Í. Tällöin on olemassa sellaiset 1,..., k œ R, että v = q k i=1 i v i. Olkoot µ 1,...,µ k œ R sellaiset, että v = q k i=1 µ i v i. Osoitetaan, että i = µ i kaikilla i =1,...,k. Nyt 0=v v = i v i µ i v i = ( i µ i )v i. i=1 i=1 i=1 Koska v 1,...,v k ovat lineaarisesti riippumattomia, on i µ i =0kaikilla i =1,...,k eli i = µ i kaikilla i =1,...,k. 49

6.6 Koordinaatit Määritelmä 24. Olkoon K = {v 1,...,v k } aliavaruuden V µ R n kanta. Vektorin v œ ÈKÍ koordinaatit kannassa K ovat lauseen 30 antamat yksikäsitteiset kertoimet 1,..., k, joille v = q k i=1 i v i. Tällöin merkitään v =( 1,..., k ) K. Jos K on avaruuden R n luonnollinen kanta, niin alaindeksi K jätetään pois: x =(x 1,...,x n ). Huomautus 13. Kun käytetään koordinaattimerkintää ( 1,..., k ) K, on kannan K alkioiden järjestys kiinnitetty. Jos järjestystä vaihdetaan, myös koordinaattien 1,..., k järjestys vaihtuu vastaavasti. Koordinaattiesityksen yhteydessä kanta on siis järjestetty jono (v 1,...,v k ) eikö joukko {v 1,...,v k }. Kantavektoreiden permutointi antaa siten uuden kannan. Esimerkki 41. Kuva 6: Pisteen x koordinaatit kannassa {b 1,b 2 } ovat (3, 2). Esimerkki 42. Vektorin (1, 0) œ R 2 koordinaatit kannassa K = {(fi, e), (10, 10 10 )} 10 ovat 9 ja e esimerkin 40(c) perusteella, sillä 10 9 fi e 10 10 fi 10e (1, 0) = 109 10 9 fi e (fi, e) e 10 10 fi 10e (10, 1010 ). 10 10 fi 10e ) K. Tällöin v:n koordi- Siis (1, 0) = ( 109, e ) 1 10 9 fi e 10 10 fi 10e K. Olkoon v =( naatit luonnollisessa kannassa ovat 0 ja 1, sillä v = 10 9 fi e, fi 1 10 9 fi e (fi, e)+ fi 10 10 fi 10e (10, 1010 )=(0, 1). Lause 31. Aliavaruuden V µ R n jokaisessa kannassa on sama määrä vektoreita. Erityisesti R n :n jokaisessa kannassa on n vektoria. 50

Todistus. Olkoon K V:n kanta, jossa on k vektoria. Olkoon L V:n jokin toinen kanta, jossa on l vektoria. Koska L µ V = ÈKÍ ja L on lineaarisesti riippumaton, niin l Æ k seurauksen 2(a) nojalla. Samoin K µ V = ÈLÍ ja K on lineaarisesti riippumaton, joten k Æ l. Siis k = l. KoskaR n :n luonnollisessa kannassa on n vektoria, on siten R n :n jokaisessa kannassa n vektoria. 6.7 Dimensio Määritelmä 25. Jos aliavaruudella V µ R n on k-alkioinen kanta, niin V :n dimensio eli ulottuvuus on k. Tällöin merkitään dim V = k. Lisäksi sovitaan, että dim {0} =0. Esimerkki 43. (a) dim R n = n. (b) Olkoon V = {x œ R 3 x 1 +2x 2 +3x 3 =0}. Esimerkin 40(f) perusteella K = {( 2, 1, 0), ( 3, 0, 1)} on V :n kanta, joten dim V =2. Lause 32. Olkoon V µ R n aliavaruus ja {v 1,...,v k }µv lineaarisesti riippumaton. Tällöin on olemassa sellainen V :n kanta K, että {v 1,...,v k }µk. Todistus. Olkoon S = {v 1,...,v k }. Jos ÈSÍ = V, niin S on V :n kanta, joten K = S. Jos ÈSÍ = V, niin on olemassa w 1 œ V \ÈSÍ, sillä ÈSÍ µv. Tällöin S fi{w 1 } on lineaarisesti riippumaton lauseen 24(b) nojalla. Jos ÈSfi{w 1 }Í = V, niin Sfi{w 1 } = K on V :n kanta. Jos ÈS fi{w 1 }Í = V, niin löytyy w 2 œ V \ÈS fi{w 1 }Í. Tällöin S fi{w 1 }fi {w 2 } on lineaarisesti riippumaton. Jos ÈS fi{w 1 }fi{w 2 }Í = V, niin jatketaan näin. Valintaprosessi päättyy äärellisen monen askeleen jälkeen, sillä V µ R n ja jokaisessa R n :n lineaarisesti riippumattomassa joukossa on korkeintaan n alkiota (seuraus 2(a)). Siten tuloksena on V :n kanta K = S fi{w 1,...,w l } jollekin l, jolle k + l Æ n. Seuraus 4. Olkoon V = {0} R n :n aliavaruus. Tällöin V :llä on kanta. Todistus. Koska V = {0}, on olemassa v œ V \{0}. Esimerkin 32(d) nojalla {v} on lineaarisesti riippumaton. Lauseen 32 perusteella {v} voidaan laajentaa V :n kannaksi. Huomautus 14. Lauseen 29 perusteella lineaarinen verho ÈSÍ on aliavaruus. Seurauksen 4 perusteella jokainen R n :n aliavaruus on jonkin äärellisen joukon K lineaarinen verho. Lause 33. Olkoon V µ R n aliavaruus ja dim V = k>0. Olkoon K µ V k-alkioinen joukko. Tällöin seuraavat ovat yhtäpitäviä: (a) K on V :n kanta. (b) K on lineaarisesti riippumaton. (c) ÈKÍ = V. 51

Todistus. Määritelmän perusteella (a) (b) ja (c). Riittää siis osoittaa, että (b) (c). (b) (c): Lauseen 32 nojalla K voidaan laajentaa V :n kannaksi L K. Lauseen 31 perusteella L:ssä on k alkiota. Siten L = K ja ÈKÍ = V. (c) (b): Jos K on lineaarisesti riippuva, niin k Ø 2, sillä jos K = {v}, niin v = 0, sillä V = {0}. Siten lauseen 22 nojalla löytyy v œ K ja 1,..., k 1 œ R, joille v = q v i œk\{v} i v i. Siten lauseen 24(a) perusteella V = ÈKÍ = ÈK\{v}Í, joten lauseen 25 nojalla jokainen V :n k-alkioinen joukko on lineaarisesti riippuva, mikä on ristiriita, sillä dim V = k. Seuraus 5. Olkoot v 1,...,v n œ R n. Tällöin Todistus. HT. det Ë v 1 v n È =0 {v1,...,v n } on R n :n kanta. Esimerkki 44. (a) Joukko {(fi, 0,e), (0, 1, 75), (2010, 0, 49)} on R 3 :n kanta, sillä siinä on kolme alkiota ja S T fi 0 2010 W X det U0 1 0 V =49fi 2010e = 0. e 75 49 (b) Joukko {(1, 2)} µr 2 on lineaarisesti riippumaton, joten se voidaan laajentaa R 2 :n kannaksi. Esimerkiksi K = {(1, 2), (1, 1)} on R 2 :n kanta, sillä siinä on kaksi alkiota ja det C D 1 1 = 3 = 0. 2 1 52