Esimerkki 2 6 8 Olkoon A = 40 0 6 5. Etsitäänmatriisinominaisarvotja 0 0 2 ominaisvektorit. Nyt 2 0 2 6 8 2 6 8 I A = 40 05 40 0 6 5 = 4 0 6 5 0 0 0 0 2 0 0 2 15 / 172
Täten c A ( )=det( I A) =( ) ( 2) = ( )( 2) eli ominaisarvoiksi saadaan nollakohdat 1 = 0, 2 = 2ja =. Ominaisvektorit saadaan ratkaistua yhtälöistä Ax = x tai yhtäpitävästi yhtälöstä ( I A)x = 0. 154 / 172
Similaarisuus ja diagonalisoituvuus 155 / 172
Määritelmä 28 Matriisit A, B 2M(n, n) ovat similaariset jos on olemassa sellainen kääntyvä matriisi C 2M(n, n), että A = CBC 1. Lause 5 Jos matriisit A 2M(n, n) ja B 2M(n, n) ovat similaariset, niin seuraavat ehdot pätevät: 1 det A = det B; 2 c A ( )=c B ( ); A T ja B T ovat similaariset; 4 p(a) ja p(b) ovat similaariset jokaiselle C-kertoimiselle polynomille p( ). Todistus. 156 / 172
Huomautus Similaariset matriisit ovat tietyssä mielessä samanlaisia kuvauksia. Similaariset matriisit A 2M(n, n) ja B 2M(n, n) esittävät samaa lineaarista kuvausta T : R n! R n mutta eri kantojen suhteen. (Tästä myöhemmin kurssilla Lineaarialgebra.) Huomautus Similaarisuus ei tarkoita apple sitä, että matriisit apple näyttävät lähes samalta. 2 0 1 0 Olkoon esim. A = 0 1 ja B =.JosnytmatriisitA ja B 0 1 olisivat similaariset, niin silloin olisi olemassa kääntyvä matriisi C siten, että A = CBC 1.KoskaB on identiteettimatriisi, niin olisi A = CIC 1 = CC 1 = I mikä on ristiriita. 157 / 172
Määritelmä 29 Matriisi A 2M(n, n) on diagonalisoituva jos se on similaarinen jonkin diagonaalimatriisin D 2M(n, n) kanssa, ts. A = CDC 1 missä D on diagonaalimatriisi ja C 2M(n, n) on kääntyvä matriisi. Huomautus Diagonaalimatriisille D 2M(n, n) käytetään lyhennysmerkintää 2 d 1 0 0 0 d 2 0 D = diag(d 1, d 2,...,d n )= 6 4..... 7. 5. 0 0 d n 158 / 172
Huomautus Diagonalisoituva matriisi A 2M(n, n) on siis similaarinen diagonaalimatriisin D kanssa (esittävät siis samaa lineaarista kuvausta). Geometrisesti tulkittuna diagonalisoituva matriisi skaalaa vektoriavaruuden akseleita diagonaalikertoimien mukaisesti. Lause 6 Olkoon A 2M(n, n). Tällöinseuraavatehdotovatyhtäpitäviä: (a) matriisi A on diagonalisoituva, ts. A on similaarinen diagonaalimatriisin kanssa (b) matriisilla A on n lineaarisesti riippumatonta ominaisvektoria. 159 / 172
Todistus. Seuraava päättely osoittaa lauseen ehtojen yhtäpitävyyden: (a) () A = CDC 1, missä D = diag(d 1, d 2,...,d n ) ja C = x 1 x 2 x n on kääntyvä (ts. sarakkeet ovat linea () A x 1 x 2 x n = x1 x 2 x n D () Ax i = d i x i (i = 1, 2,...,n) ja vektori x 1, x 2,...,x n ovat lineaarisesti riippumattomia () (b) ja lisäksi d i :t ovat ominaisarvoja Saatiin siis haluttu yhtäpitävyys. 160 / 172
Huomautus Diagonalisoituvan matriisin A 2M(n, n) ominaisvektoreista saadaan siis kanta avaruudelle R n. Edellisen lauseen todistuksesta saadaan välitön seuraus: Seuraus 6 Jos A on diagonalisoituva ja x 1, x 2,...,x n ovat sen lineaarisesti riippumattomat ominaisarvoja 1, 2,..., n vastaavat ominaisvektori, niin A = CDC 1, missä C = x 1 x 2 x n ja D = diag( 1, 2,..., n). Todistus. HT. 161 / 172
Huomautus Jos matriisilla A 2 K n n on n erisuurta ominaisarvoa, niin sillä on n lineaarisesti riippumatonta ominaisvektoria, ts. matriisi A on diagonalisoituva. Tämä ei kuitenkaan päde kääntäen. 162 / 172
Esimerkki Olkoon A = 2 4 2 2 1 1 15. 2 4 Tällöin matriisin A karakteristinen polynomi (HT) on muotoa c A ( )=det(a I )=( 1) 2 ( 6) eli matriisin A ominaisarvot ovat 1 = 2 = 1 ja = 6. Ominaisarvoa 1 = 2 = 1 vastaavat ominaisvektorit ovat muotoa x = t(2, 1, 0)+s( 1, 0, 1), missä s, t 2 C, s 6= 0 tai t 6= 0. 16 / 172
Tästä saamme eräät lineaarisesti riippumattomat ominaisvektori (ominaisarvoa 1) vastaavat ominaisvektorit kun valitaan t = 1, s = 0jas = 1, t = 0: x 1 =(2, 1, 0) ja x 2 =( 1, 0, 1) Vastaavasti ominaisarvoa = 6 vastaavat ominaisvektorit ovat muotoa x = r(1, 1, ), missä r 2 C, r 6= 0. Täten eräs (ominaisarvoa 6) ominaisvektori saadaan kun valitaan r = 1: x =(1, 1, ). Selvästi vektorit x 1, x 2, x ovat lineaarisesti riippumattomia (tarkastele esim. determinantin avulla), joten matriisi A on diagonalisoituva. 164 / 172
Nyt siis A = CDC 1, missä C = 2 2 1 1 41 0 15 ja D = diag(1, 1, 6) = 0 1 2 1 0 0 40 1 05 0 0 6 ja Gaussin ja Jordanin menetelmällä käänteismatriisiksi saadaan 2 C 1 = 4 1/6 2/ 1/6 1/2 1 1/2 1/6 1/ 1/6 5 165 / 172
Esimerkki Olkoon matriisin A ominaisarvot 1 = 1ja 2 = 0sekäniitä vastaavat ominaisvektorit x 1 =(1, 1) sekä x 2 =( 1, 0). Määrää matriisi A. Luentotehtävä Määrää matriisin A = 2 1 0 1 40 2 05 1 0 1 ominaisarvot sekä ominaisvektorit. Onko matriisi A diagonalisoituva? 166 / 172
Ydin, kuva-avaruus ja matriisin aste 167 / 172
Määritelmä 0 Olkoon A 2M(n, n). Tällöin matriisin A kuva-avaruus R(A) on joukko R(A) ={y 2 W : y = Ax jollakin x 2 V } ja kuvauksen A ydin on joukko N (A) ={x 2 V : Ax = 0} Lause 7 Matriisin A 2M(n, n) kuva-avaruus R(A) ja ydin N (A) ovat aliavaruuksia. Todistus. HT 168 / 172
Määritelmä 1 Olkoon A 2M(n, m). MatriisinA aste r(a) on kuva-avaruuden R(A) dimensio. Huomautus Koska matriisitulo Ax voidaan aina esittää matriisin A = A 1 A 2 A m 2M(n, m) sarakkeiden lineaarikombinaationa, niin kuva-avaruus R(A) on aina lineaarinen verho R(A) =ha 1, A 2,...,A m i. Saadaan siis seuraava lause. Lause 8 Olkoon A 2M(n, n). MatriisinA aste on sen lineaarisesti riippumattomien pystyrivien (tai vaakarivien) lukumäärä. 169 / 172
Esimerkki Matriisin A = apple 1 1 0 1 1 0 lineaarisesti riippumattomia vaakarivejä on 1 kpl, joten aste on r(a) =1. Vastaavasti tämä nähdään tarkastelemalla matriisin pystyrivien lineaarista riippumattomuutta. Kuva-avaruus R(A) voidaan aina esittää pystyrivien lineaarisena verhona, joten saadaan Siis r(a) =1. apple 1 R(A) =h 1, apple 1 1, apple 0 0, apple i = h apple 1 1 i. 170 / 172
Esimerkki Matriisi A = 2 4 1 2 2 15 1 1 2 voidaan muuttaa rivioperaatioilla porrasmuotoon 2 1 0 7 40 1 5 5. 0 0 0 Selvästi vektorit (1, 0, 7) ja (0, 1, 5) ovat lineaarisesti riippumattomat, joten matriisin aste on r(a) =2. 171 / 172
Lause 9 Olkoon A 2 M(n, n) ja 2 C matriisin ominaisarvo. Tällöin joukko {x 2 C n Ax = x} = {x 2 C n (A I )x} = N (A I ) on avaruuden C n aliavaruus (ns. ominaisarvoa ominaisavaruus). vastaava Todistus. Jos x, y 2 C n ovat ominaisarvoa 2 C vastaavia ominaisvektoreita, niin myös vektori x + y 2 C n on ominaisarvoa 2 C vastaava ominaisvektori koska A(x + y) =Ax + Ay = x + y = (x + y). Vastaavasti A(cx) =c(ax) =c( x) = (cx) kun c 2 C, joten myös cx on ominaisvektori kaikilla c 2 C. Siis N (A I ) on aliavaruus. 172 / 172