Kansainvälisten matematiikkaolympialaisten tehtävät ja ratkaisut

Kansainvälisten matematiikkaolympialaisten tehtävät ja ratkaisut 1995 014 Tehtävät 36. IMO, Toronto 1995 1995.1. Olkoot A, B, C ja D neljä eri pistettä suoralla, tässä järjestyksessä. Ympyrät, joiden halkaisijat ovat AC ja BD leikkaavat toisensa pisteissä X ja Y. Suorat XY ja BC leikkaavat toisensa pisteessä Z. PisteP on mielivaltainen suoran XY piste, P Z. Suora CP leikkaa AC-halkaisijaisen ympyrän pisteissä C ja M ja suora BP leikkaa BDhalkaisijaisen ympyrän pisteissä B ja N. Osoita, että suoratam, DN ja XY kulkevat saman pisteen kautta. 1995.. Olkoot a, b ja c positiivisia reaalilukuja ja olkoon abc = 1. Osoita, että 1 a 3 (b + c) + 1 b 3 (c + a) + 1 c 3 (a + b) 3. 1995.3. Määritä kaikki sellaiset kokonaisluvut n>3, joille on olemassa n tason pistettä A 1, A,..., A n ja reaaliluvut r 1, r,..., r n siten, että seuraavat ehdot ovat samanaikaisesti voimassa: (i) Mitkään kolme pisteistä A 1, A,..., A n eivät ole samalla suoralla. (ii) Kaikilla i, j, k (1 i<j<k n) kolmion A i A j A k ala on r i + r j + r k. 1995.4. Määritä suurin x 0, jolle on olemassa positiiviset reaaliluvut x 0, x 1,..., x 1995, jotka toteuttavat seuraavat ehdot: (i) x 0 = x 1995 ; (ii) x i 1 + =x i + 1 kaikilla i =1,,..., 1995. x i 1 x i 1995.5. Olkoon ABCDEF kupera kuusikulmio ja AB = BC = CD, DE = EF = FA sekä BCD = EFA =60. Olkoot G ja H kaksi kuusikulmion sisäpistettä, jotka on valittu niin, että AGB = DHE = 10. Osoita, että AG + GB + GH + DH + HE CF. 1995.6. Olkoon p pariton alkuluku. Määritä joukon{1,,..., p} kaikkien sellaisten osajoukkojen A lukumäärä, joille on voimassa (i) A:ssa on tasan p alkiota ja (ii) A:n alkioiden summa on jaollinen p:llä.

37. IMO, Mumbai 1996 1996.1. Suorakaiteen muotoinen pelilauta ABCD, missä AB =0ja BC = 1, on jaettu 0 1:ksi yksikköneliöksi. Olkoon r positiivinen kokonaisluku. Laudalla voidaan siirtää kolikkoa neliöstä toiseen jos ja vain jos neliöiden keskipisteiden etäisyys on r. Tehtävänä onlöytää jono siirtoja, joilla kolikko voidaan siirtää neliöstä, jonka kärki on A neliöön, jonka kärki on B. (a) Osoita, että tehtävää ei voida suorittaa, jos r on jaollinen :lla tai 3:lla. (b) Osoita, että tehtävä voidaan suorittaa, jos r = 73. (c) Osoita, että tehtävä on mahdoton, jos r = 97. 1996.. Olkoon P kolmion ABC sisäpiste ja olkoon AP B ACB = AP C ABC. Olkoot D ja E kolmioiden AP B ja AP C sisään piirrettyjen ympyröiden keskipisteet. Osoita, että AP, BD ja CE kulkevat saman pisteen kautta. 1996.3. Olkoon S = {0, 1,, 3,...} ei-negatiivisten kokonaislukujen joukko. Määritä kaikki funktiot f, jotka on määritelty joukossa S ja joiden arvot kuuluvat joukkoon S ja jotka toteuttavat yhtälön f(m + f(n)) = f(f(m)) + f(n) kaikilla joukon S alkioilla m ja n. 1996.4. Positiiviset kokonaisluvut a ja b on valittu niin, että luvut 15a +16b ja 16a 15b ovat molemmat positiivisten kokonaislukujen neliöitä. Määritä näistä neliöistä pienemmän pienin mahdollinen arvo. 1996.5. Olkoon ABCDEF kupera kuusikulmio ja olkoon AB ED:n kanssa yhdensuuntainen, BC FE:n kanssa yhdensuuntainen ja CD AF:n kanssa yhdensuuntainen. Olkoot R A, R C ja R E kolmioiden FAB, BCD ja DEF ympäri piirrettyjen ympyröiden säteet ja p kuusikulmion piiri. Todista, että R A + R C + R E p. 1996.6. Olkoot n, p ja q positiivisia kokonaislukuja ja n>p+ q. Olkoot x 0, x 1,... x n kokonaislukuja, joille ovat voimassa seuraavat ehdot: (a) x 0 = x n =0; (b) kaikille kokonaisluvuille i, 1 i n, pätee joko x i x i 1 = p tai x i x i 1 = q. Osoita, että on olemassa indeksipari (i, j), i<j,(i, j) (0,n), jolle pätee x i = x j.

38. IMO, Mar del Plata 1997 1997.1. Tason kokonaislukukoordinaattiset pisteet ovat yksikköneliöiden kärkiä. Neliöt on väritetty vuorotellen mustiksi ja valkeiksi (šakkilaudan tapaan). Olkoot m ja n positiivisia kokonaislukuja. Tarkastellaan suorakulmaista kolmiota, jonka kärkien koordinaatit ovat kokonaislukuja, jonka kateettien pituudet ovat m ja n ja jonka kateetit sijaitsevat neliöiden sivuilla. Olkoon S 1 kolmion mustan osan ala ja S kolmion valkean osan ala. Olkoon f(m, n) = S 1 S. (a) Laske f(m, n) kaikille positiivisille kokonaisluvuille m, n, jotka ovat joko molemmat parillisia tai molemmat parittomia. (b) Todista, että f(m, n) 1 max(m, n) kaikilla m ja n. (c) Osoita, että ei ole olemassa vakiota C, jolle f(m, n) <C kaikilla m ja n. 1997.. Kulma A on pienin kolmion ABC kulmista. Pisteet B ja C jakavat kolmion ympäri piirretyn ympyrän kahdeksi kaareksi. Olkoon U sisäpiste sillä B:n ja C:n välisellä kaarella, jolla A ei ole. Janan AB keskinormaali leikkaa suoran AU pisteessä V ja janan AC keskinormaali leikkaa suoran AU pisteessä W. Suorat BV ja CW leikkaavat toisensa pisteessä T. Osoita, että AU = TB + TC. 1997.3. Olkoot x 1, x,..., x n reaalilukuja, jotka toteuttavat ehdot x 1 + x + + x n =1 ja x i n +1, kun i =1,,..., n. Osoita, että on olemassa jonon x 1, x,..., x n permutaatio y 1, y,..., y n, jolle pätee y 1 +y + + ny n n +1. 1997.4. Kutsumme n n-neliömatriisia (neliömäistä lukutaulukkoa) hopeamatriisiksi, jos sen alkiot kuuluvat joukkoon S = {1,,..., n 1} ja jos jokaisella i =1,,..., n matriisin i:nnen vaakarivin ja i:nnen pystyrivin alkioiden yhdiste sisältää S:n kaikki alkiot. Osoita, että (a) kun n = 1997, hopeamatriiseja ei ole olemassa; (b) hopeamatriiseja on olemassa äärettömän monella n:n arvolla. 1997.5. Määritä kaikki kokonaislukuparit (a, b), a 1, b 1, jotka toteuttavat yhtälön a b = b a. 3

1997.6. Olkoon n positiivinen kokonaisluku. Eri tapoja kirjoittaa n luvun sellaisten potenssien summana, joiden eksponentti on ei-negatiivinen kokonaisluku, olkoon f(n) kappaletta. Esityksiä, jotka eroavat toisistaan vain yhteenlaskettavien järjestyksen suhteen, pidetään samoina. Esimerkiksi f(4) = 4, koska 4 voidaan esittää seuraavilla neljällä tavalla: 4; +; +1+1; 1+1+1+1. Osoita, että jokaisella kokonaisluvulla n 3 pätee n /4 <f( n ) < n /. 4 39. IMO, Taipei 1998 1998.1. Kuperan nelikulmion ABCD lävistäjät AC ja BD ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan ja nelikulmion vastakkaiset sivut AB ja DC eivät ole yhdensuuntaiset. Oletamme, että AB:n ja DC:n keskinormaalien leikkauspiste P on ABCD:n sisäpuolella. Todista, että nelikulmion ABCD ympäri voidaan piirtääympyrä, jos ja vain jos kolmioilla ABP ja CDP on sama pinta-ala. 1998.. Kilpailussa on a kilpailijaa ja b tuomaria, missä b 3 on pariton kokonaisluku. Jokainen tuomari arvostelee jokaisen kilpailijan suorituksen joko hyväksytyksi tai hylätyksi. Olkoon k sellainen luku, että jokaiset kaksi tuomaria ovat samaa mieltä enintään k:n kilpailijan suorituksista. Todista, että k a b 1 b. 1998.3. Olkoon d(n) positiivisen kokonaisluvun n positiivisten tekijöiden (1 ja n mukaan lukien) lukumäärä. Määritä kaikki positiiviset kokonaisluvut k, joille pätee jollakin kokonaisluvulla n. d(n ) d(n) = k 1998.4. Määritä kaikki positiiviset kokonaislukuparit (a, b), joille ab + b +7on luvun a b + a + b tekijä. 1998.5. Olkoon I kolmion ABC sisään piirretyn ympyrän keskipiste. Kolmion ABC sisään piirretyn ympyrän ja kolmion sivujen BC, CA ja AB sivuamispisteet ovat K, L ja M, tässä järjestyksessä. Pisteen B kautta kulkeva MK:n suuntainen suora leikkaa suorat LM ja LK pisteissä R ja S. Osoita, että RIS on terävä. 1998.6. Tarkastellaan kaikkia positiivisten kokonaislukujen joukossa N + määriteltyjä funktioita f, joiden arvot ovat positiivisia kokonaislukuja ja jotka toteuttavat ehdon f ( t f(s) ) = s (f(t)) kaikilla s, t N +.Määritä f(1998):n pienin mahdollinen arvo.

40. IMO, Bukarest 1999 1999.1. Määritä kaikki äärelliset tasojoukot S, joissa on vähintään kolme pistettä jajotka täyttävät seuraavan ehdon: kun A ja B ovat joukon S kaksi eri pistettä, joukko S on symmetrinen janan AB keskinormaalin suhteen. 1999.. Olkoon n kiinteä kokonaisluku, jolle n. (a) Määritä pienin sellainen vakio C, että kaikilla reaalisilla x 1,...,x n 0pätee epäyhtälö 1 i<j n x i x j (x i + x j ) C 1 i n (b) Määritä, milloin yhtäsuuruus on voimassa, kun C on kuten yllä. 1999.3. Tarkastellaann n-lautaa, missä n onkiinteäpositiivinenparillinenkokonaisluku. Lauta koostuu n yksikköruudusta. Kahden eri ruudun sanotaan olevan vierekkäiset, jos niillä on yhteinen sivu. Laudan N ruutua merkitään niin, että jokaisen laudan (merkityn tai merkitsemättömän) ruudun vieressä on vähintään yksi merkitty ruutu. Määritä luvun N pienin mahdollinen arvo. 1999.4. Määritä kaikki sellaiset positiivisten kokonaislukujen parit (n, p), että p on alkuluku, n p ja (p 1) n + 1 on jaollinen luvulla n p 1. 1999.5. Ympyrät Γ 1 ja Γ sisältyvät ympyrään Γ ja sivuavat ympyrää Γ eri pisteissä M ja N. YmpyräΓ 1 kulkee ympyrän Γ keskipisteen kautta. Ympyröiden Γ 1 ja Γ leikkauspisteiden kautta kulkeva suora leikkaa ympyrän Γ pisteissä A ja B. Suorat MA ja MB leikkaavat ympyrän Γ 1 pisteissä C ja D. Todista, että suoracd sivuaa ympyrää Γ. 1999.6. Määritä kaikki sellaiset kuvaukset f : R R, että jokaisella x, y R on voimassa yhtälö f(x f(y)) = f(f(y)) + xf(y)+f(x) 1. x i 4. 5 41. IMO, Taejon 000 000.1. Ympyrät Γ 1 ja Γ leikkaavat toisensa pisteissä M ja N. Olkoonl se Γ 1 :n ja Γ :n yhteinen tangentti, joka on lähempänä M:ää kuinn:ää. Suora l sivuaa Γ 1 :tä pisteessä A ja Γ :ta pisteessä B. Pisteen M kautta kulkeva l:n suuntainen suora leikkaa ympyrän Γ 1 myös pisteessä C ja ympyrän Γ myös pisteessä D. Suorat CA ja DB leikkaavat pisteessä E; suorat AN ja CD leikkaavat pisteessä P ;suorat BN ja CD leikkaavat pisteessä Q. Osoita, että EP = EQ. 000.. Olkoot a, b ja c positiivisia reaalilukuja ja olkoon abc = 1. Todista, että ( a 1+ 1 )( b 1+ 1 )( c 1+ 1 ) 1. b c a 000.3. Olkoon n positiivinen kokonaisluku. Vaakasuoralla suoralla on n kirppua, jotka eivät kaikki ole samassa pisteessä. Olkoon λ positiivinen reaaliluku. Määritellään

siirtymä seuraavasti: valitaan jotkin kaksi kirppua, jotka ovat pisteissä A ja B, AB:n vasemmalla puolella; annetaan A:ssa olevan kirpun hypätä siihen B:n oikealla puolella olevaan suoran pisteeseen C, jolle BC/AB = λ. Määritä kaikki sellaiset λ:n arvot, joilla kaikki kirput voivat siirtyä mistä hyvänsä alkuasemasta minkä hyvänsä pisteen M oikealle puolelle äärellisen monen siirtymän avulla. 000.4. Taikurilla on sata korttia, jotka on numeroitu 1:stä 100:aan. Taikuri sijoittaa kortit kolmeen rasiaan, punaiseen, valkoiseen ja siniseen, niin että joka rasiassa on ainakin yksi kortti. Eräs katsojista valitsee rasioista kaksi, ottaa kummastakin rasiasta yhden kortin ja kertoo valituissa korteissa olevien numeroiden summan. Kuultuaan summan taikuri ilmoittaa, mistä rasiasta ei ole otettu kortteja. Monellako tavalla kortit voidaan sijoittaa rasioihin niin, että kuvattu temppu aina onnistuu? (Kahta sijoittelua pidetään eri sijoitteluina, jos niissä ainakin yksi kortti on eri rasiassa.) 000.5. Selvitä, onko olemassa positiivista kokonaislukua n, jolle n on jaollinen tasan 000:lla eri alkuluvulla ja n + 1 on jaollinen n:llä. 000.6. Olkoot AD, BE ja CF teräväkulmaisen kolmion ABC korkeusjanat. Kolmion ABC sisään piirretty ympyrä sivuaasivujabc, CA ja AB pisteissä G, H ja J, tässä järjestyksessä. Olkoot suorat a, b ja c suorien EF, FD ja DE peilikuvat suorien HJ, JG ja GH yli suoritetuissa peilauksissa (tässä järjestyksessä). Todista, että a, b ja c määrittävät kolmion, jonka kärjet ovat kolmion ABC sisään piirretyn ympyrän kehällä. 4. IMO, Washington D.C. 001 001.1. Teräväkulmaisessa kolmiossa ABC on O ympäripiiretyn ympyrän keskipiste ja AP korkeusjana. Lisäksi C B +30. Todista, että A + COP < 90. 001.. Todista, että kaikille positiivisille luvuille a, b ja c pätee a a +8bc + b b +8ac + c c +8ab 1. 001.3. Matematiikkakilpailuun osallistui 1 poikaa ja 1 tyttöä. Osoittautui, että (a) kukin kilpailija ratkaisi enintään kuusi tehtävääja (b) jokaista pojan ja tytön muodostamaa paria kohden oli ainakin yksi tehtävä, jonka molemmat ratkaisivat. Osoita, että kilpailussa oli ainakin yksi tehtävä, jonka oli ratkaissut ainakin kolme tyttöä ja kolme poikaa. 001.4. Olkoon n>1 pariton kokonaisluku ja olkoot c 1, c,..., c n kokonaislukuja. Jos a =(a 1,a,..., a n ) on jonon {1,,..., n} permutaatio, niin merkitään 6 S(a) = n c i a i. i=1 Todista, että on olemassa {1,,..., n}:n permutaatiot a b, joille S(a) S(b) on jaollinen luvulla n!.

001.5. Kolmiossa ABC on BAC =60. Piste P on BAC:n puolittajan ja BC:n leikkauspiste ja Q ABC:n puolittajan ja AC:n leikkauspiste. Lisäksi AB + BP = AQ + QB. Määritä kolmion ABC kulmien suuruudet. 001.6. Olkoot a, b, c ja d, a>b>c>d, positiivisia kokonaislukuja. Olkoon Osoita, että ab + cd ei ole alkuluku. ac + bd =(b + d + a c)(b + d a + c). 7 43. IMO, Glasgow, 00 00.1. Olkoon S kaikkien ei-negatiivisten kokonaislukujen h, k, joille pätee h + k < n, muodostamien parien (h, k) joukko. Jokainen S:n alkio väritetään punaiseksi tai siniseksi niin, että jos(h, k) on punainen ja h h, k k, niin (h,k )onmyös punainen. Joukon S osajoukko on tyyppiä 1, jos siinä onn sinistä paria, joissa on eri ensimmäinen jäsen ja tyyppiä, jos siinä on n sinistä paria, joissa on eri toinen jäsen. Osoita, että S:llä on yhtä monta tyypi 1 ja tyypin osajoukkoa. 00.. BC on O-keskisen ympyrän halkaisija. A on mielivaltainen ympyrän kehän piste siten, että kulmaaoc > 60. Jänne EF on janan AO keskinormaali. D on pienemmän kaaren AB keskipiste. O:n kautta piirretty AD:n suuntainen suora leikkaa AC:n pisteessä J. Osoita, että J on kolmion CEF sisään piirretyn ympyrän keskipiste. 00.3. Määritä kaikki kokonaislukujen m>, n> parit, joille k n + k 1 on luvun k m + k 1tekijääärettömän monella kokonaisluvulla k. 00.4. Kokonaisluvun n>1 positiiviset tekijät ovat d 1 <d <... < d k (siis d 1 =1ja d k = n). Olkoon d = d 1 d + d d 3 + + d k 1 d k. Osoita, että d<n ja määritä ne luvut n, joille d on n :n tekijä. 00.5. Määritä kaikki reaalimuuttujan reaaliarvoiset funktiot f, joille (f(x) + f(y))(f(u)+f(v)) = f(xu yv)+f(xv + yu) kaikilla x, y, u ja v. 00.6. Tasoon on piirretty n ympyrää niin, että mikään suora ei leikkaa useampia kuin kahta näistä ympyröistä. Ympyröiden keskipisteet ovat O 1. O,..., O n. Osoita, että i<j 1 O i O j (n 1)π. 4 44. IMO, Tokio 003 003.1. Olkoon joukon S = {1,,..., 1000000} osajoukossa A tasan 101 alkiota. Todista, että joukossa S on sellaiset luvut t 1, t,..., t 100, että joukot ovat pareittain yhteisalkiottomia. A j = {x + t j x A}, j =1,,..., 100,

8 003.. Määritä kaikki ne positiivisten kokonaislukujen parit (a, b), joille a ab b 3 +1 on positiivinen kokonaisluku. 003.3. Kuperan kuusikulmion jokaisella kahdella vastakkaisella sivulla on seuraava ominaisuus: sivujen keskipisteiden etäisyys on 3/ kertaa sivujen pituuksien summa. Osoita, että kuusikulmion kulmat ovat yhtä suuria. 003.4. Olkoon ABCD jännenelikulmio. Olkoot P, Q ja R pisteen D kohtisuorat projektiot suorilla BC, CA ja AB, tässä järjestyksessä. Osoita, että PQ = QR, josjavain jos kulmien ABC ja ADC puolittajien leikkauspiste on suoralla AC. 003.5. Olkoon n positiivinen kokonaisluku ja olkoot x 1, x,..., x n reaalilukuja, joille pätee x 1 x... x n. (a) Osoita, että n n x i x j (n 1) n n (x i x j ). 3 i=1 j=1 i=1 j=1 (b) Osoita, että edellisessä epäyhtälössä vallitsee yhtäsuuruus, jos ja vain jos x 1, x,..., x n on aritmeettinen jono. 003.6. Olkoon p alkuluku. Osoita, että on olemassa sellainen alkuluku q, että n p p ei millään kokonaisluvulla n ole jaollinen q:lla. 45. IMO, Ateena 004 004.1. Olkoon ABC teräväkulmainen kolmio ja AB AC. Ympyrä, jonka halkaisija on BC, leikkaa sivun AB pisteessä M ja sivun AC pisteessä N. Olkoon O sivun BC keskipiste. Kulmien BAC ja MON puolittajat leikkaavat toisensa pisteessä R. Todista, että kolmioiden BMR ja CNR ympäri piirretyllä ympyröillä onyhteinenpiste,jokaon sivulla BC. 004.. Määritä kaikki reaalikertoimiset polynomit P (x), jotka toteuttavat yhtälön P (a b)+p (b c)+p (c a) =P (a + b + c) kaikilla ehdon ab + bc + ca = 0 toteuttavilla reaaliluvuilla a, b ja c. 004.3. Olkoon koukku oheisen kuvion mukaisesti kuudesta yksikköneliöstä muodostuva kuvio tai mikä hyvänsä tästä kuviosta kierroilla tai peilauksilla muodostuva kuvio. Määritä kaikki m n-suorakaiteet, jotka voidaan peittää koukuilla niin, että suorakaide peittyy aukottomasti eivätkä koukut peitä toisiaan, mutta mikään koukku ei peitä suorakaiteen ulkopuolista aluetta.

004.4. Olkoon n 3 kokonaisluku ja olkoot t 1, t,..., t n positiivisia reaalilukuja, joille on voimassa ( 1 n +1> (t 1 + t + + t n ) + 1 + + 1 ). t 1 t t n Osoita, että t i, t j, t k ovat kaikilla i, j, k, 1 i<j<k n, kolmion sivujen pituuksia. 004.5. Kuperan nelikulmion ABCD lävistäjä BD ei ole kulman ABC eikä kulmancda puolittaja. Piste P on nelikulmion ABCD sisälläjatoteuttaaehdot PBC = DBA ja PDC = BDA. Todista, että ABCD on jännenelikulmio, jos ja vain jos AP = CP. 004.6. Positiivista kokonaislukua kutsutaan vuorottelevaksi, jos sen kymmenjärjestelmäesityksessä jokaisesta kahdesta peräkkäisestä numerosta toinen on parillinen ja toinen pariton. Määritä kaikki positiiviset kokonaisluvut, joilla on vuorotteleva monikerta. 46. IMO, Mérida 005 005.1. Tasasivuisen kolmion ABC sivuilta valitaan kuusi pistettä: A 1 ja A sivulta BC, B 1 ja B sivulta CA ja C 1 sekä C sivulta AB. Pisteet muodostavat kuperan kuusikulmion A 1 A B 1 B C 1 C, jonka sivut ovat yhtä pitkiä. Osoita, että suorata 1 B, B 1 C ja C 1 A leikkaavat toisensa samassa pisteessä. 005.. Kokonaislukujonossa a 1, a,... on äärettömän monta positiivista ja äärettömän monta negatiivista jäsentä. Oletetaan, että jokaisella positiivisella kokonaisluvulla n lukujen a 1, a,..., a n jakojäännökset n:llä jaettaessa ovat n eri lukua. Osoita, että jokainen kokonaisluku esiintyy tässä jonossa täsmälleen kerran. 005.3. Positiiviset reaaliluvut x, y ja z toteuttavat ehdon xyz 1. Todista, että x 5 x x 5 + y + z + y5 y y 5 + z + x + z5 z z 5 + x + y 0. 005.4. Tarkastellaan kaavan a n = n +3 n +6 n 1, n =1,,..., määrittelemää lukujonoa a 1, a,...määritä kaikki positiiviset kokonaisluvut, joilla ei ole yhteistä tekijää jonon minkään luvun kanssa. 005.5. Kuperassa nelikulmiossa ABCD sivut BC ja AD ovat yhtä pitkät mutta erisuuntaiset. Olkoon E sivun BC ja F sivun AD sisäpiste ja olkoon BE = DF. Suorat AC ja BD leikkaavat pisteessä P,suoratBD ja EF leikkaavat pisteessä Q ja suorat EF ja AC leikkaavat pisteessä R. Tarkastellaan kaikkia kolmioita PQR,kunE ja F liikkuvat. Osoita, että näiden kolmioiden ympäri piirretyillä ympyröillä onp :n lisäksi toinenkin yhteinen piste. 005.6. Matematiikkakilpailussa oli 6 tehtävää. Mitkä tahansa kaksi näistä tehtävistä ratkaisi yli kilpailijoista. Kukaan kilpailijoista ei ratkaissut kaikkia kuutta tehtävää. 5 Osoita, että ainakin kaksi kilpailijoista ratkaisi tasan 5 tehtävää. 9

10 47. IMO, Ljubljana 006 006.1. Kolmion ABC sisään piirretyn ympyrän keskipiste on I. Kolmion sisäpiste P toteuttaa ehdon PBA+ PCA = PBC + PCB. Osoita, että AP AI ja että yhtäsuuruus vallitsee, jos ja vain jos P = I. 006.. Kutsumme säännöllisen 006-kulmion P lävistäjää hyväksi janaksi, jossenpää- tepisteet jakavat P :n piirin kahteen osaan, joista kumpikin koostuu parittomasta määrästä P :n sivuja. Myös P :n sivuja pidetään hyvinä janoina. Monikulmio P jaetaan kolmioiksi 003:lla lävistäjällä, jotka eivät leikkaa toisiaan P :n sisällä. Määritä sellaisten jaossa syntyvien tasakylkisten kolmioiden, joiden sivuista kaksi on hyviä janoja, suurin mahdollinen lukumäärä. 006.3. Määritä pienin reaaliluku M, jolle epäyhtälö ab(a b )+bc(b c )+ca(c a ) M(a + b + c ) toteutuu kaikilla reaaliluvuilla a, b ja c. 006.4. Määritä kaikki kokonaislukuparit (x, y), jotka toteuttavat yhtälön 1+ x + x+1 = y. 006.5. Kokonaislukukertoimisen polynomin P aste on n, n>1. Olkoon k mielivaltainen positiivinen kokonaisluku. Tarkastellaan polynomia Q(x) =P (P (...P(P (x))...)), missä P esiintyy k kertaa. Todista, että on olemassa enintään n kokonaislukua t, joille pätee Q(t) = t. 006.6. Liitetään jokaiseen kuperan monikulmion P sivuun b suurimman sellaisen kolmion ala, joka on kokonaan P :n sisällä jajonkayksisivuonb. Osoita, että kaikkiin P :n sivuihin liitettyjen alojen summa on ainakin kaksi kertaa P :n ala. 48. IMO, Hanoi 007 007.1 On annettu reaaliluvut a 1, a,..., a n. Jokaiselle i, 1 i n, määritellään d i =max{a j 1 j i} min{a j i j n}. Olkoon d =max{d i 1 i n}. (a) Osoita, että mielivaltaisille reaaliluvuille x 1 x... x n pätee max{ x i a i 1 i n} d. ( ) (b) Osoita, että on olemassa reaaliluvut x 1 x... x n, joille epäyhtälössä( ) vallitsee yhtäsuuruus.

007. Pisteet A, B, C, D ja E sijaitsevat niin, että ABCD on suunnikas ja BCED on jännenelikulmio. Suora l kulkee pisteen A kautta. Oletetaan, että l leikkaa janan DC sen sisäpisteessä F ja suoran BC pisteessä G. Oletetaan, että EF = EG = EC. Todista, että l on kulman DAB puolittaja. 007.3 Matematiikkakilpailun osallistujista jotkut ovat toistensa ystäviä; ystävyys on aina molemminpuolista. Sanomme, että jokin kilpailijoiden joukko on klikki, jos kaikki sen jäsenet ovat toistensa ystäviä. (Erityisesti joukot, joissa on vähemmän kuin kaksi alkiota, ovat klikkejä.) Sanomme klikin jäsenten lukumäärää klikin kooksi. Tiedetään, että tässä kilpailussa klikkien suurin koko on parillinen. Todista, että kilpailijat voidaan jakaa kahteen huoneeseen niin, että suurikokoisin toisessa huoneessa oleva klikki on samankokoinen kuin suurikokoisin toisessa huoneessa oleva klikki. 007.4 Kolmion ABC kulman BCA puolittaja leikkaa kolmion ympäri piirretyn ympyrän myös pisteessä R, kolmion sivun BC keskinormaalin pisteessä P ja sivun AC keskinormaalin pisteessä Q. SivunBC keskipiste on K ja sivun AC keskipiste on L. Osoita, että kolmioilla RP K ja RQL on sama ala. 007.5 Olkoot a ja b positiivisia kokonaislukuja. Todista, että josluku4ab 1 on luvun (4a 1) tekijä, niin a = b. 007.6 Olkoon n positiivinen kokonaisluku. Tarkastellaan kolmiulotteisen avaruuden (n + 1) 3 1 pistettä sisältävää joukkoa S = {(x, y, z) x, y, z {0, 1,..., n}, x+ y + z>0}. Mikä onpieninmäärä tasoja, joiden yhdiste sisältää joukons pisteet, muttei pistettä (0, 0, 0)? 49. IMO, Madrid 008 008.1. Teräväkulmaisen kolmion ABC korkeusjanojen leikkauspiste on H. Pisteen H kautta kulkeva ympyrä, jonka keskipiste on sivun BC keskipiste, leikkaa suoran BC pisteissä A 1 ja A. Vastaavasti pisteen H kautta kulkeva ympyrä, jonka keskipiste on sivun CA keskipiste, leikkaa suoran CA pisteissä B 1 ja B, ja pisteen H kautta kulkeva ympyrä, jonka keskipiste on sivun AB keskipiste, leikkaa suoran AB pisteissä C 1 ja C. Osoita, että pisteet A 1, A, B 1, B, C 1 ja C ovat samalla ympyrällä. 008.. (a) Todista, että x (x 1) + y (y 1) + z (z 1) 1 kaikille reaaliluvuille x, y ja z, jotka ovat eri suuria kuin 1 ja joille pätee xyz =1. (b) Osoita, että äärettömän monella rationaalilukukolmikolla x, y, z, missä kaikki luvut ovat eri suuria kuin 1 ja xyz = 1, edellisessä epäyhtälössä vallitsee yhtäsuuruus. 008.3. Osoita, että on olemassa äärettömän monta sellaista positiivista kokonaislukua n, jolle luvulla n +1onlukuan + n suurempi alkutekijä. 11

008.4. Määritä kaikki funktiot f :(0, ) (0, ) (f on siis positiivisten reaalilukujen joukossa määritelty funktio, jonka arvot ovat positiivisia reaalilukuja), joille pätee 1 ( f(w) ) + ( f(x) ) f(y )+f(z ) = w + x y + z kaikilla positiivisilla reaaliluvuilla w, x, y ja z, jotka toteuttavat ehdon wx = yz. 008.5. Olkoot n ja k, k n, positiivisia kokonaislukuja, ja olkoon k n parillinen. Olkoon annettuna n lamppua, jotka on varustettu numeroin 1,,..., n ja joista jokainen voi palaa tai olla pimeänä. Aluksi kaikki lamput ovat pimeinä. Tarkastellaan askelista koostuvia jonoja. Jokaisella askeleella jonkin lampun tila vaihdetaan päinvastaiseksi (lamppu sytytetään tai sammutetaan). Olkoon N kaikkien sellaisten k:sta askeleesta muodostuvien jonojen lukumäärä, jotka johtavat tilaan, jossa lamput 1,..., n palavat ja lamput n +1,...,n ovat pimeinä. Olkoon M kaikkien sellaisten k:sta askeleesta muodostuvien jonojen lukumäärä, jotka johtavat tilaan, jossa lamput 1,..., n palavat ja lamput n +1,...,n ovat pimeinä, mutta lamppuja n +1,...,n ei ole kertaakaan sytytetty. Määritä suhde N/M. 008.6. Kuperassa nelikulmiossa ABCD on BA BC. Kolmioiden ABC ja ADC sisään piirretyt ympyrät ovat ω 1 ja ω. Oletetaan, että on olemassa ympyrä ω, jokasivuaa puolisuoraa BA eri puolella A:ta kuin B ja puolisuoraa BC eri puolella C:tä kuinb ja joka myös sivuaa suoria AD ja CD. Osoita, että ympyröiden ω 1 ja ω yhteisten ulkopuolisten tangenttien leikkauspiste on ympyrällä ω. 50. IMO, Bremen 009 009.1. Olkoon n positiivinen kokonaisluku ja olkoot a 1,..., a k (k ) joukon {1,..., n} eri lukuja niin, että a i (a i+1 1) on jaollinen n:llä, kun i = 1,..., k 1. Osoita, että a k (a 1 1) ei ole jaollinen n:llä. 009.. Olkoon ABC kolmio ja O sen ympäri piirretyn ympyrän keskipiste. Piste P on sivun CA sisäpiste ja piste Q sivun AB sisäpiste. Pisteet K, L ja M ovat janojen BP, CQ ja PQ keskipisteet, tässä järjestyksessä, ja Γ on pisteiden K, L ja M kautta kulkeva ympyrä. Oletetaan, että suorapq on ympyrän Γ tangentti. Osoita, että OP = OQ. 009.3. Oletetaan, että s 1,s,s 3,... on aidosti kasvava positiivisten kokonaislukujen jono ja että molemmat osajonot s s1,s s,s s3,... ja s s1 +1, s s +1, s s3 +1,... ovat aritmeettisia jonoja. Osoita, että myös jono s 1,s,s 3,... on aritmeettinen jono. 009.4. Olkoon ABC kolmio, jossa AB = AC. KulmienCAB ja ABC puolittajat leikkaavat sivut BC ja CA pisteissä D ja E, tässäjärjestyksessä. Olkoon K kolmion ADC sisään piirretyn ympyrän keskipiste. Oletetaan, että BEK =45. Määritä CAB:n kaikki mahdolliset arvot.

009.5. Määritä kaikki sellaiset positiivisten kokonaislukujen joukossa määritellyt funktiot f, joiden arvot ovat positiivisia kokonaislukuja ja joilla on seuraava ominaisuus: kaikilla positiivisilla kokonaisluvuilla a ja b on olemassa (ei-surkastunut) kolmio, jonka sivujen pituudet ovat a, f(b) ja f(b + f(a) 1). 009.6. Olkoot a 1,a,..., a n keskenään eri suuria positiivisia kokonaislukuja ja olkoon M joukko, jonka alkiot ovat n 1 positiivista kokonaislukua, joista mikään ei ole s = a 1 + a + + a n. Heinäsirkka hyppelee reaaliakselilla. Se lähtee origosta ja tekee n hyppyä oikealle. Hyppyjen pituudet ovat a 1,a,..., a n jossain järjestyksessä. Osoita, että heinäsirkka voi järjestää hyppynsä niin, ettei se milloinkaan osu pisteeseen, jonka koordinaatti on joukossa M. 13 51. IMO, Astana 010 010.1. Määritä kaikki funktiot f : R R, joille yhtälö f ( x y) =f(x) f(y) pätee kaikilla x, y R. ( x tarkoittaa suurinta kokonaislukua, joka on pienempi tai yhtä suuri kuin x.) 010.. Olkoon I kolmion ABC sisään piirretyn ympyrän keskipiste ja Γ kolmion ABC ympäri piirretty ympyrä. Suora AI leikkaa Γ:n pisteessä D A. OlkoonF sellainen sivun BC piste ja E sellainen kaaren BDC piste, että BAF = CAE < 1 BAC. Olkoon vielä G janan IF keskipiste. Todista, että suoriendg ja EI leikkauspiste on ympyrällä Γ. 010.3. Määritä kaikki positiivisten kokonaislukujen jonot a 1,a,..., joille (a m + n)(m + a n ) on neliöluku kaikilla positiivisilla kokonaisluvuilla m, n. 010.4. Piste P on kolmion ABC sisäosan piste. Suorat AP, BP ja CP leikkaavat kolmion ABC ympäri piirretyn ympyrän myös pisteissä K, L ja M, tässä järjestyksessä. Ympäri piirretyn ympyrän pisteeseen C piirretty tangentti leikkaa suoran AB pisteessä S. Todista, että jossc = SP, niin MK = ML. 010.5. Kuusi kolikkopinoa S 1,..., S 6 on asetettu vierekkäin. Aluksi joka pinossa on yksi kolikko. On mahdollista suorittaa kahdenlaisia siirtoja. Siirto 1: Jos pinossa S j, missä 1 j 5, on ainakin yksi kolikko, on sallittua poistaa kolikko pinosta S j ja lisätä kaksi kolikkoa pinoon S j+1. Siirto : Jos pinossa S k, missä 1 k 4, on ainakin yksi kolikko, on sallittua poistaa pinosta S k yksi kolikko ja vaihtaa pinot S k+1 ja S k+ keskenään. Selvitä, onko näitä siirtoja toistamalla mahdollista saavuttaa tilanne, jossa viisi ensimmäistä pinoa ovat tyhjiä ja kuudennessa pinossa on 010 010010 kolikkoa. 010.6. Olkoot a 1,a,..., a s positiivisia reaalilukuja. Kun n>s,määritellään a n =max{a k + a n k 1 k n 1}.

14 Todista, että on olemassa positiiviset kokonaisluvut l ja N, l s, niin että a n = a n l + a l kaikilla n N. 5. IMO, Amsterdam 011 011.1. Olkoon A = {a 1,a,a 3,a 4 } joukko, jonka alkioina on neljä eri suurta positiivista kokonaislukua. Joukon alkioiden summaa a 1 + a + a 3 + a 4 merkitään S A :lla. Olkoon n A niiden parien (i, j) lukumäärä, joille 1 i<j 4jaa i +a j on S A :n tekijä. Määritä kaikki sellaiset neljän eri suuren kokonaisluvun joukot A, joille n A on mahdollisimman suuri. 011.. Tason äärellisessä joukossa S on ainakin kaksi pistettä jämitkään kolme S:n pistettä eivät ole samalla suoralla. Seuraavaa prosessia kutsutaan tuulimyllyksi. Alkutilanteessa suora l kulkee joukkoon yhden joukon S pisteen P kautta. Se kiertyy myötäpäivään kierron keskipisteen P ympäri, kunnes se kohtaa jonkin toisen joukkoon S kuuluvan pisteen Q. Pisteestä Q tulee nyt kierron koskipiste, ja suora kiertyy Q:n ympäri myötäpäivään, kunnes se jälleen kohtaa jonkin CalS:n pisteen. Prosessi jatkuu loputtomasti. Osoita, että on mahdollista valita P Sja P :n kautta kulkeva suora l niin, että näistä aloitettu tuulimylly käyttää jokaista S:n pistettä kierron keskipisteenä äärettömän monta kertaa. 011.3. Funktio f : R R toteuttaa ehdon f(x + y) yf(x)+f(f(x)) kaikilla reaaliluvuilla x ja y. Osoita, että f(x) = 0 kaikilla x 0. 011.4. Olkoon n > 0 kokonaisluku. Käytössä on kaksivartinen vaaka ja n punnusta, joiden massat ovat 0, 1,..., n 1. Punnukset on asetettava yksitellen vaa alle niin, että oikea vaakakuppi ei koskaan paina enempää kuin vasen vaakakuppi. Joka vaiheessa valitaan yksi jäljellä olevista punnuksista ja se asetetaan joko vasempaan tai oikeaan vaakakuppiin, kunnes kaikki punnukset ovat vaa alla. Määritä, kuinka monella eri tavalla tämä voidaan tehdä. 011.5. Funktio f on määritelty kokonaislukujen joukossa ja sen arvot ovat positiivisia kokonaislukuja. Oletetaan, että jokaisella kahdella kokonaisluvulla m ja n erotus f(m) f(n) on jaollinen luvulla f(m n). Osoita, että kaikilla sellaisilla kokonaisluvuilla m ja n, joilla f(m) f(n), f(n) on jaollinen luvulla f(m). 011.6. Teräväkulmaisen kolmion ABC ympäri piirretty ympyrä on Γ. Suora l on ympyrän Γ tangentti ja suorat l a, l b ja l c ovat suoran l kuvat peilauksissa yli suorien BC, CA ja AB, tässä järjestyksessä. Osoita, että suorienl a, l b ja l c määrittelemän kolmion ympäri piirretty ympyrä sivuaaympyrää Γ. 53. IMO, Mar del Plata 01 01.1. Kolmion ABC kärkeä A vastassa olevan sivuympyrän keskipiste on J. Sivuympyrän ja sivun BC sivuamispiste on M. Ympyrä sivuaa suoraa AB pisteessä K ja suoraa

AC pisteessä L. Suorien LM ja BJ leikkauspiste on F ja suorien KM ja CJ leikkauspiste on G. Olkoon vielä S suorien AF ja BC ja T suorien AG ja BC leikkauspiste. Todista, että M on janan ST keskipiste. (Kolmion ABC kärkeä A vastassa oleva sivuympyrä on ympyrä, joka sivuaa janaa BC, puolisuoraa AB janan AB jatkeella ja puolisuoraa AC janan AC jatkeella.) 01.. Olkoon n 3 ja olkoot a,a 3,..., a n positiivisia reaalilukuja, joille pätee a a 3 a n = 1. Todista, että (1 + a ) (1 + a 3 ) 3 (1 + a n ) n >n n. 01.3. Valehteluleikki on peli, jossa on kaksi pelaajaa A ja B. Pelin säännöt perustuvat positiivisiin kokonaislukuihin k ja n, jotka ovat molempien pelaajien tiedossa. Pelin alussa A valitsee kokonaisluvut x ja N, 1 x N. A pitää luvun x salassa, mutta ilmoittaa B:lle rehellisesti luvun N. B pyrkii saamaan tietoa luvusta x tekemällä A:lle kysymyksiä. Jokaisessa kysymyksessähän esittää jonkin positiivisten kokonaislukujen joukon S (samaa joukkoa on voitu käyttää jo aikaisemmassa kysymyksessä) ja kysyy A:lta, kuuluuko x joukkoon S. B voi tehdä niin monta kysymystä kuin haluaa. A:n on heti vastattava jokaiseen B:n kysymykseen joko kyllä tai ei, mutta hän voi valehdella niin usein kuin haluaa. Ainoa rajoitus on, että jokaisen k+1:n peräkkäisen vastauksen joukossa on oltava ainakin yksi rehellinen. Kysyttyään niin monta kysymystä kuin on halunnut, B ilmoittaa positiivisten kokonaislukujen joukon X, jossa on enintään n alkiota. Jos x kuuluu joukkoon X, B voittaa. Muussa tapauksessa hän häviää. Todista, että 1. jos n k, niin B:llä on voittostrategia;. jokaista tarpeeksi suurta k:ta kohden on olemassa sellainen n 1,99 k, että B:llä ei ole voittostrategiaa. 01.4. Määritä kaikki ne funktiot f: Z Z, joille pätee 15 f(a) + f(b) + f(c) = f(a)f(b)+f(b)f(c)+f(c)f(a) kaikille sellaisille kokonaisluvuille a, b, c, joilla a + b + c =0. (Tässä Z tarkoittaa kokonaislukujen joukkoa.) 01.5. Kolmiossa ABC on BCA =90 ja D on C:stä piirretyn korkeusjanan kantapiste. Olkoon X janan CD sisäpiste. Olkoon K se janan AX piste, jolle BK = BC ja L se janan BX piste, jolle AL = AC. Olkoon M AL:n ja BK:n leikkauspiste. Osoita, että MK = ML. 01.6. Määritä kaikki positiiviset kokonaisluvut n, joille on olemassa sellaiset einegatiiviset kokonaisluvut a 1,a,..., a n, että 1 a 1 + 1 a + + 1 a n = 1 3 a 1 + 3 a + + n 3 a n =1.

16 54. IMO, Santa Marta 013 013.1. Todista, että jokaista positiivisten kokonaislukujen paria k ja n kohdenonolemassa k sellaista positiivista kokonaislukua m 1,m,..., m k,(jotkaeivät välttämättä ole eri lukuja, että 1+ k 1 n = ) ) (1+ )(1+ 1m1 1m (1+ 1mk. 013.. 407 tason pisteen asetelmaa kutsutaan kolumbialaiseksi, jos se koostuu 013 punaisesta ja 014 sinisestä pisteestä, joista mitkään kolme eivät ole samalla suoralla. Taso jaetaan useaksi alueeksi piirtämällä joukko suoria. Suorien joukko on suopea kolumbialaiselle asetelmalle, jos seuraavat kaksi ehtoa täyttyvät: mikään suora ei kulje minkään asetelman pisteen kautta; missään alueessa ei ole erivärisiä asetelman pisteitä. Etsi pienin sellainen k, että jokaista 407 pisteen kolumbialaista asetelmaa kohden on olemassa tälle asetelmalle suopea k:n suoran sijoittelu. 013.3. Kolmion ABC kärjen A vastainen sivuympyrä sivutkoonsivuabc pisteessä A 1. Määriteltäköön sivun CA piste B 1 ja sivun AB piste C 1 vastaavasti käyttämälläkärkien B ja C vastaisia sivuympyröitä. Oletetaan, että kolmion A 1 B 1 C 1 ympäri piirretyn ympyrän keskipiste sijaitsee kolmion ABC ympäri piirretyllä ympyrällä. Todista, että kolmioabc on suorakulmainen. Kolmion ABC kärjen A vastainen sivuympyrä on ympyrä, joka sivuaa janaa BC, puolisuoraa AB janan AB jatkeella ja puolisuoraa AC janan AC jatkeella. Kärkien B ja C vastaiset sivuympyrät määritellään vastaavasti. 013.4. Olkoon ABC teräväkulmainen kolmio, jonka korkeusjanojen leikkauspiste on H, ja olkoon W sivun BC piste, joka sijaitsee aidosti pisteiden B ja C välissä. Pisteet M ja N olkoot kärjistä B ja C lähtevien korkeusjanojen kannat. Merkitään ω 1 :llä kolmion BWN ympäri piirrettyä ympyrää, ja olkoon X ympyrän ω 1 se piste, jolle WX on ympyrän ω 1 halkaisija. Merkitään ω :lla vastaavasti kolmion CWM ympäri piirrettyä ympyrää, ja olkoon Y se ympyrän ω piste, jolle WY on ympyrän ω halkaisija. Todista, että X, Y ja H ovat samalla suoralla. 013.5. Olkoon Q >0 positiivisten rationaalilukujen joukko. Olkoon f : Q >0 R kuvaus, joka toteuttaa seuraavat kolme ehtoa: (i) kaikilla x, y Q >0 pätee f(x)f(y) f(xy); (ii) kaikilla x, y Q >0 pätee f(x + y) f(x)+f(y); (iii) on olemassa rationaaliluku a>1, jolle f(a) =a. Todista, että jokaisella x Q >0 pätee f(x) =x. 013.6. Olkoon n 3 kokonaisluku. Tarkastellaan ympyrää, jolle on merkitty n +1 pistettä tasaisin välein. Tarkastellaan pisteiden kaikkia mahdollisia nimeämisiä luvuilla 0, 1,..., n, missä kutakin lukua käytetään täsmälleen kerran; tällaisia nimeämisiä pidetään samoina, jos ne voidaan saada toisistaan ympyrän kierrolla. Nimeämistä kutsutaan kauniiksi, jos a:ksi ja d:ksi nimettyjen pisteiden välinen jänne ei leikkaa b:ksi ja c:ksi nimettyjen pisteiden välistä jännettä, kun neljälle nimelle a<b<c<dpätee a + d = b + c.

Olkoon M kauniiden nimeämisten lukumäärä, ja olkoon N niiden positiivisten kokonaislukujen järjestettyjen parien (x, y) lukumäärä, joille x + y n ja s.y.t.(x, y) = 1. Todista, että M = N +1. 17 55. IMO, Kapkaupunki 014 014.1. Olkoon a 0 <a 1 <a < päättymätön jono positiivisia kokonaislukuja. Todista, että on olemassa yksi ja vain yksi kokonaisluku n 1, jolle pätee a n < a 0 + a 1 + + a n a n+1. n 014.. Olkoon n kokonaisluku. Tarkastellaan n n -šakkilautaa, jonka n yksikköneliötä muodostavat. Kutsutaan n:n laudalla olevan tornin asetelmaa rauhalliseksi, jos laudan jokaisella vaaka- ja pystyrivillä on tasan yksi torni. Määritä suurin sellainen positiivinen kokonaisluku k, jolle jokaista rauhallista n:n tornin asetelmaa kohden on olemassa k k -neliö, jonka yhdessäkään sen k :sta yksikköneliöstä ei ole tornia. 014.3. Kuperassa nelikulmiossa ABCD on ABC = CDA =90.PisteH on pisteen A kohtisuora projektio suoralla BD. PisteS on sivulla AB ja piste T on sivulla AD niin, että H on kolmion SCT sisällä ja CHS CSB =90, THC DTC =90. Todista, että suorabd on kolmion TSH ympäri piirretyn ympyrän tangentti. 014.4. Pisteet P ja Q ovat teräväkulmaisen kolmion ABC sivulla BC niin, että PAB = BCA ja CAQ = ABC. PisteM on suoralla AP ja piste N on suoralla AQ niin, että P on janan AM keskipiste ja Q on janan AN keskipiste. Todista, että suorienbm ja CN leikkauspiste on kolmion ABC ympäri piirretyllä ympyrällä. 014.5. Kapkaupungin Pankki laskee liikkeelle kolikkoja, joiden arvo on 1, kaikilla positiivisilla kokonaisluvuilla n. Tarkastellaan äärellistä kokoelmaa tällaisia kolikkoja (joiden n ei tarvitse olla keskenään eriarvoisia), jonka yhteisarvoarvo on enintään 99 + 1. Todista, että kokoelma voidaan jakaa sataan tai vähempään osaan, joista jokaisen arvo on enintään 1. 014.6. Joukko tason suoria on yleisessä asemassa, josmitkään kaksi eivät ole yhdensuuntaisia eivätkämitkään kolme kulje saman pisteen kautta. Yleisessä asemassa oleva suorajoukko leikkaa tason alueiksi, joista jotkin ovat pinta-alaltaan äärellisiä; kutsutaan näitä joukonäärellisiksi alueiksi. Todista, että kaikilla riittävän suurilla n:n arvoilla on mahdollista värittää jokaisesta yleisessä asemassa olevassa n:n suoran joukosta ainakin n suoraa sinisiksi niin, että suorajoukon minkään äärellisen alueen reuna ei ole kokonaan sininen. Huomautus: Todistukset, joissa n:n tilalla on c n, saavat pisteitä sen mukaan, mikä on vakion c arvo.

18 Ratkaisuja 1995.1. Olkoon Q suorien DN ja XY leikkauspiste ja olkoon R suorien AM ja XY leikkauspiste. Koska AMC =90 = AZP, niin kolmiot PCZ, CAM ja RAZ ovat suorakulmaisia. Lisäksi kolmioilla on pareittain yhteinen kulma. Kolmiot, erityisesti PCZ ja RAZ, ovat siis yhdenmuotoisia. Samoin nähdään, että kolmiot PBZ ja QDZ ovat yhdenmuotoisia. Siis ZP CZ = AZ ZR ja ZP BZ = DZ ZQ. Mutta jos lasketaan pisteen Z potenssi molempien tehtävässä esiintyvien ympyröiden suhteen, saadaan AZ CZ = ZX ZY = BZ DZ. Siis ZP ZR = CZ AZ = BZ DZ = ZP ZQ. Kun supistetaan ZP:llä, saadaan ZR = ZQ. Koska R ja Q ovat samalla puolella suoraa AD, onoltavar = Q. Huomattakoon, että päättely ei riipu siitä, onko P janalla XY vai sen ulkopuolella. (Tuomas Korppi, Jukka Suomela, Toni Leppäkorpi) 1995.. Merkitään x = 1 a, y = 1 b ja z = 1. Silloin xyz =1ja c 1 a 3 (b + c) + 1 b 3 (c + a) + 1 c 3 (a + b) 3 = x3 yz y + z + xy3 z x + z + xyz3 x + y = x y + z + y x + y + z x + y. 1 Voidaan olettaa, että x y z, jolloin myös y + z 1 z + x 1 x + y. Käytetään ensin Tšebyševin epäyhtälöä, jonka mukaan 3 ( ) x y + z + y x + y + z (x + ( x + y 1 y + z ) y + z + 1 x + z + 1 ), ja sitten aritmeettisen ja harmonisen keskiarvon välistä epäyhtälöä, jonka mukaan 1 ( 1 x + y 3 y + z + 1 x + z + 1 ) 3 x + y y + z + x + z + x + y = 3 1 x + y + z = 3 1 (x + y + z) 3. Aritmeettisen ja geometrisen keskiarvon välisen epäyhtälön perusteella edelleen.näinonpäästy epäyhtälöön xyz 1 3 3 xyz x + y + z x y + z + y z + x + z x + y 9 x + y + z (x + y + z). Tehtävän epäyhtälöön päästään tästä käyttämällä nimittäjään Cauchyn Schwarzin epäyhtälöä muodossa (x + y + z) =(1 x +1 y +1 z) (1 + 1 + 1)(x + y + z )= 3(x + y + z ). (Uoti Urpala)

1995.3. Havaitaan heti, että josn = 4, pisteet A 1, A, A 3 ja A 4, jotka ovat sellaisen neliön kärjet, jonka ala on 6a, toteuttavat tehtävän ehdot, kun kaikki r i :t ovat = a. Todistetaan sitten, että vaadittuja pisteitä eiole,josn = 5. Jos pisteet A 1, A, A 3 ja A 4 ovat kuperan nelikulmion kärjet ja nelikulmion ala on A, niin A =(r 1 + r + r 3 )+(r 1 + r 3 + r 4 )= (r 1 + r + r 4 )+(r + r 3 + r 4 ), mistä seuraar + r 4 = r 1 + r 3. Oletetaan nyt, että pisteet A 1,...A 5 ja luvut r 1,..., r 5 toteuttaisivat tehtävän ehdot. Pisteet voivat sijaita tasossa kolmella eri tavalla: 1. Pisteet ovat kuperan viisikulmion kärjet. Silloin jokaiset neljä pisteistä ovatkuperan nelikulmion kärjet, ja edellä todistettua relaatiota hyväksi käyttäen saadaan r + r 5 = r 1 + r 3 = r + r 4, r 1 + r 4 = r + r 5 = r 1 + r 3 jne., ja näistä r 5 = r 4 = r 3 = r = r 1.Tämä merkitsee, että kolmiot A 1 A A 3 ja A 1 A A 4 ovat yhtä suuret. Viisikulmion kuperuuden vuoksi A 4 ja A 3 ovat samalla puolella suoraa A 1 A. Koska myös kolmiot A 3 A 4 A ja A 3 A 4 A 5 ovat yhtä suuret, A 5 on yhtä etäällä suorastaa 3 A 4 kuin A. Jos pisteet olisivat samalla puolella suoraa A 3 A 4, A 5, A 1 ja A olisivat samalla suoralla. Siis A 5 on kaksi kertaa niin kaukana suorasta A 1 A kuin A 3. Tämä onselvästi ristiriidassa sen kanssa, että kolmioilla A 1 A A 3 ja A 1 A A 5 on sama ala.. Neljä pisteistä, esim. A 1,..., A 4 ovat kuperan nelikulmion kärjet ja viides on tämän nelikulmion sisällä. Pisteiden numerointi voidaan valita niin, että A 5 on kolmion A A 4 A 1 sisällä. Kun sovelletaan alussa todistettua yhtälöä kuperiin nelikulmioihin A 1 A A 3 A 4 ja A 5 A A 3 A 4, saadaan r 1 + r 3 = r + r 4 = r 5 + r 3,elir 1 = r 5. Tämä merkitsee, että kolmioilla A A 4 A 1 ja A A 4 A 5 on sama ala, mikä on ristiriidassa sen kanssa, että pistea 5 on kolmion A A 4 A 1 sisällä. 3. Mitkään neljä pistettä eivät ole kuperan nelikulmion kärjet. Silloin pisteistä löytyy kolme sellaista, esim. A 1, A ja A 3, että kaksi muuta pistettä ovatnäiden kolmen pisteen muodostaman kolmion sisäpisteitä. Numerointi voidaan tehdä niin, että lisäksi A 5 on kolmion A 1 A A 4 sisällä. Kun kolmion A 1 A A 3 ala lasketaan kahdella eri tavalla, saadaan r 1 + r + r 3 =(r 1 + r + r 5 )+(r + r 3 + r 5 )+(r 3 + r 1 + r 5 ), eli r 5 = 1 3 (r 1 + r + r 3 ). Täsmälleen samoin saadaan r 4 = 1 3 (r 1 + r + r 3 ). Siis kolmioilla A 1 A A 5 ja A 1 A A 4 on sama ala, mikä on mahdotonta samoin perustein kuin kohdassa. Jos n>5, voidaan aina valita viisi pistettä ja rajoittaa tarkastelu niihin. Tehtävällä ei siis ole muita ratkaisuja kuin n =4. (Tuomas Korppi) 1995.4. Kun x i ratkaistaan yhtälöstä (ii), saadaan kaksi ratkaisua, x i = 1 ja x i 1 x i = x i 1. Induktiivisesti todetaan, että jokainen x i on muotoa k x ±1 0, missä k on kokonaisluku; siirtyminen luvusta x i 1 lukuun x i aiheuttaa joko k:n pienenemisen yhdellä tai sekä k:n että x 0 :n eksponentin muuttumisen vastaluvukseen. Jos x 0 :sta x 1995 :een siirryttäessä olisi tehty parillinen määrä käänteislukuoperaatioita, olisi k :ta jouduttu muuttamaan pariton määrä kertoja. Silloin olisi x 1995 = l+1 x 0,eikä voisi olla x 1995 = x 0. Käänteislukuoperaatioita on siis ollut pariton määrä, ja x 1995 = l x 1 0 = x 0,jostax 0 = l. Koska käänteisoperaatioita on ollut ainakin yksi, on l enintään 1994. Siis x 0 997.Helposti nähdään, että josx 0 = 997, niin jono, jossa x i = x i 1,kuni =1,,..., 1994 ja 19

x 1995 = 1, toteuttaa tehtävän ehdot. Suurin x 0 on siis 1995.(Toni Leppäkorpi) x 1994 1995.5. Havaitaan, että kolmiot BCD ja AEF ovat tasasivuisia. Näin ollen BA = BC = BD ja DE = EA = EF. Kolmiot ABE ja DBE ovat yhtenevät, joten BDEA on symmetrinen suoran BE suhteen. Olkoot J ja K pisteiden G ja H kuvat peilauksessa yli suoran BE. Silloin GH = JK, AG = DJ, GB = JB, DH = AK ja HE = KE. Pisteet A, B ja G ovat sellaisen ympyrän kehällä, jonka keskipisteestä janaab näkyy 10 :n kulmassa (kehäkulmaa 10 vastaa keskuskulma 40 = 360 10 ). Peilauksessa tämän ympyrän keskipiste kuvautuu kolmion BCD keskipisteeksi, silläjanabd näkyy pisteestä C 60 :n kulmassa. On tunnettua, että mielivaltaiselle pisteelle J tasasivuisen kolmion BCD ympäri piirretyn ympyrän kaarella BD pätee CJ = BJ + DJ. (Todistus: Valitaan CJ:ltä piste L niin, etä JLD on tasasivuinen kolmio. Silloin CDL =60 LDB = BDJ. Kehäkulmalauseen nojalla JBD = JCD. Koska BD = CD, kolmiot CDL ja BDJ ovat yhtenevät (ksk). Siis CL = BJ ja LJ = LD = JD ja CJ = CL + LJ = BJ + DJ.) Samoin nähdään, että FK = EK + AK. Nyt saadaan AG+GB + GH + DH + HE = BJ + DJ + JK+ AK + EK = CJ + JK+ KF CF, sillä jana CF on enintään yhtä pitkäkuinmikä tahansa pisteet C ja F yhdistävä murtoviiva. (Jouni Seppänen) 1995.6. Joukot {1,,..., p} ja {p +1,p+,..., p} toteuttavat ehdot: ensimmäisen alkioiden summa on ja jälkimmäisen + p. Tarkastellaan muita p(p +1) p(p +1) ( ) p p-alkioisia osajoukkoja; niitä on. Merkitään joukon A alkioiden summaa symbolilla g(a). Osoitetaan, että jokaista r, 0 r<pkohden on yhtä monta osajoukkoa A, p jolle (( g(a) ) r) mod p. Tästä seuraa erityisesti, että osajoukkoja, joille g(a) 0modp, on 1 p + kappaletta. Tämän osoittamiseksi tarkastellaan p-alkioisten osajoukkojen S joukossa määriteltyä funktiota f, jokamääritellään seuraavasti: jos n p +1, p p niin n S n f(s), jos n p, niin n 1 S n f(s) jap S 1 f(s). Jos joukossa S on m alkiota, jotka ovat p, niin g(f(s)) = g(s) +m mod p. Lisäksi f p (S) =S aina kun S:ssä onm, 1 m p 1 alkiota, jotka ovat p. Tästä seuraa, että f on bijektio. Koska p on alkuluku, kongruenssiyhtälöllä mx q mod p on yksikäsitteinen ratkaisu r. Tarkastellaan joukkoja, joilla tasan m luvuista 1,,..., p kuuluu joukkoon S. Tällaiselle joukolle g(s) 0 jos ja vain jos g(f r (S)) q. Näin saadaan yksikäsitteinen vastaavuus niiden joukkojen, joille g(s) 0, ja niiden joukkojen, joille g(s) q, kanssa. Tällaisia joukkoja on siis yhtä paljon.(uoti Urpala) 1996.1. Siirrytään tarkastelemaan pisteiden (i, j), 0 i 19, 0 j 11, muodostamaa hilaa A. Tehtävä on löytääsiirrot, joilla päästään pisteestä (0, 0) pisteeseen (0, 19). Siirrot ovat muotoa (x, y) (x+a, y+b), missä a +b = r. (a)josr on parillinen, niin a ja b ovat joko molemmat parillisia tai molemmat parittomia. Siis a + b on aina parillinen. Pisteestä (x, y), jossa x + y on parillinen (kuten (0, 0)) ei voi päästä pisteeseen (x,y ), missä x + y 0

on pariton (kuten (0, 19)). Jos r on jaollinen kolmella, sekä a:n että b:n tulee olla jaollisia kolmella. (Jos x ei ole jaollinen kolmella, niin x 1 mod 3.) Koska 19 ei ole jaollinen kolmella, tehtävä ei onnistu. (b) Olkoon r =73=8 +3. Merkitään a:lla, b:llä, c:llä ja d:llä siirtojen ±(8, 3), ±(8, 3), ±(3, 8) ja ±(3, 8) lukumäärää (a on tarkemmin sanoen siirtojen (8, 3) ja ( 8, 3) lukumäärien erotus.) Onnistuneessa siirtosarjassa on oltava 8(a+b)+3(c+d) = 19 ja 3(a b)+8(c d)=0. Eräs nämä ehdot toteuttava ratkaisu olisi (a + b, c + d) =(, 1), (a b, c d) =(, 1) eli a = 3, b =5,c =,d = 1. Yritetään ratkaisua kolmella muotoa ( 8, 3), viidellä muotoa(8, 3), kahdella muotoa (3, 8) ja yhdellä muotoa( 3, 8) olevalla siirrolla. Osoittautuu, että (0, 0) (3, 8) (11, 5) (19, ) (16, 10) (8, 7) (0, 4) (8, 1) (11, 9) (3, 6) (11, 3) (19, 0) on kelvollinen siirtojono. (c) Olkoon r = 97. Ainoa mahdollisuus kirjoittaa 97 kahden neliön summaksi on 9 +4. Jaetaan hila A kahdeksi joukoksi B = {(i, j) 0 i 19, 4 j 7}, C = A\B.Selvästi jokainen siirto (±9, ±4) johtaa joukosta B joukkoon C ja päinvastoin, kun taas jokainen muotoa (±4, ±9) oleva siirto johtaa joukosta C joukkoon C. Edellisen tyypin siirrot muuttavat x-koordinaatin parillisuuden, joten niitä pitäisi olla pariton määrä. Mutta koska lähtöpiste onc:ssä, jokainen tällainen siirtosarja johtaa joukon B pisteeseen. Tapauksessa r = 97 siirtoja ei voi tehdä vaaditulla tavalla. 1996.. Olkoot X, Y ja Z pisteen P kohtisuorat projektiot sivuilla BC, CA ja AB. Nelikulmio AZP Y on jännenelikulmio ja PA nelikulmion ympäri piirretyn ympyrän halkaisija, joten laajennettu sinilause sovellettuna kolmioon AZY antaa YZ sin A = PA. Samoin ZX sin B = PB, XY sin C = PC. Jännenelikulmioista ja kolmion kulmien summalauseesta saadaan myös XY Z = XY P + PYZ = BCP + PAB = AP C ABC. Vastaavasti YZX = BPA ACB. Tehtävän oletuksen perusteella XY Z = XZY, joten kolmio XY Z on tasakylkinen, XY = XZ. Laajennettu sinilause kolmioihin BXZ ja CY X sovellettuna antaa PBsin B = PCsin C. Tästä ja sinilauseesta kolmioon ABC sovellettuna seuraa PB AC = PC AB eli PB AB = PC AC. Olkoot Q ja R pisteet, joissa BD ja CE leikkaavat AP :n. Kulmanpuolittajalause ja edellinen yhtälö osoittavat, että joten Q = R. PQ QA = PR RQ, 1

1996.3. Nollafunktio f(x) = 0 kaikilla x on yksi ratkaisu. Sijoittamalla m = n =0 funktionaaliyhtälöön saadaan f(0) = 0 ja f(f(n)) = f(n) kaikilla n. Tutkittava funktionaaliyhtälö on siis f(m + f(n)) = f(m)+f(n). Jos f ei ole identtisesti nolla, on olemassa lukuja x, joille f(x) =x; näitä kutsutaan f:n kiintopisteiksi. Olkoon a pienin tällainen luku. Induktiolla näytetään, että f(ka) = ka kaikilla k 1: oletetaan, että f(ka) =ka, k 1. Silloin f(a + ka) =f(a + f(ka)) = f(a)+f(ka) =(1+k)a. Josa =1,f(n) =n kaikilla n. Oletetaan, että a>1. Osoitetaan, että kaikki f:n kiintopisteet ovat muotoa ka. Olkoonb>amielivaltainen kiintopiste. On olemassa q ja r, 0 r<a,siten,että b = r + qa. Nyt r + qa = b = f(b) =f(r + qa) = f(r + f(qa)) = f(r)+f(qa) =f(r)+qa, jotenr = f(r). Koska r<a,onoltavar =0. Koska aikaisemmin sanotun mukaan kaikki luvut f(n) ovat kiintopisteitä, on olemassa luvut n 0 =0,n 1, n,..., n a 1 siten, että f(i) =n i a,0 i<a. Jos n>a, niin n = ka + i, 0 i<a. Silloin f(n) =f(i + ka) =n i a + ka. Olkoot toisaalta a, jajos a>1, n 1, n,..., n a 1 mielivaltaisia ei-negatiivisia kokonaislukuja. Asetetaan n 0 =0 ja mielivaltaiselle n = ka + i, 0 k, 0 i<af(n) =(k + n i )a. Osoitetaan, että näin määritelty f toteuttaa funktionaaliyhtälön. Olkoon n = ka + i, m = la + j. Silloin todellakin f(m + f(n)) = f(la + j + ka + n i a)=(l + k + n i )a + n j a = f(m)+f(n). 1996.4. Olkoon 15a +16b = r ja 16a 15b = s. Silloin r 4 + s 4 =(15a +16b) +(16a 15b) =(15 +16 )(a + b ) = 481(a + b )=13 37 (a + b ). Kokeilemalla (riittää, että tutkitaan tapaukset 1 r 6) nähdään helposti, että josr ei ole 13:lla jaollinen, niin r 4 on kongruentti 1:n, 3:n tai 9:n kanssa modulo 13. r 4 +s 4 on kongruentti 0:n kanssa modulo 13 vain, jos sekä r että s ovat jaollisia 13:lla. Samoin kokeilemalla (tapaukset 1 r 18) nähdään, että r 4 1, 16, 7, 34, 33, 1, 33, 6, 1, 10, 6, 16, 34, 10, 9, 9, 1, 7 mod 37. Nähdään heti, että r 4 +s 4 on jaollinen 37:llävain,jossekä r että s ovat jaollisia 37:llä. Siis r 481 ja s 481. Kun asetetaan a = 481 31 ja b = 481, nähdään, että r = 481 voidaan saavuttaa. Kysytty pienin neliö on siis 481. 1996.5. Oletuksen mukaisista yhdensuuntaisuusehdoista seuraa, että BAF = EDC = α, CBA = FED = β ja AF E = DCB = γ. Laajennetun sinilauseen perusteella R A = BF sin α, R C = BD sin γ, R E = DF sin β. (1) Olkoot P ja SA:n kohtisuorat projektiot suorilla BC ja FE ja Q ja R vastaavasti D:n kohtisuorat projektiot näillä suorilla. Merkitään kuusikulmion sivujen AB, BC, CD, DE, EF ja FA pituuksia kirjaimilla a, b, c, d, e ja f. Silloin PS = a sin β + f sin γ = QR = d sin β + c sin γ, ja BF (a sin β + f sin γ)+(c sin γ + d sin β).