A1 Ampumahiihtäjä ampuu luodin vaakasuoraan kohti maalitaulun keskipistettä. Luodin lähtönopeus on v 0 = 445 m/s ja etäisyys maalitauluun s = 50,0 m. a) Kuinka pitkä on luodin lentoaika? b) Kuinka kauaksi maalitaulun keskipisteen alapuolelle luoti osuu? v 0 s (m/s) (m) A 445 50,0 B 415 50,0 C 355 50,0 D 385 50,0 a) Luodin maanpinnan tason suuntainen liike on tasaista. Nopeuden määritelmän mukaan v = s t, joten luodin lentoaika t = s = 0,112 s v 0 b) Valitaan positiivinen maanpintaa vastaan kohtisuora akselisuunta alaspäin. Tähän suuntaan luodin liike on tasaisesti kihtyvää ja kiihtyvyys on a = g. Ajan t kuluttua luoti on pudonnut matkan d, joka toteuttaa t s A 0,112 B 0,120 C 0,141 D 0,130 d (m) A 0,0619 B 0,0712 C 0,0973 D 0,0827 d = v y0 t + 1 2 gt2, jossa v y0 = 0 m/s. Näin luoti osuu maalitaulun keskipisteen alapuolelle etäisyydelle d = 1 2 gt2 = 0,0619 m
A2 Vuoristoradan vaunu liikkuu kitkattomasti pitkin rataa. Vaunu lähtee liikkeelle levosta korkeudelta h = 43 m. a) Kuinka suuri on vaunun nopeus radan lopussa pisteessä B? (2p) b) Vuoristoradassa on silmukka, jonka korkeus on d = 38 m. Määritä voima, jonka rata kohdistaa vaunuun silmukan lakipisteessä eli kuvan pisteessä A. Vaunun massa on m = 290 kg. (4p) m h d (kg) (m) (m) 90 43 38 B 290 55 49 C 290 61 55 D 290 52 45 a) Alussa vaunulla on vain potentiaalienergiaa E p,a = mgh ja lopussa pisteessä B vain liike-energiaa E k,l = 1 2 mv2 B. h A Tehtävän 2 kuva. Koska vaunun mekaaninen energia säilyy, ovat nämä yhtä suuret E p,a = E k,l eli mgh = 1 2 mv2 B josta voidaan ratkaista vaunun nopeus pisteessä B: v B = 2gh = 29 m/s. b) Vaunun nopeus silmukan lakipisteessä A saadaan a)-kohdan tulosta soveltamalla E p,a = E k,l + E p,l joten v A = 2g(h d). d B Pisteessä A vaunuun vaikuttavat painovoima G ja radan tukivoima N, jotka saavat aikaan vaunun kiihtyvyyden. Valitaan positiivinen suunta pisteessä A alaspäin, jolloin G = mg ja vaunun kiihtyvyys pisteessä A on a = v2 A r = 2v2 A d. Newtonin II lain eli dynamiikan peruslain mukaan pisteessä A, kun merkitään N = N 1 + N 2 josta voidaan ratkaista tukivoima N: N = m 2v2 A d + mg = 1,3 103 N. Tukivoima siis osoittaa ylöspäin ja kannattelee vaunua pisteessä A. v B (m/s) 9 B 33 C 35 D 32 N (N) A 1,4 10 3 B 1,4 10 3 C 1,6 10 3 D 1,1 10 3 Fy = G N = ma = m 2v2 A d, N 1 N 2 G Kuva. Mikäli vaunulla ei ole pyöriä, on tukivoimia vain yksi kappale. y
A3 Oheisessa kytkennässä on neljä vastusta, joiden resistanssit ovat R 1 = 6,0 Ω, R 2 = 4,0 Ω, R 3 = 3,0 Ω ja R 4 = 5,0 Ω. a) Kuinka suuri on kytkennän kokonaisresistanssi? b) Kuinka suuri on vastuksen R 2 läpi kulkeva virta, kun pisteiden A ja B välille kytketään jännite U = 6,0 V? A R 1 R 2 R 3 R 4 Tehtävän 3 kuva. B ja toisaalta Kirchhoffin I:n lain mukaan I AB = I 123 + I 4 Tästä voidaan ratkaista ylemmän haaran virta I 123 = I AB 1 + R 123 R 4 = 1,1111 A Ylemmässä haarassa virta I 123 jakaantuu vastusten R 1 ja R 2 kesken siten että R 1 R 2 R 3 R 4 U (Ω) (Ω) (Ω) (Ω) (V) A 6,0 4,0 3,0 5,0 6,0 B 4,0 5,0 7,0 6,0 9,0 C 5,0 7,0 6,0 3,0 6,0 D 3,0 4,0 5,0 6,0 9,0 a) Rinnan kytkettyjen vastusten R 1 ja R 2 yhteinen resistanssi R 12 toteuttaa josta 1 R 12 = 1 R 1 + 1 R 2, R 12 = R 1R 2 R 1 + R 2 = 2,4 Ω Vastukset R 1 ja R 2 on kytketty sarjaan vastuksen R 3 kanssa. Näiden vastusten yhteinen resistanssi on R 123 = R 12 + R 3 = 5,4 Ω Vastukset R 1, R 2 ja R 3 on kytketty rinnan vastuksen R 4 kanssa. Näin ollen R 1234 = R 123R 4 R 123 + R 4 = 2,6 Ω b) Ohmin lain mukaan pisteiden A ja B välillä kulkee virta I AB = U R 1234 = 2,3111 A Tämä jakautuu ylemmän haaran virraksi I 123 ja alemman haaran virraksi I 4. Kirchhoffin II:n lain mukaan molempien haarojen yli vaikuttaa sama jännite eli R 123 I 123 = R 4 I 4 ja josta R 1234 (Ω),6 B 3,6 C 2,2 D 3,2 I 2 (A) A 0,67 B 0,43 C 0,28 D 0,57 I 1 + I 2 = I 123 R 1 I 1 = R 2 I 2, I 2 = I 123 1 + R 2 R 1 = 0,67 A
A4 Pieni foliopallo, jonka massa on m = 52 mg, kimpoilee edestakaisin kahden levyn välissä. Levyn 1 potentiaali on U 1 = +2,0 kv ja levyn 2 potentiaali on U 2 = 2,0 kv. Levyjen välinen etäisyys on d = 2,0 cm. Foliopallon kapasitanssi on C = 11 pf. Ethän ota painovoimaa etkä ilmanvastusta huomioon. a) Kuinka suuri on foliopallon varaus, kun se varautuu levyllä 1? b) Kuinka suuri on foliopallon kiihtyvyys levyjen 1 ja 2 välissä? c) Kuinka pitkä aika foliopallolla kuluu matkaan levyltä 1 levylle 2? m U 1 U 2 d C (mg) (kv) (kv) (cm) (pf) A 52 +2,0 2,0 2,0 11 B 52 +2,0 2,0 2,0 12 C 52 +2,0 2,0 2,0 8,5 D 52 +2,0 2,0 2,0 6,0 a) Foliopallo saa levyllä 1 varauksen Q 1 = CU 1 = 2,2 10 8 C = 22 nc b) Sähkökenttä on homogeeninen levyjen välissä ja sen voimakkuus on E = U d = U 1 U 2 d Kentässä foliopalloon kohdistuu voima F E = Q 1 E, joka saa aikaan Newtonin II:n lain eli dynamiikan peruslain mukaan kiihtyvyyden a = F E m = CU 1(U 1 U 2 ) = 85 m/s 2. md c) Levyjen välissä foliopallon liike on tasaisesti kiihtyvää, joten sillä kuluu levyejen väliseen matkaan aika t = 2d a = 0,022 s Q (C),2 10 8 B 2,4 10 8 C 1,7 10 8 D 1,2 10 8 a (m/s 2 ) A 85 B 92 C 65 D 46 c)-kohta: a (s) A 0,022 B 0,021 C 0,025 D 0,029
A 1, p 1, p 2 A5 Venturinputkea käytetään nesteen virtausnopeuden määrittämiseen putkessa. Mittari kytketään putkeen, jonka poikkipinta-ala on A 1. Venturinputkessa on kavennus, jonka poikkipinta-ala on. Nesteen virratessa putken läpi mitataan paine putkessa (p 1 ) ja kavennuksessa (p 2 ). Määritä veden virtausnopeus v 1 (m/s) vaakasuorassa vesijohdossa, jonka poikkipinta-ala on A 1 = 64 10 4 m 2, kun mitatut paineet ovat p 1 = 55 kpa ja p 2 = 41 kpa. Kavennuksen poikkipinta-ala on = 32 10 4 m 2. Tehtävän 5 kuva. Jatkuvuusyhtälön mukaan joten A 1 v 1 = v 2 v 2 = A 1 v 1 Toisaalta Bernoullin yhtälön mukaan, kun y 1 = y 2 p 1 + 1 2 ρv2 1 = p 2 + 1 2 ρv2 2 joten eliminoimalla virtausnopeus kavennuksessa v 2 saadaan 2(p v 1 = 1 p 2 ) ( ( ) ) 2 = 3,1 m/s ρ A1 1
A6 Tarkastellaan oheisen teoriaosan kuvan B putkea, kun korkeudet ovat y 1 = 1,1 m, y 2 = 2,3 m ja poikkipinta-alat ovat A 1 = 120 10 4 m 2 ja = 250 10 4 m 2. Paine putkessa kohdassa on p 2 = 280 kpa. Kohdan A 1 poikkipinnan läpi virtaa 3,0 10 2 m 3 vettä sekunnissa. a) Kuinka paljon veden virtausnopeus muuttuu (m/s) kohdasta A 1 kohtaan? (1p) b) Kuinka paljon työtä paine-ero tekee yhden sekunnin aikana a)-kohdassa lasketun nopeusmuutoksen aikaansaamiseksi? (2p) c) Kuinka paljon putkessa virtaavan veden liike-energia muuttuu yhden sekunnin aikana? (2p) d) Kuinka paljon veden potentiaalienergia muuttuu yhden sekunnin aikana? (1p) a) Veden tilavuusvirta R V = V t = 3,0 10 2 m 3 /s saadaan, kun massavirta jaetaan veden tiheydellä: R V = 1 ρ m t, sillä m = ρ V. Tästä saadaan tilavuusvirralle avulla, josta p 1 = p 2 + ρg(y 2 y 1 ) + 1 2 ρ(v2 2 v2 1 ) = 289367 Pa. Yhden sekunnin aikana vettä virtaa putkessa tilavuus V = 3,0 10 2 m 3 joten paineen tekemä työ yhden sekunnin aikana on W = (p 1 p 2 ) V = 280 J c) Liike-energian muutos yhden sekunnin aikana on E k = 1 2 ( m)v2 2 1 2 ( m)v2 2 = 1 2 ρ V(v2 2 v2 1 ) = 72 J d) Potentiaalienergian muutos yhden sekunnin aikana on joten E p = W E k. E p = ( m)gy 2 ( m)gy 1 = ρ Vg(y 2 y 1 ) = 350 J, R V = 1 ρ ρa 1v 1 = A 1 v 1 = v 2 jatkuvuusyhtälön mukaan. Näin saadaan nesteen virtausnopeudet kohdissa 1 ja 2 { v1 = R V A 1 = 2,5 m/s v 2 = R V = 1,2 m/s, joten nesteen virtausnopeuden muutos on v = v 2 v 1 = 1,3 m/s. b) Paine p 1 kohdassa 1 on ratkaistava Bernoullin yhtälön p 1 + ρgy 1 + 1 2 ρv2 1 = p 2 + ρgy 2 + 1 2 ρv2 2