BM30A0240, Fysiikka L osa 4 Värähtelyfysiikkaa 1 Luennot: Heikki Pitkänen Oppikirja: Young & Freedman: University Physics Periodic motion Mechanical waves Sound and hearing Muuta - Diffraktio, interferenssi, perusoptiikkaa
Kurssin sisältö Harmoninen värähtelijä 2 Periodinen aalto, matemaattinen malli Seisova aalto Ääni (Doppler, interferenssi, huojunta) Optiikkaa (diffraktio, reflektio, refraktio)
1 Värähtely (Oscillation) Värähtely on jonkin suureen toistuvaa variaatiota (yleensä ajan suhteen) jonkin keskiarvon välillä (joka yleensä on systeemin tasapainotila). Värähtelyä esiintyy paitsi mekaanisissa systeemeissä, myös monissa muissa dynaamisissa systeemeissä. 3 Joitain esimerkkejä värähtelevästä systeemistä: Jousi-massa -systeemit, heilurit Analoginen oskillaattori, vaihtovirta Tietyt tähdet: Punainen jättiläinen, kefeidi Ihmissydän Peto-saalis -dynamiikka Kaikki materia Aallot: vedessä, maanjäristysaallot, ääni, säteily
4 Systeemin värähtely ei välttämättä ole sinimuotoista, mutta tällä kurssilla keskitymme niihin. Ei-sinimuotoisia systeemejä voidaan usein mallintaa sinimuotoisilla.
1.1 Harmoninen värähtelijä (Harmonic oscillator) 5 Klassisessa mekaniikassa harmoninen värähtelijä (harmonic oscillator) on systeemi, mikä poikkeutettuna tasapainoasemastaan kokee voiman joka pyrkii palauttamaan systeemin tasapainoasemaansa. Kuvassa on esimerkillisin harmoninen värähtelijä, jousi-massa -systeemi.
1.1.1 Vaimentamaton harmoninen värähtelijä (Simple harmonic oscillator) 6 Tarkastellaan jousi-massa -systeemiä jossa kappale (massa m) makaa vaakasuoralla kitkattomalla alustalla, ja kappale on kiinnitetty toisesta sivustaan tukevaan seinään massattomalla jousella, jonka jousivakio on k. Systeemi on levossa vain, jos se on tasapainotilassaan (equilibrium state). Jos systeemi poikkeutetaan tasapainotilastaan, kohdistaa jousi kappaleeseen voiman joka pyrkii palauttamaan systeemin tasapainotilaansa.tämä voima on suoraan verrannollinen poikkeutukseen: F = ky. Tämä palauttava voima (restoring force) on yksi värähtelevien systeemien määritteleviä tekijöitä.
Kappaleen paikkaa merkitään usein symbolilla y tapahtui värähtely sitten vaaka- tai pystysuunnassa. Näin vältetään sekaannusta seuraavassa aihepiirissä, jossa värähtelevän hiukkasen siirtymä y on sekä ajan että paikan funktio, y = y(x, t). 7 Huomataan myös että pystysuuntaisen jousi-massa -systeemin kohdalla meidän ei tarvitse välittää siitä että jousella on tietty lepopituus ja se venyy kun massa kiinnitetään jouseen; värähtelijä värähtelee joka tapauksessa tasapainopisteen y 0 ympärillä, joten sitä voidaan käsitellä samoilla yhtälöillä.
Äsken todettiin F = ky. 8 Kun muistetaan saadaan Tämä voidaan kirjoittaa F = ma ja a = ÿ = d2 y dt 2, m d2 y dt 2 = ky. d 2 y dt 2 = k m y = ω2 y, k missä ω = m on systeemin kulmataajuus (angular frequency). Tästä käsitteestä lisää hetken päästä.
9
Jos kappaleen paikkaa ajan funktiona merkitään y(t):llä, voidaan muodostaa harmonisen värähtelijän liikeyhtälö. Tämä kirjoitetaan tyypillisesti muodossa y(t) = A cos (ωt + φ), 0 missä ω on edellä mainittu kulmataajuus ja φ on vaihekulma, joka kertoo missä pisteessä kappale oli ajanhetkellä t = 0. φ:n arvo määräytyy systeemin alkuehdoista. A on systeemin amplitudi (amplitude). Amplitudi on suurin etäisyys jolla kappale käy tasapainoasemastaan. Kun katsotaan yllä olevaa yhtälöä, huomataan että systeemin taajuus ei riipu sen amplitudista. Jokaisella systeemillä on siis oma ominaisvärähtelytaajuutensa (natural frequency). Esimerkiksi jousi-massa -systeemin ominaisvärähtelytaajuuden sanelevat m ja k, jotka ovat systeemin parametrejä.
Usein halutaan tietää systeemin taajuus (frequency), eli se, kuinka monta kokonaista värähdystä systeemi tekee sekunnissa. Se saadaan yhtälöstä ω = 2πf. Taajuuden yksikkö on hertsi (hertz) [Hz]. 1 Hertsin tulkinta on siis värähdystä sekunnissa, eli 1 Hz = 1 1 s. Usein halutaan tietää myös systeemin jaksonaika (period) T, eli se, aika mikä värähtelijältä menee yhden kokonaisen jakson liikkumiseen. Jaksonajan ja taajuuden keskinäinen riippuvuus on yksinkertaisesti T = 1 f. Jaksonajan yksikkö on sekunti [s].
Kulmataajuuden ω, taajuuden f ja jaksonajan T riippuvuus toisistaan voidaan siis kirjoittaa muotoihin 2 f = 1 T = ω 2π = 1 2π k m T = 1 f = 2π ω = 2π m k Käsitellään seuraavaksi kulmataajuudelle ω kouriintuntuva määritelmä.
3 1.1.2 Pyörivän liikkeen ja harmonisen värähtelijän yhteys
Edestakaisin liikuvan (värähtelevän) kappaleen tapauksessa kulmanopeudella ω ei ole välittömästi itsestäänselvää tulkintaa, kuten olisi pyörivän kappaleen tapauksessa. Merkintä on kuitenkin järkeenkäypä; tutkitaan seuraavaa esimerkkiä idean valottamiseksi. 4 Tietynmittaisen kepin (vektorin r) päässä on piste Q. Vektori r pyörii origon ympäri kulmanopeudella ω (kulmanopeuden ollessa siis yhtä sekunnissa, eli radiaania sekunnissa). Kullakin ajanhetkellä vektori r muodostaa kulman θ = ωt positiivisen x-akselin kanssa. Kun tarkastellaan pisteen Q projektiota x-akselille tai y-akselille, nähdään että kumpikin projektio tekee edestakaista harmonista liikettä. Pisteen Q projektio x-akselille on x(t) = r cos (ωt) = A cos (ωt). Vektorin r pituus on siis systeemin värähtelyn amplitudi, r = A.
1.1.3 Nopeus, kiihtyvyys Kun harmonisen värähtelijän paikka ajan funktiona tiedetään, niin sen nopeus ja kiihtyvyys saadaan tästä yhtälöstä ajan suhteen derivoimalla. Eli kun tiedetään 5 y(t) = r cos (ωt) = A cos (ωt + φ), saadaan nopeus derivoimalla kerran v(t) = ẏ(t) = dy dt ja kiihtyvyys derivoimalla toisen kerran = ωa sin (ωt + φ) a(t) = ÿ(t) = dv dt = d2 y dt 2 = ω2 A cos (ωt + φ) = ω 2 y(t).
1.1.4 Harmonisen värähtelijän energia 6 Harmonisen värähtelijän energia vaihtelee kineettisen energian ja potentiaalienergian välillä. Kun kappale on tasapainoaseman kohdalla, potentiaalienergia on nolla, ja kineettinen energia on suurimmillaan. Vastaavasti kun kappale on poikkeutettu niin kauaksi kuin se menee (ts. y = A, niin kappale on levossa (ei kineettistä energiaa), ja potentiaalienergia on suurimmillaan.
Systeemin kineettinen energia K ajanhetkellä t on K(t) = 1 2 mv2 = 1 2 mω2 A 2 sin 2 (ωt ϕ) = 1 2 ka2 sin 2 (ωt ϕ). Vastaavasti potentiaalienergia U(t) = 1 2 ky2 = 1 2 ka2 cos 2 (ωt ϕ). 7 Systeemin kokonaisenergia voidaan laskea vaikka määrittelemällä mikä on systeemin potentiaalienergia suurimmillaan (kun x = A): E = K + U = 1 2 ka2. Muistetaan vielä että systeemin kokonaisenergia säilyy (vaimentamattoman värähtelyn tapauksessa) kaikilla ajanhetkillä, eli E = 1 2 ky2 + 1 2 mv2 = 1 2 ka2.
8 Kuvassa on esitettynä harmonisen värähtelijän kineettinen energia ja potentiaalienergia värähdyksen eri vaiheissa. Punainen käyrä, potentiaalienergia, on suurimmillaan kun kappale on mahdollisimman kaukana tasapainopisteestä, kun taas kineettinen energia, sininen käyrä, on suurimmillaan kun kappale ohittaa tasapainopisteen (nopeus on tässä pisteessä suurin). Musta käyrä edustaa kokonaisenergiaa, ja se on koko ajan vakio. Toisin sanoen, värähtelijä ei menetä energiaansa.
1.1.5 Matemaattinen heiluri Klassinen esimerkki vaimentamattomasta harmonisesta värähtelijästä on matemaattinen heiluri (Simple pendulum). 9 Heilurin muodostaa massaton, L:n mittainen jäykkä keppi, joka on ylhäältä nivelletty, ja sen päähän on ripustettu kappale jonka massa on m. Nivelen kitkaa tai ilmanvastusta ei tarvitse ottaa huomioon, eli systeemin värähtely ei vaimene. Kun systeemi poikkeutetaan tasapainoasemastaan, on palauttava voima F = mg sin(θ). Jos poikkeama θ on pieni, sin(θ) θ = x L, jolloin palauttava voima on F = mgθ = mg L x
0
1 Liikeyhtälö saadaan siis muotoon F = ma = mg L x Kun tätä verrataan edellä käytyyn harmonisen värähtelijän liikeyhtälöön, huomataan yhteys k mg L jolloin värähtelijän kulmataajuudeksi saadaan Heilahdusaika on siis ω = k m = g L. T = 2π ω = 2π L g.
1.1.6 Kiertoheiluri (Torsion pendulum) 2 Kiertoheiluri on yhtä yksinkertainen harmoninen värähtelijä kuin jousi-massa -systeemikin. Ainoa ero on siinä, että edestakaisen translaatioliikkeen sijaan kiertoheiluri tekee edestakaista rotaatioliikettä. Kun korvataan siirtymä y kiertymällä θ, massa m inertialla I, voima F väännöllä (torque) τ, ja jousivakio k vääntövakiolla (torsion constant) κ, voidaan käyttää samoja yhtälöitä. κ ω = θ = Θ cos(ωt + φ) I
1.1.7 LC-piiri 3 Sähköinen piiri joka koostuu vain kelasta ja kondensaattorista noudattaa harmonisen värähtelijän yhtälöä samoin kuin jousi-massa -systeemikin. Piirissä ei siis ole ollenkaan vastusta, eli systeemi ei menetä energiaansa (ja näin ollen värähtelee ikuisesti).
4 Oletetaan että kondensaattorissa on jokin varaus, ja piiri on avoin. Ajanhetkellä t = 0 kytkin kytketään kiinni. Kondensaattorin varaus virtaa kelaan, jonka magneettikenttään näin ollen varastoituu energiaa. Kondensaattorin varauksen purkauduttua virta jatkaa kulkemistaan; kelan magneettikenttään varastoitunut energia toimii piirissä samassa roolissa kuin massan liike-energia jousi-massa -systeemissä. Kela syöttää virtaa niin kauan kunnes sen magneettikenttä on nollassa, ja tässä vaiheessa systeemin koko energia on jälleen kondensaattorin varauksessa. Tämän jälkeen alkaa värähdys toiseen suutaan.
1.2 Vaimennettu värähtelijä (Damped oscillator) 5 Reaalimaailman systeemeissä on aina mukana voima/ilmiö joka vaimentaa värähtelijää. Kuvassa on esitettynä klassinen mekaaninen vaimennettu värähtelijä; systeemi on sama kuin tähän asti käsitelty, mutta nyt dynamiikassa on lisänä jarruttava tekijä. Kuvassa se on esitetty nestejarrulla. Vaimentava tekijä voisi olla myös kitka kappaleen ja pinnan välillä, kaasun/nesteen vastus, tai kaikkien näiden summa.
Kaikki jarruttavat ilmiöt symboloidaan tässä käsittelyssä vaimentavaan tekijään (damping factor) b. Edellä kappaleen liikeyhtäköksi saatiin F = ma = kx. Kun yhtälöön lisätään vaimentava voima (joka on miltei aina suoraan verrannollinen kappaleen nopeuteen) F = bv, saadan liikeyhtälöksi F = ma = kx bv. 6 Kun muistetaan saadaan v = ẏ = dy dt ja a = ÿ = d2 y dt 2, m d2 y dt 2 + bdy + ky = 0. dt Tämä on vaimennetun harmonisen värähtelijän yleinen yhtälö. Kyseistä differentiaaliyhtälöä ei kuitenkaan käydä kuitenkaan ratkaisemaan tässä.
Jos vaimentava voima on pieni, niin silloin kappaleen paikka ajan funktiona saadaa yhtälöstä y(t) = A 0 e δt cos(ω t + φ), 7 missä ja ω = δ = 1 τ = b 2m k m b2 4m 2. Huomataan että funktio joka ratkaisee vaimennetun värähtelijän differentiaaliyhtälön on eksponenttifunktion ja kosinifunktion tulo (katso ensi sivun kuva). Kosinifunktio kertoo kuinka systeemi värähtelee, ja eksponenttifunktio kertoo kuinka värähtely vaimenee ajan funktiona.
Kuvassa on esitetty värähtelijän paikka ajan funktiona kahdella eri b:n arvolla (k ja m samat). 8 Värähtelijän amplitudi, ja näin ollen myös värähtelijän energia, tippuvat hitaasti kohti nollaa.
Systeemin aikavakio τ (tau) määrittää systeemin vaimenemisen. τ on se aika, joka systeemin amplitudilta kuluu tippua 1 e -osaan alkuperäisestä amplitudista. 9 Yhtälöissä käytetään usein τ:n käänteislukua δ. Jousi-massa -systeemeille δ = 1 τ = b 2m (kuten jo mainittiin).
Kun tarkastellaan termiä 0 ω = k m b2 4m 2 huomataan että vaimennus muuttaa myös värähtelevän systeemin ominaisvärähtelytaajuutta. Huomataan että ω = 0 jos k m = b2 4m eli b = 2 km. Tällöin 2 systeemi ei enää värähtele ollenkaan, vaan poikkeutettuna tasapainoasemastaan palautuu hitaasti tasapainopisteeseensä. Tälläistä systeemiä sanotaan kriittisesti vaimennetuksi (critical damping).
Sähköinen piiri joka käyttäytyy vaimennetun värähtelijän tavoin on RLC-piiri. 1 Huomataan että kytkentä näyttää täysin samalta kuin LC-piiri, mutta nyt piirissä on mukana myös vastus.
Mitä tulee vaimennetun värähtelijän energiaan, muistetaan vaimenemattoman värähtelyn tapauksesta että systeemin energia vaihtelee kineettisen energian ja potentiaalienergian välillä, mutta kokonaisenergian saneli aina yhtälö 2 E = 1 2 ky2 + 1 2 mv2 = 1 2 ka2. Nyt kun systeemin amplitudin tiedetään tippuvan aikavakion sanelemalla tavalla, eli A(t) = A 0 e δt = A 0 e t τ, saadaan E(t) = 1 2 k [A(t)]2 = 1 2 k(a 0e δt ) 2.
1.3 Pakotettu värähtelijä (Driven oscillator) 3 Vaimennetun värähtelijän liike pysähtyy ennenpitkää kokonaan. Mutta jos systeemiä on syöttämässä ajan suhteen varioiva voima, voi vaimennetunkin systeemin värähtely jatkua. Tälläisessä tapauksessa värähtelijän taajuudeksi muodostuu syöttävän, ajan suhteen varioivan voiman taajuus, eikä systeemin ominaisvärähtelytaajuus. Tälläistä systeemiä kutsutaan pakotetuksi värähtelijäksi (driven oscillator).
Tutkitaan systeemiä jossa massasta, jousesta ja jarruttavasta tekijästä koostuvaa systeemiä, jonka ominaiskulmataajuus on ω, syöttää ulkoinen voima, jonka kulmataajuus on ω d. 4 Mitä lähempänä syöttävän voiman taajuus ja systeemin ominaisvärähtelytaajuus ovat toisiaan, sitä suuremmaksi muodostuu systeemin amplitudi. Tätä ilmiötä kutsutaan resonanssiksi (resonance).
5 Kuvassa on pakotetun värähtelijän amplitudi ajavan voiman kulmataajuuden ω d ja systeemin ominaiskulmataajuuden suhteen funktiona. Huomataan että kun ω d /ω = 1, on amplitudi suurimmillaan. Eri käyrät edustavat eri b:n arvoja.
6 Esimerkkejä pakotetusta värähtelijästä ja resonanssista: Keinu jolle annetaan vauhtia Radiovastaanotin (kanavavalitsin muuttaa RLC-piirin ominaisvärähtelytaajuutta) Vanha rämisevä auto; riippuen moottorin kierrosluvusta resonoivaa räminää kuuluu eri puolilta autoa. Laite jolla testataan auton iskunvaimentimet katsastusasemalla. Juuri tietyllä taajuudella koko auto heiluu syöttävän voiman mukana. Tuuli ja tehtaiden savupiiput. Piiput rakennetaan kartiokkaiksi tai niihin pistetään tuulta ohjaavat kierteet, koska muuten juuri sopivan nopeuksinen tuuli saa piipun resonoimaan, ja voi rikkoa sen.