DYNAMIIKAN PERUSKÄSITTEET 1. Perushahmotus Kappale Mekaniikassa kappaleiksi sanotaan yleisesti kaikkia aineellisia olioita. Kappaleita ovat esimerkiksi: pallo, kirja, pöytä ja auto. Myös elektroni on kappale, vaikka se ei olekaan käsin kosketeltava ja silmin nähtävä. Kappaleita eivät ole esimerkiksi valo, aalto ja ääni. Liike Kappale liikkuu, kun sen paikka, asento tai muoto muuttuu. Liukuvan jääkiekon liike on esimerkki etenevästä liikkeestä, hyrrän liike pyörimisliikkeestä ja jousi, jonka päässä on paino, kuvaa liikkeellään värähdysliikettä. Liiketilan muutos Kappaleen liike voi muuttua. Paikallaan oleva pallo lähtee tönäistäessä liikkeelle, törmätessään seinään, se joko kimpoaa seinästä tai pysähtyy paikalleen. Tällöin sanotaan, että pallon liiketila muuttuu. Pallon liikkeelle lähtö, kimpoaminen ja pysähtyminen ovat esimerkkejä liiketilan muutoksista. Vuorovaikutus Vuorovaikutuksessa on aina kaksi osapuolta. Vuorovaikutus havaitaan samanaikaisesti molemmissa osapuolissa, liiketilan muutoksena tai muodonmuutoksena. Vain vuorovaikutus toisen kappaleen kanssa voi muuttaa kappaleen liikettä. Tönäistään alustalla esimerkiksi kaksi palikkaa toisiaan kohti. Huomataan palikoiden törmäyksen vaikuttavan mm. niiden suunnan muuttumisena - palikoiden liiketila muuttuu. Puristetaan taulusientä kädessä, vuorovaikutus havaitaan taulusienen muodonmuutoksena ja tuntemuksena kädessä. Kappaleen hitaus Huomataan, että pallo ei lähde itsestään liikkeelle tasaisella pinnalla. Sen liikkeelle saaminen, liikkeen muuttaminen ja pysäyttäminen vaatii vuorovaikutuksen. Paikallaan oleva pallo lähtee tönäistäessä liikkeelle. Kelkka liikkuu työnnettäessä helposti lumella, mutta laitettaessa kelkan kyytiin tavaraa, kelkka on yhä vaikeampi työntää liikkeelle. Kappaleella on siis kyky vastustaa liiketilan muutosta. Tätä ominaisuutta kutsutaan kappaleen hitaudeksi. 1
Vuorovaikutuksen voimakkuus Laitetaan jääkiekko liukumaan jäällä ja asfaltilla. Asfaltilla liukuva kiekko pysähtyy huomattavasti aikaisemmin kuin jäällä liukuva kiekko. Huomataan, että jääkiekon liiketilan muutoksen eli pysähtymisen aiheuttanut vuorovaikutus on erilainen näissä tilanteissa. Kokeessa havaitaan, että vuorovaikutus voi olla heikompi tai voimakkaampi. Liiketilan muutoksen suuruus Törmäytetään kimmoisasti ilmatyynyradalla kaksi vaunua, joista toinen on painavampi. Vaunujen törmätessä toisiinsa, painavamman vaunun liike hidastuu huomattavasti, kevyemmän vaunun liikkeessä ei huomata suurtakaan eroa. Painavamman vaunun liike muuttuu enemmän, kevyemmän vähemmän. Liiketilan muutoksella on siis suuruus. Erilaiset vuorovaikutukset Vuorovaikutukset jaetaan etä- ja kosketusvuorovaikutuksiin niiden luonteen perusteella. Esimerkkejä etävuorovaikutuksista: - Kahta ilmapalloa hangataan hiuksia vasten sähköisen varauksen aikaan saamiseksi pallojen pinnalle. Kun laitetaan pallot vierekkäin alustalle, ne liikahtavat toisistaan poispäin. Tämä johtuu sähköisestä vuorovaikutuksesta. - Laitetaan kaksi magneettia pöydälle siten, että samat kohtiot ovat vastakkain, magneetit liikkuvat toisistaan poispäin. Kun taas eri kohtiot ovat vastakkain, magneetit liikkuvat toisiaan kohti. Näissä esimerkeissä havaitaan magneettinen vuorovaikutus. - Pudotetaan pallo pöydältä. Pallon putoaminen pöydältä lattialle johtuu gravitaatiosta. Esimerkkejä kosketusvuorovaikutuksista: - Rullilla olevan laudan päälle asetetaan radio-ohjattava auto. Auton lähtiessä liikkeelle lauta lähtee liikkumaan vastakkaiseen suuntaan. Laudan ja auton välillä olevaa vuorovaikutusta, joka saa ne molemmat liikkeelle, sanotaan kitkaksi. - Laitetaan rullilla olevan laudan päälle vesiastia, liikutetaan viivoitinta vedessä. Huomataan, että lauta liikkuu viivoittimen liikkeen suuntaan. Havaittua vuorovaikutusta kutsutaan väliaineen vastukseksi. Erilaiset liiketilan muutokset Otetaan puu-, kumi-, tennis- ja styroksipallo. Puhalletaan puhaltimella kutakin paikallaan olevaa palloa kohti samanlaisella puhalluksella. Pallojen liiketilan huomataan muuttuvan ilmavirran suuntaan. Lisäksi havaitaan, että erilaisten pallojen liiketila muuttuu eritavalla. Painavammalla pallolla on suurempi kyky vastustaa liiketilan muutosta. Tönäistään pallot yksitellen liikkeelle ja puhalletaan puhaltimella sivusuunnasta liikkuvaa palloa. Tällöin huomataan pallon kääntyvän ilmavirran suuntaan Tönäistään pallot yksitellen liikkeelle ilmavirtaa vastaan. Pallojen liike hidastuu, pallot pysähtyvät ja niiden liikkeen suunta muuttuu ilmavirran suuntaiseksi. Kokeessa nähdään vuorovaikutuksen vektoriluonne, joka ilmenee kappaleen liiketilan muuttumisena vuorovaikutuksen suuntaan. 2
2. Esikvantifiointi Liiketilan muutoksen riippuvuus kappaleesta Tarkastellaan, vaikuttaako kappale liiketilan muutokseen. Asetetaan kahden ilmatyynyradalla olevan vaunun väliin jousi ja työnnetään vaunut lähekkäin niin, että jousi puristuu kokoon. Irrotettaessa ote vaunuista jousen välittämä vuorovaikutus työntää vaunut liikkeelle. Vuorovaikutus vaikuttaa molempiin vaunuihin yhtä voimakkaasti. Kun lisätään toiseen vaunuun punnuksia ja verrataan vaunujen liiketilojen muutoksia, havaitaan painavamman vaunun liiketilan muuttuvan vähemmän. Sama havainto tehdään, kun punnusten määrää edelleen lisätään ja toistetaan koe. Liiketilan muutos riippuu siis kappaleesta. Liiketilan muutoksen riippuvuus vuorovaikutuksesta Tarkastellaan liiketilan muutosta, kun vuorovaikutuksen voimakkuuden muuttuessa. Otetaan kolme hyvin erilaista pintaa: karkea hiekkapaperialusta, vanerilevyalusta ja öljyinen muovialusta. Jotta liikkeelle lähdön nopeuksia voidaan vertailla, oletetaan että alustoilla on sama hitaus. Asetetaan alustat rullien päälle ja laitetaan alustalle radio-ohjattava auto. Tarkastellaan auton ja alustan liikkeelle lähtöä. Havaitaan liikkeelle lähdön eli liiketilan muutoksen tapahtuvan sitä paremmin, mitä karkeampi pinta on eli mitä suurempi kitka on. Liiketilan muutos riippuu vuorovaikutuksesta. Vuorovaikutus vaikuttaa molempiin osapuoliin Havainnollistavien demonstraatioiden avulla osoitetaan, että vuorovaikutus vaikuttaa aina molempiin osapuoliin. Rullilla olevan laudan päälle asetetaan radio-ohjattava auto. Auton lähtiessä liikkeelle, lauta lähtee liikkumaan vastakkaiseen suuntaan. Seuraavaksi asetetaan rullien päälle metallilevy. Nyt huomataan metallilevyn liikkuvan myös vastakkaiseen suuntaan, mutta huomattavasti vähemmän kuin edellisen esimerkin lauta. Lisätään levylle painoja ja toistetaan koe jokaisen lisäyksen jälkeen, kunnes auton alla oleva levy ei enää liiku auton lähtiessä liikkeelle. Yleistetään sama myös tiellä liikkuvalle autolle, jossa auton alla on maapallon pinta vuorovaikutuksen toisena osapuolena. Todetaan vuorovaikutuksen olevan olemassa ja vaikuttavan molempiin osapuoliin myös silloin, kun emme sitä pysty havaitsemaan. Vain vuorovaikutus aiheuttaa liiketilan muutoksen Tutkitaan voiko liiketila muuttua ilman vuorovaikutusta. Annetaan vaunun olla paikoillaan ilmatyynyradalla ilman puhallusta. Huomataan, että vaunu pysyy paikallaan. Annetaan vaunun olla ilmatyynyradalla puhalluksen kanssa. Huomataan,että myös nyt vaunu pysyy paikoillaan. Annetaan ilmatyynyradalla olevalle vaunulle tönäisy ilman puhallusta. 3
Havaitaan vaunun liikkuvan pienen matkan. Annetaan ilmatyynyradalla olevalle vaunulle tönäisy puhalluksen kanssa. Havaitaan vaunun lähtevän liikkeelle. Siis vain vuorovaikutus aiheuttaa liiketilan muutoksen. Vuorovaikutusten yhteisvaikutus Tarkastellaan tilanteita, joissa kappaleeseen vaikuttaa ilmeisesti yhtäsuuret, vastakkaissuuntaiset vuorovaikutukset. Otetaan tarkasteltavaksi kappale, jota vedetään naruilla vastakkaisiin suuntiin. Havaitaan, että silloin, kun kappale pysyy paikallaan siihen ilmeisesti vaikuttavat yhtä suuret vuorovaikutukset. Jos toinen vuorovaikutuksista olisi suurempi kappale liikkuisi suuremman vuorovaikutuksen suuntaan. Laitetaan sama kappale roikkumaan narusta. Kappale pysyy myös nyt paikoillaan, joten siihen vaikuttavat vuorovaikutukset ovat yhtä suuret. Tällöin kappaleeseen vaikuttavat vuorovaikutukset ovat gravitaatio ja narun tukivoima. Vapaan kappaleen idea ei vuorovaikutusta Havainnollistetaan ei-vapaan ja vapaan kappaleen eroa. Tönäistään ilmatyynyradalla olevaa kappaletta ilman puhallusta. Kappale liikkuu pienen hetken, kunnes pysähtyy. Annetaan ilmatyynyradalla olevalle kappaleelle tönäisy puhalluksen kanssa. Kappale lähtee liikkeelle ja jatkaa liikettä edestakaisin pysähtymättä. Kappaleen liiketila pysyy samana, siis kappaleeseen ei vaikuta liiketilaa muuttavia vuorovaikutuksia. 3. Kvantifiointi 3.1 Nopeuden kvantifiointi Välineet: ilmatyynyrata ultraäänianturi ilmatyynyradan vaunu Ilmatyynyradalla oleva vaunu tönäistään liikkeelle puhalluksen ollessa päällä. Rekisteröidään vaunun liikettä ajan funktiona ultraäänianturilla. Anturiin kytketyn Logger pro -tietokoneohjelman avulla saadaan liikkeen kuvaaja (t, x)-koordinaatistoon. Havaitaan, että kuvaaja on suora. Toistetaan koetta muutaman kerran ja havaitaan,että kuvaajaksi saadaan aina suora eli x/ t on vakio (Liite 1). Saatujen suorien kulmakerroin on sitä suurempi mitä nopeammin vaunu kulkee. Näin ollen voidaan suoran fysikaalinen kulmakerroin v määritellä suureeksi nopeus, eli v = x/ t. 4
Kuva 1. Ilmatyynyrata 3.2 Hitaan massan kvantifiointi Välineet: ilmatyynyrata kaksi ultraäänianturia kolme eripainoista vaunua Logger Pro -tietokoneohjelma Törmäytetään ensin kahta vaunua A ja B ilmatyynyradalla, jolloin ainoastaan kosketusvuorovaikutus muuttaa vaunujen liiketilaa. Tehdään useita törmäyksiä varioiden alkunopeutta ja törmäyksen luonnetta. Rekisteröidään vaunujen liikkeitä ajan funktiona ultraääniantureilla. Anturiin kytketyn Logger pro -tietokoneohjelman avulla saadaan liikkeiden kuvaajat (t, x)-koordinaatistoon (Liite 2). Lasketaan vaunujen nopeuksien muutokset törmäyksissä, v A ja v B. Havaitaan, että nopeuksien muutokset ovat aina vastakkaismerkkiset, ja jos esimerkiksi vaunun A hitaus on suurempi kuin vaunun B, niin aina v A < v B. Piirretään nopeuksien muutokset ( v A, - v B ) koordinaatistoon ja havaitaan pisteiden asettuvan suoralle (Kuva 2). Siis suoran kulmakerroin k A,B = - v B / v A on vakio, törmäyksen voimakkuudesta ja luonteesta riippumatta. Suhde on kappaleparikohtainen vakio, joka ilmaisee kappaleiden hitauksien suhteen. - vb(m/s) 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 0 y = 2,0999x 0 0,05 0,1 0,15 0,2 0,25 v A (m/s) Suoran yhtälöstä k A,B = 2,0999 Kuva 2 5
Pyritään yleistämään hitauden käsite kappaleparikohtaisesta suhteesta kappalekohtaiseksi suureeksi. Törmäytetään seuraavaksi vaunua A kolmannen vaunun C kanssa. Lasketaan vaunujen nopeuksien muutokset törmäyksissä v A ja v C. Piirretään nopeuksien muutokset ( v A, - v C ) koordinaatistoon ja havaitaan pisteiden asettuvan suoralle (Kuva 3). Lasketaan suoran kulmakerroin k A,C. Tämän jälkeen törmäytetään vaunua B kolmannen vaunun C kanssa. Lasketaan vaunujen nopeuksien muutokset törmäyksissä v B ja v C. Piirretään nopeuksien muutokset ( v B,- v C ) koordinaatistoon ja havaitaan pisteiden asettuvan suoralle (Kuva 4). Lasketaan suoran kulmakerroin k B,C. - vc(m/s) 0,8 0,6 0,4 0,2 0 y = 1,4255x + 1E-07 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 v A (m/s) - vc(m/s) 0,6 0,4 0,2 0 Kuva 3 y = 0,7687x + 0,0007 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 v B (m/s) Kuva 4 Suorien yhtälöistä k A,C = 1,4255 ja k B,C = 0,7687 k A,C / k B,C = 1,4255 0,7687 1,8544 ja k A,B = 2,0999 Havaitaan, että k A,B k A,C / k B,C. Toisin sanoen, kappaleiden A ja B hitaussuhde voidaan saada selville vertaamalla kappaleita erikseen johonkin mielivaltaisesti valittuun kolmanteen kappaleeseen. Siis kappaleella itsellään on tietty hitaus, joka ei riipu vuorovaikutuksen toisesta osapuolesta. 6
Jatketaan koetta yhdistämällä vaunut A ja B yhteen yhdeksi vaunuksi, ja törmäyttämällä sitä vaunun C kanssa. Mitataan vaunujen nopeuksien muutokset törmäyksissä v A+B ja v C. Piirretään nopeuksien muutokset ( v A+B,- v C ) koordinaatistoon ja havaitaan pisteiden asettuvan suoralle (Kuva 5). Lasketaan suoran kulmakerroin k A+B,C. - vc(m/s) 0,8 0,6 0,4 0,2 0 y = 2,2744x + 0,0004 0 0,05 0,1 0,15 0,2 0,25 0,3 0,35 v A+B (m/s) Kuva 5 Suoran yhtälöstä k A+B,C = 2,2744 k A,C + k B,C = 1,4255 + 0,7687 = 2,1942 Havaitaan, että k A+B,C k A,C + k B,C, tällöin pätee myös, että k A+B = k A + k B. Siis kahden yhdistetyn kappaleen hitaus on yhtä suuri kuin näiden kappaleiden hitauksien summa. Näistä kokeista havaitaan, että törmäyttämällä kappaleita A ja B saman vertailukappaleen C kanssa voidaan määrittää kappalekohtaiset vakiot k A = k A,C ja k B = k B,C, jolloin keskinäinen hitaussuhde k A,B = k A /k B. Vertailukappaleen hitaaksi massaksi voidaan määritellä m C = 1 kg, joten hitaan massan määritelmäksi tulee m A = k A m C. 4. Strukturointi Rakennetaan käsitteet liiketilan muutokselle ja vuorovaikutuksen voimakkuudelle. Hitaan massan määritelmän ja kokeiden pohjalta saadaan esimerkiksi vaunujen A ja B törmäykselle: k A,B = - v B / v A ja k A,B = k A /k B = m A m C /m B m C = m A /m B Tästä seuraa, että m A /m B = - v B / v A m A v A = - m B v B. 7
Vaunujen liiketilojen muutoksilla on yhteinen syy, sillä vaunut törmäsivät toisiinsa. Koska samasta törmäyksestä aiheutuu molempien vaunujen liiketilojen muutos, niin liiketilojen täytyy muuttua törmäyksessä yhtä paljon. Siis m v on sellainen, joka muuttuu kummallakin vaunulla törmäyksessä yhtä paljon, vaikkakin eri suuntiin. Kokeessa muutos näkyy vaunujen siirtymisinä vastakkaisiin suuntiin. Määritellään liikemäärä p = mv. Tällöin p = m v kuvaa kappaleiden liikemäärän muutosta. Kun muutoksen syy eli vuorovaikutus määritellään yhtä suureksi kuin sen seuraus, eli liiketilan muutos, niin vuorovaikutuksen voimakkuutta voidaan mitata liiketilan muutoksen avulla. Koska liiketilan muutos näkyy liikemäärän muutoksena, voidaan määritellä vuorovaikutuksen voimakkuutta kuvaava suure eli impulssi I yhtäsuureksi kuin liikemäärän muutos. Siis I = p. 5. Työprosessin kuvaus Tämä työ valittiin yksimielisesti, koska se oli pakollinen. Työtä lähdimme ideoimaan innokkaasti ja keksimme erilaisia demonstraatioita ja töitä hyvin paljon. Ongelmana oli alussa, mitä annettujen otsikoiden alle pitäisi tulla, koska lähestymistapa oli meille uusi. Ohjaajan kommentit ja käydyt luennot selvittivät lähestymistavan tavoitteita ja raportin laatimista. Loistavan ideariihen jälkeen, kokosimme ja rajasimme aihealueen työt. Koska työt oli suunniteltu hyvin, töiden toteutus oli helppoa. Teimme erilaisia kokeita, joista valitsimme aiheeseen sopivimmat ja kattavimmat kokeet. Kokeissa käytetyt laitteet olivat helppokäyttöisiä käyttäjäystävällisten ohjelmien ja hyvän opastuksen ansiosta. Jo ennen kuin aloimme tekemään töitä, mietimme demonstraatioista ja töistä saatavia tuloksia. Keskustelimme mm. mitkä vuorovaikutukset tulivat töissä esille. Ryhmässämme oli erilaisia käsityksiä valittavista demonstraatioista ja niiden tarpeellisuudesta. Osa omista ennakkokäsityksistämme muuttui töitä tehdessä esimerkiksi pallojen törmäyskokeissa. Demonstraatiot selkiyttivät aikaisempaa kuvaa asioista ja vahvistivat omaa osaamistamme. Töiden onnistumista tutkimme toistojen ja tulosten avulla, sekä tarkkailemalla kokeiden kulkua. Demonstraatiot ja kokeet ideoitiin, suunniteltiin ja toteutettiin yhteistyönä ryhmässä. Raportin kirjoitus ja tulosten käsittely tehtiin alustavasti ryhmänä ja jaettiin tämän jälkeen puhtaaksikirjoitusta varten. Lopuksi keräsimme alustavan raportin, keskustelimme ja teimme tarvittavat korjaukset, jonka jälkeen meillä oli valmis työraportti. Vastuu työstä koko prosessin aikana jaettiin tasaisesti. Teimme työtä siten, että molemmat saivat kokonaisvaltaisen kuvan aihekokonaisuudesta ja työraportin teosta. Työn aikana kohtasimme lähinnä teknisiä ongelmia tietokoneen kanssa, ongelmia oli Excelin käytössä ja lopuksi raporttia varten digitaalikameralla otetut kuvat katosivat kuin tuhka tuuleen disketiltä. Työn teko oli kaiken kaikkiaan kuitenkin antoisaa ja hauskaa. Työselostuksen laatimisen tukena: Lavonen, Kurki-Suonio, Hakulinen, Galilei 1, WSOY, Porvoo 1999 Lavonen, Kurki-Suonio, Hakulinen, Galilei 3, WSOY, Porvoo 1999 Jukka Väisänen, KFR luennot, DFCL3 Ari Hämäläinen, LAB luennot, DFCL3 8
Liite 1 Hitaan massan kvantifiointi: tulokset ja kuvaajat Vaunut A ja B VA1 va2 vb1 VB2 va vb 0 0-0,153 0,057 0,177-0,255 0,210 0,432 0,007 0,160 0,260-0,082 0,153 0,342-0,166-0,066-0,008-0,215 0,100 0,207-0,006 0,090 0,154-0,065 0,096 0,219-0,192-0,127 0,022-0,122 0,065 0,144-0,223-0,102 0,113-0,103 0,121 0,216-0,156-0,111-0,004-0,111 0,045 0,107-0,002 0,039 0,147 0,039 0,041 0,108 Vaunut A ja C va1 va2 vc1 vc2 va - vc 0 0-0,273 0,076 0,164-0,342 0,349 0,506-0,217 0,236 0,356-0,323 0,453 0,679-0,162 0,162 0,237-0,289 0,427 0,526-0,265 0,174 0,287-0,362 0,439 0,649-0,253 0,147 0,249-0,339 0,400 0,588 9
Vaunut B ja C VB1 vb2 vc1 vc2 vb - vc 0 0-0,234 0,262 0,210-0,168 0,496 0,378-0,218 0,247 0,200-0,157 0,465 0,357-0,237 0,394 0,330-0,155 0,631 0,485-0,171 0,336 0,281-0,119 0,507 0,400-0,231 0,390 0,327-0,148 0,621 0,475 Yhdistelmävaunu A+B ja vaunu C va+b1 va+b2 vc1 vc2 va+b - vc 0 0-0,164 0,121 0,324-0,345 0,285 0,669-0,172 0,112 0,318-0,338 0,284 0,656-0,194 0,096 0,303-0,363 0,290 0,666-0,221 0,082 0,291-0,388 0,303 0,679-0,180 0,103 0,306-0,313 0,283 0,619 10
11