Aalto University School of Science Degree Programme in Engineering Physics and Mathematics Ville Vierimaa Spin Dependent transport in Graphene Master s Thesis Espoo, March 14, 216 Supervisor: Thesis advisor(s): D.Sc. Ari Harju D.Sc. Ari Harju
Abstract of master's thesis Author: Ville Vierimaa Title of thesis: Spin-Dependent transport properties of Graphene Master s programme: Degree Programme in Engineering Physics and Mathematics Thesis supervisor: D.Sc. Ari Harju Major or Minor/Code: Engineering Physics (F35) Department: Department of Applied Physics Thesis advisor(s): D.Sc. Ari Harju Date 14.3.216 Number of pages 47 Language English Abstract Graphene is a 2-dimensional allotrope of carbon which has attracted a lot of interest since its discovery in 24. It has high electron mobility and small intrinsic spin-orbit-coupling, leading to long spin persistence lengths. This makes it an interesting material for spintronics as it can be used as a platform for spin-dependent defects. Its spin behaviour is almost completely determined by the defects, which can be used to tune its properties. The electronic transport properties of graphene are most commonly studied by Landauer-Büttiker and Kubo-Greenwood methods. They both work well with the tight-binding model, which recovers the electronic band structure of graphene correctly, and they give results consistent with each other. The difference between the two is that Landauer-Büttiker is more suitable for narrow ribbons, while Kubo-Greenwood performs better in wider systems. In this thesis, a spinful version of the Kubo-Greenwood method is derived and then implemented on top of an existing spinless version. The implementation is done with Nvidia CUDA and it runs on graphics processing units. Different spin-dependent defects in graphene are used to test the implementation and validate the method. While the spinful version of the method is easy to implement, it turns out that it lacks the ability to completely describe spin-flipping current. Spin-conserving conductivity is given correctly by the method and spin polarization is proposed to describe the spin behavior better. Long-ranged scatterers are found to scatter spin more efficiently than they do charge and they are suggested to be partly responsible for the experimentally found short spin relaxation times. Keywords graphene, spin, Kubo-Greenwood, CUDA, GPU
Diplomityön tiivistelmä Tekijä: Ville Vierimaa Työn nimi: Grafeenin spin-riippuva johtavuus Koulutusohjelma: Teknillinen fysiikka ja matematiikka Valvoja: TkT Ari Harju Pää tai sivuaine/koodi: Teknillinen fysiikka (F35) Työn ohjaaja(t): TkT Ari Harju Päivämäärä 14.3.216 Sivumäärä 47 Kieli Englanti Tiivistelmä Grafeeni on hiilen kaksiulotteinen allotrooppi, joka löydettiin vuonna 24. Sen elektroneilla on suuri liikkuvuus ja pieni spin rata-kytkentä, jonka ansiosta spinin relaksaatiopituus kasvaa huomattavan suureksi. Grafeeni on erityisen kiinnostava materiaali spintroniikassa, jossa sitä voidaan käyttää alustana spin-riippuville epäpuhtauksille. Sen spinin ominaisuudet ovat lähes täysin epäpuhtauksien määrittelemät, joten spin käytöstä voidaan säätää niiden avulla. Grafeenin johtavuusominaisuuksia tutkitaan yleensä joko Landauer-Büttiker- tai Kubo-Greenwoodmenetelmillä. Molemmat toimivat hyvin tiukan sidoksen mallin kanssa ja antavat keskenään vertailukelpoisia tuloksia. Menetelmien erona ovat systeemit, joihin ne soveltuvat. Landauer-Büttiker toimii paremmin kapeammissa nauhoissa, kun taas Kubo-Greenwood soveltuu hyvin leveämpiin, täysin kaksiulotteisiin systeemeihin. Tässä työssä johdetaan spinillinen versio Kubo-Greenwood-menetelmästä ja toteutetaan se aikaisemman spinittömän version pohjalta. Toteutus tehdään Nvidian CUDA-kielellä ja sitä voidaan ajaa näytönohjaimilla. Toteutusta testataan erilaisilla spin-riippuvilla epäpuhtausmalleilla. Spinillinen versio on helposti johdettavissa spinittömästä versiosta, mutta käy ilmi, ettei se kuvaa täysin spinien välistä virtaa. Menetelmä antaa kuitenkin oikein spinin säilyttävän konduktiivisuuden ja spinin polarisaatio osoittautuu paremmaksi ominaisuudeksi kuvaamaan spinin käytöstä. Tutkituista epäpuhtauksista pitkän matkan sirottajat sirottivat spiniä suhteessa varaukseen eniten ja niitä ehdotetaan osatekijäksi kokeissa havaittuihin lyhyisiin relaksaatiopituuksiin. Avainsanat grafeeni, spin, Kubo-Greenwood, GPU
ÓÒØ ÒØ ½ ÁÒØÖÓ ÙØ ÓÒ ¾ ¾ Ì Ø¹ Ò Ò ÑÓ Ð ÓÖ Ô Ò¹ Ô Ò ÒØ Ø Å Ø Ó º½ Ä Ò Ù Ö¹ ØØ Ö ÓÖÑ Ð Ñ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º¾ ËÔ Ò¹ Ô Ò ÒØ ÓÒ ÙØ Ú ØÝ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ÓÑÔ Ö ÓÒ ØÛ Ò Ô Ò ÙÐ Ò Ô ÒÐ º º º º º º º º º º º º º º º º º ËÔ Ò ØÖ Ò ÔÓÖØ Ø ÓÒ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½½ º ËÔ Ò ÔÓÐ Ö Þ Ø ÓÒ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½¾ ÁÑÔÐ Ñ ÒØ Ø ÓÒ ½ º½ ÆÙÑ Ö Ð ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÒ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º¾ ÈÍ Ð Ö Ø ÓÒ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ Ê ÙÐØ ½ º½ ÈÖ Ø Ò Æ ÒÓÖ ÓÒ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º¾ ËÔ Ò¹ Ô Ò ÒØ ÈÓØ ÒØ Ð Ò Æ ÒÓÖ ÓÒ º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º ËÔ Ò¹ Ô Ò ÒØ ÈÓØ ÒØ Ð Ò Ö Ô Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ º º½ ËÔ Ò ÓÒ ÖÚ Ò ÔÓØ ÒØ Ð º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ º º¾ ËÔ Ò ÔÔ Ò ÔÓØ ÒØ Ð º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ º ØÓÑ ÈÐ ÕÙ ØØ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ º Ö ÈÙ Ð º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º º½ ÓÒ Ø ÒØ Þ ÔÙ Ð º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º º¾ ÈÙ Ð Û Ø Ú ÖÝ Ò Þ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º Ö ÖÖ Ö Ò ØÝ ÚÓÐÙØ ÓÒ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ÓÒÐÙ ÓÒ ½ Ê Ö Ò ½
½ ÁÒØÖÓ ÙØ ÓÒ ËÔ ÒØÖÓÒ Ò Ñ Ö Ò Ö Ò Ó Ð ØÖÓÒ Û Ò ÑÙ ØØ ÒØ ÓÒ ÓÚ Ö Ø Ô Ø Û º ÁØ ÙØ Ð Þ Ø Ô Ò Ö Ó Ö ÓÑ Ó Ø Ð ØÖÓÒ Û Ò Ð ÑÙ Û Ö Ö Ò Ó ÓÑÔÓÒ ÒØ Ò Ú ½ ¾ º Ë Ò Ø Ö Ö ØÛÓ Ò Ó ÙÖÖ ÒØ ÙÔ Ò ÓÛÒ ÔÓÐ Ö Þ Ø Ò ÔÖ Ò ÔÐ ÔÓ Ð ØÓ Ò ÓÑÔÓÒ ÒØ Ø Ø Ö Ø Ò ÓÒ Û Ý ØÓ ÙÔ ÙÖÖ ÒØ Ò Ò ÒÓØ Ö ØÓ ÓÛÒ ÙÖÖ Òغ Ì Ö Ð Ú ÒØ ÓÖ Ü ÑÔÐ Ò ÐÓ Ò Ñ ÑÓÖÝ ÓÑÔÓÒ ÒØ Û Ò Ò Ø ÖÓÑ Ú Ò ÓÒ Ö Ó Ö ÓÑ ÓÖ Ú Ò Ù Ø Ô Ò Ø Ö ÓÒÐÝ Ø Ø Ò ØÓÖ º ÓÓ Ü ÑÔÐ Ó Ø Ø ÒØ Ñ ¹ Ò ØÓÖ Ø Ò Ø Åʵ Ù Ò Ñ Ò Ø Ñ ÑÓÖ Û ÓÒ Ø Ñ Ò Ø Ð ÒÑ ÒØ Ó ÖÖÓÑ Ò Ø ÐÑ º ËÔ Ò Ò ÒØÖ Ò ÔÖÓÔ ÖØÝ Ó Ð ØÖÓÒ Ñ Ð Ö ØÓ Ö ÓÖ Ñ º ÁØ Ö Ð Ø Ú Ø Ø Ö Ò ÖÓÑ Ø Ö ÕÙ Ø ÓÒ Ö Ñ Ð Ò Ò ÙÐ Ö ÑÓÑ ÒØÙÑ Ò ÑÓ Ø ÑÔÓÖØ ÒØÐÝ Ø ÖÚ ÓÙÖ Ó Ñ Ò Ø ÑÓÑ ÒØ ÓÖ Ð ØÖÓÒ º ÁÒ ÖÖÓÑ Ò Ø Ñ Ø Ö Ð Ø Ð ÒÑ ÒØ Ó Ø ÑÓÑ ÒØ Ò Ö Ø ÐÐÝ ÚÓÙÖ Ò Ø Ö Ò Ø Ô Ò ÔÓÐ Ö Þ Ø ÓÒº Ï Ò Ø Ò Ø ÑÓÑ ÒØ Ó Ñ Ø Ö Ð ÒÓÒ¹Þ ÖÓ Ñ Ò Ø ÔÖÓÔ ÖØ Ò Ó ÖÚ Ú Ò Ñ ÖÓ ÓÔ ÐÐݺ ÁÒ Ø Ó Ú Ò Ø Û ÓÐ Ñ Ø Ö Ð Ñ Ó Ñ Ò Ø ØÓÑ Ø ÔÓ Ð ØÓ Ú ÑÓ ØÐÝ ÒÓÒ¹Ñ Ò Ø Ñ Ø Ö Ð Û Ø ÓÑ Ñ Ò Ø Ø Ò Ø º Ì Ó Ö Ò ÒØ Ö Ø Ò Ý Ø Ñ ØÓ ØÙ Ý Ò Ú Ò Ñ ÐÐ ÑÓÙÒØ Ó Ø Ò Ñ Ô Ò¹ Ô Ò ÒØ Ú ÓÙÖ Ö º Ì ÛÓÖ ÑÓ ØÐÝ ÓÙ ÓÒ Ø Ô Ò ÔÓÐ Ö Þ Ø ÓÒ Ò ÓÒ ÙØ Ú ØÝ Ó Ö Ô Ò Û Ø Ñ Ò Ø Ø Ò Øº Ö Ô Ò ÔÖÓÚ Ò ÔÔ Ð Ò ÔÐ Ø ÓÖÑ ÓÖ Ñ Ò Ø ¹ Ø Ù Ø Ñ ÐÐ ÒØÖ Ò Ô Ò¹ÓÖ Ø ÓÙÔÐ Ò ËÇ µ ½¼ Û Ñ Ò Ø Ô Ò¹ Ú ÓÙÖ ÐÑÓ Ø ÓÑÔÐ Ø ÐÝ Ø Ø Ý Ø Ø Ò Ø Ý Ø Ñº Ö Ô Ò Ð Ó ÔÓ Ð ØÖÓÒ Ð ÓÒ ÙØ Ú ØÝ Ò ÐÓÛ ØØ Ö Ò Ö Ø Ñ Ò Ø ÔÖÓÑ Ò Ñ Ø Ö Ð ÓÖ Ô ÒØÖÓÒ ½½ ½¾ º Ì ØÛÓ Ñ Ò Ñ Ø Ó ØÓ ÑÓ Ð Ø Ð ØÖÓÒ ØÖ Ò ÔÓÖØ ÔÖÓÔ ÖØ Ó Ö Ô Ò Ö Ø ÃÙ Ó¹ Ö ÒÛÓÓ Ã µ ½ ½ Ò Ä Ò Ù Ö¹ ØØ Ö Ä µ ½ ÓÖÑ Ð Ñ º ÁÒ Ø ÛÓÖ Ø ÓÙ ÑÓ ØÐÝ ÓÒ Ø ÃÙ Ó¹ Ö ÒÛÓÓ Ú Ò Ø ÓÙ ÓÑ ÓÑÔ Ö ÓÒ Û ÐÐ ÓÒ ØÛ Ò Ø ØÛÓ Ñ Ø Ó º ÓØ Ó Ø Ñ Ø Ó ÛÓÖ Û Ø Ò Ø Ø Ø¹ Ò Ò ÑÓ Ð ½ Û Ö Ø Ð ØÖÓÒ ÔÖÓÔ ÖØ Ó Ö Ô Ò Ö Ð Ø Ú ÐÝ Û Ðк ÁØ ÔÖ Ø Ø Ò ØÖÙØÙÖ ÓÖÖ ØÐÝ Ò Ö Ø Þ ÖÓ Ò Ö Ý Ò ÒÓØ ØÓÓ Ø Ö Ø Ö Ò Ö ½ º Ù Ó Ø ÑÔÐ ÓÖÑ Ø Ø ÖÚ ÓÓ Ø ÖØ Ò ÔÓ ÒØ Ð Ó ÓÖ ÑÓ ÐÐ Ò Ø Ò Ö Ô Ò º Ì Ò Ô Ò ÒØÓ ÓÙÒØ Ò Ø ÑÓ Ð ÒÓØ Ö Ø Ö ½ Û Ñ Ø Ð ÓÖ ÓÙÖ Ù º Ï Ò Ô Ò¹ Ô Ò ÒØ Ø Ö ÑÓ ÐÐ Ø ÓÖ ÒØ Ø ÓÒ Ó Ø Ö Ô Ò Ü ÔÐ Ý Ò ÑÔÓÖØ ÒØ ÖÓÐ º Á ÔÓÐ Ö Þ ÙÖÖ ÒØ ÒØ Ö Ø Û Ø Ø Û Ð Ò Ô Ö ÐÐ Ð ÓÖ ÒØ ¹ Ô Ö ÐÐ Ð Û Ø Ø ÔÓÐ Ö Þ Ø ÓÒ Ø ÙÖÖ ÒØ Ö Ø Ò Ø ÔÓÐ Ö Þ Ø ÓÒº Ì Ø Û ÐÐ Ú Ô Ö Ø ÔÖÓÔ ÖØ ÓÖ ÓØ ÔÓÐ Ö Þ Ø ÓÒ ÙØ Ø Ö Û ÐÐ ÒÓ ÓÒÒ Ø ÓÒ ØÛ Ò Ø Ô Ò ÒÒ Ð º Ì ØÙ Ø ÓÒ ÓÑ ÑÙ ÑÓÖ ÒØ Ö Ø Ò Û Ò Ø Ø Ü ÒÓØ Ð Ò Û Ø Ø ÔÓÐ Ö Þ Ø ÓÒº Ì ÐÐÓÛ Ô Ò ØÓ Ô Ø Ø Ø Ø Ò Ñ Ø Ý Ø Ñ ¾
ÑÙ ÑÓÖ ÓÑÔÐ Ø Ø Ò ÒÓ ÐÓÒ Ö ÑÓ ÐÐ ØÛÓ Ô Ö Ø ÒÓÒ¹ ÒØ Ö Ø Ò Ù Ý Ø Ñ º ÁÒ Ø ÓÒ ØÓ Ø Ø Ð ÒÑ ÒØ Ø ÐÓ Ø ÓÒ Ó Ø Ø Ö Ð Ø Ú ØÓ ÓØ Ö Ñ ÓÖ Ø ÓÒ Ø ÔÖÓÔ ÖØ Ô ÐÐÝ Ò Ö Ô Ò ½ º Ö Ô Ò ÓÒ Ø Ó ØÛÓ Ù Ð ØØ Ò Ô Ò Ò ÓÒ Û Ø Ö ØÛÓ Ø Ö ÓÒ Ø Ñ ÓÒ ÓÖ ÒÓØ Û ÐÐ ÑÔ Ø Ø ÔÖÓÔ ÖØ Ö ØÐÝ Ò ÓÑ ¾¼ ¾½ º Ù Ø Ö Ö ÐÓØ Ó Ô Ö Ñ Ø Ö Ö Ö Ò Ø Ø Ø Ñ Ý Ö ØÓ Ø ÓÓ ÓÚ ÖÚ Û Ó Ø Ú Ö ÔÖÓÔ ÖØ Ó ÖØ Ò Ø º ËÓÑ ÒØ Ö Ø Ò ÔÖÓÔ ÖØ Ñ Ý ÔÖ ÒØ ÓÒÐÝ Ò ÖØ Ò ÓÒ ÙÖ Ø ÓÒ Ò ÓÑ Ñ Ý ÓÒÐÝ ÔÔ Ö Ò ÐÝ Ö Ò ÓÑ Þ Ý Ø Ñ º Ì Ö ÓÖ ØÓ Ø ÓÓ ÓÒÐÙ ÓÒ ÓÒ Û Ø ÔÖÓÔ ÖØ ÖØ Ò Ø ÛÓÙÐ Ú Ò Ö Ð ÛÓÖÐ ÜÔ Ö Ñ ÒØ Ø Ú Ö Ò Ó Ø Ø ÔÖÓÔ ÖØ ÓÙÐ ÓÒ Û Ðк ÇÒ Û Ý Ó Ó Ò Ø ØÓ ÑÙÐ Ø Ð Ö Ö Ý Ø Ñ º ÇÒ ÓÛÒ Ó ÑÙÐ Ø ÓÒ Ø ÒÖ ÓÑÔÙØ Ø ÓÒ Ð ÓÖغ ÁÒ Ø Ø ¹ Ò Ö Ó Ø ÓÑÔÙØ Ø ÓÒ Ð Ø Ñ Û ÐÐ ÒÖ Ð Ò ÖÐÝ Û Ø Ö Ô Ø ØÓ Ø ÒÙÑ Ö Ó ØÓÑ ÙØ Ú Ò Ð Ò Ö Ð Ò Ò Ø ÓÒ ÓÒÐÝ Ó Ö ÓÒ Ø ÓÛÒº ÁÒ ÔÖ Ø ÐÐ Ð Ö Ð ÑÙÐ Ø ÓÒ Ö ÕÙ Ö ÓÑ Ò Ó Ô Ö ÐÐ Ð Þ Ø ÓÒ ØÓ Ñ Ø ÑÙÐ Ø ÓÒ ÖÙÒ Ò Ö ÓÒ Ð Ø Ñ º È Ö ÐÐ Ð Þ Ø ÓÒ Ò ÓÒ ÓÒ Ø ÈÍ ÓÒ Û Ø Ð Ó Ö Ð Ø Ú ÐÝ Ý ØÓ ÑÔÐ ¹ Ñ Òغ ÀÓÛ Ú Ö ÓÓ ÐØ ÖÒ Ø Ú ØÓ ÈÍ ÑÔÐ Ñ ÒØ Ø ÓÒ Ø Ù Ó Ö Ô ÔÖÓ Ò ÙÒ Ø ÈÍ µº Ì ÈÍ Ú Ú Ø ÑÓÙÒØ Ó ÓÑÔÙØ Ø ÓÒ Ð ÔÓÛ Ö Ò Ò Û Ò Ø ÑÔÐ Ñ ÒØ Ø ÓÒ ÓÒ ÓÖÖ ØÐÝ Ø Ý Ò Ö ÑÔÖ Ú Ô ÙÔ ÓÚ Ö Ö ÙÐ Ö ÈÍ ¾¾ ¾ º Ì Ö Ö ÓÑ Ð Ñ Ø Ø ÓÒ ØÓ Ø Ù Ó ÈÍ ÓÛ Ú Öº Ì Ö Ö Ø ØÙÖ ÑÙ ÑÔÐ Ö ÓÑÔ Ö ØÓ ÈÍ Ò Ø Ý Ö ÕÙ Ö Ø Ö ÒØ ÔÔÖÓ ¾ º ÇÒ Ó Ø ÑÓ Ø ÑÔÓÖØ ÒØ ØÓÖ Ò Ø Ó ØÛ Ò ÈÍ Ò ÈÍ Ø Ö Ø Ñ Ø ÒØ Ò ØÝ Ó Ø ÐÙÐ Ø ÓÒ Ò ÑÔÐ Ñ ÒØ ¾ º ÁØ Ø ÖÑ Ò Ý Ø Ö Ø Ó ØÛ Ò Ö Ø Ñ Ø ÓÔ Ö Ø ÓÒ Ò Ø Ñ ÑÓÖÝ Ò Ø Ö Ø Ø ØØ Ö Ø ÈÍ Ö Ð Ø Ú Ô Ö ÓÖÑ Ò Û ÐÐ º Ì Ù Ø ÒØ ÖÒ Ð Ñ ÑÓÖÝ ÈÍ Ú ÐÓÛ Ò ØÖ Ò ÖÖ Ò Ø ØÓ Ø ÈÍ ÖÓÑ Ø ÈÍ Ñ ÑÓÖÝ Ú Ò ÐÓÛ Ö ¾ º Ó Ò Ú ÖÝ Ò Ð ÐÙÐ Ø ÓÒ ÓÒ Ø ÈÍ Ù Ù ÐÐÝ ÒÓØ Ò ÓÔØ ÓÒ Ø Ö Ù Ø Ý Ô Ö ÓÖÑ ÕÙ Ø ÔÓÓÖÐÝ Ò Ü ÙØ Ò ÕÙ ÒØ Ð Ó º ØØ Ò Ø Ø Ô Ö ÓÖÑ Ò Ù Ù ÐÐÝ Ö ÕÙ Ö Ö ÙÐ Ò ÐÝ ØÓ ÒØ Ý Ø Ô ÖØ Û Ò Ø ÑÓ Ø ÖÓÑ Ò ÐÙÐ Ø ÓÒ Ø ÈÍ ¾ ¾ º Ì Ó Ð Ó Ø Ø ØÓ Ö Ú Ò ÑÔÐ Ñ ÒØ Ô Ò ÙÐ Ú Ö ÓÒ Ó Ø ÃÙ Ó¹ Ö ÒÛÓÓ Ñ Ø Ó Ø ÖØ Ò ÖÓÑ Ò Ü Ø Ò Ô ÒÐ ÑÔÐ Ñ ÒØ Ø ÓÒ ¾ Ò Ø Ø Ø ÓÒ Ú Ö ÓÙ Ô Ò¹ Ô Ò ÒØ Ø º Ì Ñ Ø Ó Ð Ò Ö¹ Ð Ò Ò Ø ÛÓÖ Ö ÐÐÝ Û ÐÐ Ú Ò ÓÖ Ð Ö Ö Ý Ø Ñ Ö ÕÙ Ö º Ì ÓÖ Ò Ð Ó ÛÖ ØØ Ò Ò Í ¼ Ò ÓÔØ Ñ Þ ØÓ ÖÙÒ ÓÒ ÈÍ º Ì Ò Û ÑÔÐ Ñ ÒØ Ø ÓÒ Û ÐÐ Ð Ó ÛÖ ØØ Ò Ò Í º Ì ÓÙ Ò Ø ÐÙ¹ Ð Ø ÓÒ Û ÐÐ ÓÒ Ø ÓÒ ÙØ Ú ØÝ Ò Ô Ò ÔÓÐ Ö Þ Ø ÓÒ Ó Ö Ô Ò Û Ø Ö ÒØ Ò Ó Ô Ò¹ Ô Ò ÒØ ÔÓØ ÒØ Ð ÙØ ÓÑ ØØ ÒØ ÓÒ Ð Ó Ú Ò ØÓ Ö Ô Ò Ò ÒÓÖ ÓÒ Ò ÐØ ÖÒ Ø Ú Ø ÑÓ Ð º
b 1 15 1 3NN TB 1NN TB DFT a 1 a 2 M K - 5 K + b 2-5 -1 K + Γ M K - µ ÙÖ ½ Ê Ð¹ Ô Ê ÔÖÓ Ð Ð ØØ Ó Ö Ô Ò º Î ØÓÖ a Ò b ÓÛ Ø Ú ØÓÖ ÓÖ ÓØ Ð ØØ º µ Ò ØÖÙØÙÖ Ó Ö Ô Ò ÐÙÐ Ø Û Ø Ì Ò Ìº ¾ Ì Ø¹ Ò Ò ÑÓ Ð ÓÖ Ô Ò¹ Ô Ò ÒØ Ø Ì Ö ÓÒ ØÓÑ Ò Ö Ô Ò Ö ÖÖ Ò Ò ÓÒ ÝÓÑ Ð ØØ ÓÛ Ò º ½ º Ì ØÓÑ Ö sp 2 ¹ Ý Ö Þ Û Ñ Ò Ø Ø Ø Ö Ó Ø ÓÙÖ Ú Ð Ò Ð ØÖÓÒ Ó ØÓÑ Ö Ù ØÓ ÓÖÑ σ¹ ÓÒ ØÛ Ò Ò ÓÙÖ Ò Ø ÓÙÖØ ÓÒ Ð Ø ØÓ ÓÖÑ p z ¹ØÝÔ ÓÖ Ø Ðº Ù Ø σ¹ ÓÒ Ö ØÖÓÒ Ò Ú ÐÓÛ Ò Ö Ý ÐÐ Ó Ø Ø Ò Ö Ø ÖÑ Ð Ú Ð Ö Ù Ý Ø p z ¹ Ð ØÖÓÒ º Ì Ù Ø Ø Ù Ó Ø Ø Ø¹ Ò Ò ÑÓ Ð ÓÖ Û Ø ÙÒØ ÓÒ Ö ÐÓ Ð Þ Ø ØÓÑ Ø º Ì ÓÔÔ Ò t ij = ψ i Ĥ ψ j ØÛ Ò Ø ÙÒØ ÓÒ Ø ÖÑ Ò Ø ÓÙÔÐ Ò ØÛ Ò Ô Ö Ó ØÓÑ º ÁØ Ù Ù ÐÐÝ Ù ÒØ ØÓ ÓÒ Ö ÓÒÐÝ Û Ó Ø Ò Ö Ø Ø ÓÖ ØÓÑ Ù Ø ÓÔÔ Ò ØÓ ÙÖØ Ö ØÓÑ Ó ØÓ Þ ÖÓ Ö Ð Ø Ú ÐÝ Øº ÁÒ Ö Ô Ò Ø ÓÔÔ Ò Ö Ù Ù ÐÐÝ Ø Ò ÙÔ ØÓ Ø Ö Ø ÓÖ Ø Ø Ö Ò Ö Ø Ò ÓÙÖ º Ì Ö Ø Ò ÓÙÖ Ö ÔØ ÓÒ Ú Ð Ò Ö Ø ÖÑ Ð Ú Ð ÙØ Ø ÓÑ Ð ÙÖ Ø ÙÖØ Ö Ò Ò Ö Ý ½ º Ì Ò ØÖÙØÙÖ Ú Ò Ý Ø ½ Ø Ò ÓÙÖ Ö ÔØ ÓÒ Óѹ ÔÐ Ø ÐÝ ÝÑÑ ØÖ Ò Ò Ö Ý Ø Ø Ø ÒÓØ ÙÔÔÓÖØ Ý Ø Ò Ø Ó ÐÙÐ Ø ÓÒ ÓÛÒ Ý º ½º Ì Ö Ò ÓÙÖ ÓÛ Ú Ö Ò Ö ÓÚ Ö Ø Ú ÓÙÖ Ò Ú ÑÙ ÑÓÖ ÙÖ Ø Ö ÔØ ÓÒ Ó Ø Ò ¾ º Ì Ö Û Ø Ø Ø ÑÓÖ ÓÑÔÐ Ø ØÓ ÑÔÐ Ñ ÒØ Ò Ø ÐÙÐ Ø ÓÒ Ø ÐÓØ ÐÓÒ Öº ÁÒ ÓÙÖ Û Ö ÑÓÖ ÒØ Ö Ø Ò Ø Ú ÓÙÖ Ó Ø Ø Ò Ø ½ Ø Ò ÓÙÖ Ö ÔØ ÓÒ ÒÓÙ ÓÖ ÓÙÖ Ò º ÓÖ ÔÖ Ø Ò Ö Ô Ò Ø ½ Ø Ò ÓÙÖ Ø Ø Ò Ò À Ñ ÐØÓÒ Ò Ö Ĥ = t i j, i,j Û Ö Ø ÙÑ Ó ÓÚ Ö Ô Ö Ó Ò ÓÙÖ i,j º Ì ÔÖ Ø Ò À Ñ ÐØÓÒ Ò Ò Ù Ø ÖØ Ò ÔÓ ÒØ Û Ò Û Ø ØÓ Ø Ý Ø Ñ Ý ÛÖ Ø Ò Ø ØÓØ Ð À Ñ ÐØÓÒ Ò ÙÑ Ó Ĥ Ò Ø Ø À Ñ ÐØÓÒ Ò Ĥd Ĥ = Ĥ +Ĥd. ½µ ¾µ
Ì Ø À Ñ ÐØÓÒ Ò Ò Ø Ö ÑÓ Ý Ø ÓÔÔ Ò ÓÖ ÐÓ Ð ÔÓØ ÒØ Ðº ÁÒ Ø Ö Û Ò ØÓ ÓÒ Ö Ø Ð ÒÑ ÒØ Ó Ø Ø ³ Ô Ò Ü º Ì Ü Ð ÓÑ Û Ö ÓÒ Ø ÐÓ Ô Ö Ò Ò Ò Ö Ð Ò Ö ÒØ ÓÖ Ö ÒØ Ø Ø º Ô Ò Ò ÓÒ Ø ØÝÔ Ó Ø Ø Ø Ö ÓÙÐ ÓÑ ÓÖÖ Ð Ø ÓÒ ØÛ Ò Ø Ø Ü ÙØ Ø Ð Ø Ò Ø ÐÙØ Ð Ñ Ø Ò Ø Ò Ó Ñ Ò Ø Ð Ø Ö ÓÙÐ ÒÓØ Ñ Ò Ø ÓÖ Ö Ò ØÛ Ò Ø Ø º Ì Ø À Ñ ÐØÓÒ Ò ÓÖ Ò Ð Ø Û Ø Ô Ò Ô Ò ÒØ ÔÓØ ÒØ Ð Ò ÛÖ ØØ Ò Ĥ d = i i (U +U ), µ Û Ö i Ø Ò Ü Ó Ø Ø Ò U, Ö Ø ÔÓØ ÒØ Ð ÓÖ Ô Ò ½ º Ï ÓÓ Ø ÑÔÐ Þ¹ Ü ØÓ Ø Ö Ö Ò Ö Ø ÓÒ Ò ÖÓØ Ø Ø Ô Ò Ú ØÓÖ ØÓ Ø º ÌÓ Ó Ø Ø Ø À Ñ ÐØÓÒ Ò ÛÖ ØØ Ò Ò Ø ÖÑ Ó Ø Ú Ö Ò Ö Ò Ó Ø ÔÓØ ÒØ Ð ( U +U Ĥ d = i i I + U ) U σz d, 2 2 Û Ö σz d Ø È ÙÐ Þ¹Ñ ØÖ Ü Ò Ø Ø º ÊÓØ Ø ÓÒ ÓÒÐÝ ÔÔÐ ØÓ σz d Û ØÖ Ò ÓÖÑ ÒØÓ [ ] σz d = cos(θ) e iφ sin(θ) e iφ sin(θ) cos(θ) Û Ö Ò Ð θ Ò φ Ö Ö ØÓ ÐÓ Ø ÓÒ Ó Ø Ø ÓÒ Ø ÐÓ Ô Ö º ÁÒ Ó ÑÙÐØ ÔÐ Ø Ø À Ñ ÐØÓÒ Ò ÕÙ Ö Ý ÙÑÑ Ò ÓÚ Ö ÐÐ Ó Ø Ø Ø º Ø Û Ø Ô Ò Ô Ò ÒØ ÓÔÔ Ò Ò ÑÓ ÐÐ ÐÑÓ Ø ÒØ ÐÐÝ ØÓ Ø ÔÓØ ÒØ Ð Ø º Ë Ñ Ð Ö ØÓ ÔÓØ ÒØ Ð Ø Û ÙÑ Ø Ø Ô Ò Ø ÓÛÒ ÓÔÔ Ò ØÖ Ò Ø ØÓ Ø Ø ØÓÑ ÒÓØ Ý t Ò t º Ì ÓÒÐÝ Ö Ò ØÓ Õº ÓÑ ÖÓÑ Ø Ø Ø Ø Ò Ð Ø Ø ÑÙÐØ ÔÐ ÓÔÔ Ò º ÌÓ Ø Ø ÓÑÔÐ Ø Ø À Ñ ÐØÓÒ Ò ÓÖ Ò Ð Ø Û Ò ØÓ ÙÑ ÓÚ Ö ÐÐ Ó Ø ÓÔÔ Ò ØÓ Ò ÖÓÑ Ø Ø Ø Ĥ d = i j (t +t ). i,j d ÁÒ Ø Ó Ö Ô Ò ÓÒ Ö Ò ÓÒÐÝ Ø Ò Ö Ø Ò ÓÙÖ Ø Ö Ö Ø ÖÑ Ò Ø ÙѺ Ì Ñ Ò Ò Ð Ó Ñ ØÓ Õº ØÓ ÔÔÐÝ Ø Ô Ò ÖÓØ Ø ÓÒ ØÓ Ø Øº Ù ÔÓØ ÒØ Ð Ò ÓÔÔ Ò Ö Ø ÓÒÐÝ Ô Ö Ñ Ø Ö Ò Ø Ø Ø¹ Ò Ò ÑÓ Ð Ø ØÛÓ Ø ØÝÔ Ò ÓÑ Ò ØÓ ÑÓ Ð ÒÝ Ø Ö Ð Ý Ø Ø¹ Ò Ò º Ø Ø Ø Ö ÒÓØ ÐÓ Ð Þ ÓÒ ØÓÑ Ø Ñ Ý Ò Ö ÒØ ÙÑÑ Ø ÓÒ Ø Ò ÕÙ Ø ÓÒ Ò ÙØ Ø Ñ Ò Ö Ñ Ò Ø Ñ º Ì Ø ÑÓ ÐÐ Ð Ý Ø Ñ Ø Ó Ö Ò ÖÓÑ ÑÔÐ Ñ Ø Ñ Ø Ð Ø Û Ö ÔÓØ ÒØ Ð ÓÖ ÓÔÔ Ò Ö Ò ÓÖ Ó Ò ÒÙÑ Ö Ó Ø ØÓ ÓÑÔÐ Ü ÑÙÐØ ¹ Ø Ø ÓÖ Ò Ø Ò ÖÓÑ Ô Ý Ð Ó ÖÚ Ø ÓÒ º
Å Ø Ó º½ Ä Ò Ù Ö¹ ØØ Ö ÓÖÑ Ð Ñ Ì ØØ Ò Ò Ø Ä Ò Ù Ö Ø ÓÖÝ ØÓ ÓÒ Ö ÑÔÐ ÓÖ Ú ÓÒÒ Ø ØÓ Ö ÖÚÓ Ö Ø ÖÓÙ Ð º ÓÒ ÙØ Ò Ò ØØ Ö Ò ÔÖÓ Ò Û Ð ØÖÓÒ Ö Ò Ø Ø ÖÓÙ ÓÒ Ð ØÓ Ø Ú ÖÓÑ Û Ø Ý Ö ØØ Ö ØÓ Ø Ö ÖÚÓ Ö º Ì Ñ Ø Ó Û Ò Ö Ð Þ ØÓ ÑÙÐØ ÔÐ Ð Ý ØØ Ö Ò Ø ÙÖÖ ÒØ ØÛ Ò Ð i Ò j Ò ÛÖ ØØ Ò I i,j = 2e T j,i f i (ǫ) T i,j f j (ǫ)dǫ, h Û Ö T i,j Ø ØÖ Ò Ñ ÓÒ ÙÒØ ÓÒ ÓÖ ØÖ Ò Ñ ØØ Ò ØÛ Ò Ø Ð Ò f i (ǫ) Ø ÖÑ ÙÒØ ÓÒ ÓÖ Ø ÓÖÖ ÔÓÒ Ò Ö ÖÚÓ Ö º Ì ÖÑ ÙÒØ ÓÒ Ò Ø ÕÙ Ø ÓÒ ÑÔÐ ØÐÝ ÒÐÙ Ø Ø Ó Ø Ñ Ð ÔÓØ ÒØ Ð Ò Ó Ø Ð Û ÓÑÔÐ Ø Ø ÐÙÐ Ø ÓÒº ÀÓÛ Ú Ö ÑÓ Ø Ó Ø Ø Ñ Ø ÒÓÙ ØÓ ÓÙ ÒØ Ö ÐÝ ÓÒ Ø ØÖ Ò Ñ ÓÒ ÙÒØ ÓÒ Ó Ø Ú Ò Ø Ý ÓÒ³Ø Ô Ò ÓÒ Ø Ñ Ð ÔÓØ ÒØ Ðº Ø ÓÒ ÐÐÝ Ø Ý Ú Ò ØÓ Ø ØÖ Ò ÔÓÖØ ÔÖÓÔ ÖØ Ó Ø Ú Ò ÓÒ ÙØ Ú ØÝ Ö ØÐÝ ÔÖÓÔÓÖØ ÓÒ Ð ØÓ Øº ÓÖ ÔÖ Ø Ò Ö Ô Ò Ø ÐÙÐ Ø ÓÒ Ó Ø ØÖ Ò Ñ ÓÒ ÙÒØ ÓÒ Ý Ò Ø Ö ÒÓ ØØ Ö Ò ÓÙÖÖ Ò Ò Ø ØÖ Ò Ñ ØØ Ò ÓÒÐÝ Ô Ò ÓÒ Ø ÒÙÑ Ö Ó ØÖ Ò ÔÓÖØ ÑÓ º Ì ÒÙÑ Ö Ó ÑÓ Ø ÖÑ Ò Ý Ø Ò ØÖÙØÙÖ Ò ØÖ Ò Ñ ØØ Ò ØÖ Ú Ð ØÓ ÐÙÐ Ø ÓÒ Ø Ò ØÖÙØÙÖ ÒÓÛÒº ÀÓÛ Ú Ö Ò Ø ÔÖ Ò Ó Ø Ø ÐÙÐ Ø ÓÒ ÒÓØ Ý ÒÝ ÑÓÖ ØØ Ö Ò ÓÙÖ Ò Ø Ú Ö º Ò ÒØ Û Ý Ó Ò Ø ØÖ Ò Ñ ØØ Ò Ø ÖÓÙ Ø Ö Ò³ ÙÒØ ÓÒ Ò G(EI H) = I. Ì Ù Ó Ø Ø Ø¹ Ò Ò Ñ Ø Ö Ò³ ÙÒØ ÓÒ Ö Ø Ñ Ò Ø Ö Ø Ö Ý ØÓ ÐÙÐ Ø º Ì Ö Ð Ø ÔÖÓ Ð Ñ Û Ø Ø ÔÖÓ Ð Ñ Ñ Ò ÓÒ Ò Ø Ð Ò ØÓ ÓÒ Ö Ñ ¹ Ò Ò Ø Ñ Ò Ø Ñ ØÖ Ü Ñ Ò ÓÒ Ò Õº 8 Ò Ò Ø ÙØ Ö ÙÖ Ú ÐÙÐ Ø ÓÒ Ò Ù ØÓ ÙÑÑ Ö Þ Ø Ø Ó Ð ÒØÓ ÑÔÐ Ò Ø ¹ Þ Ñ ØÖ Σ ÐÐ Ð ¹ Ò Ö Ó Ø Ð º Ø Ö ÛÖ Ø Ò Ø Õº Ò ÐÓ ÓÖÑ Ø ÔÓ Ð ØÓ ÓÐÚ ÓÖ Ø Ô ÖØ Ó Ø Ö Ò³ ÙÒØ ÓÒ G D Û ÓÖÖ ÔÓÒ ØÓ Ø Ú Ö G D = (EI H D Σ L Σ R ) 1, Û Ø H D Ò Ø À Ñ ÐØÓÒ Ò Ó Ø Ú Ö º ÇÒ Ø Ö Ò³ ÙÒØ ÓÒ Ò Ð Ò Ö Ú Ò ÐÙÐ Ø Ø³ ÔÓ Ð ØÓ ÔÖÓ ØÓ ÐÙÐ Ø Ò Ø ØÖ Ò Ñ ØØ Ò º Ý ÓÒ Ö Ò Ø ØØ Ö Ò Ò Ø Ú Ø³ ÔÓ Ð ØÓ ÓÛ Ø Ø ØÖ Ò Ñ ØØ Ò ÖÓÑ ÓÒ Ð ØÓ ÒÓØ Ö Ò ÛÖ ØØ Ò ½ [ ] T i,j = ÌÖ Γ i G D Γ j G D, ½¼µ
Û Ö Γ i ÙÒØ ÓÒ Ö Ò Ø ÓÙÔÐ Ò Ó Ð j ØÓ Ø Ú Ò Ò [ ] Γ j = i Σ j Σ j. ½½µ Ì Ô Ò¹ Ô Ò ÒØ ÔÖÓÔ ÖØ Ö Ý ØÓ ÐÙÐ Ø ÖÓÑ Õº ½¼º ÁÒ Ø Ó ÓÒ Ö Ò Ö ÙÐ Ö ØÛÓ¹Ø ÖÑ Ò Ð ØÙÔ Û Ö Û Ò Ø ÙÖÖ ÒØ ÖÓÑ ÓÒ Ó Ø Ú Ò Ñ ÙÖ ÖÓÑ Ø ÓØ Ö Ø ÔÓ Ð ØÓ Ù ÓÙÖ¹Ø ÖÑ Ò Ð ØÙÔ Ò Û Ó Ø ØÛÓ Ð Ö Ö ÔÐ Ý ØÛÓ Ô Ò¹ÔÓÐ Ö Þ Ð º ÁÒ Ø ÓÒ Ó Ô Ò¹ÔÓÐ Ö Þ ÙÖÖ ÒØ Ò Ø Ò Ø ÓÙ Ø ÙÖÖ ÒØ ÖÓÑ ÓÒ Ð ØÓ Ø ÓØ Ö Ø Ö ÐÐÓÛ Ò Ø ÐÙÐ Ø ÓÒ Ó Ô Ò¹ÓÒ ÖÚ Ò Ò Ô Ò¹ ÔÔ Ò ØÖ Ò Ñ ØØ Ò º º¾ ËÔ Ò¹ Ô Ò ÒØ ÓÒ ÙØ Ú ØÝ Ì ÃÙ Ó ÓÒ ÙØ Ú ØÝ ÓÖ Ý Ø Ñ Û Ø Ò Ø Ø n Ò ÛÖ ØØ Ò σ(ω) = π e2 Ω m,n m ˆV x n 2 δ(e m E n ω) f(e n) f(e m ), ½¾µ ω Û Ö E n Ø Òµ Ò Ö Ý Ó Ø Ø n ˆV x Ø Ú ÐÓ ØÝ ÓÔ Ö ØÓÖ Ò f(e) Ø ÖÑ ÙÒØ ÓÒ º ËØ Ø m Ò n ÓÖÖ ÔÓÒ ØÓ Ò Ø Ð Ò Ò Ð Ø Ø Ó Ø Ý Ø Ñº Ï Ò ØÙ Ý Ø ÙÖÖ ÒØ ÖÓÑ ÓÒ Ô Ò ÒÒ Ð ØÓ ÒÓØ Ö Ý ÔÖÓ Ø Ò Ø Ø Ø ØÓ Ø Ò Ø Ð Ò Ò Ð Ô Ò ÒÒ Ð º Ì Ò ÓÒ Û Ø Ô Ò ÐØ Ö ÓÔ Ö ØÓÖ ˆσ Ò ˆσ Û Ú ÒØ ØÝ ÓÖ ÓÒ Ô Ò Ò Þ ÖÓ ÓÖ Ø ÓØ Öº ÒÓØ Ò Ø Ò Ø Ð Ô Ò Ý σ 1 Ò Ø Ò Ð Ô Ò Ý σ 2 Ø ÓÒ ÙØ Ò ØÛ Ò Ø ØÛÓ Ò ÛÖ ØØ Ò σ(ω) σ 1 σ 2 = π e2 Ω m ˆσ 1ˆV xˆσ 2 n n ˆσ 2ˆVxˆσ 1 m δ(e m E n ω) f(e n) f(e m ). ½ µ ω m,n ÁÒ Ø Ó ÔÔÐÝ Ò Ø ÓÔ Ö ØÓÖ ˆσ ØÓ Ø Ø Ø Ú ØÓÖ Û Ò ÔÔÐÝ Ø Ñ ØÓ ˆV x Ò Ò Ù Ò Û ÓÔ Ö ØÓÖ ˆVˆσ = ˆσ 2ˆVxˆσ 1 º Ð Ó Ø ÙÒØ ÓÒ ÓÙØ Ó Ø ÒÒ Ö ÔÖÓ ÙØ ÓÒ³Ø Ú ÓÔ Ö ØÓÖ Ò Ø Ñ ÐÐÓÛ Ò Ù ØÓ ÑÓÚ Ø Ñ Ò σ(ω) σ 1 σ 2 = π e2 Ω m,n m ˆV ˆσ n n ˆVˆσ f(e n ) f(e m ) ω δ(e m E n ω) m. Ì Ò Ö Ý Ö Ò ØÛ Ò m Ò n ÕÙ Ð ØÓ ω Û Ñ Ò Û Ò Ö ÔÐ E m Ò Ø ÖÑ ÙÒØ ÓÒ Û Ø E n + ωº ÇÒ Ø ÓØ Ö Ò E m Ø Ò Ò Ö Ý Ó m Ò Ø Ö Ð Ø ÓÒ Ĥ m = E m m Ò Ù ØÓ Ö ÔÐ E m Ò Ø ÐØ ÙÒØ ÓÒ Û Ø Ĥº Ð Ó δ(x) = δ( x) Ú Ò Ù σ(ω) σ 1 σ 2 = π e2 Ω m ˆV ˆσ n n ˆVˆσ F(E n )δ(e n + ω Ĥ) m, m,n ½ µ ½ µ
Û Ö f(en) f(en+ ω) ω Ò Ö ÔÐ Û Ø F(E n ) ØÓ ÓÖØ Ò Ø ÒÓØ Ø ÓÒº ÌÓ Ø Ö Ó E n ÒÓØ Ö ÐØ ÙÒØ ÓÒ Ò ÖÓÙ Ø Ò Ø ÙÑÑ Ø ÓÒ Ù Ò Ø ÔÖÓÔ ÖØÝ δ(x a)f(x)dx = f(a) σ(ω) σ 1 σ 2 = π e2 Ω m,n deδ(e E n ) m ˆV ˆσ n n ˆVˆσ F(E)δ(E + ω Ĥ) m. Ë Ñ Ð Ö ØÓ Û Ø Û ÓÒ ÖÐ Ö Ø ÐØ ÙÒØ ÓÒ Ò Ø Ò Ò Ø ÒÒ Ö ÔÖÓ ÙØ Ò E n Ò Ö ÔÐ Û Ø Ø À Ñ ÐØÓÒ Òº Ì Û Ý Ø ÓÒÐÝ Ö Ö Ò ØÓ m Ò n Ò Ø ÙÑÑ Ø ÓÒ Ö Ò Ø Ø Ø ÐÐÓÛ Ò Ù ØÓ Ö ¹ÓÖ Ö ÓÙÖ ÜÔÖ ÓÒ σ(ω) σ 1 σ 2 = π e2 Ω ½ µ def(e) m,n m ˆV ˆσ δ(e Ĥ)( n n ) ˆVˆσ δ(e + ω Ĥ) m. ½ µ Ù Ø Ú ØÓÖ n ÓÖÑ ÓÑÔÐ Ø ÓÖØ ÓÒÓÖÑ Ð n n n = Iº Ä Û Û Ò ÒØ Ý m m  m ØÓ ÕÙ Ð ØÓ ÌÖÂ Ú Ò Ù } σ(ω) σ 1 σ 2 = π e2 def(e)ìö {ˆV ˆσ Ω δ(e Ĥ)ˆVˆσ δ(e + ω Ĥ). ½ µ ÓÖ ÙÖÖ ÒØ Ø Þ ÖÓ Ø ÑÔ Ö ØÙÖ Ø ÕÙ Ø ÓÒ ÑÔÐ ØÓ σ(e) σ 1 σ 2 = π e2 Ω ÌÖ {ˆV ˆσ δ(e Ĥ)ˆVˆσ δ(e Ĥ) }. ½ µ ÇÒ Ó Ø ÐØ ÙÒØ ÓÒ Ò ÛÖ ØØ Ò ÓÙÖ Ö ØÖ Ò ÓÖÑ δ(e Ĥ) = 1 2π Øe i(e Ĥ)t/. Ù e iet/ Ù Ø ÒÙÑ Ö Û Ò ÑÓÚ Ø Ö Ðݺ ÀÓÛ Ú Ö Ø ÓÒ ÐØ ÙÒØ ÓÒ ÐÐÓÛ Ù ØÓ Ö ÔÐ E Û Ø Ĥ Ú Ò Ù { σ(e) σ 1 σ 2 = e2 ØÌÖ U ˆV } ˆσ 2Ω U ˆVˆσ δ(e Ĥ), ¾½µ Û Ö Û Ú ÒØÖÓ Ù Ø Ø Ñ ÚÓÐÙØ ÓÒ ÓÔ Ö ØÓÖ U = e iĥt/ º ËÔÐ ØØ Ò Ø ÒØ Ö Ð ÒØÓ ØÛÓ Ô ÖØ Ò Ò Ò Ú Ö Ð t t ÓÖ ÓÒ Ó Ø Ñ ÐÐÓÛ Ù ØÓ ÛÖ Ø Ø σ(e) σ 1 σ 2 = e2 {ˆV ˆσ ØÌÖ (t)ˆvˆσ + ˆV } ˆσ ˆVˆσ (t) δ(e Ω 2 Ĥ). ¾¾µ Ì ÙÒØ ÓÒ Û Ö Ø Ò Ø ÒØ Ö Ð ÓÚ Ö Ò Ö Ó Ò Þ Ø Ö Ð Ô ÖØ Ó Ø ÙØÓÓÖÖ Ð Ø ÓÒ ÙÒØ ÓÒ Ó ÓÙÖ Ô Ò Ú ÐÓ ØÝ ÓÔ Ö ØÓÖ Ò { 1 ÌÖ ˆV } Ω ˆσ (t)ˆvˆσ δ(e Ĥ) C vv (E,t) = { }, ¾ µ 1 ÌÖ δ(e Ĥ) Ω ¾¼µ
ÑÙÐØ ÔÐ Ý Ø Ò ØÝ Ó Ø Ø ρ(e) = ÌÖ { } 1 δ(e Ĥ). ¾ µ Ω º ÓÑÔ Ö ÓÒ ØÛ Ò Ô Ò ÙÐ Ò Ô ÒÐ ÓÖ Ø Ô ÒÐ Û Û ÐÐ Ø Ò ÐÑÓ Ø ÒØ Ð ÓÖÑÙÐ ÓÖ ÓÒ ÙØ Ú Øݺ Ì ÓÒÐÝ Ö Ò Ö Ø Ø Û Ó ÒÓØ ÒÐÙ Ø Ô Ò¹ ÐØ Ö Ò ÓÔ Ö ØÓÖ Ò Ø ÒÒ Ò Ò Ô Ò¹ Ò Ö Ý Ú ØÓÖ Ó ¾ Ò ÖÓÒØ Ó Ø ÕÙ Ø ÓÒº Ï Ø ÓÙØ Ø ÐØ Ö Û Ö Ð Ø Û Ø Ö ÙÐ Ö Ú ÐÓ ØÝ ÓÔ Ö ØÓÖ º Ð Ó ÖÓÑ ÔÖ Ø Ð ÔÓ ÒØ Ó Ú Û Ø ØØ Ö ØÓ ÐÙÐ Ø Ø ÖÙÒÒ Ò Ð ØÖ Ð ÓÒ ÙØ Ú ØÝ Ê µ Ò Ø Ó Ø Ò Ø Ð Ñ Ø Ó Ø Ñ Ó Ò ØÓ Ò Ò ØÝ } t {ˆV σ(e,t) GK = 2e2 (t)ˆv + ˆV ˆV(t) Ø ÌÖ δ(e Ω 2 Ĥ). ¾ µ Ì ÕÙ Ø ÓÒ ÓÚ ÐÐ Ö Ò¹ÃÙ Ó ÓÖÑÙÐ Ù Ø Ú Ø ÓÒ ÙØ Ú ØÝ Ò ÒØ Ö Ð Ó Ú ÐÓ ØÝ ÙØÓÓÖÖ Ð Ø ÓÒ ÙÒØ ÓÒ º Û Ø ÓØ Ö Ö Ò¹ÃÙ Ó ÓÖÑÙÐ ÓÖÖ ÔÓÒ Ò Ò Ø Ò ÓÖÑÙÐ Ò ÓÙÒ Ý ÔÔÐÝ Ò Ò ÒØ Ö Ðº ÁÒ Ø Ø Ö Ú Ø Ú Ó Ñ Ò ÕÙ Ö ÔÐ Ñ ÒØ ÅË µ Ò [ 2 ÌÖ δ(e Ĥ)( ˆX(t) ˆX) ] 2 X 2 Ω (E,t) = [ ], ¾ µ 2 ÌÖ δ(e Ĥ) Ω ÓÙÒ ØÓ Ú Ø ÓÒ ÙØ Ú ØÝ σ(e,t) E = e 2 ρ(e) 2 Ø X2 (E,t). ÐÙÐ Ø Ò Ø ÓÒ ÙØ Ú ØÝ ÖÓÑ Ø Ò Ø Ò Ö Ð Ø ÓÒ ÑÓÖ ÙÖ Ø Ù Ö Ò¹ Ø Ø ÓÒ Ó ÒÓØ ÙÑÙÐ Ø ÖÖÓÖ Ò Ø Ñ Û Ý ÒØ Ö Ø ÓÒ Ó º Ì Ö ÓÖ ÐÓÒ Ö Ø Ñ Ø Ô Ò Ù Ø Ð Ò Ø ÒÓÛ ÓÒÐÝ Ø Ø ÙÖ Ý Ó Ø Ñ ÚÓÐÙØ ÓÒº ÀÓÛ Ú Ö Ò Ø ÑÓÖ ÒØ Ö Ø Ò Ô Ò ÙÐ Ñ Ð Ö Ö Ð Ø ÓÒ Ò ÓÒÐÝ ÓÙÒ Û Ò Ø Ö ÒÓ ÓÙÔÐ Ò ØÛ Ò Ø Ô Ò º Ì Û Ø ÒÓ ÓÙÔÐ Ò ØÛ Ò Ø Ô Ò Ò Ö Ù ØÓ ØÛÓ Ô ÒÐ ÐÙÐ Ø ÓÒ Ó Û ÙÑ ÓÖ ÒÓÛ Ø Ø Ø Ö ÓÙÔÐ Ò ØÛ Ò Ø Ô Ò Ø Ø Ĥ Ò Ĥ Ö ÒÓÒ¹ Þ ÖÓº Á Ø ÓÒ ÙØ Ú ØÝ ÓÙÐ Ö Ú Ø Ú Ó ÓÑ ÓÔ Ö ØÓÖ X ÕÙ Ö Ø Ø ÓÔ Ö ØÓÖ ÛÓÙÐ Ú ØÓ Ò X(t) = t ˆV σ (t ) Ø + X() ØÓ Ú ÓÒ ÙØ Ú ØÝ ÓÒ Ø ÒØ Û Ø Õº ¾¾º Á Ø ÕÙ Ø ÓÒ Ò Ö ÒØ Ø Û Û ÐÐ Ú Ü X(t) = ˆV σ (t). ¾ µ ¾ µ ¾ µ
Ì Ö Ø Ò Ó Ø ÕÙ Ø ÓÒ ÒÓÛÒ ˆV σ (t) = Û σ 2ˆVx σ 1 Û = Û σ 2 [H,X]σ 1 Û. ¼µ ÇÒ Ø ÓØ Ö Û Ò ÛÖ Ø Ø Ö Ú Ø Ú Ó X ÓÑÑÙØ ØÓÖ Ü X(t) = Û [H, X]Û. ½µ ÓÑÔ Ö Ò Ø ØÛÓ ÕÙ Ø ÓÒ Û Ö ÕÙ Ö X ØÓ ÙÐ Ð Ø Ö Ð Ø ÓÒ [H, X] = ˆσ 2 [H,X]ˆσ 1. ¾µ Ä Ø Ù ÓÒ Ö Ø ÓÑÑÙØ ØÓÖ [ Ó Ĥ Û Ø ] Ö ØÖ ÖÝ ÓÔ Ö ØÓÖ [ ] Ôº ÓØ Ó Ø ÓÔ Ö ØÓÖ Ò ÛÖ ØØ Ò Ò ÐÓ ÓÖÑ Ĥ = H H A B Ò H H Ô = º ÁÒ Ø ÖÑ Ó Ø ÐÓ Ø C D ÓÑÑÙØ ØÓÖ ÓÑ [ ] [Ĥ,Ô] = [H,A]+H C BH H B +H D AH BH. µ H A+H C CH DH [H,D]+H B CH Ì Ð Ø Ò Ó Õº ¾ Û ÐÐ Ú Ü ØÐÝ Ø Ñ ÓÖÑ Ø ÕÙ Ø ÓÒ Û Ð Ø Ö Ø Ò Û ÐÐ ÓÑ [ ] [H,X]+H ˆσ 2 [H,X]ˆσ 1 = X XH, µ ÙÑ Ò σ 1 = σ 2 = σ º Á Û Û ÒØ X ØÓ Ñ Ö Ö Ð Ó Ø Ý Ø Ñ Ø ÓÙÐ ÒÓØ Ô Ò ÓÒ Ø À Ñ ÐØÓÒ Òº Ð Ó Ø ÔÓ Ð ØÓ Ò ÓÒ Ð ÐÓ Ó Ø À Ñ ÐØÓÒ Ò Û Ø ÓÙØ ÐØ Ö Ò Ø Ó ¹ ÓÒ Ð Ô Öغ Ì ØÛÓ ÓÒ Ø ÓÒ ÐÐÓÛ Ù ØÓ Ô Ö Ø Ø Ø ÖÑ ÓÒØ Ò Ò ÓÒ Ð Ò Ó ¹ ÓÒ Ð Ô ÖØ Ó Ø À Ñ ÐØÓÒ Ò Ò Ð Ò Ø Ñ Ø Ö ÓÛÒ ÕÙ Ø ÓÒ º Á Û ÒÓÛ ÓÑÔ Ö Ø ÓÒ Ð ÐÓ Ó Õº ¾ Û Û ÐÐ Ú [H, X ]+H X X H = [H,X]+H X XH µ Ò [H, X ]+H X X H =. µ Ì ÓÒ Ð Ô ÖØ Ó Ø Ö Ø ÕÙ Ø ÓÒ Ú Ù [H, X ] = [H,X] Ò Ø ÓÒ ÕÙ Ø ÓÒ Ú Ù [H, X ] = º Á Ø ÓÒ Ø ÓÒ ÓÐ ÓÖ ÒÝ À Ñ ÐØÓÒ Ò Ø ÓÒÐÝ ÓÐÙØ ÓÒ X = X X = º ÅÓÖ ÓÒ Ø ÓÒ ÓÖ X Ò ÓÙÒ ÖÓÑ Ø Ó ¹ ÓÒ Ð ÐÓ Ó Õº ¾º Ì Ó ¹ ÓÒ Ð Ô ÖØ Ó Ø À Ñ ÐØÓÒ Ò Ú Ù ÕÙ Ø ÓÒ H X X H =. µ ½¼
ÀÓÛ Ú Ö Û ÓÒÐÙ Ø Ø X = Û Ñ Ò Ø Ø X ÓÙÐ Þ ÖÓ Ĥ º Ì Ú Ù ÓÒØÖ Ø ÓÒ Ò Û ÒÒÓØ Ò X Ø Ø ÛÓÙÐ ÙÒ Ú Ö Ð ÖÓ ÐÐ Ý Ø Ñ º ÓÖ Ú Ò Ĥ Ø Û ÐÐ ÔÓ Ð ØÓ Ò X ÖÓÑ Õº ¾ ÙØ Ø Ö ÙÐØ Û ÐÐ ÒÓØ Ø Ñ ÓÖ Ö ÒØ Ý Ø Ñ º ÒÓØ Ö ÔÔÖÓ ÛÓÙÐ ØÓ Ö ÓÖ Ø Ò Ø Ò Ö Ð Ø ÓÒ ÔÖÓ ÙØ Ó ØÛÓ ÓÖ ÑÓÖ Ö ÒØ ÓÔ Ö ØÓÖ º Ì ÔÔÖÓ ÓÛ Ú Ö Ð ØÓ ÓÑÔÐ Ø Ö Ú Ø Ú ÜÔÖ ÓÒ Ò Û ÒÓØ ÓÒ Ö Ò Ø ÛÓÖ º Ò ÓÒÐÝ Ð ØÓ Ù Ø Ö Ò¹ÃÙ Ó Ò Ø ÓÒ Ó ÓÒ ÙØ Ú ØÝ Ù ÓÑ Ð Ñ Ø Ø ÓÒ ÓÒ Ø Ý Ø Ñ Û Ò Ø٠ݺ ÇÒ ØÓÔ Ó Ø ÖÖÓÖ Ò Ø Ø Ñ ¹ ÚÓÐÙØ ÓÒ Ó Ø Ø Ø Ø Þ Ó Ø Ø Ñ Ø Ô Ð Ó Ø Ø ÙÖ Ý Ó Ø ÒØ Ö Ð Ú Ò Ù Ò Ø ÓÒ Ð ÓÙÖ Ó ÖÖÓÖº Ì Ð Ó Ò Ø Ò Ö Ð Ø ÓÒ Ð Ó Ñ Ò Ø Ø Ø Ñ Ò ÕÙ Ö ÔÐ Ñ ÒØ ¹ ØÛ Ò ØÛÓ ÒÒ Ð ØÓ ÐÙÐ Ø Ô Ö Ø ÐÝ Ù Ø Ö ÕÙ Ö Ò Ø ÐÙÐ Ø ÓÒ Ó ÓÒ ÙØ Ò Û Ö ÓÑ Ð Ò Ø Ð ØÓ Ò ØÓ Ø Ò Ø Ö ÙÐØ º Ì ÑÓ Ø ÓÒÚ Ò ÒØ Û Ý Ó ÐÙÐ Ø Ò Ø ÅË ØÓ ÒÙÑ Ö ÐÐÝ ÒØ Ö Ø Ø Ô Ò¹ ÒÒ Ð¹ Ô Î Ù Ø Ò ÐÙÐ Ø ØÓ Ø ÓÒ ÙØ Ú Øݺ Ç ÓÙÖ Ø Ò Ù¹ ÑÙÐ Ø ÖÖÓÖ Ø Ù Ø Ñ Ø Ô ØÓÓ Ð Ö Ò Ð Ñ Ø Ø Ø Ñ Ö Ò Ú Ð Ð Ò Ø ÐÙÐ Ø ÓÒº º ËÔ Ò ØÖ Ò ÔÓÖØ Ø ÓÒ ÁÒ Ø Ä Ò Ù Ö¹ ØØ Ö ÓÖÑ Ð Ñ Ø ÔÓ Ð ØÓ Ò ÓØ Ô Ò¹ÓÒ ÖÚ Ò Ò Ô Ò¹ ÔÔ Ò ÓÒ ÙØ Ò Ù Ø Ð Ò ØÓ ØÖ Ò Ñ ØØ Ò º ÓÑÔ Ö Ò Ø ØÛÓ Ô Ò¹ ØÖ Ò ÔÓÖØ ÐÙÐ Ø ÓÒ Ñ Ø Ó Ø ÛÓÙÐ Ñ Ó Ú ÓÙ Ø Ø ØØ Ò Ø ØÛÓ Ô Ò Ò Õº ¾ ØÓ ÙÔ Ò ÓÛÒ ÛÓÙÐ Ú Ù Ô Ò ÔÔ Ò ÓÒ ÙØ Ú Øݺ Ï Ð Ø Ó Ú ÓÑ Ö ÙÐØ Ø Ý ÒÒÓØ Ö ØÐÝ ÓÑÔ Ö ØÓ Ø ÓÒ Ú Ò Ý Ä Ò Ù Ö¹ ØØ Öº Ì ÑÓ Ø ÔÖÓ Ð Ñ Ø Ô ÖØ Ò Ò Ò Ø Ô Ò ÔÔ Ò ÓÒ ÙØ Ú ØÝ Ø Û Ý Ø Ø Ø Ð ØÓ ÔØÙÖ ÓÑ ÒÓØ ÑÓ Ø Ó Ø Ø Ù Ò Ô Ò ØÓ Ôº ÓÖ Ü ÑÔÐ Ô Ò ÔÔ Ò Ù Ý ÔÓØ ÒØ Ð Ø ÒÓØ ÓÛÒ Ø ÐÐ Ý Ø ÕÙ ÒØ Øݺ Ì Ù Ý Ø Ò Ø ÓÒ Ó Ø Ú ÐÓ ØÝ ÓÔ Ö ØÓÖ ˆV σ = ˆσ i 2[H,X]ˆσ 1 º Ì ÔÖÓ Ð Ñ ÓÑ ÔÔ Ö ÒØ Û Ò Û ÛÖ Ø ÓÙØ Ø ÓÑÑÙØ ØÓÖ [H,X] = (X n X m )H mn m n. µ m,n Á ˆσ 1 ˆσ 2 ÓÒÐÝ ÓÒ Ó Ø ØÛÓ Ó ¹ ÓÒ Ð ÐÓ Ò Ø ÓÔ Ö ØÓÖ ØÛ Ò Ø ÐØ Ö ÓÑ ÓÙØ ÒÓÒ¹Þ ÖÓº ÀÓÛ Ú Ö Ò Ø Ó ÔÓØ ÒØ Ð Ø X n = X m Ò Ø ÙÖÚ Ú Ò Ú ÐÙ Ö Þ ÖÓ Ú Ò ÓÖ Û ÔÔÐÝ Ø Ô Ò ÐØ Ö ÓÔ Ö ØÓÖ º Ð ÖÐÝ Ø ÔÓØ ÒØ Ð Ø Ù Ô Ò ØÓ Ô Ò Ø Ò Ø ÓÒ Ó Ô Ò ÔÔ Ò ÙÖÖ ÒØ ÒÒÓØ ÓÑÔÐ Ø º Ì Ð Ó Ô Ò ÔÔ Ò ÙÖÖ ÒØ Ò Ò Ö Û Ó Ø Ø Ø¹ Ò Ò ÑÓ Ð Ø ÙÔ Ò ÓÛÒ Ø Ö ÙÑ ØÓ Ö Ø Ø Ü Ø Ñ ÐÓ Ø ÓÒ Ò Û Ò ÔÔ Ò ÓÙÖ ØÛ Ò Ø Ñ Ø ÐÓ Ø ÓÒ Ó Ø Ð ØÖÓÒ Ø Ý Ø Ñ º Ï Ò Ø ÐÓ Ø ÓÒ Ó ÒÓØ Ò Ø Ö Ò Ò Ø Ö Ú ÐÓ ØÝ ÒÓÖ ÓÒ ÙØ Ú Øݺ ÀÓÛ Ú Ö Ø Ö Ö Ð Ó Ö Ò ØÛ Ò Ø ØÛÓ ÓÖÑ Ð Ø Ò Ø Ö Ô Ö Ô Ø Ú ØÓ Ø ØØ Ö Ò Ú ÒØ º Ì ½½
ÃÙ Ó¹ Ö ÒÛÓÓ Ñ Ø Ó ÓÙ ÓÒ Ø Ø Ñ ÚÓÐÙØ ÓÒ Ó Û Ú Ô Ø Ò Ö ÑÓÖ Û Ø ÔÔ Ò Ø Ø Ñ Ø Ôº Ä Ò Ù Ö¹ ØØ Ö ÓÒ Ø ÓØ Ö Ò Ö Ø Ò Ö ÙÐØ Ó Ø ØØ Ö Ò Ú ÒØ Ö Ò Ø Ø Ð ÓÒ ÓÛ Ø ÔÔ Ò ÓÙÖ º º ËÔ Ò ÔÓÐ Ö Þ Ø ÓÒ Ï Ò ØØ Ö Ò ØÙ Ò Ô ÒÐ ÐÙÐ Ø Ò Ø ÓÒ ÙØ Ú ØÝ Ó Ø Ò Ú Ù ¹ ÒØ Ò ÓÖÑ Ø ÓÒº Ì Ù ÓÒ ÙØ Ú ØÝ ÓÙÔÐ ØÓ Ø ÑÓ Ð ØÝ Ó Ø Ð ØÖÓÒ Ò Ø Ö Ö ÒÓ Ø ÓÒ Ð Ö Ó Ö ÓѺ Ì ÒÓØ Ò Ö ÐÝ Ø Û Ò Ô Ò ÓÒ Ö º Ô Ò Ò ÓÒ Ø Ý Ø Ñ Ò ØÙ Ø ÔÓ Ð ØÓ Ú Ô Ò Ò Ö ÓÙÔÐ ¼ Ò ÓØ Ó Ø Ñ Ú ØÓ ØÓ ÓÛ Ø Ø Ú º й ÙÐ Ø Ò Ø Ô Ò¹ÔÓÐ Ö Þ ÓÒ ÙØ Ú ØÝ ÓÒ Û Ý Ó Ó Ò Ø ÙØ Ø Ø ÒØÓ ÓÙÒØ ÓØ Ô Ò ÔÓÐ Ö Þ Ø ÓÒ Ò Ð ØÖÓÒ ÑÓ Ð Øݺ ÁØ Ò Ö ØÓ Ø Ò Ù ØÛ Ò Ø ØÛÓ Ù Ø ÖÓÑ Ø ÓÒ ÙØ Ú ØÝ Ò Û Ý ØÓ ØÙ Ý Ø ÑÓÙÒØ Ó Ô Ò Ö ÕÙ Ö º Ì ÑÔÐ Ø Û Ý Ó ØÙ Ý Ò Ø Ú ÓÙÖ Ó Ô Ò Ò Ø Ý Ø Ñ ØÓ ÐÓÓ Ø Ø ÜÔ ¹ Ø Ø ÓÒ Ú ÐÙ Ó Ô Ò ÐØ Ö ÓÔ Ö ØÓÖ ˆσ Ú Ò Ý ØÖ ÓÚ Ö Ø Ø Ø Ú ØÓÖ Ø Ö ÒØ Ø Ñ º Ì ÕÙ ÒØ ØÝ Ú Ù Ø ØÓØ Ð ÑÓÙÒØ Ó Ô Ô Ò Ø Ø Ñ Ø Ôº ÒÓØ Ö ÔÓ Ð ØÝ ÛÓÙÐ ØÓ ÐÓÓ Ø Ø ÔÓÐ Ö Þ Ø ÓÒ Ú Ò Ý Ø ÜÔ Ø Ø ÓÒ Ú ÐÙ Ó È ÙÐ Þ¹Ñ ØÖ Ü s z = ˆσ ˆσ º Ï Ð ÓØ Ó Ø ÔÔÖÓ Ö Ø ØÓØ Ð Ô Ò Ú ÓÙÖ ÕÙ Ø Û ÐÐ Ø Ý ÓÒ³Ø ÔÖÓÚ ÒÝ Ò ÓÖÑ Ø ÓÒ ÓÙØ Û Ø ÔÔ Ò Ø Ö ÒØ Ò Ö º ÌÓ Ò Ò ÓÖÑ Ø ÓÒ ÓÙØ Ø Ò Ö Ý Ø ØÖ ØÓ Ð Ñ Ø ØÓ Ø Ø Û Ø ÖØ Ò Ò Ö Ýº Ì Ò ÓÒ Û Ø ÐÙÐ Ø ÓÒ Ñ Ð Ö ØÓ Û Ø Û Û Ø Ø ÓÒ ÙØ Ú ØÝ { } ÌÖ δ(e Ĥ)s z(t) S(E,t) = }. µ ÌÖ {δ(e Ĥ) Ì ÐØ ÙÒØ ÓÒ ÔÖÓ Ø Ø Ø Ø ØÓ ÖØ Ò Ò Ö Ý Û Ð Ø Ú ÓÒ Ý Ø Ò ØÝ Ó Ø Ø Ò ÙÖ Ø Ø Ø ÔÓÐ Ö Þ Ø ÓÒ Ø Ý ÒÓÖÑ Ð Þ º Ù ÓØ ÓÒ ÙØ Ú ØÝ Ò ÔÓÐ Ö Þ Ø ÓÒ Ò ÐÙÐ Ø ÙÒØ ÓÒ Ó Ø Ñ Ò Ò Ö Ý Ø Ý Ò ÒÓÛ Ö ØÐÝ ÓÑÔ Ö ØÓ Ø Ö ÓÒÒ Ø ÓÒ ØÛ Ò Ô Ò Ò Ö ØØ Ö Ò º ÐÙÐ Ø Ò Ø Ò Ö Ý ÔÖÓ Ø ÓÒ Ò ÔÖÓ Ð Ñ Ø ÓÑ Ø Ñ Ù Ø Ø ÐÓØ Ó ÓÑÔÙØ Ø ÓÒ Ð ÓÖØ ØÓ Ø Ø ÐØ ÙÒØ ÓÒ ÙÖ Ø ÒÓÙ º ËÓÑ Ø Ñ Ø ÒÓÙ ØÓ Ö Ø Ò Ö Ý Ò ÓÖÑ Ø ÓÒ Ò Ù Ø ÐÓÓ Ø Ø Ú Ö Ú ÓÙÖ Ó Ø ÕÙ ÒØ Ø º Ì Ø Û Ý Ó Ó Ò Ø ØÓ ÐÙÐ Ø Ø Ø Ñ ÚÓÐÙØ ÓÒ Ó Ø ÔÖÓ Ð ØÝ Ò ØÝ Ó Ò Ò Ø Ð Ø Ø º Á Û ÒÓÛ Ø ÜÔ Ø Ø ÓÒ Ú ÐÙ Ó Ò ÓÔ Ö ØÓÖ ÓÖ Ó Ø Ø Ø Ò Ø ÔÖÓ Ð ØÝ Ó Ò Ò Ø Ø Ø Ø ÜÔ Ø Ø ÓÒ Ú ÐÙ Ó Ø ÓÔ Ö ØÓÖ ÑÔÐ ØÓ ÐÙÐ Ø Ô(t) = ρ i (t) ψ i Ô ψ i. ¼µ i ÁØ ØÖ Ø ÓÖÛ Ö ØÓ ÐÙÐ Ø Ø Ô Ò ÔÓÐ Ö Þ Ø ÓÒ Û Ò Ò ØÝ ÒÓÛÒ Ù Ø ÜÔ Ø Ø ÓÒ Ú ÐÙ ψ i ŝ z ψ i Ö Ø Ö ½ ÓÖ ¹½ Ô Ò Ò ÓÒ Û Ø Ö Ø Ø Ø ψ i ÙÔ ÓÖ ½¾
ÓÛÒº ÓÒ ÙØ Ú ØÝ ÓÒ Ø ÓØ Ö Ò Ø ØÖ Ö ØÓ ÐÙÐ Ø º ÁÒ ÓÖ Ö ØÓ ÐÙÐ Ø Ø Û Ò Ò ÓÖÑ Ø ÓÒ ÓÙØ Ø Ö Ø Ú ÐÓ ØÝ ÓÖ ÔÐ Ñ ÒØ Ó Ø Ð ØÖÓÒ º Ì ÔÖÓ Ð Ñ Ø Ø Û ÚÓÐÚ Ø Ý Ø Ñ Û ÓÐ Ò ÒÒÓØ ØÖ Ø Ò ØÝ ÚÓÐÙØ ÓÒ ÓÖ Ò Ú Ù Ð Ø º Ï Ð Û ÒÓÛ Ø Ò Ò Ò ØÝ ÓÖ Ø Û Ó ÒÓØ ÒÓÛ Û Ö Ø Ñ ÖÓÑ ÓÖ Ó ØÓº Ì ÔÖÓ Ð Ñ Ò Ö ÓÐÚ Ý Ù Ò ÐÓ Ð Þ Ò Ø Ð Ø Ø º Ï Ø ÐÐ ÓÒ³Ø ÒÓÛ Ø Ü Ø Ø Ð Ó Ø Ò ØÝ ÚÓÐÙØ ÓÒ ÙØ Ò Ø Ò Ø Ð ÐÓ Ø ÓÒ ÒÓÛÒ Ø ÔÐ Ñ ÒØ ÖÓÑ Ø Ò Ø Ð ÐÓ Ø ÓÒ Ó Ø Ô Ø Ò ÐÙÐ Ø º Ì ÔÐ Ñ ÒØ ÓÖ Ø Ò ÕÙ Ö Ò Ò ÖØ ÒØÓ Õº ¼ ØÓ Ø Ø ÅË ÓÖ Ø Ý Ø Ñº ÇÒ Ð Ø ÔÖÓ Ð Ñ Ò Ø ÔÔÖÓ Ø Ò Ø Þ Ó Ø ÑÙÐ Ø ÓÒ Ö º Ì Ú ÐÓ ØÝ Ó ÐÐ Ø Ð ØÖÓÒ Ò Ö Ô Ò Ó Ø Ø Ø ÓÙÒ Ö Ö Ö Ö Ð Ø Ú ÐÝ Ø Ø Ö Û Ø Û Ú Ô Ø ØÖ Ò ÖÖ ØÓ Ø ÓÔÔÓ Ò Ù ØÓ Ø Ô Ö Ó ÓÙÒ ÖÝ ÓÒ Ø ÓÒ º Ì Ö ÓÖ Ø Ø Ö ÙÐØ Ö Ò Ý ÔÐ Ò Ø Ò Ø Ð Ø Ø ØÓ Ø ÒØ Ö Ó Ø Ý Ø Ñ Ò ÓÒÐÝ ÓÒ Ö Ò Ø Ö ÙÐØ ÖÓÑ Ø Ø Ñ ÓÖ Ø Û Ú Ô Ø Ø Ø ÓÙÒ Ö ÓÖ Ø Ö Ø Ø Ñ º Ì Û Ý Û ÓÒ³Ø Ú ØÓ ÛÓÖÖÝ ÓÙØ Ø Ø Ø Ø Ø ÔÐ Ñ ÒØ ÓÙÒ Ý Ø Þ Ó Ø Ý Ø Ñº º½ ÁÑÔÐ Ñ ÒØ Ø ÓÒ ÆÙÑ Ö Ð ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÒ Ì ÑÔÐ Ñ ÒØ Ø ÓÒ ÑÓ ØÐÝ ÓÒ Ø ÔÖÓ Ö Ò ¾ º Ì Ö Ö Ø Ö Ñ Ò ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÒ Ø Ø Ö Ö ÕÙ Ö ØÓ Ú Ð Ò Ö Ð Ò Ð ÓÖ Ø Ñº Ì Ö Ø ÓÒ ØÓ Ö ÔÐ Ø ØÖ Û Ø ÙÑ ÓÚ Ö Ö Ò ÓÑ Ú ØÓÖ Ò Ø ØÛÓ ÓØ Ö Ö ØÓ ÔÔÖÓÜ Ñ Ø Ø ÐØ ÙÒØ ÓÒ Ò Ø Ø Ñ ÚÓÐÙØ ÓÒ Û Ø Ý Ú ÜÔ Ò ÓÒº Ì ØÖ ÓÔ Ö Ø ÓÒ Ò Ø ÙÑ Ó Ø ÓÒ Ð Ð Ñ ÒØ Ó Ò ÓÔ Ö ØÓÖº Ì Ö ÕÙ Ö ÓÑÔÙØ Ø ÓÒ Ð ÓÖØ Ð Ò O(N 2 ) Ù Ø ÒÒ Ö ÔÖÓ ÙØ ψ Ô ψ ØÓ ÐÙÐ Ø ÓÖ Ú ØÓÖ Ò Ø º ÌÓ Ö Ù Ø Ð Ò ØÓ O(N) Ø ØÖ Ö ÔÐ Û Ø ÙÑ ÓÚ Ö Ö Ò ÓÑ Ú ØÓÖ ÌÖ{Ô} 1 N r 1 ψ i N Ô ψ i, ½µ r Û Ö Ø Ú ØÓÖ ψ i Ö Ö Ò ÓÑ¹Ô Ø Ø Ò j ψ i = e iφ ij Û Ø φ ij Ò Ö Ò ÓÑ Ò Ô Ò ÒØ ÒÙÑ Ö º Ì Ø Ø ÑÔÐ Ø ÙÐÐ Ô ØÖÙÑ Ò Ø Ò ÓÛÒ Ø Ø Ø ÜÔ Ø Ø ÓÒ Ú ÐÙ Ó Ø ÒÒ Ö ÔÖÓ ÙØ Ú Ø ØÖ ½ º ÁØ Ò ÓÛÒ Ø Ø Ø ÖÖÓÖ Ó Ø Ø Ñ Ø O(1/ N r N) Û Ñ Ò Ø Ø Ú Ò Ñ ÐÐ ÒÙÑ Ö Ó Ö Ò ÓÑ Ú ØÓÖ N r Ò Ú ÓÓ Ø Ñ Ø ÐÓÒ N Ð Ö ÒÓÙ º Ì Ö ÒÓ Ò ÐÝØ Ð ÓÖÑÙÐ ÓÖ Ø ÐØ ÙÒØ ÓÒ Û Ñ Ò Ø ØÓ ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÒÙÑ Ö ÐÐݺ Ì Ö Ö ÑÙÐØ ÔÐ Ö ÒØ Ñ Ø Ó Ó Ó Ò Ø ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÒ Ù Ø i= ½
Ä ÒÞÓ Ö ÙÖ ÓÒ Ñ Ø Ó ÄÊŵ Ø ÓÙÖ Ö ØÖ Ò ÓÖÑ Ñ Ø Ó Ìŵ Ò Ø ÖÒ Ð ÔÓÐÝÒÓÑ Ð Ñ Ø Ó ÃÈŵº Ì Ñ Ø Ó Ó Ó ÓÖ Ø ÛÓÖ Ø ÃÈź Ì ÖÒ Ð ÔÓÐÝÒÓÑ Ð Ñ Ø Ó ÒÐÙ Û Ö Ò Ó Ø Ò ÕÙ ÒÚÓÐÚ Ò ÜÔ Ò ÓÒ Ó ÙÒØ ÓÒ Ò ÔÓÐÝÒÓÑ Ð º ÁÒ ÔÖ Ø Ð ÑÔÐ Ñ ÒØ Ø ÓÒ Ø ÜÔ Ò ÓÒ Ú ØÓ Ð Ñ Ø ØÓ Ò Ø ÑÓÙÒØ Ó ÙÒØ ÓÒ Û Ù Ú ÓÙÖ ÒÓÛÒ Ó ÐÐ Ø ÓÒ ØÓ ÓÙÖ Ø ÙÒØ ÓÒ Ò ÜÔ Ò ÒÓØ Ò ÒÓÙ º Ì ÓÐÙØ ÓÒ ØÓ ÒØÖÓ Ù ÖÒ Ð ÙÒØ ÓÒ ØÓ Ø ÜÔ Ò ÓÒ ÙÔÔÖ Ò Ø Ó ÐÐ Ø ÓÒº Ì Ó Ó Ò ÓÙÖ ÛÓÖ Ø Ø Ó Ý Ú ÔÓÐÝÒÓÑ Ð Û Ñ Ò ÙÒØ ÓÒ Ò ÛÖ ØØ Ò 1 f(x) = π µ n T n (x), ¾µ 1 x 2 Û Ö µ n = 1 1 f(x)t n(x) Ò Ø Ý Ú ÔÓÐÝÒÓÑ Ð T n Ö Ò Ö ÙÖ Ú ÐÝ T n (x) = 2xT n 1 (x) T n (x) T n = T n, µ µ Ø ÖØ Ò ÖÓÑ T (x) = 1 Ò T 1 (x) = xº ÁÒ ÓÙÖ Ø ÙÒØ ÓÒ Û Û ÒØ ØÓ ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÐØ ÙÒØ ÓÒ Ú Ò Ù µ n = T n (Ĥ)º Á Û ÒÓÛ Ò ÖØ Õº ¾ ÒØÓ ¾ Ø Ú ÐÓ ØÝ ÙØÓÓÖÖ Ð Ø ÓÒ ÙÒØ ÓÒ ÓÑ Û Ö C VAC n ρ(e)c vv (E,t) = 1 πω 1 E 2 n= (2 δ n )T n (E)C VAC n (t), µ (t) Ö Ø Ý Ú ÑÓÑ ÒØ ÓÖ Ú ÐÓ ØÝ ÙØÓÓÖÖ Ð Ø ÓÒ Cn VAC (t) { } Ê ψ i ˆVˆσ (t) ˆVˆσ T n (Ĥ) ψ i. µ i ÇØ Ö ÕÙ ÒØ Ø Ù Ø Ò ØÝ Ó Ø Ø Ò Ø Ñ Ò ÕÙ Ö ÔÐ Ñ ÒØ Ò Ð Ó ÛÖ ØØ Ò Ò Ñ Ð Ö ÓÒ Ý Ö ÔÐ Ò Ø Ú ÐÓ ØÝ ÙØÓÓÖÖ Ð Ø ÓÒ ÙÒØ ÓÒ Û Ø ÓÖÖ ÔÓÒ Ò ÜÔÖ ÓÒ Ò Ø Ý Ú ÑÓÑ ÒØ º Ì Ó ÐÐ Ø ÓÒ Ö Ò Ø ØÖÙÒ Ø ÓÒ Ó Ø ÜÔ Ò ÓÒ Û Ò Ø ÙÒØ ÓÒ Ò Ü¹ Ô Ò ÒÓØ ÓÒØ ÒÙÓÙ ÐÝ Ö ÒØ Ð º ÐØ ÙÒØ ÓÒ ÖØ ÒÐÝ ÒÓØ ÑÓÓØ ÒÓÙ ØÓ Ø Ò Ø Ö Ø Ö ÓÒ Û Ñ Ò Ø Ø ÓÑ Ø Ò ØÓ ÓÒ ØÓ ÓÙÒØ Ö Ø Ó ÐÐ Ø ÓÒ º ÇÒ Û Ý Ó Ó Ò Ø ØÓ ÔÔÐÝ ÑÔ Ò Ó ÒØ g n ØÓ Ø ÙÑ ρ(e)c vv (E,t) 1 πω 1 E 2 N m n= g n (2 δ n )T n (E)C VAC n (t). µ ÁÒ Ø ÛÓÖ Ø Â ÓÒ ÖÒ Ð Ù ÓÖ Û g n = (1 nα)cos(πnα)+αsin(πnα)cot(πα), µ ½
Û Ø α = 1/(N m +1)º Ì Ø Ö ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÒ ÓÒ Ö Ò Ø Ø Ñ ÚÓÐÙØ ÓÒº Ì Ø Ñ ÚÓÐÙØ ÓÒ ÓÔ Ö ØÓÖ Ñ ØÖ Ü ÜÔÓÒ ÒØ Ð Ò Ø Ù ÒÒÓØ ÔÔÐ Ü ØÐÝ Ü ÔØ ÓÖ Ô Ð º ÌÓ Ò ÒÙÑ Ö Ð ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÒ ÓÖ Ø ÚÓÐÙØ ÓÒ Û Ò Ù Ø Ý Ú ÔÓÐÝÒÓÑ Ð ØÓ ÜÔ Ò Ø ÓÔ Ö ØÓÖ Û ÓÑ Û( t) N p 1 m= (2 δ n )( i) m J m ( t ) T m (Ĥ), Û Ö J m Ö Ø Ð ÙÒØ ÓÒ Ó Ø Ö Ø Ò º Ñ Ð Ö ÓÖÑÙÐ Ò Ð Ó ÓÙÒ ÓÖ Ø ÓÑÑÙØ ØÓÖ Ó Ø ÔÓ Ø ÓÒ ÓÔ Ö ØÓÖ Ò Ø Ø Ñ ÚÓÐÙØ ÓÒ ÓÔ Ö ØÓÖ Ö ÕÙ Ö Ò Ø ÐÙÐ Ø ÓÒ Ó Ñ Ò ÕÙ Ö ÔÐ Ñ ÒØ N p 1 [ ˆX,Û( t)] ( ) t (2 δ n )( i) m J m [ ˆX,T m (Ĥ)], ¼µ m= Ø Ö Ø Ð Ò Ø ÜÔ Ò ÓÒ ÐÓÓ Ð ØÐÝ Ö ÒØ ÓÑÔ Ö ØÓ Ø ÜÔ Ò ÓÒ Ù Û Ø Ø ÐØ ÙÒØ ÓÒº Ì ÓÛ Ú Ö ÓÒÐÝ Ñ ØØ Ö Ó Ò Ø ÓÒ Ó Ø Ø Ø {T n (x)} { } Tn(x) π 1 x 2 Ò ÓØ ÓÖÑ ÓÖØ ÓÒÓÖÑ Ð Ò Ø Ö Ò Ò Ø ÜÔ Ò ÓÒ ÓÒÐÝ Ñ ØØ Ö Ó Ó ØÛ Ò Ø ØÛÓº Ú Ò Ø ÓÙ Õº Ô Ö ØÐÝ Ú Ð ÕÙ Ø ÓÒ ÓÖ Ø ÐÙÐ Ø ÓÒ Ó Ý Ú ÑÓÑ ÒØ Ø³ ÒÓØ ÔÖ Ø Ð ÓÒ º Ì Ø Ñ ÚÓÐÙØ ÓÒ ÒÐÙ Ò ÓÒ Ó Ø Ú ÐÓ ØÝ ÓÔ Ö ØÓÖ Ò ÒÒÓØ ÔÔÐ ÒØÐݺ ÌÓ Ñ Ø ØÙ Ø ÓÒ ØØ Ö ÝÐ ÔÖÓÔ ÖØ Ó ØÖ Ò Ù ØÓ ÛÖ Ø Ø ÕÙ Ø ÓÒ Ò ÑÓÖ Ù Ø Ð ÓÖÑ Cn VAC (t) i Ê { ψ i Û(t)ˆVˆσ T n (Ĥ)Û (t)ˆv ˆσ ψ i µ }. ½µ ÏÖ Ø Ò Ø Ø Ñ ÚÓÐÙØ ÓÒ ÓÔ Ö ØÓÖ ÜÔÐ ØÐÝ Ñ Ø ÔÓ Ð ØÓ ÔÔÐÝ Ø Ñ Ö ØÐÝ ØÓ Ø Ú ØÓÖ Ú Ò ÓØ ÓÑÔÙØ Ø ÓÒ Ø Ñ Ò Ñ ÑÓÖݺ ÌÓ ÙÖØ Ö Ö Ù Ø Ø Ñ Ö ÕÙ Ö ÓÖ Ø ÐÙÐ Ø ÓÒ Ó Ø Ñ ÚÓÐÙØ ÓÒ Û Ù Ø ÔÖÓÔ ÖØÝ U(t+ t) = U(t)U( t)º Ì ÐÐÓÛ Ù ØÓ Ù Ö ÙÖ Ú ÓÖÑÙÐ Ò Ø ÐÙÐ Ø ÓÒ ψ i Û(t+ t)ˆvˆσ = ψ i Û(t)Û( t)ˆvˆσ ¾µ Û (t+ t)ˆv ˆσ ψ i = Û ( t)û (t)ˆv ˆσ ψ i. Ã Ô Ò ψ i Û(t) Ò Û (t)ˆv ˆσ ψ i Ò Ñ ÑÓÖÝ Ø Ö Ø Ñ Ø Ô Ñ ÓÑÔÙØ Ø ÓÒ Ó Ø Ò ÜØ Ø Ô ÑÙ Ö Ù Û Ò Ù Ø ÔÖ Ú ÓÙ Ö ÙÐØ ØÓ ÓÑÔÙØ Ø Ò ÜØ ÓÒ º Ù Ó Ø Ñ Ð Ö ÓÖÑ Ó Ø ÕÙ ÒØ Ø Ò ÐÙÐ Ø Ø ØÖ Ø ÓÖÛ Ö ØÓ Ò Ö Ð Þ Ø ÐÙÐ Ø ÓÒ Ó Î ØÓ Ø ÓØ Ö º Ì ÓÒÐÝ Ö Ò ØÛ Ò Ø Ñ Ò Ø Ý Ú ÑÓÑ ÒØ Ò Ú Ò Ø Ý ÐÓÓ ÕÙ Ø Ñ Ð Öº Ì Ø ÕÙ ÒØ ØÝ ØÓ ÐÙÐ Ø Ø Ò ØÝ Ó Ø Ø Ù Ø Ó Ò³Ø Ô Ò ÓÒ Ø Ñ µ C DOS n i ψ i T n (Ĥ) ψ i. µ ½
Ì Ð Ó Ø Ñ Ô Ò Ò ÓÑ ÖÓÑ Ø Ø Ø Ø Û ÙÒ Ø ÖÝ Ò Ø Ð Ó ÓÑÑÙØ Û Ø Ø ÐØ ÙÒØ ÓÒº Ì ÐÙÐ Ø ÓÒ Ó Ô Ò ÔÓÐ Ö Þ Ø ÓÒ ÐÑÓ Ø Ýº Ì ÓÒÐÝ Ö Ò Ø Ø Û Ú s z ÒÐÙ Ò Ø Ó ÒÓØ ÓÑÑÙØ Û Ø Ø Ø Ñ ÚÓÐÙØ ÓÒ ÓÔ Ö ØÓÖ Cn S (E,t) ψ i (t) T n (Ĥ)s z ψ i (t). µ i ÓÖ Ø ÅË Ø ÔÖÓ Ø ÑÓÖ ÓÑÔÐ Ø Ø Ø Ñ ÚÓÐÙØ ÓÒ ÒÒÓØ ÑÓÚ Ò ÜØ ØÓ Ø Ø Ø Ú ØÓÖ º Ï ÛÓÙÐ Ð ØÓ Ò ÙÔ Û Ø ÝÑÑ ØÖ Ð ÓÖÑ Ò Ø Ø Û Ý ØÓ Ó Ó ØÓ ÝÐ Ø Ø Ñ ÚÓÐÙØ ÓÒ Ó Ø Ø Û Ò ÙÔ Û Ø Ø ÓÑÑÙØ ØÓÖ Û Ø Ø ÓÔ Ö ØÓÖ ˆX i Ù Ø ÜÔÖ ÓÒ ÓÒ Ø Ö Ó Ø Ý Ú ÔÓÐÝÒÓÑ Ð Ö ÓÒ Ù Ø Ó ÓØ Ö Ø ÒÓÙ ØÓ ÐÙÐ Ø ÓÒ Ó Ø Ñº Ì ÐÙÐ Ø ÓÒ Ñ Ö Ý Ù Ò Ø ÔÖÓÔ ÖØ Ó Ø Ñ ÚÓÐÙØ ÓÒ Ò Ö ¹ÛÖ Ø Ò Ø ÓÑÑÙØ ØÓÖ C MSD n ψ i [ ˆX,Û(t)] T n (Ĥ)[ ˆX,Û(t)] ψ i. µ [ ˆX,Û(t+ t)] ψ i = Û( t)[ ˆX,Û(t)] ψ i +[ ˆX,Û( t)]û(t) ψ i. µ Ì ÕÙ Ø ÓÒ ÐÐÓÛ Ö ÙÖ Ú ÐÙÐ Ø ÓÒ Ó Ø ÅË Û Ø Ø ÐÔ Ó Õº ¼º º¾ ÈÍ Ð Ö Ø ÓÒ Ì ÑÓ Ø ÓÑÔÙØ Ø ÓÒ ÐÐÝ ÒØ Ò Ú Ô ÖØ Ó Ø Ý Ú ÜÔ Ò ÓÒ Ø ÑÓÑ ÒØ ÐÙ¹ Ð Ø ÓÒ Ø ÒÚÓÐÚ ÔÔÐÝ Ò Ø À Ñ ÐØÓÒ Ò ÑÙÐØ ÔÐ Ø Ñ ØÓ Ø Ø º Ì Ö ÓÒ ÓÖ ÓÓ Ô Ö ÓÖÑ Ò Ó Ø ÈÍ Ð Ò Ø Ö Ð Ø Ú ÐÝ Ö Ø Ñ Ø ÒØ Ò ØÝ Ó Ñ ØÖ Ü¹Ú ØÓÖ ÑÙÐØ ÔÐ Ø ÓÒº ÅÓ Ø Ó Ø Ð ÓÖ Ø Ñ Ù Ò ÑÔÐ Ñ ÒØ ÓÒ Ø ÈÍ Ñ Ò Ñ Þ Ò Ø ÑÓÙÒØ Ó Ñ ÑÓÖÝ ØÖ Ò Ö ØÓ Ò ÖÓÑ Ø ÈÍ Ñ ÑÓÖݺ ÁÒ Ø Ø Ñ ÑÓÖÝ ØÖ Ò ¹ Ö Ö ÓÒÐÝ Ö ÕÙ Ö ÙÖ Ò Ø Ò Ø Ð Þ Ø ÓÒ Ô Ò Û Ò Û Ö ØÙÖÒ Ø ÐÙÐ Ø Ý Ú ÑÓÑ ÒØ ØÓ Ø ÈÍ Ñ ÑÓÖݺ ÙÖ Ò Ø Ò Ø Ð Þ Ø ÓÒ Ô Ø À Ñ ÐØÓÒ Ò Ò Ø Ò Ø Ð Ö Ò ÓÑ Ø Ø Ú ØÓÖ Ö ØÖ Ò ÖÖ ØÓ Ø Èͺ Ì À Ñ ÐØÓÒ Ò Ø Ý ÓÒ Ø ÒØ ÓÖ Ø Û ÓÐ ÙÖ Ø ÓÒ Ó Ø ÐÙÐ Ø ÓÒ Ò Ø ÒÓÙ ØÓ ØÖ Ò Ö Ø ÓÒÐÝ ÓÒ º Ì Ö Ò ÓÑ Ø Ø Ö Ò Ö Ø ÓÒ Ø ÈÍ Ò Ø ÐÙÐ Ø ÓÒ ÐÓÓÔ Ø ÖÓÙ ÑÙÐØ ÔÐ Ö Ò ÓÑ Ø Ø Û ØÖ Ò Ö Ø ÙÖÖ ÒØ ÓÒ Ø Ø ÒÒ Ò Ó ÐÓÓÔº ÁØ Ñ Ø Ð ØÐÝ ÑÓÖ ÒØ ØÓ Ò Ö Ø Ø Ñ ÓÒ Ø ÈÍ ÙØ Ò Ø Ø ÓÒÐÝ Ö Ø ÓÒ Ó Ø ØÓØ Ð ÓÑÔÙØ Ø ÓÒ Ð Ø Ñ Ø Ò Ö Ø ÓÒ Ñ Ý Û ÐÐ ÓÒ ÓÒ Ø Èͺ Ò Ö Ø Ò Ø Ò Ø Ð Ø Ø ÓÒ Ø ÈÍ Ð ØÐÝ ÑÓÖ Ü Ð Ò ÐÐÓÛ Ö ÒØ Ò Ø Ð Ø Ø Ò Ö Ø ÑÓÖ Ðݺ Ì ÑÓ Ø ÖÙ Ð Ô ÖØ Ó Ø ÐÙÐ Ø ÓÒ ØÓ ÑÔÐ Ñ ÒØ Ø ÓÔ Ö Ø ÓÒ ψ out = Ĥ ψ in Ò ψ out = [Ĥ, ˆX] ψ in ÒØÐÝ ÔÓ Ð Ø ÑÓ Ø Ø Ñ Ô ÒØ ÓÒ Ø Ñ Ò Ø Ý Ú ÑÓÑ ÒØ ÐÙÐ Ø ÓÒº Ì Ð Ñ ÒØ Ó ψ out Ö Ò Ô Ò ÒØ Ó ÓØ Ö ÙÖ Ò Ø Ñ ØÖ Ü¹Ú ØÓÖ ÔÖÓ ÙØ Ò Ø Ò ØÙÖ Ð ØÓ Ô Ö ÐÐ ÐÐ Þ Ø ÐÙÐ Ø ÓÒ ÓÚ Ö Ø Ð Ñ ÒØ Ó Ø ÓÙØÔÙØ Ú ØÓÖº Ï Ø ÈÍ Ø ÐÝ ÓÒ Ý Ð ÙÒ Ò Ø Ö ÕÙ Ð ½
ØÓ ÒÙÑ Ö Ó Ð Ñ ÒØ Ò Ð ØØ Ò Ø Ö ÐÙÐ Ø ÓÒ Ð Ñ ÒØ Ó Ø Ö ÙÐغ Ø ÒÙÑ Ö Ó Ø Ö Ñ Ú Ø ÓÖ Ö Ò Û Ø Ý Ñ ÑÓÖÝ Û ÐÐ Ø Ø Ô Ö ÓÖÑ Ò Ö ØÐݺ Ì ÑÓ ØÐÝ ÓÒ ÖÒ Ø Ô Ö À Ñ ÐØÓÒ Ò Ò Ø Ö Ö ØÛÓ Û Ý Ó ÓÖ Ö Ò Ø Ø Ò Ñ ÑÓÖݺ ÓÖ ÈÍ Ù Ò ÕÙ ÒØ Ð Ó Ø ØØ Ö Û Ý ÛÓÙÐ Ø Ø ÐÐ Ø ÓÖ Ò Ð Ø Ö Ò ÜØ ØÓ ÓØ Ö Ò Ø ÐÓ Ó Ø ÛÓÙÐ ÓÖ Ö Ý Ø Ò Ü Ó Ø Ø º ÀÓÛ Ú Ö ÓÖ ÈÍ Ø³ ØØ Ö ØÓ ÖÓÙÔ Ø Ø Ý Ø Ö Ò ÓÙÖ Ò Ü Ù Ø Ø ÐÐ ¼Ø Ò ÓÙÖ ÓÑ Ö Ø Ò Ø Ø Ò Ü ÓÖ Ö ÓÐÐÓÛ Ý ½ Ø Ò ÓÙÖ Ò Ó ÓÒº Ì Û Ý ÓÒ ÙØ Ú Ø Ö ÓÒ ÙØ Ú Ø Ò Ø Ñ ÑÓÖÝ Ð Ò ØÓ ÑÓÖ ÒØ Ù Ó Ñ ÑÓÖÝ ¾ º Ì Ô Ö ÓÖÑ Ò Ó Ø ÓÖ Ò Ð ÈÍ ÑÔÐ Ñ ÒØ Ø ÓÒ Ò ØÙ ØÓ ÑÓÖ ÜØ ÒØ Ò ¾ º Ì ÓÚ Ö ÐÐ Ô ÙÔ ØÓÖ ÓÑÔ Ö ØÓ Ö Ð ÈÍ ÑÔÐ Ñ ÒØ Ø ÓÒ Û Ö ÔÓÖØ ØÓ ÖÓÙÒ ½ º Ú Ò Ø ÓÙ Ø ÑÙ Ñ ÐÐ Ö Ø Ò Ô ÙÔ ÓÖ ÓÑ ÓØ Ö Ø Ø ÐÐ Ö Ñ Ö Ð º Ê Ò Ø Ô ÓÒ ÈÍ ÛÓÙÐ Ö ÕÙ Ö ÐÓØ Ó ÓÖØ Ù Ò Ø Ð Ø ÒÙÑ Ö Ó Ö ÕÙ Ö ÔÖÓ ÓÖ ÓÖ ÛÓÙÐ ½ º ÌÝÔ ÐÐÝ Ø Ö ÕÙ ÒÝ Ó ÔÖÓ ÓÖ Ö Û Ø ÒÖ Ò ÒÙÑ Ö Ó ÓÖ Ù Ò Ú Ò Ö ÒÙÑ Ö Ó ÓÖ ØÓ Ö ÕÙ Ö ØÓ Ö Ø Ñ Ô º Ê ÙÐØ ÌÓ Ø Ø Ø Ñ Ø Ó Ö ÓÚ Ö Ô Ò Û Ó Ò Ø ÔÐ Ø ÓÖÑ ØÓ ÓÒØ Ò Ø Ø Òº ÁØ Ð ØØÐ Ø ÓÒ Ô Ò Ò Ø ÔÖÓÔ ÖØ Ö Û ÐÐ Ö Ý ÑÔÐ Ø Ø¹ Ò Ò ÑÓ Ð Ñ Ò Ø Ð Ñ Ø Ö Ð ØÓ Ø Ø ÓÙÖ ÑÔÐ Ñ ÒØ Ø ÓÒ Û Ø º ÌÛÓ Ö ÒØ ÑÔÐ Û Ö Ù Ò Ø Ø Ø Ò º ½¼¼¼ ½¼¼¼ ÐÐ Û Ø Ô Ö Ó ÓÙÒ ÖÝ ÓÒ Ø ÓÒ Û Ù ØÓ ÑÓ Ð ÔÖ Ø Ò Ö Ô Ò º Ì ÒÙÑ Ö Ó ØÓÑ Û Ó Ò Ð Ö ÒÓÙ ØÓ ÑÓ Ð Ò Ð Ö Ô Ò Ð ØØ Û Ð Ô Ò Ø ÓÑÔÙØ Ø ÓÒ Ø Ñ ÑÓ Ö Ø º ËÓÑ Ø Ø Û Ö Ð Ó ÖÙÒ ÓÒ ¼¼¼ ½ ÑÔÐ ÑÙÐ Ø Ò Þ Þ Ò ÒÓÖ ÓÒº ÁÒ Ø Ð ØØ Ö Ø Ô Ö Ó ÓÙÒ ÖÝ ÓÒ Ø ÓÒ Û Ö ÔÔÐ ÓÒÐÝ Ò Ø ÐÓÒ Ö Ó Ø ØÛÓ Ñ Ò ÓÒ º º½ ÈÖ Ø Ò Æ ÒÓÖ ÓÒ Á Ø Ö Ö ÒÓ Ô Ò ØØ Ö Ò Ø Ò Ø Ý Ø Ñ Ø Ö ÓÙÐ ÒÓ Ö Ò ØÛ Ò Ø Ö ÙÐØ Ó Ô Ò ÙÐ Ò Ô ÒÐ ÐÙÐ Ø ÓÒ º ÌÓ ÓÒ ÖÑ Ø Ò ÓÙÖ ÑÔÐ Ñ ÒØ Ø ÓÒ Ø ÓÒ ÙØ Ò Ó ÔÙÖ Ö Ô Ò Ò ÒÓÖ ÓÒ Û ÐÙÐ Ø º Ì ÓÒ ÙØ Ò Ò Ö Ô Ò Ò ÒÓÖ ÓÒ ÕÙ ÒØ Þ Ò Ø ÓÙÐ Ø Ú ÐÙ Ø Ø Ö ÑÙÐØ ÔÐ Ó Ø ÓÒ ÙØ Ò ÕÙ ÒØÙÑ e2 h º Ì Ä Ò Ù Ö¹ ØØ Ö ÓÖÑ Ð Ñ Ð ØÓ Ö ÓÚ Ö Ø ÕÙ ÒØ Þ Ø ÓÒ ÐÝ ÙØ ÃÙ Ó¹ Ö ÒÛÓÓ Û Û Ö Ù Ò Ö ÕÙ Ö ÓÑ Ø ÓÒ Ð ÓÖغ ÌÖ Ò ÔÓÖØ Ò ÔÙÖ Ö Ô Ò ÐÐ Ø Û Ù ÓÒ ÙØ Ú ØÝ ØÓ Ú Ö º ÌÓ Ø Ò Ø Ú ÐÙ ÓÖ ÓÒ ÙØ Ò ½
G (2e 2 /h) 6 LB KG spinless KG spinful 4 2-1 1 ÙÖ ¾ ÌÓØ Ð ÓÒ ÙØ Ò Ó ¼¼¼ ½ Ö Ô Ò Ò ÒÓÖ ÓÒ ÐÙÐ Ø Ù Ò Ä Ò Ù Ö¹ ØØ Ö ÓÖÑ Ð Ñ Ò ÓØ Ô ÒÐ Ò Ô Ò ÙÐ Ú Ö ÓÒ Ó ÃÙ Ó¹ Ö ÒÛÓÓ º Ð Ò Ø Ð ØÓ ÒØÖÓ Ù º ÓÑÑÓÒ Û Ý Ó Ó Ò Ø ØÓ Ò ÓÒ ÙØ Ò G(E) = W L(E,t) σ(e,t), Û Ö W Ø Û Ø Ó Ø Ý Ø Ñ Ò L(E,t) Ð Ò Ø ÐÙÐ Ø ÖÓÑ ÅË L(E,t) = 2 X 2 (E,t). ÓØ L Ò σ Ö ÜÔ Ø ØÓ ÖÓÛ Ð Ò ÖÐÝ Ò Ø Ñ ÙÖ Ò ÐÐ Ø ØÖ Ò ÔÓÖØ Û Ñ Ò G ÓÙÐ ÓÒÚ Ö ØÓ Ò Ø Ú ÐÙ º Ì ÐÙÐ Ø ÓÒ ÙØ Ò Ó Ø ¼¼¼ ½ Ò ÒÓÖ ÓÒ Ò ÓÙÒ Ò ÙÖ ¾º ÁÒ ¹ Ø ÓÒ ØÓ Ø ÑÔÐ Ñ ÒØ Ø ÓÒ Ò Ø Ø Ø ÓÒ ÙØ Ò Ð Ó Ò ÐÙÐ Ø Ù Ò ØÛÓ Ñ Ø Ó º Ì Ö Ø ÓÒ Ó Ø Ñ Ô ÒÐ ÑÔÐ Ñ ÒØ Ø ÓÒ Ó ÃÙ Ó¹ Ö ÒÛÓÓ ÓÖÑ Ð Ñ Ø Ó ÙÔÓÒ Û ÓÙÖ Ô Ò ÙÐ ÃÙ Ó¹ Ö ÒÛÓÓ Ò Ù ÐØ ÓÒº Ì ÓÒ ÓÒ Ù ÒÓÒ¹ ÕÙ Ð Ö ÙÑ Ö Ò³ ÙÒØ ÓÒ Æ µ Ò ÓÒ Ø Ä Ò Ù Ö¹ ÓÖÑ Ð Ñº Ì Æ Ú Ø ÑÓÓØ Ø Ö ÙÐØ Ó Ø Ø Ö Ù Ø Ó Ò³Ø Ù ØÓ Ø Ñ Ø Ó Ò Ò Ö Ö Ò Ü Ø Ñ Ø Ó Û Ø Ò Ø Ø Ø¹ Ò Ò ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÒº ÐÐ Ø Ö Ñ Ø Ó ÓÛ Ø ÕÙ ÒØ Þ ÓÒ ÙØ Ò Ð Ú Ð º Ì ØÙ Ð Ø Ô¹Ð Ú ÓÙÖ Ò ÐÝ Ö ÓÚ Ö Ý Ø Æ ÓÖ Û Ø ÓÒ ÙØ Ò ÔÖ ÐÝ Ò ÒØ Ö Ø Ñ Ø ½ µ µ
ÓÒ ÙØ Ò ÕÙ ÒØÙѺ ÓØ ÃÙ Ó¹ Ö ÒÛÓÓ Ñ Ø Ó ÓÚ Ö ÓÓØ Ø ÓÒ ÙØ Ò Ò Ö Ø Ò ÙØ Ø Ý Ø Ð Þ ØÓ Ø Ú ÐÙ Ú Ý Æ ÙÖØ Ö Û Ý ÖÓÑ Ø º Ì Ú ÓÙÖ ÜÔ Ø Ò Ø Ù Ý Ø Ò ÙÐ Ö Ú ÓÙÖ Ó ÓØ ÇË Ò Ð ØÖÓÒ Ú ÐÓ ØÝ Ò Ö Ø Ò º Ì Ô Ò ÙÐ ÐÙÐ Ø ÓÒ Ö ÕÙ Ø Û ÐÐ Û Ø Ø Ô ÒÐ ÓÒ Ò Ø Ö Ò Ö ÑÓ ØÐÝ ÜÔÐ Ò Ý Ø Ö Ò Ò Ø Ò Ö Ý ÔÓ ÒØ Ù Ò Ø ÐÙÐ Ø ÓÒº º¾ ËÔ Ò¹ Ô Ò ÒØ ÈÓØ ÒØ Ð Ò Æ ÒÓÖ ÓÒ ÁÒ ÓÙÖ ÔÖ Ú ÓÙ ÛÓÖ ½ Û ØÙ Ò ÒÓÖ ÓÒ Û Ø Ø Û Ô Ò¹ Ô Ò ÒØ ÔÓØ ÒØ Ð ÓÒ Ò Ð ØÓÑ Ø º Ì Ý Ø Ñ Ú ÐÑÓ Ø ÐÐ Ø ØÖ Ò ÔÓÖØ Ú Ò ÓÒÐÝ Ñ ÐÐ Ö Ò Ó Ò Ö Ý ÓÖ Ô Ò Ø Ø Ù ØØ Ö Ò º Ì ØØ Ö Ò ØÖÓÒ Ø Û Ò Ø Ø ÐÓ Ø ÓÒ Ø Ó Ø Ö ÓÒ Ò Ø Û Ö Ø Ø ÑÓÚ ØÓÛ Ö Ø ÒØ Öº Ò Ü ÑÔÐ Ó ÓÒ ÙØ Ú ØÝ ÓÖ Ø Ò Ó Ö ÓÒ Ò Ò Ò ÙÖ Ò Û Ö Ò Ð Ø Ò ÔÐ ÓÒ Ø Ò Ò Ø Ñ Ð Ó Ø Ö ÓÒº Ì ÔÓØ ÒØ Ð Ò Ó Ò ØÓ ±2 Î Ò Ø Ø Ò Ð θ Ø ØÓ ¼ Ú Ò ÒÓ ÓÙÔÐ Ò ØÛ Ò Ø Ô Ò º Ì ÃÙ Ó¹ Ö ÒÛÓÓ Ñ Ø Ó ÛÓÙÐ Ú ØÖÓÙ Ð Û Ø Ø Ý Ø Ñ Ù Ò ÐÙÐ Ø Ò Ø ÙÖ Ù Ø Ý Ú ÓÒÐÝ ÓÒ Ø Ò Ø Ñº Ì Ñ Ø Ó ÑÓÖ Ù Ø Ð ÓÖ Ý Ø Ñ Û Ø ÙÒ ÓÖÑ Ø ÔÐ Ñ ÒØ Ø Ö Ò ÓÑ Ú ØÓÖ ÑÔÐ Ò Ø Ý Ø Ñ Ö ÑÓÖ Ð ÐÝ ØÓ Ø Ø Ø º Ù Ó Ø Ø ÒÙÑ Ö Ó Ö Ò ÓÑ Ú ØÓÖ Ö ÕÙ Ö ÓÖ Ò Ð Ø Ø ØÓÓ Ð Ö Ò Ø ÓÑÔÙØ Ø ÓÒ Ð ÓÖØ Ö ÕÙ Ö ØÓÓ ÑÙ º ÁÒ Ø Ý Ø Ñ Û Ø ¼º¼½± Ø ÓÒ ÒØÖ Ø ÓÒ Û Ù ØÓ ÓÑÔ Ö Ø Ô Ò¹ Ô Ò ÒØ ÓÒ ÙØ Ú Øݺ Ì ÔÓØ ÒØ Ð ØÖ Ò Ø Û Ø ÐÐ ÔØ Ø ±2 Î Ò Ø Ò Ð θ Ø ¼ ÙØ Ø Ø ÔÐ Ñ ÒØ Û ÒÓØ Ö ØÖ Ø ØÓ Ø º Ì Ö ÙÐØ Ö ÓÛÒ Ò ÙÖ º Ú Ò Ø ÓÙ Ø Ö ÙÐØ Ö ÖÓÑ ÓØ Ö Ø Ñ Ò ØÙÖ Ö ÓÑÑÓÒ ÓÖ ÓØ Ó Ø Ñ Ø Ó º Ì ÕÙ ÒØ Þ Ø ÓÒ Ó ÓÒ ÙØ Ò Ø ÐÐ ÔÖ ÒØ Ú Ò Ø ÓÙ Ø Ø Ö Ù Ò Ø Ø Ô ØÓ ÑÓÓØ Ò ÓÙØ Øº Ì ÔÐ Ñ ÒØ Ó Ø Ø Ñ ÓÖ ÑÔ Ø ÓÒ Ø Ö ÙÐØ º Ï Ò Ø Ø ÓÒ Ø Ø ÑÓ Ø ÒØ Ö Ø Ò Ô ÖØ Ò Ø Ò Ö Ý Ô ØÖÙÑ Ö Ø ±.4 Î Û Ö ÓÒ Ó Ø Ô Ò ÒÒ Ð Ô Ò ÓÒ ÙØ Ò Û Ð Ø ÓØ Ö Ø Ý ÓÒ Ø Òغ ÁÒ Ø Ñ Ð Ó Ø Ö ÓÒ Ø Ø ÐÑÓ Ø ÒÓ Ø ÓÒ Ø ÓÒ ÙØ Ò º ÓÖ Ø ÃÙ Ó¹ Ö ÒÛÓÓ ÐÙÐ Ø ÓÒ Ø Ô ÔÔ Ö Ø Ø Ü Ø Ñ Ò Ö ÓÖ ÓØ Ñ Ø Ó Ú Ò Ø ÓÙ Ø Ý Ö Ö ÐÝ Ú Ð º Ì Ö Ò ØÛ Ò Ø Ñ Ø Ó Ò ÜÔÐ Ò Ý Ø Ö ÒØ Ý Ø Ñ ÖÓÑ Û Ø Ö ÙÐØ Û Ö Ó Ø Ò º Ì Ö Ò ÓÑ Þ Ø ÓÒ Ó Ø Ø ÔÐ Ñ ÒØ Ù Ø Ö ÙÐØ ØÓ Ú Ö Ó Ø ÙÐ Ò Ò Ø ÔØ Ó Ø Ô Ö º Ì Ñ ÐÙÐ Ø ÓÒ Û Ö Ð Ó ÓÒ ÓÖ Ö Ø ÓÒ ÒØÖ Ø ÓÒ Ó ½±º Ì Ð Ó Ú Ñ Ð Ö Ú ÓÙÖ Û Ö Ø ÓÒ ÙØ Ò Ô Ò Ö ±.4 κ ÀÓÛ Ú Ö Ø ÔÖÓ Ð Ñ Û Ø Ø Ý Ø Ñ Ø Ø Ø ØÖ Ò ÔÓÖØ ÓÑ Ù Ú Ò ÕÙ Ø ÓÒ Ò ÒÒÓØ Ù Ö Ð ÐÝ ÒÝ ÑÓÖ º ÁÒ Ø Ó ØÙÖ Ø Ò ØÓ ÖØ Ò Ð Ú Ð Ø ÓÒ ÙØ Ò Ô ÓÒ Ö Ò º ÆÓ ÙÖØ Ö Ò ÐÝ Û ÓÒ ÓÖ Ø Ö ÓÒ ÒØÖ Ø ÓÒ ÓÒ Ø Ù Ú ØÝ ½
3 3 3 G (e 2 /h) 2 1 G (e 2 /h) 2 1 G (e 2 /h) 2 1-1 1-1 1-1 1 Ä Ò Ù Ö¹ ØØ Ö Ä Ò Ù Ö¹ ØØ Ö ÙÐ µ ÃÙ Ó¹ Ö ÒÛÓÓ ÙÖ ÓÒ ÙØ Ò Ó Ò ÒÓÖ ÓÒ Û Ø Ø Ú Ò Ô Ò¹ Ô Ò ÒØ ÔÓØ ÒØ Ðº Û ÓÚ Ö ÙØ Ø ÐÓ Ø ÓÒ Ó Ø Ô ÙÔÔÓÖØ Ø Ö ÙÐØ Ò ÖÓÑ Ø ÐÓÛ Ö ÓÒ ÒØÖ Ø ÓÒº Ì ØÙ Ø ÓÒ Ò Ð ØÐÝ Û Ò Ø Ò Ð Ó Ø Ø Ò ØÓ9 º Ì ÔÓØ ÒØ Ð ÒÓÛ ÐÓ Ð ÓÙÔÐ Ò ØÛ Ò Ø Ô Ò ÒÒ Ð Ò ÓØ ÒÒ Ð ÒÓÛ Ú ÒØ ÐÐݺ Ì ÓÙÔÐ Ò ÐÐÓÛ Ô Ò ØÓ Ô Ò Ø ÒÓÛ Ñ Ò Ò ÙÐ ØÓ ÐÙÐ Ø Ø Ô Ò ÔÓÐ Ö Þ Ø ÓÒ ÙÒØ ÓÒ Ó Ø Ñ Ò Ø ÓÒ ØÓ Ø ÓÒ ÙØ Ò º Ì Ø Ô φ ÔØ ÓÒ Ø ÒØ Ø ØÓ Ô Ø ÐÙÐ Ø ÓÒ ÑÔÐ º ÓÒ ÙØ Ò ÓÑÔ Ö ÓÒ ØÛ Ò Ø ØÛÓ Ñ Ø Ó Ò Ò Ò ÙÖ º ÌÓ Ñ Ø ÓÑÔ Ö ÓÒ ØØ Ö Ø Ö Ö ÒÓÛ ØÛÓ Ø Ò Ø Ä Ò Ù Ö¹ ØØ Ö ÐÙÐ Ø ÓÒ Ò Ø Ö ÙÐØ Ò Ú Ö ÓÚ Ö ÑÙÐØ ÔÐ ÓÒ ÙÖ Ø ÓÒ º Ð Ó Ø Ä Ò Ù Ö¹ ØØ Ö Ñ Ø Ý ØÓ Ò Ô Ò¹ ÔÔ Ò ØÖ Ò Ñ ØØ Ò Û Ð Ó ÓÛÒ Ò Ø ÙÖ º ÓÖ ÃÙ Ó¹ Ö ÒÛÓÓ ÓÒÐÝ Ø Ô Ò ÓÒ ÖÚ Ò ÓÒ ÙØ Ò Û ÐÙÐ Ø Ò Ø ÓÛÒ Ø Ø Ò Ò Ú Ö ØÛ Ò Ø ÓÒ ÙØ Ò Ó Ø ØÛÓ Ô Ò º Ì Ö ÙÐØ ÓÒÚ Ö ÐÓÛÐÝ Ò Ø Ò Ø Ú Ö ÐÐÓÛ ØÓ Ø ØØ Ö Ö ÙÐØ Ø Ø Öº Ì ÓÒ ÖÚ Ò ÓÒ ÙØ Ò Ö ÕÙ Ø Û ÐÐ Û Ø ÓØ Öº Ì Ö Ø ÐÐ ÓÑ ÒÓ Ò Ø ÃÙ Ó¹ Ö ÒÛÓÓ ÐÙÐ Ø ÓÒ ÙØ Ø Ø Ô Ö ÐÓ Ø Ø Ø Ñ Ò Ö Ø Ý Ö Ò Ø Ä Ò Ù Ö¹ ØØ Öº ÓØ Ñ Ø Ó Ð Ó Ö ÓÚ Ö Ø ÕÙ ÒØ Þ Ø ÓÒ ÕÙ Ø Û ÐÐ Ú Ò Ø ÓÙ Ø Ø Ö ÐÖ Ý Ù Ò Ø Ð Ú Ð ØÓ Ú Ø ÖÓÑ Ø ÓÖ Ò Ð Ø Ô¹Ð ØÖÙØÙÖ º Ë Ò ÃÙ Ó¹ Ö ÒÛÓÓ ÒÒÓØ ÐÙÐ Ø Ô Ò ÔÔ Ò ÓÒ ÙØ Ò Ø Ñ Û Ý Ä Ò Ù Ö¹ ØØ Ö Ò Ô Ò ÔÓÐ Ö Þ Ø ÓÒ Û ÐÙÐ Ø Ò Ø º ÙÖ ÓÛ Ø ÑÓÙÒØ Ó Ô Ò ÔÓÐ Ö Þ Ø ÓÒ Ø Ö Ô Ø ÖØ Ò ÖÓÑ ÓÑÔÐ Ø ÐÝ ÓÛÒ¹ÔÓÐ Ö Þ Ò Ø Ð Ø Ø ÓÖ Û S(E,) = 1º Ò ÜÔÓÒ ÒØ Ð ÙÒØ ÓÒ Û ØØ ØÓ Ø Ö Ø ¼º Ô Ó Ø ÑÙÐ Ø ÓÒ ÓÖ Ò Ö Ý Ò Ø ÒÚ Ö Ó Ø ØØ Ø Ñ ÓÒ Ø ÒØ Ð Ó ÓÛÒ Ò Ø ÙÖ º Ì ÔÔ Ò ÓÒ ÙØ Ò ÐÙÐ Ø Ý Ø Ä Ò Ù Ö¹ ØØ Ö Ñ Ø Ó ÓÛÒ ÓÑÔ Ö ÓÒ Ò Ø Ñ ÙÖ º ØÛ Ò Ø Ø Ö Ø Ó Ø Ø Ö ÑÓ Ø ÓÖÖ Ð Ø ÓÒ ØÛ Ò Ø ÒÚ Ö Ó Ø Ø Ñ ÓÒ Ø ÒØ Ò Ø ÔÔ Ò ÓÒ ÙØ Ò º ÓØ Ó Ø ØÛÓ Ö Ô Ø Ø Ñ Ò Ö ¾¼
G (e 2 /h) 4 3 2 1 LB LB KG Spin polarization 1.5 -.5 S LB 1/τ.5.4.3.2.1 1/τ (ps -1 ) -1 1 ÓÒ ÙØ Ò -1-1 1 ËÔ Ò ÔÓÐ Ö Þ Ø ÓÒ Ò Ø Ñ ÓÒ Ø ÒØ ÙÖ ÓÒ ÙØ Ò Ô Ò Ö Ð Ü Ø ÓÒ Ø Ñ Ò Ô Ò ÔÓÐ Ö Þ Ø ÓÒ ÓÖ ÔÓØ ÒØ Ð Ø Ò Ò ÒÓÖ ÓÒ º ÙÖ ÓÛ ÓÑÔ Ö ÓÒ ØÛ Ò Ö ÒØ ÓÒ ÙØ Ò Û Ð ÓÛ Ø Ô Ò ÔÓÐ Ö Þ Ø ÓÒ Ø t = 5 Ô Ò Ø Ø Ñ ÓÒ Ø ÒØ ØØ ÓÖ Ø Ö Ø ¼º Ô Ó Ø ÑÙÐ Ø ÓÒº Ì ÔÔ Ò ÓÒ ÙØ Ò Ò Ø Ñ Ø Ò Ð ØÐÝ Ð ØÓ Ú ØØ Ö ÓÑÔ Ö ÓÒº Ò Ú ÖÓÙ ÐÝ Ø Ñ Û Ý ØÛ Ò Ø Ô Ø ÓÒÐÝ Ü ÔØ ÓÒ Ò Ø Ò Ö Ò Ö Þ ÖÓº Ì Ô Ò ÔÓÐ Ö Þ Ø ÓÒ ÓÒ Ø ÓØ Ö Ò Ñ ØÓ Ú Ü ØÐÝ Ø ÓÔÔÓ Ø Û Ý Ø Ñ Ò Ñ Ø Ø Ñ Ò Ö Û Ö Ø ÓØ Ö ØÛÓ Ö Ô º Ì Ñ Ò ÐÝ Ö ÒØ Ö ÙÐØ Ø Ñ ÖÓÑ Ø ÓÒ Ö ÐÝ Ö ÒØ Ú ÓÙÖ Ó Ô Ò ÔÓÐ Ö Þ Ø ÓÒ ÓÖ Ö ÒØ Ò Ö º Ø Ø Ö ÓÒ ÒØ Ò Ö Ó Ø Ø Ø Ò Ò ±.4 Î Ø ÔÓÐ Ö Þ Ø ÓÒ Ó Ö ØÐÝ ØÓ Þ ÖÓ Ò Ø ÔÔ Ò Ö Ø Ø Ö Ø ÖÓÑ Ø Ø Öغ Ø ÔÓÐ Ö Þ Ø ÓÒ Ø ÐÓ Ö ØÓ Þ ÖÓ Ø Ö Ø ÐÓÛ ÓÛÒ Ò Ø Ö Ö ÐÝ ÒÝ Ó ÐÐ Ø ÓÒº Ì ÒÓÒ¹Ö ÓÒ ÒØ Ò Ö Ò Ø ÐÐÝ Ô Ø Ô Ò ÑÙ ÐÓÛ Ö Ò ÖÓÑ Ø ÒÚ Ö Ó Ø Ø Ñ ÓÒ Ø Òغ Ì Ö Ø ÓÛ Ú Ö ÒÖ Û Ø Ø Ñ Ò ÔÓÐ Ö Þ Ø ÓÒ Ø ÖØ ØÓ Ó ÐÐ Ø ÖÓÙÒ Þ ÖÓº Ì Ò Ö Ý Ö Ò ÖÓÑ ¹¼º½ Î ØÓ ¼º½ Î Ö ÔÐ Ø Ø Ä Ò Ù Ö¹ ØØ Ö Ö ÙÐØ Ø ÛÓÖ Ø Ø Ö Ö ÐÝ ÒÝ Ô Ò ÔÔ Ò Ø E = Ú Ò Ø ÓÙ Ø Ö ÓÙÐ ÓÑ º Ì Ô Ø ±.9 Î ÖÓÙ ÐÝ ÓÖÖ ÔÓÒ ØÓ Ø Ô Ò ÓÒ ÙØ Ò ÙØ ØÛ Ò Ø Ñ Ø Ø Ñ ÓÒ Ø ÒØ Ø Ð Ö Ö Ø Ò Ø ÓÙÐ º ÁØ ÒÚ Ö Ú ÐÑÓ Ø ÒØ ÐÐÝ ØÓ Ø Ô Ò ÔÓÐ Ö Þ Ø ÓÒ ÙÒÐ Ò ÒÝ ÓØ Ö Ò Ö Ýº Ì ÒÓÑ ÐÝ ÑÓ Ø Ð ÐÝ Ù Ý Ø Ò ØÖÙØÙÖ Ò Ö Ø Ö ÔÓ Òغ Ù Ø ÑÔÐ Þ Þ Ö ÓÒ Ø Ö Ö ÐÓ Ð Þ Ø Ø Ø E = º Ì ÐÓ Ð Þ Ø ÓÒ Ù Ø ÕÙ ÒØ Ø ØÓ Ó ØÓ Þ ÖÓ Ø Ð ØÖÓÒ Û Ø Ø Ò Ö Ò ÒÓØ ÑÔÐ Ø Ý Ø Ñ Û Ðк Ì Ú ÑÔ Ø ÓÒ Ø Ò ÒÓÖ ÓÒ ³ Ö ÙÐØ º Ä Ò Ù Ö¹ ØØ Ö ÓÛ Ð Ö Ø Ô Ò Ø ÓÒ ÙØ Ò Û Ò Ø Ø Ö ÔÐ ÓÒ Ø Ò Ø Ø Ø Ò Ö Þ ÖÓ Ò Ö Ý Ú Ò Ö ØÓ Ö Ù Ò ÃÙ Ó¹ Ö ÒÛÓÓ º ÌÓ ÙÖØ Ö Ò ÐÝ Ø ¾½
G (e 2 /h) 4 3 2 1 LB LB KG Spin polarization 1.5 -.5 S LB 1/τ 4 3 2 1 1/τ (ps -1 ) -1 1 ÓÒ ÙØ Ò -1-1 1 ËÔ Ò ÔÓÐ Ö Þ Ø ÓÒ Ò Ø Ñ ÓÒ Ø ÒØ ÙÖ ÓÒ ÙØ Ò Ô Ò ÔÓÐ Ö Þ Ø ÓÒ Ò ÒÚ Ö Ø Ñ ÓÒ Ø ÒØ ÓÖ Ö ÓÒ Û Ø Ø ÔÐ ÓÒ Ø º Ø Ô Ò ÔÓÐ Ö Þ Ø ÓÒ Ò ÓÒ ÙØ Ò Û Ö ÐÙÐ Ø Ù Ø Ø Ø Ø Û Ö ÓÒÐÝ ÔÐ ÓÒ Ø Ó Ø Ý Ø Ñº Ì Ö ÙÐØ Ö ÓÛÒ Ò ÙÖ º Ì Ò Ò Ø Ö ÙÐØ Ö Ñ Ö Ð º Ì Ö Ò Ò ÓÒ ÙØ Ò ØÛ Ò Ä Ò Ù Ö¹ ØØ Ö Ò ÃÙ Ó¹ Ö ÒÛÓÓ ÒÓÛ ÑÙ Ñ ÐÐ Ö Ø Ô Ö Ð ÖÐÝ Ú Ð Ð Ó Ò Ø ÃÙ Ó ÐÙÐ Ø ÓÒº Ì Ö Ñ Ò ØÙ Ø ÐÐ ÒÓØ Ð Ö Ò Ø Ä Ò Ù Ö ÐÙÐ Ø ÓÒ ÙØ ÓÑÔ Ö ØÓ Ø ÔÖ Ú ÓÙ Ø Ý Ö ÒÓÛ ÑÙ ÑÓÖ Ú Ð º Ì Ö ÒØ Ø ÔÐ Ñ ÒØ Ð Ó Ø Ø Ä Ò Ù Ö¹ ØØ Ö Ö ÙÐØ Øº Ì Ö ÒÓ ÐÓÒ Ö ÒÝØ Ò ÔÔ Ò Ò Ò Ö E = Ò ÓÒÐÝ Ø Ò Ö ±.4 Î Ò Ø Ò ÓÛ Ú Ø ÓÒ ÖÓÑ Ø Ø Ô ØÖÙØÙÖ º Ú Ò ÑÓÖ Ö Ð Ò Ò Ò Ò Ø Ô Ò ÔÓÐ Ö Þ Ø ÓÒº Ì Ö ÓÒ ÒØ Ò Ö Ø ±.4 Î ÐÖ Ý Ö ÔÔ Ò Ö Ø Ø Ò ÓØ Ö Ò Ö ÙØ Ø Ø Ñ Ø ÒÚ Ö Ó Ø Ø Ñ ÓÒ Ø ÒØ ÖÓÙ ÐÝ ½¼ Ø Ñ Ð Ö Ö Ø Ò Ò Ø ÔÖ Ú ÓÙ º Ì ÔÓÐ Ö Þ Ø ÓÒ Ø Ø Ò Ö Ø ÐÐ Ú Ø Ñ Û Ý Ó Ò Ö ØÐÝ ØÓ Þ ÖÓ Ò ÓÛ Ò ÒÓ Ó ÐÐ Ø ÓÒº ÁÒ Ø Ö Ò Ö Ø Ö Ð Ü Ø ÓÒ Ø Ñ Ó Ò³Ø Ò ÑÙ Ò Ø Ö Ò Ö ÑÓ ØÐÝ Ò Ò Ø ÑÓÙÒØ Ó Ô Ò ÔÓÐ Ö Þ Ø ÓÒº Ì Ø Ñ ÑÓ Ø Ó Ø Ò Ö Ý Ö Ò Ó Ò³Ø Ú ÒÝ Ó ÐÐ Ø ÓÒ ÓÖ Ø ÔÓÐ Ö Þ Ø ÓÒ Ü ÔØ ÓÖ Ø Ò Ö ÖÓÙÒ Ö ÓÒ Ò º Ì ÑÓ Ø ÙÖ ÓÙ Ò ÓÛ Ú Ö Ø Ú ÓÙÖ Ò Ö Þ ÖÓº ÁÒ Ø Ó Ø Ð Ò Ö Ö Ø Ö ÖÔ ÖÓÔ ØÓ Þ ÖÓ 1/τ Ò Ô Ò ÔÓÐ Ö Þ Ø ÓÒ Ø Ò ØÓ Þ ÖÓ Ò ÑÙ ÑÓÓØ Ö Û Ýº Ò Ø Ò Ö ÑÓ Ø Ð ÐÝ Ù Ý Ø Ø Ø º Ì ÔÓØ ÒØ Ð ØÓ Ø Ø ÖÙÔØ Ø Ø Ø Ò Ö Ò Ò Ø Ú ÓÙÖ Ò ÜÔ Ø º ¾¾
σ (e 2 /h) 1 3 3. 2.5 2. 1.5 1..5. Pure.1% up.1% down 1% up 1% down -1 1 σ (e 2 /h) 2 15 1 5 ev.5 ev -.5 ev 1 2 t (ps) ÙÖ ÓÒ ÙØ Ú ØÝ ÓÖ ÔÙÖ Ö Ô Ò Ò ÔÓØ ÒØ Ð Ø Ø ÓÒ ÒØÖ Ø ÓÒ Ó ¼º¼½± Ò ½±º ÓÒ ÙØ Ò ÓÖ ÔÙÖ Ö Ô Ò Ò ÐÓÛ ÓÒ ÒØÖ Ø ÓÒ Ú Ò Ñ ÙÖ Ø ÔÖÓÔ Ø ÓÒ Ð Ò Ø Ó ½¼¼¼ ÒÑ Û Ð Ø Ö ÓÒ ÒØÖ Ø ÓÒ Ø Ò ÖÓÑ t =.6 Ô º ÓÒ ÙØ Ú ØÝ ÙÒØ ÓÒ Ó Ø Ñ Ø Ö ÒØ Ò Ö ÓÖ ½± ÓÒ ÒØÖ Ø ÓÒº º º º½ ËÔ Ò¹ Ô Ò ÒØ ÈÓØ ÒØ Ð Ò Ö Ô Ò ËÔ Ò ÓÒ ÖÚ Ò ÔÓØ ÒØ Ð Ú Ò Ø ÓÙ ÃÙ Ó¹ Ö ÒÛÓÓ Ñ Ø Ó ÔÖÓ Ù ÓÖÖ Ø Ö ÙÐØ Ò Ø Ò ÒÓÖ ÓÒ Ø ÓÙØÔ Ö ÓÖÑ Ý Ø Ä Ò Ù Ö¹ ØØ Ö Ñ Ø Ó º Ì ÓÑ ØÖÝ Ó Ø Ý Ø Ñ Ù Ø Ö ÙÐØ ØÓ ÓÒÚ Ö ÐÓÛÐÝ Ù Ø ÐÓÒ ÙØ Ò ÖÖÓÛ Ô Ð Ñ Ø Ø ÑÓÙÒØ Ó Ý Ø Ñ Ö Ò ÓÑ Ú ØÓÖ Ò ÑÔÐ º ÒÓØ Ö Ø Ò ØÓ ÓÒ Ö Ò Ø Ö ÓÒ Ø ÔÖ Ò Ó Ø Ø Ø º Ù Ø Þ Þ Ø Ø Ö ÐÓ Ð Þ Ø ÃÙ Ó¹ Ö ÒÛÓÓ Ñ Ø Ó ØÖÓÙ Ð Ö Ò Ø Ñº ÐÐ Ó Ø ÔÖÓ Ð Ñ Ò ÚÓ Ý ÑÓÚ Ò ØÓ ¾¹ Ñ Ò ÓÒ Ð Ý Ø Ñº ÁÒ Ö ÙÐ Ö Ö Ô Ò Û ÓÒ³Ø Ú ØÓ ÛÓÖÖÝ ÓÙØ Ø Ð Ñ Ø Ø ÓÒ Ú Ò Ý Ø Ò ÖÖÓÛ Ý Ø Ñ Ò Ø Ð Ó Ø Ø Ñ Ø ÐÙÐ Ø ÓÒ Öº Ì Û Ý Ø Ñ ÒÒÓØ Ö Ý Ø Ä Ò Ù Ö¹ ØØ Ö Ñ Ø Ó Ø Ð Ù ÐÐÝ Û Ø Ö Ô Ø ØÓ Ø Û Ø Ó Ø Ý Ø Ñ Ò ÃÙ Ó¹ Ö ÒÛÓÓ ÓÑ ØØ Ö Ó Ø ØÛÓ Ñ Ø Ó º Ì Ò Ö Ô Ò ÔÐ Ø ÓÖÑ ÓÖ Ø Ñ Ø Ö ØÓ ÐÓÓ ÒØÓ ÒØÖ Ò ÔÖÓÔ ÖØ Ó Ø Ø º Ï Ø Ô Ö Ó ÓÙÒ ÖÝ ÓÒ Ø ÓÒ Ø Ö Ú ÖØÙ ÐÐÝ ÒÓ ÓÒØÖ ÙØ ÓÒ ÖÓÑ Ò Ø Ð Ö Ý Ø Ñ Þ ÙÖØ Ö Ö Ù Ø Ò Ø ¹ Þ Ø º Ï Ø ÖØ Û Ø Ø Ñ ÔÓØ ÒØ Ð Ø Û Ù Û Ø Ø Ö ÓÒ º ÌÓ Ô Ø Ö ÙÐØ ÓÑÔ Ö Ð ØÓ Ø ÔÖ Ú ÓÙ ÓÒ Ø ØÖ Ò Ø Ó Ø Ô Ò¹ Ô Ò ÒØ ÔÓØ ÒØ Ð ÔØ Ø Ñ Ø ±2 κ Ï Ð Ó Ø ÖØ Û Ø Ø Ñ Ø ÓÒ ÒØÖ Ø ÓÒ Ó ¼º¼½± ÙØ Ø Ø Ñ Û Ð Ó ÐÓÓ ÒØÓ Ö ÓÒ ÒØÖ Ø ÓÒ Ò ÑÓÖ Ø Ðº ¾
Ò Ò ÙÖ Ø ÔÓØ ÒØ Ð Ø Ó ÒÓØ Ø Ø ÓÒ ÙØ Ò ÑÙ Ò ÐÓÛ ÓÒ ÒØÖ Ø ÓÒ º Ì ÓÒ ÙØ Ò Ð ØÐÝ Ñ ÐÐ Ö Û Ø Ø Ò Ø Ý Ø Ñ ÙØ Ø ÓÚ Ö ÐÐ Ú ÓÙÖ Ø Ý Ø Ñ Ò Ø ÓÛÒ Ò Ö Ý Ö Ò º Ì Ö Ò ÓÑ Ð Ö Ö Ø Ö Ò Ö ÙØ Ò Ø Ý Ö ÐÖ Ý ÓÙØ Ó Ø Ú Ð Ö Ò ÓÖ Ø Ø¹ Ò Ò ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÒ Ø Ý Ö ÒÓØ Ò ÐÝ ÙÖØ Öº Ø ÓÒ ÒØÖ Ø ÓÒ Ó ÙÔ Ø Ö Ò ÓÑ ÔÔ Ö Òغ Ï Ð Ø ØÖ Ò ÔÓÖØ ÐÐ Ø Ò Ø ÐÓÛ Ö ÓÒ ÒØÖ Ø ÓÒ Ø ÒÓ ÐÓÒ Ö Ø Ò Ø Ö ÓÒ ÒØÖ Ø ÓÒº Ì ÓÒ ÙØ Ú ØÝ Ó ÒÓØ Ú Ö ÙØ ØÙÖ Ø ØÓ ÓÑ Ð Ú Ð Ô Ò Ò ÓÒ Ø Ò Ö Ýº Ù Ó Ø ØÙÖ Ø ÓÒ Ø Ö ÒÓ Ò ØÓ Ñ ÙÖ Ø ÓÒ ÙØ Ú ØÝ Ø ÓÒ Ø ÒØ Ð Ò Ø Ð º ÁÒ Ø Ø Ð Ò Ø Ø Û Ø ÓØ Ö ÓÒ ÙØ Ú Ø Û Ö Ñ ÙÖ ½¼¼¼ ÒÑ Û ÒÓØ Ö Ò Ø Û ÓÐ Ò Ö Ý Ö Ò Ý Ø Ò Ó Ø ÑÙÐ Ø ÓÒ Ø Ñ ¾ Ô º Ì ÐÓÒ Ö ÑÙÐ Ø ÓÒ Ø Ñ Ö ÕÙ Ö ØÓ Ö Ø Ð Ò Ø ÛÓÙÐ Ñ Ø ÑÙÐ Ø ÓÒ ÖÙÒ ÓÒ Ö ÐÝ ÐÓÒ Ö Ò ÓÖØ Ö Ø Ñ Ø Ô ÛÓÙÐ Ú ØÓ Ù ØÓ Ñ Ò Ñ Þ Ø ÖÖÓÖ Ñ Ò Ø Ø Ñ ÚÓÐÙØ ÓÒº Ì Ñ Ò Ó ÖÚ Ø ÓÒ ÖÓÑ Ø Ú ÓÙÖ Ó Ø ÔÓØ ÒØ Ð Ø Ø Ø Ø ÓÒ ÙØ Ú ØÝ ÓÑ ÝÑÑ ØÖ Û Ø Ö Ô Ø ØÓ Ø Þ ÖÓ Ò Ö Ýº Ì ØÛÓ Ô Ò¹ ÒÒ Ð Ö ÝÑÑ ØÖ ØÓ ÓØ Ö ÙØ Ò Ó Ø Ñ Ø ÝÑÑ ØÖÝ ÖÓ Òº Ì ÓÒ ÙØ Ú ØÝ ÓÑ Ñ ÐÐ Ö ÓÒ Ø Ø Û Ø ÔÓØ ÒØ Ð ÓÖ Ü ÑÔÐ Ò ÙÖ Ø ÙÔ¹ÓÒ ÙØ Ú ØÝ Ñ ÐÐ Ö Ø Ò Ø Ú Ò Ö Û Ò Ø ÔÓØ ÒØ Ð ØÖ Ò Ø ÓÖ ÙÔ¹ Ø ¹¾ κ Ì Ö Ð Ø Ú Ö Ò ÑÓ Ø Ò Ø Ñ ÐÐ Ö ÓÒ ÒØÖ Ø ÓÒ ÙØ Ø ÓÑ ÓÒ Ö Ð Ò Ø Ð Ö Ö ÓÒ ÒØÖ Ø ÓÒº ÙÖ ÓÛ Ø Ø Ñ ÚÓÐÙØ ÓÒ Ó ÓÒ ÙØ Ú ØÝ Ø E = Î Ò E = ±.5 Î ÓÖ Ø Ö ÓÒ ÒØÖ Ø ÓÒ Ó Ø º ÓÖ E = ±.5 Î Ø ØÙÖ Ø ÓÒ ÐÖ Ý Ò ÙØ Ø Þ ÖÓ Ò Ö Ý Ø Ñ Ü ÑÙÑ ÒÓØ Ý Ø Ö º ÄÓÒ Ö ÑÙÐ Ø ÓÒ ÛÓÙÐ Ò ØÓ Û Ø Ö Ø ÓÒ ÙØ Ò Ø Ý ÓÒ Ø ØÙÖ Ø Ð Ú Ð ÓÖ Ø ÖØ Ý Ò º Ù Ó ÔÓÓÖ ÓÒÚ Ö Ò Ø ÑÙÐ Ø ÓÒ Ø Ñ ØÓ Ð Ñ Ø ØÓ Ñ Ü ÑÙÑ Ó ¾ Ô ÓÒÚ Ö Ò Ö ÕÙ Ö ÑÓÖ Ö Ò ÓÑ Ú ØÓÖ Ø Ò Ù Ù ÐÐݺ Ì ÔÖÓ Ð Ñ Û Ø ÓÒÚ Ö Ò Ö Ù Ý Ø ÙØÙ Ø ÓÒ Ó Ø ÓÒ ÙØ Ú ØÝ Û Ò Ò Ø Ú Ö ØÝ Ó Ø Ö ÙÐØ ÐÙÐ Ø Ù Ò Ò Ð Ö Ò ÓÑ Ú ØÓÖ º ËÓÑ Ú ØÓÖ Ú ÐÑÓ Ø ÐÐ Ø ÐÐÝ Û Ð ÓØ Ö ÓÛ Ú ÓÙÖ Û Ø Ý Ò ÓÒ ÙØ Ò º Ï Ò Ø Ú Ö Ø Ò ÓÚ Ö ÑÙÐØ ÔÐ Ö Ò ÓÑ Ú ØÓÖ Ø Ö ÙÐØ ÓÑ Ù Ú Ò ØÙÖ Ø ÓÒ Ó ÖÚ º ÇÒ Û Ý Ó ÑÔÖÓÚ Ò Ø ÓÒÚ Ö Ò ÛÓÙÐ ØÓ Ù Ð Ö ÑÓÙÒØ Ó Ý Ú ÑÓ¹ Ñ ÒØ Ò Ø ÐÙÐ Ø ÓÒº Ì Ö ÙÐØ Ò ÙÖ Û Ö ÐÙÐ Ø Û Ø N m = 3 ÓÒ Ö ÐÝ Ú ÐÙ º À Ö ÒÙÑ Ö Ó ÑÓÑ ÒØ Ò ÙÖ ÐÐ ØÙÖ Ö ÔØÙÖ Ò Ø Ö ÙÐØ ÙØ Ø Ð Ó Ñ ÒÓ ÑÓÖ Ò Òغ ÄÓÛ Ö Ò Ø ÑÓÙÒØ ÛÓÙÐ ÑÓÓØ Ò Ø Ö ÙÐØ Û Ø Ö Ô Ø ØÓ Ò Ö Ý Ò ÑÓ Ø Ó Ø Ò Ö Ý Ö Ò ÛÓÙÐ ÑÔÖÓÚ Ñ ÒØ Ò Ø Ö ÙÐØ º Ì ÔÖÓ Ð Ñ Ø Ô ÖØ Ø Ò Ö Ò Ö Þ ÖÓº Ò Ò ÙÖ Ø Ö Ò Ò ÓÒ ÙØ Ú ØÝ Ø Ø Þ ÖÓ Ò Ö Ý Û Ö Ø Ð Ò Ö ÐÓÔ Ñ Ø ÓØ Öº Á Ø ÒÙÑ Ö Ó ÑÓÑ ÒØ Û Ö Ø ÓÒ ÙØ Ú ØÝ ÛÓÙÐ Ú ÑÓÓØ ÐÝ Ð Ó Ø Þ ÖÓº Ì ÙÒÛ ÒØ Ú ÓÙÖ Ø ÓÒ ÙØ Ú ØÝ Ò Ö Þ ÖÓ ÛÓÙÐ Ò Û Ý ØÓÓ Ð Ö Ú ÐÙ º Ì Ø Ó Ø ÒÙÑ Ö Ó ÑÓÑ ÒØ ØÙ ÑÓÖ Ð Ø Öº ¾
σ (e 2 /h) 25 2 15 1 5 θ= π/2 θ= -1 1 Spin polarization 1.5 -.5-1.5 1 t (ps) ÙÖ ÓÛÒ¹ Ô Ò ÓÒ ÙØ Ú ØÝ ÓÖ ÔÓØ ÒØ Ð Ø Ò Ö Ô Ò Û Ø ØÛÓ Ö ÒØ Ø Ò Ð ÓØ Ñ ÙÖ Ø t =.6 Ô º ËÔ Ò ÔÓÐ Ö Þ Ø ÓÒ ÙÒØ ÓÒ Ó Ø Ñ Ø E =.5 κ ÓØ ÙÖ Ö ÓÖ Ö Ô Ò Û Ø ½± ÓÒ ÒØÖ Ø ÓÒ Ó ÔÓØ ÒØ Ð Ø º º º¾ ËÔ Ò ÔÔ Ò ÔÓØ ÒØ Ð Ì ÓÒ ÙØ Ò Ú Ø ÙÖÔÖ Ò ÐÝ Û Ò Ø Ø Ò Ð Ö ØÙÖÒ ØÓ π/2º ÓØ ÙÔ Ò ÓÛÒ ÓÒ ÙØ Ú Ø Ú Ø Ñ Ú ÐÙ ÜÔ Ø ÙØ Ò Ò ÙÖ Ø Ú ÐÙ Ñ ÐÐ Ö Ø Ò Ø Ö Ó Ø ÓÒ ÙØ Ú Ø Ò Ø θ = º Ì ÓÒ Ö ÐÝ Ö ÒØ Ú ÓÙÖ Ø Ò ÓÖ Ø ÐÓÛ Ö ÓÒ ÒØÖ Ø ÓÒ Ó Ø Ò Ò ÒÓÖ ÓÒ ÓÖ Û Ø ÓÒ ÖÚ Ò ÓÒ ÙØ Ò Ø θ = π/2 Û ÑÙ ÑÓÖ Ð Ú Ö Ó Ø ÙÔ Ò ÓÛÒ ÓÒ ÙØ Ò ÖÓÑ θ = º Ì Ö ÙÐØ Ó Ø ÙÖ Ö ÐÙÐ Ø ÓÖ ½± ÓÒ ÒØÖ Ø ÓÒ Û Ñ Ý ÜÔÐ Ò Ø Ö Ò Ø Ö ÓÒ Ö ÙÐØ Û Ö Ø Ò ÖÓÑ ¼º¼½±º Ö Ò Ò Ø Ö ÖÖ Ö ÑÓ Ð ØÝ Ó ÒÓØ Ø Ø Ö ÙÐØ Ù Ø Ö ÙÐØ Ö Ø Ñ Ö Ö Ð Ó Û Ø Ö Ø ÓÒ ÙØ Ú ØÝ Ñ ÙÖ Ø ÓÒ Ø ÒØ Ø Ñ ÓÖ Ð Ò Ø º ÁÒ ÒÝ Ø ÓÙÔÐ Ò ØÛ Ò ÙÔ Ò ÓÛÒ Ø Ñ ØÓ Ù Ò ÑÓÖ Ö ØØ Ö Ò Ø Ò Ø ÓÖÖ ÔÓÒ Ò Ô Ò¹ÓÒ ÖÚ Ò ÔÓØ ÒØ Ð Ð Ò ØÓ Ñ ÐÐ Ö ÓÒ ÙØ Ò º Ï Ò Ø Ô Ò ÔÓÐ Ö Þ Ø ÓÒ ÓÖ ½± ÓÒ ÒØÖ Ø ÓÒ ÐÙÐ Ø Ø ÒÓÛ ÔÔ Ö ÒØ Ø Ø Ø Ú ÑÔ Ó ÐÐ ØÓÖ Ö Ý ÕÙ Ø ÓÒ S(t) = e t/τ cos(ωt), ¼µ Û Ö τ Ø Ø Ñ ÓÒ Ø ÒØ ÓÖ ÑÔ Ò Ò ω Ø Ò ÙÐ Ö Ö ÕÙ ÒÝ Ó Ø Ó ÐÐ ¹ Ø ÓÒº Ò Ò ÙÖ Ø ÔÓÐ Ö Þ Ø ÓÒ Ó ØÓ Þ ÖÓ ÕÙ Ø Ø ÙØ Ð Ö ÒÙ Ó Ð Ó ÐÐ Ø ÓÒ Ó ÖÚ ÓÖ Ø Ø ÔÔ Ò º Ì ÕÙ Ø ÓÒ Ø ÜÔÓÒ ÒØ Ð Ø Ñ ØÓ Ø ÔÓÐ Ö Þ Ø ÓÒ Ò Ö ÓÒ ÖÐ Öº ÁØ ÔÓ Ð Ø Ø Ø Ú ÓÙÖ Ò Ø Ö ÓÒ Ð Ó ÓÐÐÓÛ Õº ¼ Ò Ø Ó ÑÔÐ ÜÔÓÒ ÒØ Ð Ý ÙØ Ò Ø Ø Û Ø Ò Ñ ÓÒÐÝ ÓÖ Ø ÒÒ Ò Ó Ø ÑÙÐ Ø ÓÒ Û Ø ÒÓ ÔÖ ÒØ Ó ÐÐ Ø ÓÒ Ø Ö ÙÐØ ÓÙÐ Ø ÐÐ Ú Ð º ¾
ω (ps -1 ) 1/τ (ps -1 ).4.3.2.1.6.5.4 ω (ps -1 ) 1/τ (ps -1 ) 4 3 2 1 6 5 4 ω (ps -1 ) 8 7 6 5 4 3 2 1-2 -1 1 2.5 1 1.5 2 2.5 Potential (ev) µ 1/τ (ps -1 ) 4 35 3 25 2 15 1-2 -1 1 2 5.5 1 1.5 2 2.5 Potential (ev) ÙÖ µ ØØ Ò Ô Ö Ñ Ø Ö ω ÐÓÛ Öµ Ò τ ÙÔÔ Öµ ÖÓÑ Õº ¼ ÓÖ ÔÓØ ÒØ Ð Ø Û Ø θ = π/2 Ò ÔÓØ ÒØ Ð ØÖ Ò Ø ±2 Î Ò Ö Ô Ò º Ì Ø ÓÒ ÒØÖ Ø ÓÒ Ö ¼º¼½± Ò ½±º µ ËÔ Ò ÔÖ ÓÒ Ô ω Ñ ÙÖ Ø E = Î ÓÖ Ö ÒØ ÔÓØ ÒØ Ð ØÖ Ò Ø º ÁÒÚ Ö Ó Ô Ò Ö Ð Ü Ø ÓÒ Ø Ñ τ Ñ ÙÖ Ø E = 1 κ Ì ÓÐ Ð Ð Ò Ò Ð Ø ØÛÓ ÙÖ ÓÛ Ð Ò Ö Ò ÕÙ Ö Ø Ø ØÓ Ø Ø ÔÓ ÒØ º ÙÖ ÓÛ Ø ØØ Ò Ô Ö Ñ Ø Ö ÙÒØ ÓÒ Ó Ò Ö Ý ÓÖ ÓØ ¼º¼½± Ò ½± ÓÒ ÒØÖ Ø ÓÒ Ó ÔÓØ ÒØ Ð Ø Ò Ö Ô Ò º ÍÒÐ Û Ø Ø Ö ÓÒ Ø Ö Ö ÒÓ Ö ÓÒ ÒØ Ò Ö ÓÖ Ø Ø Û Ö Ø Ú ÓÙÖ ÛÓÙÐ Ô Ð Ò ÓÑ Û Ýº Ì ÙÔÔÓÖØ Ø Ó ÖÚ Ø ÓÒ Ø Ø Ø Ö ÓÒ ÒØ Ò Ö ÓÖ Ö ÓÒ Û Ö Ù Ý Ø Ø Ø Ó Ø Ý Ø Ñº Ú ÑÙ Ñ ÐÐ Ö ÖÓÐ Ò Ø Ö Ô Ò Ò Ô Ö Ó ÓÙÒ ÖÝ ÓÒ Ø ÓÒ Ñ Ø Ñ Ú Ò Ð ÑÔÓÖØ ÒØ Ò Û Ý Ø ÔÓ Ð Ñ ÐÐ ÓÒØÖ ÙØ ÓÒ Ó Ø Ø º Ï Ò Ø Ö ÙÐØ Ó Ø ØÛÓ ÓÒ ÒØÖ Ø ÓÒ Ö ÓÑÔ Ö Ø Ö Ñ Ð Ö ØÝ ØÓÙÒ Ò º Ì Ø Ñ ÓÒ Ø ÒØ Ú ÓÑÔÐ Ø ÐÝ Ö ÒØ Ñ Ò ØÙ Ò Ø ØÛÓ Ý Ø Ñ ÙØ Ø Ö Ú ÓÙÖ Ü ØÐÝ Ø Ñ º Ì Ñ ÐÐ Ö ÓÒ ÒØÖ Ø ÓÒ Ó Ú Ð ØÐÝ ÑÓÖ ÖÓÙ Ò Ò Ø Ô ÙØ Ø ÑÓ Ø Ð ÐÝ Ù Ý Ø ÐÓÛ Ö Ó ÐÐ Ø ÓÒ Ò Ø Ý Ø Ñº Ï Ò Ø Ö Ö ÐÝ ÒÝ Ó ÐÐ Ø ÓÒ ÙÖ Ò Ø Ø Ñ ÓÖ Û Ø Ø Ñ Ø Ö Ö ØÓ Ó Ø Ø ÙÖ Ø Ðݺ ¾
ÒÓØ Ö ÙÖ ÓÙ Ó ÖÚ Ø ÓÒ Ø Ø Ø Ö Ø Ó ØÛ Ò Ø Ö ÙÐØ Ø Ò Ö Ý Ö Ñ Ö ¹ ÐÝ ÐÓ ØÓ ¼º¼½ Ø Ö Ø Ó Ó Ø Ø ÓÒ ÒØÖ Ø ÓÒ º Ì Ù Ø Ø Ø ÓØ Ó Ø ÒÚ Ö µ Ø Ñ ÓÒ Ø ÒØ Ð Ð Ò ÖÐÝ Û Ø Ö Ô Ø ØÓ Ø Ø Ò Øݺ Ì Ú ÓÙÖ Ð Ó ÒÓÙÒØ Ö Û Ø ÓØ Ö Ñ Ð Ö Ô Ò¹ ÔÔ Ò Ý Ø Ñ º ËÓ Ö ÐÐ Ó Ø ÔÓØ ÒØ Ð Ø ÐÙÐ Ø ÓÒ Ú Ò Ñ Û Ø Ø Ñ ÔÓØ ÒØ Ð ØÖ Ò Ø ±2 κ Ï Ð Ø Ú Ò ÔÖ ØØÝ ÓÓ Ö ÙÐØ Ø Ø Ó Ö ÒØ ÔÓØ ÒØ Ð ØÖ Ò Ø ÓÙÐ Ð Ó º ÌÓ Ó Ø Ø ÐÙÐ Ø ÓÒ Û Ö Ö Ô Ø Û Ð Ø ØÖ Ò Ø Û Ú Ö ÖÓÑ ¼º Î ØÓ ¾º κ ËÔ Ò ÔÓÐ Ö Þ Ø ÓÒ Ø ÐÐ ÓÛ ÑÔ Ó ÐÐ ØÓÖÝ Ú ÓÙÖ Ø ÖÓÙ ÓÙØ Ø Û ÓÐ Ö Ò Ò ÓØ Ø Ñ ÓÒ Ø ÒØ Ú Ø Ñ ÙÒØ ÓÒ Ó Ò Ö Ýº Ì Ú ÐÙ Ó Ø ÓÒ Ø ÒØ Ø Ð Ø Ò Ö Ò Ò Ò ÙÖ Ò º ÓÖ ω Ø Ú ÐÙ Ö Ø Ò ÖÓÑ E = Î Ò ÓÖ τ Ø Ý Ö ÖÓÑ E = 1 κ Ì Ø Ñ ÓÒ Ø ÒØ Ñ ØÓ Ó Ý ÑÔÐ Ð Ò Ö Ò ÕÙ Ö Ø Ð Ò Ò ÖÓÑ Ø Ø ÓÒ ØÓ Ø Ø º Ì Ð Ò Ö Ð Ò Ó ω ÜÔ Ø Ó ÐÐ Ø ÓÒ Ô Ù Ù ÐÐÝ Ô Ò ÓÒ Ø Ò Ö Ý Ö Ò ØÛ Ò Ø ØÛÓ Ø Ø ØÛ Ò Û Ø Ó ÐÐ Ø ÓÒ ÔÔ Ò Ò º Ë Ò Û Ö ÓÒØÖÓÐÐ Ò Ø ÔÓØ ÒØ Ð ÓÖ Ô Ò ÒÒ Ð Û Ö ÒØ ÐÐÝ Ò Ò Ø Ö Ò Ö Ð Ò ØÓ Ø Ð Ò Ö Ð Ò º Ì ÕÙ Ö Ø Ú ÓÙÖ Ó τ ÓÒ Ø ÓØ Ö Ò Ò ÜÔÐ Ò Ý Ø Ñ Ò Ñ Ù Ò Ô Ò ØØ Ö Ò º Ì ØÛÓ ÓÒÚ ÒØ ÓÒ Ð Ñ Ò Ñ Ö ÐÐ ÐÐ Óع Ø µ Ò Ý ÓÒÓÚ¹È Ö Ð Èµ º ÓØ Ó Ø Ñ Ð Ø Ô Ò Ö Ð Ü Ø ÓÒ Ø Ñ τ s 1/ 2 Û Ø Ò Ø ÔÓØ ÒØ Ð Ö Ò ØÛ Ò Ô Ò ÒÒ Ð ¼ ÜÔÐ Ò Ò Ø Ó ÖÚ Ø ÓÒº Ì ÓÑ Ò ÒØ Ñ Ò Ñ Ó Ø ØÛÓ Ù Ù ÐÐÝ Ö Ñ Ò Ø Ý Ø Ö Ð Ø Ú Ú ÓÙÖ Ó τ Ò τ p Ø ÑÓÑ ÒØÙÑ Ö Ð Ü Ø ÓÒ Ø Ñ ½ º ÁÒ ÓÙÖ Û ÒÒÓØ Ù Ø Ò ÓÖÑ Ø ÓÒ ØÓ Ô Ý Ø ÙÒ ÖÐÝ Ò Ñ Ò Ñ Ù Ø ØÛÓ Ö Ð Ü Ø ÓÒ Ø Ñ Ö ÙÒÓÙÔÐ º Æ Ú ÖØ Ð Ø Ø Ø Ø ÓØ Ñ Ò Ñ Ú Ñ Ð Ö Ð Ò Û Ø Ö Ô Ø ØÓ ÔÓØ ÒØ Ð ØÖ Ò Ø ÙÔÔÓÖØ ÓÙÖ Ö ÙÐØ º º ØÓÑ ÈÐ ÕÙ ØØ Ì ÔÓØ ÒØ Ð Ø ØÙ Ò Ø ÔÖ Ú ÓÙ Ø ÓÒ ÓÙÐ ÓÒ Ö ÔÙÖ ÐÝ Ñ Ø ¹ Ñ Ø Ð Ø º Ï Ð ÓÑ Ø Ò Ñ Ð Ö ÓÙÐ Ú Û Ø º º Ð Ø ØÓÑ ÓÒ ØÓÔ Ó Ø Ö ÓÒ ØÓÑ Ø ÔÓØ ÒØ Ð ØÖ Ò Ø ÕÙ Ø ØÖÓÒ ÓÖ ÒÝ Ú Ð Ö Ð¹ÛÓÖÐ Ø º Ø ÓÒ ÐÐÝ Ö Ð ÛÓÖÐ Ø Û ÐÐ ÑÓ Ø Ð ÐÝ Ø ÑÙÐØ ÔÐ Ø Ò Ò ÑÓÖ ÓÑÔÐ Ø Ø Ò ÑÔÐ Ô Ò¹ Ô Ò ÒØ ÔÓØ ÒØ Ð ÓÒ Ò Ð Ø º ÇÒ Û Ý ØÓ ÔÔÖÓ Ø ÑÓÖ Ö Ð Ø Ô Ò Ö Ð Ü Ø ÓÒ Ñ Ø Ó Ø Ó¹ ÐÐ Ê Ð Û Ò Ò Ò Ø Ø Ø¹ Ò Ò À Ñ ÐØÓÒ Ò ÓÑÔÐ Ü Ô Ò¹ ÔÔ Ò ÓÔÔ Ò º Ì Ê À Ñ ÐØÓÒ Ò Ú Ò Ý Ĥ R = iv R z ( s d ij ) i j, ½µ i,j Û Ö Ø ÙÑ Ó ÓÚ Ö Ø Ò Ö Ø Ò ÓÙÖ Ø Ý Ø Ê Ð z ÙÒ Ø Ú ØÓÖ ÒÓÖÑ Ð ØÓ Ø ÔÐ Ò s Ú ØÓÖ ÓÖÑ ÖÓÑ È ÙÐ Ñ ØÖ Ò d ij ÙÒ Ø Ú ØÓÖ ÐÓÒ Ø ÓÒ ØÛ Ò Ø i Ò jº Ì À Ñ ÐØÓÒ Ò Ñ Ý Ñ Ø ÓÑÔÐ Ø ÙØ ¾
Û Ò ÛÖ ØØ Ò ÓÙØ Ò Ø Ô Ò Ø Ø ÖÑ Ò ÙÑÑ Ú ØÙ ÐÐÝ ÕÙ Ø ÑÔÐ ÓÖÑ [ ] cosφ+isinφ, ¾µ cosφ+isinφ Û Ö φ Ø Ò Ð ØÛ Ò Ø ÓÒ Ò Ø Ü¹ Ü º ÁØ Ý ØÓ ÖÓÑ Ø ÓÖÑ Ø Ø Ø Ô Ò¹ ÔÔ Ò ÓÔÔ Ò Ú ÓÒ Ø ÒØ Ñ Ò ØÙ ÙØ Ø Ö ÓÑÔÐ Ü Ô Ô Ò ÓÒ Ø ÓÖ ÒØ Ø ÓÒ Ó Ø ÓÒ º ÁØ Ò Ó ÖÚ ÜÔ Ö Ñ ÒØ ÐÐÝ Ø Ø Ê Ð Ò Ò Ù Ý ÚÝ ØÓÑ Ù ÓÐ ØØ Ò Ò Ø ÓÐÐÓÛ Ø Ó Ö Ô Ò Ð ØØ ¾ º Ì ØÝÔ Ó Ê Ø Ò ØÙ Ý Ú Ò ÌÙ Ò Ø Ðº º ÁÒ Ø ÑÓ Ð Ø Ý Ù ÓÐ ØÓÑ ØØ Ò Ò Ø Ñ Ð Ó Ö Ô Ò Ü ÓÒ Ò Ù Ê Ð ØÓ Ø ÙÖÖÓÙÒ Ò Ö ÓÒ Ø º ÁÒ Ø ÓÒ ØÓ Ø Ê Ô ÖØ Ø Ý Ð Ó ÒÐÙ ÒØÖ Ò Ô Ò¹ÓÖ Ø ÓÙÔÐ Ò Ò ÔÓØ ÒØ Ð Ø Ó Ø Û Ø Ø ØÓÑ º Ì À Ñ ÐØÓÒ Ò Ù Ø ÓÖÑ Ĥ = H + 2i V I d 3 i,j R s ( kj d ik ) i j +H R µ i i, µ i R Û Ø R Ò Ø Ø Ó ÔÐ ÕÙ ØØ Ò ÜØ ØÓ Ø ØÓÑ Ò i,j R ÒÓØ Ò Ø Ò Üع Ò Ö Ø ÓÔÔ Ò Û Ø Ò Ø ÔÐ ÕÙ ØØ º Ì ÒØÖ Ò Ô Ò¹ÓÖ Ø ÓÙÔÐ Ò Ò ÛÖ ØØ Ò ÓÙØ Ñ Ð Ö ØÓ Û Ø Û ÓÒ Û Ø Ø Ê Ô ÖØ Ò Ø ÑÔÐÝ Ò Ù Ô Ò¹ Ô Ò ÒØ ¾Ò ¹Ò Ö Ø Ò ÓÙÖ ÓÔÔ Ò Û Ø Ò Ø ÔÐ ÕÙ ØØ º Ì ÓÔÔ Ò ÓÑ ±i/ 3V I Ò Ø Ö ÒÓ ÓÙÔÐ Ò ØÛ Ò Ø ÓÔÔÓ Ò Ô Ò º Ì ÐÓ Ð ÔÓØ ÒØ Ð Ø Ò Ù Ø Ö ÐÓ Ð Ö Ö ØÖ ÙØ ÓÒ Ù ØÓ Ø ØÓÑ º ÇÙÖ Ö ÙÐØ ÓÖ Ø Ô Ò Ú ÓÙÖ Ö ÕÙ Ð Ø Ø Ú ÐÝ Û Ø Ø ÓÒ Ú Ò ÌÙ Ò Ø Ðº Ò Ø Ö Ô Ô Ö Ò Ò ÙÖ º Ì Ô Ò Ö Ð Ü Ø ÓÒ Ø Ñ ØÙÖ Ò Å¹ Ô ÙÖÚ ÙÒØ ÓÒ Ó Ò Ö Ý Û Ö Ø Ö Ð Ü Ø ÓÒ Ø Ñ ÒÖ ÕÙ Ø ÑÓÓØ ÐÝ Û Ò E = ÔÔÖÓ ÙÒØ Ð Ø ÓÐÐ Ô ØÓ Ñ Ò ÑÙÑ Ø Ø Ö ÔÓ Òغ Ì Ô Ò ÔÖ ÓÒ Ø Ñ ÓÒ Ø ÓØ Ö Ò Ø Ý ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÐÝ ÓÒ Ø ÒØ ÓÖ Ø Û ÓÐ Ò Ö Ý Ö Ò º Ï Ò Ø Ö ÙÐØ Ö ÐÓÓ ÒØÓ ÑÓÖ Ö ÙÐÐÝ Ø Ö Ö ÓÛ Ú Ö ÕÙ Ø Ö Ò º Ì Ø Ö Ò Ø Ñ Ò ØÙ Ó Ø Ô Ò Ö Ð Ü Ø ÓÒ Ø Ñ º ÁÒ ÓÙÖ ÐÙÐ Ø ÓÒ τ =.34 Ô Ø E = Ö ÙÐØ Û Ø ÐÐ Ö ÕÙ Ø Û Ðк Ì Ñ Ü ÑÙÑ Ø ¼º½ Î Û Ö τ = 4.3 Ô ÓÒ Ø ÓØ Ö Ò ÓÑÔÐ Ø ÐÝ Ö ÒØ ÖÓÑ Ø τ =.8 Ô Ø ¼º¾ Î Ö ÔÓÖØ Ý Ú Ò ÌÙ Ò Ø Ðº Ð Ó Ø Ö Ð Ø Ò Ø E = Ò Ø Ô Ò ÔÖ ÓÒ Ø Ñ ÒÓØ ÔÖ ÒØ Ò Ø Ö Ö ÙÐØ º Ì Ö Ò ØÛ Ò Ø Ö ÙÐØ ÑÓ Ø Ð ÐÝ ÜÔÐ Ò Ý Ø Ö ÒØ ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÒ Ó Ø ÐØ ÙÒØ ÓÒº ÁÒ Ø Ö ÙÔÔÐ Ñ ÒØ ÖÝ Ñ Ø Ö Ð Ø ÙØ ÓÖ Ñ ÒØ ÓÒ Ø ÖÑ Ð ÖÓ Ò Ò Ó.27 κ Ú Ò Ø ÓÙ Ø Ú Ö Ð Ø Ú ÐÝ ÓÓ ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÒ ÓÖ Ø ÐØ ÙÒØ ÓÒ Ø Ø ÐÐ Û Ý Û Ö Ø Ò Ø ÓÒ Ù Ò ÓÙÖ ÐÙÐ Ø ÓÒ Ò Ò ÙÖ º Ì ØÝÔ Ó Ø ÖÓ Ò Ò Û ÒÓØ Ñ ÒØ ÓÒ Ò Ø ÙÔÔÐ Ñ ÒØ Ò Ø Ö ÓÖ ÓØ ÄÓÖ ÒÞ Ò Ò Ù Ò ØÖ ÙØ ÓÒ Ö Ö ÛÒ ØÓ ÓÑÔ Ö ØÓ ÓÙÖ Ý Ú ÜÔ Ò ÓÒ Û Ø N m = 3, 5, 1º Ú Ò Ø ÓÙ Ø ÒÙÑ Ö Ó ÑÓÑ ÒØ Ò Ó Ø Ø Ö Ñ ÐÐ ÓÑÔ Ö ØÓ N m = 3 Ù Ò ÓÙÖ ÓØ Ö ÐÙÐ Ø ÓÒ ÐÐ Ó Ø Ñ ØÙÖ ÑÙ ÖÔ Ö Ô Ø Ò Ø Ö Ó Ø ØÛÓ ØÖ ÙØ ÓÒ Ø Ý Ö ÓÑÔ Ö ØÓº ¾
6 τ, T Ω (ps) 4 2 δ (x) 6 4 2-1 1 4 -.2.2.22 τ (ps) 3 2 1 T Ω (ps).2.18 -.2.2 µ -.2.2 ÙÖ ¹ µëô Ò Ö Ð Ü Ø ÓÒ Ò ÔÖ ÓÒ Ø Ñ ÓÖ ± Ò ØÝ Ó ØÓÑ ÔÐ ÕÙ ØØ ÐÙÐ Ø Û Ø Ö ÒØ ÑÓÙÒØ Ó Ý Ú ÑÓÑ ÒØ º N m = 3 ÓÖ ÓØ Ö Ð Ü Ø ÓÒ Ð ÙÖÚ µ Ò ÔÖ ÓÒ ÐÙ µº ¹ µ Ì ÑÓÙÒØ Ó ÑÓÑ ÒØ Ö ¼¼ ÓÖ Ð Ø ÐÙ ¼¼ ÓÖ ÓÖ Ò Ò ½¼¼¼ ÓÖ ÔÙÖÔÐ º ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÒ ØÓ ÐØ ÙÒØ ÓÒ Û Ø Ø Ö ÒØ ÑÓÙÒØ Ó ÑÓÑ ÒØ º Ì Ð ÙÖÚ ÓÛ ÄÓÖ ÒÞ Ò ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÒ Û Ø η =.27 Î Û Ð Ø Ö Ý ÓÒ ÓÛ Ù Ò Û Ø σ =.27 κ ¾
3 3 25 25 σ (e 2 /h) 2 15 5 4 3 2 1 -.5.5 σ (e 2 /h) 2 15 6 5 4 3 2 -.5.5 1 -.5.5 1 -.5.5 D(t) ( µm 2 ps -1 ).5.4.3.2.1 ev.15 ev -.15 ev D(t) ( µm 2 ps -1 ) 1.8.6.4.2 ev.15 ev -.15 ev 5 1 15 t (ps) µ 5 1 15 t (ps) ÙÖ ½¼ µ ÌÓØ Ð ÓÒ ÙØ Ú ØÝ ÓÖ ± ÓÒ ÒØÖ Ø ÓÒ Ó ØÓÑ ÔÐ ÕÙ ØØ Ñ ÙÖ Ø 1 µm ÐÙ µ Ô ÓÖ Ò µ Ò Ø ½ Ô Ò Øµ Ò ÔÖ Ø Ò Ö Ô Ò Ø 1 µm Ö Ý ÙÖÚ µº µ Ì Ñ ¹ Ô Ò ÒØ Ù ÓÒ Ó ÒØ Ø Ð Ø Ò Ö º ÙÖ Ò µ Ö ÐÙÐ Ø Û Ø N m ¼¼ Ò Ò Û Ø N m ½¼¼¼º Ì Ø Ó N m ÙÖØ Ö ÒÚ Ø Ø Ò ÙÖ Ò Û ÓÛ Ø Ô Ò Ö Ð Ü Ø ÓÒ Ò ÔÖ ÓÒ Ø Ñ ÐÙÐ Ø ÓÖ Ø Ø Ö ÓÒ Ö Ò ÙÖ º ÜÔ Ø ÖÓÑ Ø ÓÑÔ Ö ÓÒ ØÛ Ò Ø ÐØ ÙÒØ ÓÒ ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÒ Ø Û Ø Û Ø ÑÓÑ ÒØ ÐÓ Ø ØÓ Ø Ö ÙÐØ Ó Ú Ò ÌÙ Ò Ø Ðº Ì Ñ Ò ØÙ Ó τ Ø ÐÐ ØÓÓ Ð Ö ÖÓ Ø Û ÓÐ Ò Ö Ý Ö Ò ÙØ Ø Ô ÒÓÛ ÙÐÐÝ ÓÒ Ø ÒØ Û Ø Ø Ö Ö ÙÐØ º T Ω ÓÒ Ø ÓØ Ö Ò Ú ÒÓÛ ÑÙ ÑÓÖ Ò ÐÝ Ø Ò Ø E = ØÙÖÒ ÒØÓ ÑÓÓØ ÙÑÔº Ù Ø ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÒ ØÓ Ø ÐØ ÙÒØ ÓÒ Ö Ö ÒØ Ø Ö ÙÐØ ÒÒÓØ ÜÔ Ø ØÓ Ü ØÐÝ Ø Ñ ÙØ Ø Ý Ö ÐÖ Ý ÕÙ Ø Û Ðк ÒÓØ Ö Ø Ó Ø ÒÙÑ Ö Ó ÑÓÑ ÒØ Ò Ò Ò Ø ÙÖ ÓÙ Ú ÓÙÖ Ó ÓÒ Ù¹ Ø Ú ØÝ Ò Ö E = º ÙÖ Ò Ø Ö Ø Û Ô Ó ÓÒ Ó Ø ÑÙÐ Ø ÓÒ Ø Ö Ñ Ò ÑÙÑ Ø Þ ÖÓ Ò Ø ÓÒ ÙØ Ú ØÝ Ò Ò ÙÖ ½¼º ÀÓÛ Ú Ö ÓÒ Ø Ñ Ô ÓÒ ÒÓÙ Ø ÔØ Ó Ø Ñ Ò ÑÙÑ Ö Ò Ø ØÙ ÐÐÝ ÓÑ Ñ Ü ÑÙÑ Ø ÐÓÒ ÒÓÙ ¼
Ø Ñ º Ì Ù Ý Ø ÒÖ ÖÓ Ò Ò Ó Ø Ø ÓÚ Ö Ø Ñ Ø Ô Ø ¼º Î ÐÐ Ò Ø Ñ Ò ÑÙѺ Ì ÒÓÖÖ Ø Ú ÓÙÖ Ð Ø Ý ÓÑÔ Ö Ò Ø Ñ Ò ØÙ Ó Ø ÓÒ ÙØ Ú ØÝ ØÓ ÔÖ Ø Ò Ö Ô Ò Ò Ø Ñ ÙÖ º ÈÖ Ø Ò Ö Ô Ò ÓÙÐ Ú Ò ÙÔÔ Ö ÓÙÒ ÓÖ ÓÒ ÙØ Ú ØÝ ÓÖ Ý Ø Ñ Û Ø Ø Û Ø Ø Ñ Ò Ò ÓÙÖ Û Ú ÑÙÐØ ÔÐ Ø Ñ Ö ÓÒ ÙØ Ú ØÝ Ø Ò Ø Øº Ï Ò Ø ÒÙÑ Ö Ó ÑÓÑ ÒØ ÒÖ Ø ÓÖÖ Ø Ú ÓÙÖ ÖÓÙ Ø ÓÙغ ÙÖ ½¼ ÓÛ Ø ÓÒ ÙØ Ú Ø Ø Ü Ø Ñ Ø Ñ ÙØ Û Ø N m ½¼¼¼ Ò Ø Ó ¼¼º Ì Ø Ñ Ø Ø Ø Ó ÒÓØ Ø Û Ö Ò Ò Ö Ý Ò Ø Ñ Ò ÑÙÑ Ø Þ ÖÓ Ð Ó Ô Ø Ô Ø Ñ Ó ÓÒº Ì Ö ÙÐØ ÒÓÛ Ð Ó Ö ÑÙ ØØ Ö Û Ø Ø ÓÒ ÙØ Ú ØÝ Ó ÔÖ Ø Ò Ö Ô Ò º Ì ÔÖ Ø Ò ÓÒ ÙØ Ú ØÝ ÓÛÒ ÐÙÐ Ø Ø ÓÒ Ø ÒØ Ð Ò Ø Ò Ø ÓÖÖ ÔÓÒ Ò ÔÐ ÕÙ ØØ ÓÒ ÙØ Ú ØÝ Ö ÕÙ Ø Û ÐÐ Û Ø Øº Ì Ö ÙÐØ Û Ø ÓÒ Ø ÒØ Ø Ñ ÒÒÓØ Ö ØÐÝ ÓÑÔ Ö Û Ø Ø ÔÖ Ø Ò ÙØ Ø Ý Ð Ó Ö ÕÙ Ø ÑÙ ØØ Öº Ì Ý ÓÐÐÓÛ Ø Ú ÓÙÖ ÖÓÑ Ø ÔÖ Ø Ò ÑÙ ÑÓÖ ÐÓ ÐÝ Ò Ø Ö Ñ Ò ØÙ ÙÐÐÝ ÜÔÐ Ò Ý Ø Ö ÒØ ÔÓ ÒØ Ó Ñ ÙÖ Ñ Òغ Ì Ö Ø ÐÐ ÓÑ Ö Ô ÒÝ Ò ÓÙÖ Ö ÙÐØ ÓÑÔ Ö ØÓ Ø ÓÒ Ý Ú Ò ÌÙ Ò Ø Ðº ÓÖ Ò ØÓ Ø Ö ÐÙÐ Ø ÓÒ Ø Ù ÓÒ Ó ÒØ ØÙÖ Ø Ø Ò Ö ÓÚ ¼º½ Î Ø ± Ø Ò Øݺ Ì Û ÒÓØ Ø Ò ÓÙÖ Ö ÙÐØ D(t) Ô ÓÒ ÒÖ Ò ÓÖ ÑÙ Û Ö Ö Ò Ó Ò Ö Ýº Ì Ñ Ò ØÙ Ó Ø Ó ÒØ ÕÙ Ø ÐÓ ÓÙÖ N m = 3 Ö ÙÐØ ÓÑÔ Ö ØÓ Ø Ö ÙØ Ø Ú ÓÙÖ Ø ÐÐ Ø Ö Òغ Ø Ö Ø Ö Ø ÐÐ ÓÑ Ö Ò Ò Ø Ý Ø Ñ ÓÒ Ñ ÖÓ ÓÔ Ð Ð Ú Ð ÓÖ Ø Ø Ó Ø Ö ÒØ ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÒ Ó Ø ÐØ ÙÒØ ÓÒ Ú Ò Öº º º º½ Ö ÈÙ Ð ÓÒ Ø ÒØ Þ ÔÙ Ð ÓØ Ó Ø ÔÓØ ÒØ Ð Ø Ò ØÓÑ ÔÐ ÕÙ ØØ ÓÒ Ö ÖÐ Ö Ö Ú ÖÝ ÐÓ Ð ¹ Ø Ò Ò Ö ÙÐØ Ò ÖÔ Ò Ò Ø ÔÓØ ÒØ Ðº Ï Ö Ø ÓÙÐ Ú Ý ØÓÑ ØÓÓ ÖÙÔØ Ò Ò ÔÓØ ÒØ Ð Ö ÒÓØ Ð ÐÝ ØÓ ÔÖ ÒØ Ò Ö Ð Ý Ø Ñ º ÑÓÖ Ö Ð Ø Ò Ö Ó ÛÓÙÐ Ø Û Ô Ò ÓÚ Ö ÑÙÐØ ÔÐ Ø Ò ÑÓÓØ Ú ÓÙÖ ÓÖ Ø ÔÓØ ÒØ Ðº ÁÒ Ø Ø ÓÒ Û Ô ÖØ ÙÐ ÖÐÝ ÓÙ ÓÒ Ù Ò¹ Ô Ö ÔÙ Ð Û Ö Ö U(r) = U σ e r2 /2r 2, Û Ö U Ø ÔÓØ ÒØ Ð ØÖ Ò Ø Ø Ø ÒØ Ö Ó Ø ÔÙ Ð ÐÓ Ø Ò Ø Ñ Ð Ó ÓÑ Ö ÓÒ Ü ÓÒ r Ø Ø Ò ÖÓÑ Ø ÒØÖ Ò r Ø Û Ø Ó Ø ÔÙ Ð º Ì ÔÓØ ÒØ Ð ØÖ Ò Ø Ó Ò Ô Ö Ø ÐÝ ÓÖ Ø Ô Ò ÒÒ Ð ÙØ Ø ÒØ Ö Ó Ø ÔÙ Ð Ø Ñ ÓÖ ÓØ Ó Ø Ñº Ì ÔÙ Ð ÓÙÐ Ù ÓÖ Ü ÑÔÐ Ý Ö ÔÔÐ Ò Ø Ö Ô Ò Ø ÓÖ Ñ Ò Ø Ù ØÖ Ø ÙÒ ÖÒ Ø Ø ÑÔÐ º Ì Ô Ò¹ Ô Ò ÒÝ Ó Ø ÔÓØ ÒØ Ð Ñ Ø Ø Ñ ÖÓÑ Ð ØÖÓÒ ÔÓÐ Ö Þ Ø ÓÒ Ó Ø ÔÙ Ð ÓÖ ÖÖÓÑ Ò Ø ÔÖÓÔ ÖØ Ó Ø Ù ØÖ Ø º Ì ÒÙÑ Ö Ú ÐÙ Ù ÓÖ Ø ÔÓØ ÒØ Ð Ö U =.8 Î Ò U =.6 κ Ì Ø Ò Ð Ò Ð Ø Ñ Û Ý Ø ÓÒ Û Ø Ø ÔÓØ ÒØ Ð Ø º ½ µ
Ì ÔÓØ ÒØ Ð ØÖ Ò Ø Ý ØÓ Þ ÖÓ Û Ø Ø Ø ÕÙ Ø Ö Ô ÐÝ Ò ØÓ Ø ÓÖÑ Ò Ó Ø À Ñ ÐØÓÒ Ò ÙØÓ Ö Ù ÒØÖÓ Ù ÓÖ ÔÙ Ð º Ì ÙØÓ ÑÔÐ Ñ ÒØ Ù Ø Ø ÓÒÐÝ Ø Ø Ò Ö Ø Ò ÙÐ Ö ÓÜ ÒØ Ö Ø Ø Ø Ø Ø Ò Ø Ú ÐÙ ÓÖ Ø ÔÓØ ÒØ Ðº Ì Ó Ø ÓÜ Ö Ó Ò Ù Ø Ø Ø ÜÔÓÒ ÒØ Ð Ó ÒØ e r2 /2r 2 Ø Ú ÐÙ ¼º¼¼½ Ø Ø ÒØ Ö Ó º Ë Ø ÓÙØ Ó Ø ÓÜ Û ÐÐ Ò Þ ÖÓ ÓÒØÖ ÙØ ÓÒ ÖÓÑ Ø Ô ÖØ ÙÐ Ö Øº Ì ÔÙ Ð Ö ÐÐÓÛ ØÓ ÓÚ ÖÐ Ô Ò Ø ÔÓØ ÒØ Ð ÓÖ Ø ÑÔÐÝ Ø ÙÑ ÓÚ Ö Ø ÓÒØÖ ÙØ ÓÒ ÖÓÑ ÐÐ Ø º Ù Ó Ø Ö ÑÙ Ð Ö Ö Ò ØÙÖ Ø ÑÓÙÒØ Ó ÔÙ Ð Û Ò ÔÐ Ò Ø Ý Ø Ñ ÑÙ Ñ ÐÐ Ö Ø Ò Ø Ø Ó Ø Ò Ð ¹ Ø ÔÓØ ÒØ Ð Ø º ÓÖ Ü ÑÔÐ ÔÙ Ð Û Ø r = 1 a ÓÚ Ö Ò Ö Û ÖÓÙ ÐÝ ¾ ¼ ØÓÑ Ø º Ì Ö ÓÖ ½± Ò ØÝ Ó Ø ÔÓØ ÒØ Ð Ø ÛÓÙÐ ÓÖÖ ÔÓÒ ØÓ ÔÙ Ð Ò ØÝ Ó ¼º¼¼ ±º ÀÓÛ Ú Ö Ø ØÖ Ò Ø Ó Ø ÔÙ Ð Ø ÑÙ Û Ö Ò Ö Ø Ó Ø ÔÙ Ð Ò Ø Û Ø ÕÙ Ð ÓÚ Ö ÒÒÓØ Ö ØÐÝ ÓÑÔ Ö º Ì Ú ÓÙÖ Ó Ô Ò ÔÓÐ Ö Þ Ø ÓÒ Û Ø Ö ÔÙ Ð Ô Ò Ö ØÐÝ ÓÒ Û Ø Ö Ø ÔÓØ ÒØ Ð ØÖ Ò Ø ÔØ ÓÒ Ø ÒØ ÓÖ Ø ÔÙ Ð ÓÖ Ø Ò Ö Ò ÓÑÐÝ ÖÓÑ [ U,U ] Ò Ò ÙÖ ½½º Ï Ò Ø ÔÓØ ÒØ Ð ÔØ ÓÒ Ø ÒØ ÑÔ Ò Ó ÐÐ Ø ÓÒ Ø ÐÐ Ó ÖÚ º Ì Ø Ñ ÓÛ Ú Ö Ø Ú ÓÙÖ ÐÝ ÝÑÑ ØÖ Ð Û Ø Ö Ô Ø ØÓ Ø Ö ÔÓ Òغ ÇÒ ÓÒ Ó Ø ÔÓ ÒØ Ø Ó ÐÐ Ø ÓÒ ÑÙ Ø Ö ÓÑÔ Ö ØÓ Ø ÓØ Ö ÓÒ Ò Ø Ñ Ð Ó ÑÔ Ò Ø Öº Ì Ö Ò ÓÑ Þ ÔÓØ ÒØ Ð ÓÒ Ø ÓØ Ö Ò ÓÛ ÒÓ Ò Ó Ó ÐÐ Ø ÓÒº Ì Ú ÓÙÖ ÓÑÔÐ Ø ÐÝ ÝÑÑ ØÖ Ð Ò Ø Ô Ò Ö Ð Ü Ø ÓÒ Ø Ñ ÐÓÒ Ö Ø Ò ÓÒ Ø Ö Ó Ø Ö ÔÓ ÒØ Ò Ø ÓÒ Ø ÒØ º Ì Ö Ò ØÛ Ò Ø ØÛÓ Ö ÑÓ ØÐÝ ÜÔ Ø º Ì Ñ Ò ØÙ Ò Ø ÓÒ Ø ÒØ ØÖ Ò Ø ÔÙ Ð U Ø Ò ÔÓ ÒØ Ó Ø ÔÓØ ÒØ Ð ÒØ ÖÚ Ð ÖÓÑ Û Ø Ö Ò ÓÑ Þ ØÖ Ò Ø Ö Ø Òº Ï Ò Ø ÔÓØ ÒØ Ð ØÖ Ò Ø Ö Ò ÓÑ Þ Ø Ú Ö Ñ Ò ØÙ Ó ÔÓØ ÒØ Ð ÐÓÛ Ö Ø Ò Ø Ú ÐÙ Ù Ò Ø ÓÒ Ø ÒØ Ù Ò Ø Ö Ð Ü Ø ÓÒ ØÓ Ø ÐÓÒ Öº Ì ÝÑÑ ØÖÝ ÓÐÐÓÛ ÖÓÑ Ø Ø Ø Ø Ø Ö Ò ÓÑ Þ ÔÓØ ÒØ Ð Ø Ò ÖÓÑ ¹U ØÓ U º Ð ÔÔ Ò Ø Ò Ó Ø ÔÓØ ÒØ Ð Ñ ÖÖÓÖ Ø Ö ÙÐØ Û Ø Ö Ô Ø ØÓ Þ ÖÓ Ò Û Ò Ú Ö Ø Ò ÓÚ Ö Ø Ö ÒØ ÔÓØ ÒØ Ð Ø Ö Ö ÕÙ Ð ÑÓÙÒØ Ó ÔÙ Ð Û Ø ÓÔÔÓ Ò Ò Ð Ò ØÓ Ø ÝÑÑ ØÖ Ö ÙÐغ Ì ÑÓ Ø ÙÖ ÓÙ Ö Ò Ø Ð Ó Ó ÐÐ Ø ÓÒ Ò Ø Ö Ò ÓÑ Þ º ÁØ Ñ Ø Ø ÔÙ Ð Û Ø Ö ÒØ ØÖ Ò Ø Ø ÓÛÒ Ò Ö Ý¹ Ô Ò ÒØ Ó ÐÐ Ø ÓÒ Ö ÕÙ Òݺ Ï Ò Ø Ö Ö ÑÙÐØ ÔÐ Ö ÒØ ÔÙ Ð Ò Ø Ñ Ý Ø Ñ Ø ÓÑÔ Ø Ò Ö ÕÙ Ò ÙÔÔÖ ÓØ Ö Ð Ò ØÓ ÒÓ Ó ÐÐ Ø ÓÒ Ò Ø Ò º Ì Ú ÓÙÖ Ó Ø ÓÒ ÙØ Ú ØÝ ÓÖ Ø Ö ÔÙ Ð Ö ÒØ ÖÓÑ Ø Ö Ó Ø ÔÓØ ÒØ Ð Ø ÓÖ ØÓÑ ÔÐ ÕÙ ØØ Ò Ò º ½½ º ÂÙ Ø Ð Ø ÓØ Ö Ø ØÝÔ σ Ñ Ò ÑÙÑ Ø E = ÙØ Ò Ø Ó Ø Ý Ò ÓÒ Ø ÒØ ÓÖ Ý Ò Ø Ö Ò Ö Ø Ø Ñ σ Ú ÕÙ Ö Ø ÐÐÝ Ò Ö Ø Þ ÖÓ Ò Ö Ýº Ì Ò ÓÓ Ö Ñ ÒØ Û Ø ØØ Ö Ò ÖÓÑ Ö ÑÔÙÖ Ø ÓÖ Û Ø ÓÒ ÙØ Ú ØÝ Ð Ð Ò ÖÐÝ ÙÒØ ÓÒ Ó Ö ÖÖ Ö Ò ØÝ n º Ù n Ô Ò ÕÙ Ö Ø ÐÐÝ ÓÒ E Ø ÓÒ ÙØ Ú ØÝ Ð E 2 ÜÔÐ Ò Ò ÓÙÖ Ó ÖÚ Ø ÓÒº ÇÒ Ø ÓØ Ö Ò Ø Ð Ò Ö ÓÒ ÙØ Ú ØÝ Ó Ø ÔÓØ ÒØ Ð Ø ÜÔÐ Ò Ý Ø Ö ÑÙ ÓÖØ Ö Ö Ò º Ë ÓÖØ Ö Ò ØØ Ö Ö Ò ¾
.5. ev.5 ev -.5 ev 1.8 Spin polarization -.5 τ (ps).6.4.2-1.2.4.6.8 1 t (ps) 1-2 2 1 8 T Ω (ps).5 σ (e 2 /h) 6 4-2 2 µ 2-1 1 ÙÖ ½½ ËÔ Ò ÔÓÐ Ö Þ Ø ÓÒ ÙÒØ ÓÒ Ó Ø Ñ ÓÖ Ø Ö Ò Ö Û Ø U =.8 Î Ò U =.6 κ Ì Ð Ò ØÙÖ ÓÒ Ø ÒØ ÔÓØ ÒØ Ð Û Ð Ø ÓÐ Ð Ò Ú Ø Ö Ò ÓÑ Þ º ËÔ Ò Ö Ð Ü Ø ÓÒ Ø Ñ ÓÖ Ö Ò ÓÑ Þ ÐÙ µ Ò ÓÒØ ÒØ ÓÖ Ò µ ÔÓØ ÒØ Ð º µ ËÔ Ò ÔÖ ÓÒ Ø Ñ ÓÖ Ø ÓÒØ ÒØ ÔÓØ ÒØ Ðº ÓÒ ÙØ Ú ØÝ Ø t =.6 Ô ÓÖ Ö Ò ÓÑ Þ ÔÓØ ÒØ Ð ÐÙ µ ÓÑÔ Ö ØÓ ÔÖ Ø Ò Ö Ô Ò Ð µ Ò ÔÓØ ÒØ Ð Ø Ö Ýµº Ö Ô Ò Ú Ò ÓÛÒ ØÓ Ú ÓÒ Ø ÒØ ÓÒ ÙØ Ú ØÝ Ò Ò Ö Ñ ÒØ Û Ø ÓÙÖ Ö ÙÐØ º º º¾ ÈÙ Ð Û Ø Ú ÖÝ Ò Þ ÁÒ Ö Ð ÜÔ Ö Ñ ÒØ Ø Ð ÐÝ Ø Ø Ø Þ Ó Ø ÔÙ Ð Ò Ø Ý Ø Ñ ÒÓØ ÙÒ ÓÖѺ ÁÒ Ø ÔÓØ ÒØ Ð Ù Ý Ù ØÖ Ø Ø Ñ Ø Ú ÖÓÙ ÙÖ Ò Ø Ø Ð ØÖÓÒ ØÖ ÙØ ÓÒ ÙÒ Ú ÒÐݺ Ì Ö ÓÖ Ø ÓÓ ØÓ Ð Ó Ö Ò ÓÑ Þ Ø Û Ø Ó Ø ÔÙ Ð Ò Ø ÓÒ ØÓ Ø ÔÓØ ÒØ Ð ØÖ Ò Ø º À Ú Ò ÒÓØ Ö Ô Ö Ñ Ø Ö Ö Ò ÓÑ Þ Ù Ø ÓÒÚ Ö Ò ØÓ Ù Ö Ð ØÐÝ ÙØ Ò ÖÓÑ ÙÖ ½¾ Ø Ö ÙÐØ Ö Ø ÐÐ Ö ÓÒ ÐÝ ÓÓ Ú Ò Û Ø Ø Ñ ÒÙÑ Ö Ó Ö Ò ÓÑ Ú ØÓÖ Ò Ø ÐÙÐ Ø ÓÒ ÓÖ º
3 15 τ (ps) 2 1 σ (e 2 /h) 1 5-2 2-1 1 ÙÖ ½¾ Ì Ñ ÓÒ Ø ÒØ ÓÒ ÙØ Ú ØÝ Ø t =.6 Ô ÓÖ ÔÙ Ð Û Ø Ö Ò ÓÑ Þ Û Ø º Ì ÐÙ ÙÖÚ ÓÖÖ ÔÓÒ ØÓ Ñ Ü ÑÙÑ Û Ø Ó 1a Ò Ø ÓÖ Ò ÓÒ ØÓ 15a º Ì Ð Ð Ò Ò ÓÛ ÔÖ Ø Ò Ö Ô Ò ÓÑÔ Ö ÓÒº Ì ÐÙ ÙÖÚ Ò ÙÖ ½¾ ÓÛ Ø Ô Ò Ö Ð Ü Ø ÓÒ Ø Ñ Û Ò Ø ÔÙ Ð Û Ø Ö Ò ÓÑ Þ ÙÒ ÓÖÑÐÝ ØÛ Ò ¼ Ò ½¼a Û Ð Ô Ò Ø ÓØ Ö Ô Ö Ñ Ø Ö Ø Ñ ÓÖ º Ï Ø Ø Ü ÔØ ÓÒ Ó Ø Ú Ò ØÝ Ó Ø Þ ÖÓ Ò Ö Ý Ø Ú ÓÙÖ ÔÖ ØØÝ ÑÙ Ø Ñ ÓÖ Û Ø Ø Ø Ñ ÓÒ Ø ÒØ ÐÓÛÐÝ Ö Ò Û Ø ÒÖ Ò Ò Ö Ýº Æ Ö Þ ÖÓ Ø Ú ÓÙÖ ÓÛ Ú Ö Ò Ö Ø ÐÐݺ ÁÒ Ø Ó ÖÓÔÔ Ò ÖÔÐÝ Ò Ø Ò ÓÖÑ Ò Ñ ÐÐ Ô Ø E = Ø Ô ÒÓÛ ÓÑ Ò ÒØ Ò Ø ÖÓÔ Ò ÒÓØ Ò ÖÐÝ ÖÔº Ì ÓÖ Ò ÙÖÚ Ò Ø Ñ ÙÖ ÓÛ Ø Û Ö Ø Ö Ò ÓÑ Þ Ø ÓÒ Ø Ò ÓÚ Ö ¼¹½ a º Ò Ø Þ ÖÓ Ò Ö Ý ÓÛ Ð ØÐÝ Ö ÒØ Ú ÓÙÖ ÓÑÔ Ö ØÓ Ø ÓØ Ö Ø Ö ÖÔ ÖÓÔ Ò ÒÓ Ô Ø E = º ÁØ Ñ Ø Ø Ø Ô Ø Ø Þ ÖÓ Ò Ö Ý ØÙÖ ÓÖ Ò Ø Ò ÖÓÑ Ø Ñ ÐÐ Ö ÔÙ Ð Ò Ø Ý Ø Ñº Ì Û Ø ÓÒ Ø ÒØ r = 1a Û ÓÛÒ Ò º ½½ Ò Ø ÓÒÐÝ Ñ ÐÐ Ô Ø E = º ÐÐ Ó Ø ÔÙ Ð Ú Ñ ÐÐ Ö Û Ø Ø Ò Ø Ò Ø Ö Ò ÓÑ Þ Ø ÓÒ Ò Ø Ñ ÐÐ Ö ÔÙ Ð Ú ØÓ Ö ÔÓÒ Ð ÓÖ Ø Ð Ö Ö Ô º ÁÒ Ø Ý Ø Ñ Û Ö Ö Ò ÓÑ Þ Ø ÓÒ Ø Ò ÖÓÑ ¼ ØÓ ½ a Ø ÐÐÝ Ù Ö ÒØ ØÓ Ú Ø Ð Ø ÓÑ ÔÙ Ð Û Ø r > 1a Ò Ø ÒÓÙ ØÓ Ø Ô Û Ýº ÁØ Ñ Ð Ø Ñ ÐÐ Ö ÔÙ Ð Ö ØÓÓ Ø Ô ÓÖ Ø E = Ö ÖÖ Ö Ò Ò Ø Ý ÒÒÓØ Ø ÒØÓ Ø Ö Ö Ò Ø ÑÓÙÒØ Ó Ô Ò ÔÔ Ò Ö Ù º Ú Ò Û Ð Ö Ö ÔÙ Ð Ö ÒÓÙ ØÓ Ò Ð Ô Ò ÔÔ Ò Ò Ö Þ ÖÓ Ø Ý Ú ÑÙ ÒØÐ Ö ÐÓÔ Ò ÐÐÓÛ Ø Ö ÖÖ Ö ØÓ ÒØ Ö Ø Ö Ö º ÇÙØ Ó Ø Þ ÖÓ¹ Ò Ö Ý Ö Ò Ø Ö ÙÐØ Ö ÕÙ Ø ÜÔ Ø º Ì Ô Ò Ö Ð Ü Ø ÓÒ Ø Ñ Ö Ø ÐÓÒ Ö Ò Ø Ö Ò ÓÑ Þ ÓÑÔ Ö ØÓ Ø Ñ ÒÓÒ¹Ö Ò ÓÑ Þ ÓÒ º Ì Ö Ò ÓÑ Þ Ø ÓÒ Ù Ø Ú Ö ÔÙ Ð Þ ØÓ Ñ ÐÐ Ö Ò Ø Ò ØÙÖ Ð Ø Ø Ø Ø ÐÓÒ Ö ÓÖ Ø Ô Ò ØÓ Ö Ð Üº Ì Ö Ð Ó ÒÓØ ÑÙ Ó Ò ÓÒ Û Ø Ø ÓÒ ÙØ Ú Øݺ ÓØ Ö Ò¹ ÓÑ Þ ØÙÖ Ø Ñ Ô Ö ÓÐ Ò Ö Ý Ô Ò Ò Ò Ò Ø ÒÓÒ¹Ö Ò ÓÑ Þ
1 6 1 4 τ (ps) 1 2 1 τ (a.u.) 2.5 a 1 a 22 a 1-2 1 1 1 Puddle width (a) -2-1 1 2 ÙÖ ½ ËÔ Ò Ö Ð Ü Ø ÓÒ Ø Ñ Ð Ò ÙÒØ ÓÒ Ó ÔÙ Ð Û Ø º Ì ØÛÓ ÙÖÚ Ö Ñ ÙÖ Ø ¼ ÐÙ µ Ò ½ Î ÓÖ Ò µº Ú ÓÙÖ Ó Ø Ö Ð Ü Ø ÓÒ Ø Ñ ÓÖ Ö ÒØ ÔÙ Ð Û Ø º Ì ÙÖÚ Ú Ò Ð ØÓ Ø ÒØÓ Ñ ÙÖ Ò ÓÒÐÝ Ø Ö Ð Ø Ú Ú ÓÙÖ ÓÙÐ ÓÒ Ö º ÐÐ Û Ø Ú ÙÒ Ø Ó a Ø ¹ ÓÒ Ð Ò Ø Ò Ö Ô Ò º Ò Ø Ñ Ò ØÙ Ó Ø ÓÒ ÙØ Ú ØÝ ÒÓØ ÑÙ Ñ ÐÐ Ö Ø Ò Ò ÔÖ Ø Ò Ö Ô Ò º Ï Ø Ð Ö Ö ÔÙ Ð Ø ÓÒ ÙØ Ú ØÝ Ø Ñ ÐÐ Ö Ø Ö Ð Ö Ö Ö ØØ Ö Ò Ö ÙØ Ø Ñ Ø Ø Ø ÔÙ Ð Ó ÒÓØ ØØ Ö Ö Ò ÒØÐݺ ÌÓ ÙÖØ Ö Ö Ø Ø Ó Ø ÔÙ Ð Þ Ø Ô Ò ÔÓÐ Ö Þ Ø ÓÒ Û ÐÙÐ Ø Û Ø ÑÙÐØ ÔÐ ÓÒ Ø ÒØ ÔÙ Ð Þ º ÙÖ ½ ÓÛ Ø Ú ÓÙÖ Ó Ø Ø Ñ ÓÒ Ø ÒØ Ú Ö Ù Ø ÔÙ Ð Þ º Ø E = 1 Î Ø Ú ÓÙÖ Ð Ò Ö Ù Ø Ò ÔÓÛ Ö Ð Û Ú ÓÙÖº Ø E = Ø Ö Ö ØÖ Ø ÔÓÖØ ÓÒ ÙØ ÓÚ Ö ÐÐ Ø ÙÖÚ ÒÓØ Ð Ò Öº Ì ÑÓ ØÐÝ ÜÔÐ Ò Ý Ø ØÖ Ò Ø ÓÒ ØÛ Ò Ø ÜØÖ Ñ Ò Ò ÙÖ ½ º ÁÒ Ø Ñ ÐÐ Þ Ð Ñ Ø Ø Ö Ð Ü Ø ÓÒ ÒÖ ÒÚ Ö ÐÝ ØÓ Ø Ò Ö Ý Þ ÖÓ ÔÔÖÓ Û Ð Ø Ð Ö Ö ÔÙ Ð Ú Ö Ö Ð Ü Ø ÓÒ Ò Ö Þ ÖÓº ØÛ Ò Ø ØÖ Ò Ø ÓÒ Ö ÓÒ Û Û ÐÖ Ý Ò ÖÐ Öº Ì Ú ÓÙÖ Ó Ø Ö Ð Ü Ø ÓÒ Ø Ñ Ø E = 1 Î ØÖÓÒ ÐÝ Ù Ø Ø Ø Ø Ö ÛÓÙÐ ÔÓÛ Ö Ð Û Ð Ò ØÛ Ò Ø Ò Ø ÔÙ Ð Û Ø º ÌÓ Ø Ø ÓÖ ÐÐ Ò Ö ØØ Ò ØÓ ax b Û ÓÒ ÖÓ Ø ÐÙÐ Ø Ò Ö Ý Ö Ò º Ì ØØ Ò Ò ÓÒ Ò ÑÙÐØ ÔÐ Û Ý Ò Ø Ö ÙÐØ Ò Ò Ò ÙÖ ½ º È Ö Ô Ø Ø Û Ý Ó Ó Ò Ø Ø ØÓ Ø Ø ÐÓ Ö Ø Ñ ÔÐÓØ Ñ Ð Ö ØÓ ÙÖ ½ Ò Ø ØÖ Ø Ð Ò ØÓ Ø Ø º ÐØ ÖÒ Ø Ú ÐÝ Ø ÔÓ Ð ØÓ Ø Ø Ö ØÐÝ ÓÖ Ø ÔÓÛ Ö Ð Û Ý Ñ Ò Ñ Þ Ò Ø ÕÙ Ö ÙÑ Ó ÙÒØ ÓÒ f(a,b) = τ ar b ÖÓ Ø ÔÙ Ð Þ r Ò Ø ÓÖÖ ÔÓÒ Ò Ô Ò Ö Ð Ü Ø ÓÒ Ø Ñ τº Ì Ø Ö Ñ Ø Ó ÙØ Ð Þ Ø Ñ Ñ Ò Ñ Þ Ø ÓÒ Ó ÕÙ Ö ÙÑ ÙØ Ò Ø Ó ÔÔÐÝ Ò Ø Ö ØÐÝ ØÓ Ø Ø Ø ÒÚ Ö Ó Ø Ö Ð Ü Ø ÓÒ Ø Ñ Ø Òº Ì Ö ÓÒ Ò Ø Ø Ö Ö ÒØ Û Ý Ó ØØ Ò Ø Ö ÒØ Û Ø Ø Ý Ú ØÓ
-1 1 2-2 Exponent -3-4 -5 SSE 1 1 1-6 -2-1 1 2 1-1 -2-1 1 2 ÙÖ ½ Ì ÜÔÓÒ ÒØ b Ò Ø ÔÓÛ Ö Ð Û ax b ØØ Ò ÙÒØ ÓÒ Ó Ò Ö Ýº ËÙÑ Ó ÕÙ Ö ÖÖÓÖ Ó Ø Ø º ÐÙ ÙÖÚ ÓÛ Ö Ø Ø Ø ÓÖ Ò ÓÒ Ø ØÓ ÒÚ Ö Ö Ð Ü Ø ÓÒ Ø Ñ Ò Ø ÔÙÖÔÐ ÓÒ ÐÓ Ö Ø Ñ ØØ Ò º Ø ÔÓ Òغ Ì Ø ØÓ ÐÓ Ö Ø Ñ ÔÐÓØ Ú ÖÓÙ ÐÝ Ò ÕÙ Ð Û Ø ÓÖ ÔÓ ÒØ Ò Ø Ø Û Ð Ø Ö Ø Ø Ú ÑÓÖ Û Ø ÓÖ Ø Ö Ð Ö Ø Ø ÔÓ ÒØ º ÓÖ Ö Ø Ø Ø Ö Ø Ñ ÐÐ Ö ÔÙ Ð Ò Ø Ý Ú ÐÓÒ Ö Ö Ð Ü Ø ÓÒ Ø Ñ Ò ÓÖ Ø ÒÚ Ö Ø ÑÓÖ Û Ø Ú Ò ØÓ Ø Ð Ö Ö ÔÙ Ð º ÌÓ Ñ ÙÖ Ø ÓÓ Ò Ó Ø ÙÑ Ó ÕÙ Ö ÖÖÓÖ ËË µ Û ÐÙÐ Ø ØÛ Ò Ø Ø Ò Ø ØÙ Ð Ø ÔÓ ÒØ º ÌÓ Ò ÙÖ Ö ÓÑÔ Ö ÓÒ ØÛ Ò Ø Ñ Ø Ó Ø ÖÖÓÖ Û ÐÙÐ Ø ÓÒ Ø ÐÓ Ö Ø Ñ Ð º ÇÒ Ö ÙÐ Ö Ð Ò Ö Ð Ø Ö Û Ý ØÓÓ ÑÙ Û Ø ÓÒ Ø Ñ ÐÐ Ø ÔÙ Ð Ò Ø Ö Ö Ð Ü Ø ÓÒ Ø Ñ Û ÓÖ Ö Ó Ñ Ò ØÙ Ð Ö Ö ÓÑÔ Ö ØÓ Ø Ð Ö Ö ÓÒ º Ì Ö ÙÐØ Ú Ò Ý Ø Ö Ø ØÛÓ Ñ Ø Ó Ö Ö ÓÒ ÐÝ Û ÐÐ Û Ø ÓØ Ö Ò Ò ÙÖ ½ º Ì ÜÔÓÒ ÒØ Ò Ø ÔÓÛ Ö Ð Û ÑÓ ØÐÝ Ú Ö ØÛ Ò ¹ Ò ¹ Ò Ø Ø Þ ÖÓ Ò Ö Ý Ø ÖÓÔ ÓÛÒ Ú Ò ÙÖØ Öº Ì Þ ÖÓ¹Ö ÓÒ ÓÛ Ú Ö ÓÙÐ ÒÓØ Ø Ò ØÓÓ Ö ÓÙ ÐÝ Ò Ø Ø ØÖ Ò Ø ÓÒ Ñ ÒØ ÓÒ ÖÐ Ö Ø Ø Ø ÑÓ Øº Ì Ø Ö Ñ Ø Ó Ú ÓÒ Ö ÐÝ Ö ÒØ Ö ÙÐØ Ø ÜÔÓÒ ÒØ ÖÓÙ ÐÝ ¹¾ Û Ø ÐÑÓ Ø ÒÓ Ò Ö Ý Ô Ò Ò º Ì Ö Ò Ñ Ø Ù Ý Ø ÙØÙ Ø ÓÒ Ø Ø Û Ö ÔÖ ÒØ Ò Ø Ð Ö Ö ÔÙ Ð º Ì ÒÚ Ö Ø Ñ ØØ Ò Ú Ø ÑÓ Ø Û Ø ÓÖ Ø Ð Ö Ø ÔÙ Ð Ò Ø Ý Ú Ò ÙÖ Ý Ò Ø Ö Ú ÐÙ Ó Û ÐÐ Ø Ø ÓÒ Ý Ø Ø Ö Ñ Ø Ó º Ì ÙÑ Ó ÕÙ Ö ÖÖÓÖ Ù Ø Ø Ø Ø Ö Ø Ñ Ø Ó ÛÓÙÐ Ø Ø Ó Ø Ø Ö º ÁØ Ø Ñ ÐÐ Ø ÖÖÓÖ ÖÓ Ø Û ÓÐ Ò Ö Ý Ö Ò Ò Ø Ð Ó Ø ÑÓÓØ Ø Ú ÓÙÖ ÓÖ Ø ÜÔÓÒ Òغ Ì Ñ Ø Ó ÓÛ Ú Ö Ò Ø Ö ØÐÝ ÖÓÑ Ø Û Ý Ø ËË Û ÐÙÐ Ø º Ë Ò Ø ËË ÐÙÐ Ø Ò Ø ÐÓ Ö Ø Ñ Ð Ø Ú Ò ØÙÖ Ð Ú ÒØ ÓÖ Ø Ö Ø Ñ Ø Ó Ò Ø ÐÖ Ý Ñ Ò Ñ Þ Ø ËË ÓÒ Ø ÐÓ Ö Ø Ñ Ð Ò Ø Ð Ò Ö Øº Á Ø ËË Û ÐÙÐ Ø ÓÒ Ð Ò Ö Ð Ø Ö Ø Ñ Ø Ó ÛÓÙÐ Ú ÑÙÐØ ÔÐ ÓÖ Ö Ó Ñ Ò ØÙ Ð Ö Ö ÖÖÓÖ Ù Ø Ó Ò³Ø Ú Ò ÖÐÝ ÑÙ Û Ø ÓÖ Ø Ñ ÐÐ Ø ÔÙ Ð º ÁÒ ÒÝ Ø Ö Ø Ñ Ø Ó Ñ ØÓ Ø Ø Ò Ò Ò Ø
15 22 1 2 1/τ (ps -1 ) 1 5. ev.5 ev 1. ev Slope (1-2 ps -1 ) 2 18 16 14 12 1 1-2 -2 2 1 2 3 4 5 6 Puddle density (ppm) 1-2 -1 1 2 ÙÖ ½ Ë Ð Ò Ó Ø ÒÚ Ö µ Ö Ð Ü Ø ÓÒ Ø Ñ ÙÒØ ÓÒ Ó Ö ÔÙ Ð Ò Øݺ ËÐÓÔ Ó Ø Ð Ò Ö Ø ÙÒØ ÓÒ Ó Ò Ö Ýº Ò Øµ ËÙÑ Ó ÕÙ Ö ÖÖÓÖ Ò Ø Øº ÜÔÓÒ ÒØ ÓÖÖ ØÐÝ Ú Ò Ø ÓÙ Ø Ø Ú Ò Ý Ø Ñ Ø ÒÓØ Ø Øº Ð Ø Ö ÙÐØ ÓÖ Ø Ö ÔÙ Ð Ø Ð Ò Ó Ø Ô Ò Ö Ð Ü Ø ÓÒ Ø Ñ Û Ð Ó ÐÙÐ Ø ÙÒØ ÓÒ Ó Ø ÔÙ Ð Ò Øݺ Ì Ö ÙÐØ Ò Ò Ò ÙÖ ½ Û Ö Ø ÒÚ Ö Ó Ø Ö Ð Ü Ø ÓÒ Ø Ñ ÓÛÒ Ò Ø Ø Ò Øݺ Ï Ø Ø Ü ÔØ ÓÒ Ó Ø Þ ÖÓ Ò Ö Ý Ø ÒÚ Ö Ñ ØÓ Ð Ò Ð Ò ÖÐÝ Û Ø Ò ÖÐÝ ÓÒ Ø ÒØ ÐÓÔ ÖÓ Ø Ò Ö Ýº Ì ØÖ Ò Ø ÓÒ Ó ÖÚ Û Ø Ø ÔÖ Ú ÓÙ Ö ÙÐØ Ñ ØÓ Ø Ý Ø Ò ØÝ Ù Ò Ú Ø ÓÒ ÖÓÑ Ø Ð Ò Ö Ú ÓÙÖ ÓÖ Þ ÖÓ Ò Ö Ýº Ò Ò Ø ÖÖÓÖ Ø Ø Ö Ö ÐÐÝ ÓÓ ÖÓ Ø Ò Ö Ýº Ì Ð Ò Ö Ð Ò ÕÙ Ø Ö ÓÒ Ð Ö ÙÐغ Á Ø ÔÙ Ð Ó ÒÓØ ÒØ Ö Ø Û Ø ÓØ Ö ÓÒ Û ÐÐ ØØ Ö Ô Ò Û Ø Ø Ñ Ö Ø ÙÑ Ò Ø Ö ÖÖ Ö ØÖ Ú Ö ÓÑ Û Ø ÙÒ ÓÖÑÐݺ ÁÒÖ Ò Ø ÒÙÑ Ö Ó ÔÙ Ð ÛÓÙÐ Ø Ò ÒÖ Ø ÒÙÑ Ö Ó Ô Ò ØØ Ö Ò Ú ÒØ Ð Ò ÖÐݺ Ì Ö Ð Ü Ø ÓÒ Ø Ñ ÒÚ Ö ÐÝ ÔÖÓÔÓÖØ ÓÒ Ð ØÓ Ø ÒÙÑ Ö Ó Ô Ò ØØ Ö Ò Ú ÒØ Û Ñ Ò Ø Ø Ø ÒÚ Ö Ð Ó ÒÖ Ð Ò ÖÐݺ ÁÒ ÒÓÙ ÓÒ ÒØÖ Ø ÓÒ Ø ÔÙ Ð Ø ÖØ ØÓ ÓÚ ÖÐ Ô Ò ÒØ Ö Ø Û Ø ÓØ Ö ÙØ Ø Ð Ø Ò Ø Ö Ò Ø Ø Û ÐÙÐ Ø Ø Û ÒÓØ Ý Ø Ø º º Ö ÖÖ Ö Ò ØÝ ÚÓÐÙØ ÓÒ ÁÒ Ø Ò Ó ÓÓ Ñ ÙÖ ÓÖ Ô Ò ÔÔ Ò ÓÒ ÙØ Ú ØÝ Ø Ô Ò ÔÓÐ Ö Þ Ø ÓÒ Ò Ó Ö Ø Ø Û Ý ØÓ Ö Ø Ô Ò Ú ÓÙÖº Ï Ð Ø Ú Ù ÙÐ Ò ÓÖÑ Ø ÓÒ ÓÙØ Ø Ý Ø Ñ Ø Ó Ò³Ø Ö Ø ØÖ Ò ÔÓÖØ ÔÖÓÔ ÖØ Û ÐÐ ÓÒ ÙØ Ú ØÝ ÓÖ ÓÒ ÙØ Ò ÛÓÙÐ º ÇÒ ÐØ ÖÒ Ø Ú Û Ý Ó ÐÓÓ Ò ÒØÓ Ø ØÖ Ò ÔÓÖØ ÔÖÓÔ ÖØ ØÓ ÐÙÐ Ø Ø Ø Ñ ¹ ÚÓÐÙØ ÓÒ Ó Ø Û Ú ÙÒØ ÓÒ Ò ÓÛ Ø Ö Ò ØÝ ÚÓÐÚ Ò Ø Ñ º Ò Ô ÐÐÝ ÒØ Ö Ø Ò ÐÓ Ð Þ Ò Ø Ð Ø Ø Ò Ø Ú Û Ý ØÓ Ñ ÙÖ
Ø Ò ØÖ Ú ÐÐ Ý Ø Û Ú Ô Øº Ì Ö Ö ÓÑ Ø Ò Ð ÔÖÓ Ð Ñ Û Ò Ø Ò ØÝ ÐÙÐ Ø Ô ÐÐÝ ÓÒ Ö Ò Ø ÑÓÙÒØ Ó Ø Ø Ø ÕÙ Ö Ò Ø ÓÑÔÙØ Ø ÓÒº Ì Ý Ø Ñ Û Ú ÐÙÐ Ø Ó Ö Ú ÖÓÙ ÐÝ Ñ ÐÐ ÓÒ ØÓÑ Ò Ø Ñº ÁØ Ø ÖÓÙ ÐÝ ½ Å Ó Ñ ÑÓÖÝ ØÓ ØÓÖ Ø Ò ØÝ ÓÖ ÓÒ Ø Ø Ú ØÓÖ Ù Ò ÓÙ Ð ÔÖ ÓÒ ÒÙÑ Ö ØÓÑ Ô Ö Ø Ò Ø ÓÖ ÓØ Ô Ò º Ì Ñ ÚÓÐÙØ ÓÒ Ö ÕÙ Ö ÖÓÙ ÐÝ ½¼¼ Ø Ô ØÓ ÐÙÐ Ø Ø Ò ØÝ ÙÖ Ø ÐÝ ÒÓÙ ÓÖ Ö Ð Ú ÒØ Ø Ñ Ð Û Ñ Ò Ø ÑÓÙÒØ Ó Ñ ÑÓÖÝ Ö ÕÙ Ö ØÓ ØÓÖ Ø ÚÓÐÙØ ÓÒ Ó ÓÒ Ö Ò ÓÑ Ø Ø Ò Ø ÓÖ Ö Ó ÝØ º ÙÖ Ø ÐÙÐ Ø ÓÒ Ö ÕÙ Ö Ø Ò Ó Ö Ò ÓÑ Ú ØÓÖ Ò Ø ÑÓÙÒØ Ó ØÓÖ Ö ÕÙ Ö ÓÑ ØÓÓ Ð Ö ØÓ Ò Ð º Ì Ñ ÑÓÖÝ Ù Ò Ö Ù Ý Ú Ö Ò Ø Ò ØÝ ÓÚ Ö Û Ø º ÓÖ Ü ÑÔÐ Û Ò ÐÙÐ Ø Ø Ò ØÝ ÓÚ Ö Ö Ó ½¼Ü½¼ ÕÙ Ö Ö Ù Ò Ø Ö ÕÙ Ö Ñ ÑÓÖÝ Ý ØÓÖ Ó ½¼¼º Ì Ò Ó ÓÜ ÐØ Ö ÓÔ Ö Ø ÓÒ ÓÒ ÈÍ Ò Ø Ô Ö ÓÖÑ Ö ÐÐÝ ÒØÐݺ Ì Ú Ö Ò ÔÖÓ Ö Ø ÙÖ Ý Ò ÐÓ Ø ÓÒ Ð ØÐÝ ÙØ Ò Ñ ÐÐ ÒÓÙ Ö Ø Ó ÒÓØ Ñ ØØ Öº ËÓ Ö ÑÓ Ø Ó Ø ÕÙ ÒØ Ø Ú Ò ÐÙÐ Ø ÙÒØ ÓÒ Ó Ò Ö Ýº Ï Ò Ò ØÝ ÓÒ Ö Ø Ò Ö Ý ÒÓØ ÑÔÓÖØ ÒØ Ò Ø Ò ÖÓÔÔ ÓÙØ Ó Ø ÐÙÐ Ø ÓÒ Ú Ò ÓØ ÓÑÔÙØ Ø ÓÒ Ð Ø Ñ Ò Þ Ó Ø ÓÙØÔÙغ È Ý ÐÐÝ Ø ÑÓ Ø Ö Ð Ú ÒØ Ò Ö Ý Ö Ò Ø Ú Ò ØÝ Ó Ø Ö ÔÓ ÒØ Ò ØÓ ÓÙ Ø Ö ÙÐØ ØÓ Ø Ö Ø Ò Ø Ð Ø Ø Ò Ñ Ò ÔÙÐ Ø Û Ø Ñ Ò ÖÝ Ø Ñ ÚÓÐÙØ ÓÒº Ï Ò ÓÔ Ö ØÓÖ e τĥ2 ÔÔÐ ØÓ Ø Ø Ø Ø Ò Ö Ý Ò Ø Ø Ö Û Ø Û Ø Ò ÜÔÓÒ ÒØ Ð Ó ÒØ e τe2 º Ø Ö Ö ÒÓÖÑ Ð Þ Ø ÓÒ Ø Ö Ò Ö Ú Ò ÖÓÑ Ø Ø Ø Ò Ø Ö Ð Ú ÒØ Ò Ö Ý Ö Ò Ð Ø Òº Ò ÐÐÙ ØÖ Ø ÓÒ Ó ÓÛ Ø ÇË Ò ÓÛÒ Ò ÙÖ ½ º Ì Ò Ø Ð Ô Ó Ø Û Ú Ô Ø Û Ó Ò ØÓ Ù Ò Ñ Ð Ö ØÓ ÓÛ Ø Ö ÔÙ Ð Û Ö Ò º Ì Û Ø Ó Ø Ô Ø Û Ó Ò ØÓ a Ò Ø Û ÒÓÖÑ Ð Þ ØÓ Ø ÒÙÑ Ö Ó ØÓÑ Ò Ø Ý Ø Ñº Ì Ò Ø Ð Ø Ø Ñ Ø Ð ØÐÝ ÙÒÔ Ý Ð Ò Ø ÓÖÖ ÔÓÒ ØÓ Ò Ö Ó Û Ö Ú ÖÝ Ð ØÖÓÒ Ó Ø Ý Ø Ñ Ò Ø Ñ ÐÓ Ø ÓÒ ÙØ Ø ÝÒ Ñ Ú Ò Ý Ø ÓÙÐ ÓÑ ÓÙØ ÓÖÖ ØÐÝ Ò Ú ÖØ Ð Ø ÒØ Ö Ø ÓÒ Ø Ö Ò Ð Ø º Ò Ü ÑÔÐ Ó Ø Ø Ñ ÚÓÐÙØ ÓÒ Ò Ø ÔÖ Ò Ó Ö ÔÙ Ð Ò Ò Ò ÙÖ ½ º Ì ÔÖ Ò ÔÔ Ò ÕÙ Ø Ø Ò Ò Ø Ð Ø Ò Ô ÓØ Û Ø Ò Ø t = 48 Ø Û Ø Ó Ø Ô Ø ÐÖ Ý ½¼ ÒѺ Ì Ü ÓÒ Ð Ô Ó Ø ÔÖ Ò Ô Ø Ù Ý Ø Ö Ô Ò Ð ØØ Ò Ø Ð Ó Ü Ú ØØ Ö Ò Ò Ø Ý Ø Ñº Ì ØÖ Ò Ø Ó Ø ÔÙ Ð Û ÒÓÙ Ø Ø Ø Ò Ø Ð ÝÑÑ ØÖÝ Ó Ø Ô Ø Ö Ø Ò ÙÒÐ Ò Ø ÔÖ Ò Ó ØÖÓÒ Ö Ø Ò Ö Ò Øݺ ÓÖ Ü ÑÔÐ Ø ÔÓØ ÒØ Ð Ø Û Ø ØÖ Ò Ø Ó ±2 Î Ò ± Ò ØÝ Ù Ø Ô Ø ØÓ ÓÑ ÖÙÐ Ö Ø Ö Ø Ö Ø ¼ Ó Ø ÑÙÐ Ø ÓÒº Ï Ø Ø ÔÙ Ð Ø Ü ÓÒ Ð Ô Ö Ø Ò ÓÖ Ø Û ÓÐ ¾ Ô Ó Ø ÑÙÐ Ø ÓÒº Ì ÙÖ ½ Ð Ó ÓÛ ÓÛ Ñ Ð Ö Ø Ô Ò Ú º Ì Ô Ò Þ Ó Ø Ô Ø Ö ÒØ Ð Ø Ñ Ô ÓÒ Ò Ø ÓÒÐÝ Ö Ò Ø ÑÓÙÒØ Ó Ô Òº Ð Ó Ø Ö Ø Ó ØÛ Ò Ø Ô Ò Ø Ý ÕÙ Ø ÙÒ ÓÖÑ ÖÓ Ø Ý Ø Ñ Ò Ø ÔÖ Ò Ó Ö ÔÙ Ð Ò Ò ÙÖ ½ º Ï Ò Ø Ú Ö Ô Ò Ô Ö ÒØ Ö ÓÑÔ Ö Ø Ö
1.8 DOS (1/t/atom).6.4.2 fs 24 fs 48 fs -2 2 ÙÖ ½ Ì Ò ØÝ Ó Ø Ø Ø Ö Ñ Ò ÖÝ Ø Ñ ÚÓÐÙØ ÓÒ ÐÙ µ ÓÑÔ Ö ØÓ Ö ÙÐ Ö ÇË Ð µ Ì Ñ ÚÓÐÙØ ÓÒ Ó Ø Ò ØÝ Ó Ù Ò Ô Ò Ø Ð Ø Ø Ò Ø ÔÖ Ò Ó Ö ÔÙ Ð º Ì Ö Ø Ð Ò ÓÛ ÙÔ¹ Ô Ò Ò Ø ÓÒ ÓÒ ÓÛÒ¹ Ô Òº Ì Ò Ô ÓØ Ö Ø Ò ÖÓÑ t = ¼ ¾ Ò º ÓÚ Ö ÐÐ Ú ÓÙÖ Ó ÒÓØ Ö ÑÙ ÖÓÑ Ø ÐÓ Ð ÓÒ Ô ÐÐÝ Ò Ø Ð Ø Ö Ô ÖØ Ó Ø ÑÙÐ Ø ÓÒº Ø Ö Ø Ö Ø ¼º½ Ô Ó Ø ÑÙÐ Ø ÓÒ ÓØ ÐÓ Ð Ò ÐÓ Ð Ú ÐÙ Ö ÔÖ Ø ÐÐÝ Ø Ñ Ò ÑÓ Ø Ó Ø ÒØ Ö Ø Ò Ô ÒÓÑ Ò ÓÙÖ ÓÖ Ø Ø Ø Ñ º ÍÔ ÙÒØ Ð ¼º¼ Ô Ø Ò ØÝ Ú ÑÓÓØ ÐÝ ÓÖ ÐÐ Ó Ø ÔÓ ÒØ Ó Ñ ÙÖ Ñ Òغ Ø Ö Ø Ø Ø Ô Ö ÒØ Ó Ø ÙÔ Ô Ò ÖÓÔ Ø Û Ø ØÖÓÒ Ô Ò Ò ÓÒ Ø Ø Ò ÖÓÑ Ø ÒØ Öº ÓÖ Ø ÐÓ Ø ÔÓ ÒØ Ø Ô Ö ÒØ Ø ÖØ ØÓ ÖÓÔ ÑÑ Ø ÐÝ Û Ð ÓÖ Ø ÙÖØ Ö ÔÓ ÒØ Ø Ø ÑÙ ÐÓÒ Ö ØÓ ÖÓÔ ÓÛÒº Ì Ø Ñ Ø Û Ø ÖÓÔ ÓÙÖ ÖÓÙ ÐÝ ÓÖÖ ÔÓÒ ØÓ Ø ÑÓÑ ÒØ Ø Û Ø Ñ Ò Û Ú Ô Ø Ô Ø ÔÓ ÒØ Ó Ñ ÙÖ Ñ Òغ Ø Ø ¼º¼ Ô Ø Û Ø Ô ÖØ Ó Ø Ô Ø ØÖ Ú ÐÐ º ÒÑ ÖÓÑ Ø ÒØÖ Ò Ø ¼º½ Ô Ø Ò ÖÖÓÛ Ø Ô ÖØ Ù Ø Ô Ø ÒÑ Ø Ò Ø Û Ø ÙÖØ Ø Ñ ÙÖ Ñ ÒØ Û ÓÒ º Ù Ó Ø Ü ÓÒ Ð ÝÑÑ ØÖÝ Ø Û Ú Ô Ø Ö Ø Ñ Ð Ò Ø Ø Ð ØÐÝ Ö ÒØ Ø Ñ Ñ Ò Ø Ô Ò Ð ØØÐ ÐÓÒ Ö Ú Òغ Ì Ù Ò ÖÓÔ Ò Ø Ô Ö ÒØ Ó ÙÔ Ô Ò Û Ò Ø Ñ Ò Ô Ø Ô Ý Ù Ø Ø Ø Ø Ö Ö Ø Ö ØÖÓÒ ÓÖÖ Ð Ø ÓÒ ØÛ Ò Ø ØØ Ö Ò Ó Ö Ò Ô Òº Ì Ö Ø Ô ÖØ Ó Ø Û Ú Ô Ø Ø Ø Ö Ø ÔÓ ÒØ Ó Ñ ÙÖ Ñ ÒØ Ö Ø Ø Ø Û Ñ Ò Ø Ý ÒÒÓØ Ú Ñ ÒÝ ØØ Ö Ò Ú ÒØ ÓÒ Ø Ö Û Ýº Ì Ô Ö ÒØ Ó ÙÔ Ô Ò Ò Ø Ô ÖØ Ð Ó Ð Ö Ö Ø Ò ÓÒ Ú Ö Û Ñ Ò Ø Ý Ð Ó Ú Ð Ô Ò ØØ Ö Ò º Ì ÑÓ Ø Ó Ø ÓÛÒ Ô Ò ÖÖ Ý Ø Ñ Ò Ô Ø Ò Ø Ô Ø ÔÓ ÒØ Ó Ñ ÙÖ Ñ ÒØ Ø ÓÛÒ Ò ØÝ ÒÖ Ö Ø ÐÐݺ Ø Ø ¼º½ Ô Ñ Ö Ø Û Ú Ô Ø ÐÑÓ Ø Ö Ø Û ÓÐ Ý Ø Ñ Ò Ø Ö Ø Ø Ø Ú ÓÙÖ ÓÐÐÓÛ Ø Ú Ö ÐÓ ÐÝ Ø Ò ØÝ ÑÓÖ ÓÖ Ð Ö Ø ÕÙ Ð Ö ÙѺ