Kertaus K. a) Polynomi P() = 3 + 8 on jaollinen polynomilla Q() = 3, jos = 3 on polynomin P nollakohta, eli P(3) = 0. P(3) = 3 3 3 + 8 3 = 54 08 + 54 = 0. Polynomi P on jaollinen polynomilla Q. b) Jaetaan polynomit P ja Q ensimmäisen asteen tekijöihin. P() = 3 + 8 = ( 6 + 9) = ( 3) Q() = 6 = ( 3) Polynomi P on jaollinen polynomin P kummallakin tekijällä ja 3, joten se on jaollinen polynomilla Q. c) Q() = + 6 = ( + 3) Polynomi P ei ole jaollinen polynomin Q tekijällä + 3, koska P( 3) 0. Tällöin P ei ole jaollinen polynomilla Q. K. a) 5 4 ( 5) 3 0 ( 5) ( 5) ( 5) 5 5 ( 5) b) c) 3 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 4) ( 4) ( 4)( ) 4 3 4 8
K3. Jaetaan polynomi P polynomilla Q. (6 ) 3 (6 3 5):(3 ) 4 3 3 35 ( 3 ) 5 ( 4) Jakoyhtälö on 6 3 3 5 = (3 + )( 4) K4. Koska polynomi 3 7 + 6 on jaollinen sekä binomilla että binomilla +, on se jaollinen niiden tulolla ( )( + ) = +. Polynomi 3 7 + 6 on kolmannen asteen polynomi, joten sillä voi olla vain yksi ensimmäisen asteen tekijä tekijän + lisäksi. Tarvitaan yksi jakolasku. 3 ( 76):( ) 3 3 ( 4 ) 3 3 6 ( 3 36) 0 Kolmas tekijä on 3.
K5. Polynomi P on jaollinen polynomilla Q, jos ja vain jos se on jaollinen binomin Q tekijöillä. Q ( ) ( )( ) Tulee siis olla P( ) 0 ja P( ) 0. 4 P( ) ( ) q( ) 4 q 4 P( ) ( ) q( ) 4 q + q = 0 q = K6. Koska P( 7) = 0, on + 7 polynomin P tekijä. Selvitetään toinen tekijä jakolaskulla. 3 ( 404):( 7) 6 3 ( 7 ) 6 40 ( 6 4 ) 4 ( 4) 0 P() = 3 + 40 + 4 = ( + 7)( 6 + ) P ( ) 0 7 6 0 6 364 6 8 6 7 3 7 tai 7 Yhtälön P() = 0 ratkaisu on = 7, 3 7 tai 3 7
K7. a) b) 3 450 4 645 4 4 4i i i tai i 90 9 tai 0 9 3i ( 9) 0 = 0, = 3i tai = 3i c) 3 6 40 ( 3) 4( 3) 0 ( 4)( 3) 0 4 0 tai 3 0 3 i = 3, i tai i
K8. a) Kirjoitetaan yhtälö ln = sin muotoon ln sin = 0. Etsitään puolitusmenetelmällä funktion f() = ln sin nollakohta. Kuvaajan perusteella funktion ainoa nollakohta on välillä ]; 3[. b) f() väli välin keskikohta f() 0, f(3) 0,96 ], 3[,5 f(,5) 0,3 ];,5[,5 f(,5) 0,03 ];,5[,5 f(,5) 0, ],5;,5[,875 f(,875) 0,03 ],875;,5[,875 f(,875) 0,0004 ],875;,5[,34375 f(,34375) 0,0 ],875;,34375[,6565 f(,6565) 0,008 ],875;,6565[,6565 f(,6565) 0,004 ],875;,6565[ Funktion f nollakohta ja siten myös yhtälön ratkaisu on,. f() väli f() 0, f(3) 0,96 ], 3[ f(,5) 0,3 ];,5[ f(,) 0,0 ],;,5[ f(,) 0,00 ],;,[ f(,5) 0,004 ],5;,[,
K9. a) Kirjoitetaan yhtälö muotoon 5 = 0. Tutkitaan jatkuvan funktion f() = 5 kulkua derivaatan avulla. f () = 5 4 5 4 5, kun, joten 5 4 > 0, kun >. Koska f () > 0 välillä [, ], on funktio f tällä välillä kasvava ja sillä on korkeintaan yksi nollakohta. f() = < 0 f() = 9 > 0 Koska funktio f saa välin [, ] päätepisteissä erimerkkiset arvot, on sillä Bolzanon lauseen mukaan välillä ], [ vähintään yksi nollakohta. Funktiolla f on siten täsmälleen yksi nollakohta ja siis yhtälöllä 5 = täsmälleen yksi ratkaisu välillä [, ]. b) Newtonin menetelmän mukainen rekursiokaava funktion f() = 5 nollakohdan etsimiselle on f ( n ) n n, missä f () = 5 f 4. ( ) 0 = f (),5 f () =,7845 3 =,6753 4 =,6730,67 n
K0. Tehtävänä on ratkaista yhtälö f() =, eli 4 + 3 3 3 =. Kirjoitetaan yhtälö muotoon 4 + 3 3 3 = 0. Tutkitaan funktion g() = 4 + 3 3 3 nollakohtia. Kuvan perusteella nollakohtia on kaksi. Toinen on lähellä kohtaa = ja toinen lähellä kohtaa = 3. Newtonin menetelmän mukainen rekursiokaava funktion g nollakohdan etsimiselle on g( n ) n n, missä g () = 4 g 3 + 6 6 3. ( ) Käytetään alkuarvoa 0 = = 5 = 3,79335 3 =,8367 4 =,790 5 =,7806 6 =,583857 7 =,53678 8 =,584 9 =,586 0 =,586,583 Käytetään alkuarvoa 0 = 3 =,79487 =,7460 3 =,743373 4 =,743365,74337 n
K. Kirjoitetaan yhtälö muotoon cos = 0 ja tutkitaan jatkuvaa funktiota f() = cos. f () = sin Koska sin, niin 3 sin. Funktion f derivaatta f on kaikkialla negatiivinen, joten funktio f on vähenevä ja siten sillä on korkeintaan yksi nollakohta. f(0) = > 0 f() =.45 < 0 Funktio f saa välin [0, ] päätepisteissä erimerkkiset arvot, joten sillä on Bolzanon lauseen mukaan vähintään yksi nollakohta välillä ]0, [. Funktiolla f on siis täsmälleen yksi nollakohta ja siten yhtälöllä cos = yksi ratkaisu. Kirjoitetaan yhtälö kiintopistemenetelmää varten muotoon cos ja merkitään g( ) cos. 0 = = g() = 0,705 = 0,4886 3 = 0,44306 4 = 0,457 5 = 0,44984 6 = 0,4505 7 = 0,4506 8 = 0,4508 0,450
K. a) Kirjoitetaan yhtälö e kiintopistemenetelmää varten muotoon ja merkitään g( ). e e Piirretään kuva. Kiintopiste näyttäisi olevan lähellä kohtaa =. 0 = = g() = 0,735 = 0,890 3 = 0,798 4 = 0,85 5 = 0,80 5 = 0,839 6 = 0,87 7 = 0,834 0,83 b) Kirjoitetaan yhtälö muotoon e 0, merkitään f( ) e ja arvioidaan funktion f nollakohtaa Newtonin menetelmällä. f( n ) n n, missä f( ) e e. f( n ) 0 = = 0,854 = 0,83 3 = 0,83 0,83
K3. Käytetään Newtonin menetelmää funktion f() = ln + sin e nollakohdan etsimiseen. f( n ) Newtonin menetelmän mukainen lauseke on n n, missä f( ) '( ) f cos e. n Valitaan 0 = 0,5 f( 0 ) 0 0,5346673 f( 0 ) = 0,535596 3 = 0,535596 Funktion f nollakohta on 0,535596. K4. Luku a, a > 0 on yhtälön = a positiivinen ratkaisu. Yhtälö = a voidaan kirjoittaa muotoon a = 0 ja arvioidaan funktion f() = a nollakohtaa Newtonin menetelmällä. Newtonin menetelmän avulla muodostettu iterointikaava on f( n) n a n n a a n n n n. f( ) n n n n
K5. Funktion f() = + 3 erotusosamäärän lauseke kohdassa = on f ( h) f ( ) h h f ( h) f ( ) h 0,, 0, 0,9 0,0,0 0,0 0,99 0,00,00 0,00 0,999 Funktion derivaatta kohdassa = näyttäisi olevan noin. Derivointikaavalla saadaan f () = + 3 f ( ) = + 3 =. K6. Funktion f ( ) e keskeisdifferenssin lauseke kohdassa = on f ( h) f ( h) h p h = 0 p f ( h) f ( h) h 0 - = 0, 0,437748 0,4377 0,0 0,496 0,40 3 0,00 0,4804 0,48 4 0,000 0,4803 0,48 5 0,0000 0,4803 0,48 K7. Koska f kasvaa lineaarisesti, sen kuvaaja välillä [,9995;,0005] on likimain suora. Funktion derivaatta kohdassa = on kuvaajalle piirretyn tangentin kulmakerroin tässä kohdassa. Koska kuvaaja on kohdan = ympäristössä likimain suora, voidaan kulmakerroin määrittää funktion arvojen avulla: f(, 0005) f() 3, 7458664 3, 7458053 k 0,., 0005 0, 0005 f () 0,
K8. Funktion f() = cos erotusosamäärän lauseke kohdassa f h f 4 4. h Vasemmanpuoleinen erotusosamäärä: p h = 0 p f h f 4 4 h on 4 absoluuttinen virhe f h 4 f 4 f h 4 6 0 6 0,70706476336 3,53 0 7 7 0 7 0,7070674537899 3,58 0 8 8 0 8 0,707067733457 8,05 0 9 Tarkin, kun p = 8. Oikeanpuoleinen erotusosamäärä: p h = 0 p f h f 4 4 h absoluuttinen virhe f h 4 f 4 f h 4 6 0 6 0,70707347340 3,50 0 7 7 0 7 0,70706864336 3,5 0 8 8 0 8 0,7070679533903,4 0 8 Tarkin, kun p = 8. Keskeisdifferenssin lauseke kohdassa f ( h) f ( h) 4 4. h on 4 p h = 0 p f h f h 4 4 h absoluuttinen virhe f h 4 f h 4 f h 4 6 0 6 0,7070678836,86 0 7 0 7 0,70706780906,80 0 0 8 0 8 0.70706784368 3,05 0 9 Tarkin, kun p = 6.
K9. Pinta-ala on noin 3,4. K0. a) Välin pituus on 4 = 3. Koska osavälejä on 3, yhden osavälin pituus on. Osavälit ovat [, ], [, 3] ja [3, 4]. Välien keskipisteet ovat =,5, =,5 ja 3 = 3,5. Arvio pinta-alalle on ( f(,5) f(,5) f(3,5)) 4,94... 4,9. b) Välin pituus on 3 0,5. 6 Välien keskipisteet ovat =,5, =,75, 3 =,5, 4 =,75, 5 =3,5 ja 6 = 3,75. Arvio pinta-alalle on 0,5( f (, 5) f (, 75) f (, 5) f (, 75) f(3, 5) f(3, 75)) 4,63... 4,6
K. 3 3 d ( / ln ln 3 ln) ln 3 Merkitään f ( ). Välin [, 3] pituus on. Koska jakovälejä on neljä, yhden jakovälin pituus on 0,5. Arvio integraalille on 0,5 f () f (,5) f () f (,5) f (3),66666...,667 Määritetään suhteellinen virhe.,667 ln 3 0,064... ln 3 Virhe on,6 %. K. Aika t on tunteja keskiyöstä. Puolisuunnikassääntöä varten tarvittava osavälin pituus on 3,00 tuntia. 4 0 f ()d t t 3,00( f (0,00) f (3,00) f (6,00) f (9,00) f (,00) f (5,00) f (8,00) f (,00) f (4,00)) 345,6 4 ( )d 345,6 4, 4 4 f t t 4 0 Vuorokauden keskilämpötila on 4,4 C.
K3. Välin [0, 4] pituus on 4. Osavälejä on neljä, joten yhden osavälin pituus on. Merkitään f() =. 4 f f f f f 0 d ( (0) 4 () () 4 (3) (4)) 64 3 3 Lasketaan integraalin tarkka arvo. 4 4 3 3 0 d 4 0 64 / 0 3 3 3 Simpsonin sääntöä käytettäessä virhe on E n 80n 5 (4) ( b a) f ( t) 4. Simpsonin säännön virhe on 0, kun funktion f neljäs derivaatta f (4) (t) on 0. Jos funktio f on korkeintaan kolmannen asteen polynomifunktio, sen neljäs derivaatta on nolla. Simpsonin sääntö integroi tarkasti korkeintaan kolmannen asteen polynomifunktiot.
K4. Piirretään kuva. Alueen pinta-ala voidaan laskea integraalina f( ) g( ) d e sin d. 0 0 Merkitään h ( ) e sin Arvioidaan alueen pinta-alaa käyttäen neljää osaväliä ja Simpsonin sääntöä. Välin [0, ] pituus on. Koska osavälejä on neljä, yhden osavälin pituus on 0,5. e sin d 0 0,5 ( h (0) 4 h (0,5) h (0,5) 4 h (0,75) h ()) 3,537... Pinta-ala on noin,5.