x x x x x x x x Matematiikan johdantokurssi, syksy 08 Harjoitus, ratkaisuista Hanoin tornit -ongelma: Tarkastellaan kolmea pylvästä A, B ja C, joihin voidaan pinota erikokoisia renkaita Lähtötilanteessa pylväässä A on n rengasta suuruusjärjestyksessä suurin alla, pienin päällä Renkaat on siirrettävä pylvääseen C Vain yhtä rengasta saa siirtää kerrallaan ja missään vaiheessa ei pienempi rengas saa olla suuremman alla Osoita, että tarvitaan vähintään n siirtoa xxxx xxxx xxxx A B C Ratkaisu Kun renkaita on n kappaletta, ainoa mahdollisuus saada suurin rengas pohjimmaiseksi tankoon C on ensin saada (tavalla tai toisella) pienemmät n rengasta pylvääseen B, ja sitten siirtää suurin tankoon C Tämän jälkeen on taas siirettävä nämä tangon B n rengasta (tavalla tai toisella) tankoon C Kukin edellä tarvittu n renkaan pinkan siirto on tehtävä (on ilmeisestikin edullisinta tehdä) vastaavalla tavalla, tähän menee yksi suurimman siirto ja kaksi n renkaan pinkan siirtoa Siirtojen vähimmäismäärä on siis laskettavissa seuraavasti: Olkoon a n tarvittavien siirtojen määrä, kun renkaita on n Jos n =, on siirtoja a = Jos n =, on siirtoja a = = +, pienempää kahdesti ja suurempaa kerran Jos n =, on siirtoja a = 7 = +, kaksi pienintä siirretään kahdesti pylväästä toiseen, välillä suurinta kerran Jos n = 4, on siirtoja a 4 = 5 = 7 +, kaksi pienintä siirretään kahdesti pylväästä toiseen, välillä suurinta kerran Jos n = k, on siirtoja a k = a k +, k rengasta kahdesti pylväästä toiseen, välillä suurinta kerran Näin saadaan rekursiokaava a =, a n = a n +, n Tarkastelemalla edellä lueteltuja tapauksia voidaan arvata, että siirtoja todellakin tarvitaan vähintään a n = n Perustellaan tämä induktiolla: I) n = : siirtoja = OK I) n = k: Induktio-oletus: Oletetaan, että väite pätee jollakin arvolla k, eli k renkaan tapauksessa tarvitaan a k = k siirtoa I) n = k+: Olkoon renkaita yhteensä k+ Edellä olleen päättelyn mukaan tarvitaan siirtää vähintäinkin kerran suurinta rengasta ja muiden muodostama k renkaan nippu kahdesti tangosta toiseen; siis rekursiokaavan ja induktio-oletuksen mukaan siirtoja on ainakin a k+ = a k + = ( k ) + = k+
Induktioaskel on todistettu, joten induktioperiaatteen ja kohtien I- mukaan väite on tosi kaikilla n N Olkoon n kokonaisluku Osoita, että jos n + ei ole jaollinen luvulla 4, niin n on parillinen Ratkaisu Todistus: Todistetaan väite epäsuorasti: Tehdään vastaoletus, että n ei ole parillinen Antiteesin mukaan n on siis pariton, joten se voidaan esittää muodossa n = k+ jollakin k Z Tällöin n + = (k + ) + = (4k + 4k + ) + = k + k + 4 = 4(k + k + ) = 4m, missä m Z Luku n + olisikin jaollinen luvulla 4, mikä on vastoin oletusta Tämä on ristiriita Siis väite on tosi Olkoon n kokonaisluku Näytä, että n on jaollinen luvulla, jos ja vain jos n on jaollinen luvulla Ratkaisu Todistetaan ekvivalenssi todistamalla erikseen molemmat implikaatiot Suorasti Olkoon n jaollinen luvulla Tällöin n = k jollakin k Z Tällöin Täten n on jaollinen luvulla n = (k) = k = p, missä p Z Olkoon n jaollinen kolmella Osoitetaan epäsuorasti, että myös n on kolmella jaollinen Vastaoletus: Luku n ei ole jaollinen kolmella Todistus Huomaa, että kokonaisluku n, joka ei ole jaollinen kolmella, on välttämättä muotoa n = k+ tai n = k+, missä k Z Näin ollen: ) Jos n = k+, on n = (k + ) = 9k + 6k + = (k + k) + = m +, m Z; siis ei jaollinen kolmella ) Jos n = k+, on n = (k + ) = 9k + k + 4 = (k + 4k + ) + = p +, p Z, mikä ei tämäkään ole kolmella jaollinen Kummassakaan tapauksessa n ei siis olisi jaollinen luvulla Tämä on ristiriita, joten väitteen on oltava tosi
4 Olkoot A, B ja C perusjoukon X osajoukkoja Osoita: Jos A \ B C, niin A \ C B Ratkaisu Todistetaan väite epäsuorasti Tehdään vastaoletus, että A \ C B Tällöin on olemassa alkio x X, siten, että x A \ C ja x / B Koska x A ja x / B, on x A \ B Koska x A \ C, niin x / C Siis x A \ B ja x / C, joten A \ B C Tämä on ristiriita, joten väitteen on oltava totta 5 Olkoot A i := [ i+, ] kaikilla i N Millaisia ovat joukot i ja A i? Todista väitteesi i= A i i= Ratkaisu Tilannetta havainnollistaa seuraava kuvio A 0 A 0 A 0 4 A i 0 i+ i Väite : i= A i = ], ] Todistus: Todistetaan joukot samoiksi todistamalla ne toistensa osajoukoiksi ) i= A i ], ]: Jos x i= A i, niin x A i jollakin i Koska A i ], ] kaikilla i, on x ], ] ) ], ] i= A i: Olkoon x ], ] eli < x Koska < x, on olemassa (riittävän suuri) n N siten, että < n + = + n n x Siis x [ +, ] = A n n Näin ollen x i= A i Kohtien ) ja ) nojalla väite on tosi Väite : i= A i = [, ] Todistus: Todistetaan vastaavasti kuin äsken: + _ n x
) i= A i [, ] Jos x i= A i, niin x A = [, ] ) [, ] i= A i Jos x [, ], niin x i= A i, sillä [, ] A i kaikilla i =,,, Kohtien ) ja ) nojalla myös toinen väite on tosi 6 a) Osoita yhtä mahtaviksi joukot R ja R + b) Onko joukko yhtä mahtava kuin joukko Z? K := { k cos kπ k N } Ratkaisu a) Tunnetusti eksponenttifunktio x e x on bijektio R R +, joten joukot ovat yhtämahtavat b) Seuraava jono muodostuu, kun k lähtee kasvamaan arvosta : 0,, 0, 4, 0, 6, 0, 8, 0, 0, 0,, 0, 4, 0, 6, 0, 8, 0, 0, Parittomilla k = n N ovat luvut nollia, sillä: cos (n )π = cos(nπ π ) = 0 Parilliset luvut ovat muotoa k = 4n tai k = 4n, ja näillä lausekkeesta saadaan erimerkkisiä lukuja: Arvoilla k = 4n N on cos kπ Arvoilla k = 4n N taas cos kπ (4n )π = cos = cos(nπ π) =, joten k cos kπ = 4n 4nπ = cos = cos nπ =, joten k cos kπ = 4n Bijektio f : Z K saadaan nyt seuraavasti: f(0) := 0, Positiiviset kokonaisluvut: f(p) := 4p Negatiiviset kokonaisluvut: f(n) := 4( n) Kokeile muutamilla arvoilla! Koska kaikki esiintyvät luvut jonossa ovat selvästi eri lukuja paitsi toistuva nolla, on kyseessä bijektio 7 Peanon aksioomien yhteydessä Luvussa määriteltiin (mihin tahansa kyseiset aksioomat toteuttavaan) joukkoon L laskutoimitukset + ja, ja Esimerkissä laskettiin muutamia kokeiluja Laske nyt edelleen Υ Υ, tietenkin perustellen Voit toki käyttää apuna laskutoimitusten määritelmien lisäksi em Esimerkissä laskettuja tuloksia (numeroi ne riveittäin) Mitä tämä tulos vastaa tilanteessa, jossa L onkin tavallinen tuttumme N? Ratkaisu Koska Υ on vain lyhenne alkiosta (Υ ), on tämän ja kertolaskun määritelmän, Esimerkin, yhteenlaskun määritelmän (kahdesti) ja uudelleen lyhennysmerkinnän mukaan Υ Υ = Υ (Υ ) = Υ Υ + Υ = Υ + Υ = (Υ + Υ) = ((Υ ) ) = Υ 4
Laskettiin siis = 6 (Olisi toki voinut laskea vetoamatta luentoesimerkkiin, kuten demoissa jotkut tietysti hiukka suuremmalla vaivalla olivat tehneet) 8 Oletetaan luonnollisten lukujen yhteenlasku tunnetuksi Osoita, että kokonaisluvut määrittelevä relaatio R, (a, b)r(c, d) a + d = b + c, on ekvivalenssirelaatio joukossa N N (ks luennot) Ratkaisu Olkoot (a, b), (c, d) N N Kokonaisluvut määrittelevä relaatio R on tällöin (a, b)r(c, d) a + d = b + c Se on siis relaatio joukossa N N Tarkastetaan toteuttaako R kaikki kolme ekvivalenssirelaation ehtoa: E) (refleksiivisyys) Kaikilla (a, b) N N on (a, b)r(a, b), sillä a+b = b+a E) (symmetrisyys) Olkoon (a, b)r(c, d) Silloin a+d = b+c c+b = d+a, joten (c, d)r(a, b) E) (transitiivisuus) Olkoot (a, b)r(c, d) ja (c, d)r(e, f) Silloin a+d = b+c ja c+f = d+e, joten a + d + c + f = b + c + d + e Supistamalla saadaan a+f = b+e, joten (a, b)r(e, f) Kaikki ehdot toteutuvat, joten R on ekvivalenssirelaatio Huomaa, että vaikka vähennyslaskua ei olekaan vielä, niin Peanon aksioomasta 4 seuraa supistussääntö: jos lukujen a ja b seuraajat a ja b ovat sama luku, niin a = b, ts yhtälön kummaltakin puolelta voidaan yksikkö jättää pois Saman luvun c supistaminen yhtälön eri puolilta tapahtuu sitten supistamalla yksikkö c kertaa peräkkäin 5