Tähtitieteen perusteet, harjoitus 2 Yleisiä huomioita: Tähtitieteessä SI-yksiköissä ilmaistut luvut ovat usein hyvin isoja ja epähavainnollisia. Esimerkiksi aurinkokunnan etäisyyksille kannattaa usein käyttää yksikkönä AU:ta ja tähtien etäisyyksille parsekia. Silloin on myös helpompi arvioida, onko tuloksen suuruusluokka järkevä. Tilanteesta riippuen laskut voi joskus olla syytä suorittaa SI-järjestelmässä, mutta silloinkin tuloksen voisi tarkistuksen vuoksi vielä muuntaa johonkin havainnollisempaan muotoon. Jos lähtötiedot annetaan vain 2 3 merkitsevällä numerolla, lopputulostakaan ei kannata ilmoittaa sen tarkemmin, vaikka sen saakin laskimesta kymmenellä numerolla. Lopppupään numerot ovat vain laskutoimitusten seurausta, eivätkä perustu itse fysiikkaan.
1. Tähden parallaksi on 0.05 ja näennäinen magnitudi 7.5. Mikä on tähden etäisyys ja absoluuttinen magnitudi? Etäisyys on r = 1/0.05 = 20 parsekia. (Parallaksi on aina hyvin pieni kulma, joten trigonometrian käyttö on tarpeetonta.) Absoluuttinen magnitudi ratkaistaan kaavasta m M = 5lg(r/10 pc), josta M = m 5lg(r/10 pc) = 7.5 5lg 2 = 6.0.
2. Jos edellisen esimerkin tähti on kaksoistähti, jonka molemmat komponentit ovat yhtä kirkkaita, mikä on kummankin magnitudi? Kokonaismagnitudi (näennäinen) on m = 2.5lg(F/F 0 ) = 7.5, josta vuontiheys on F = F 0 10 0.4 7.5. Yhden komponentin vuontiheys on puolet tästä: F 1 = 0.5 F 0 10 0.4 7.5, joten eli m 1 = 2.5lg ( 0.5 10 0.4 7.5) m 1 = 2.5lg 0.5 2.5lg 10 0.4 7.5 = 0.75 + 7.5 = 8.25. Yksittäinen tähti on tietenkin himmeämpi kuin koko kaksoistähti, joten sen magnitudin on oltava suurempi kuin kokonaismagnitudi. (Tehtävässä ei sanottu, tarkoitetaanko näennäisiä vai absoluuttisia magnitudeja, joten hyväksytään myös ratkaisu, jossa lasketaan tähtien absoluuttiset magnitudit.)
3. Tähden luminositeetti on 10L ja efektiivinen lämpötila 3000 K. Mikä on tähden säde? Auringon efktiiviselle lämpötilalle voidaan käyttää arvoa 5800 K. Tähden ja Auringon luminositeetit ovat L = 4πσR 2 T 4, L = 4πσR 2 T 4, josta L/L = 10 = R2 T 4 R T 2 4, ja edelleen (R/R ) 2 = 10(T /T) 4 = 10(5800/3000) 4 140. Tähden säde on siten 140 = 11.8 Auringon sädettä. (eli 8.2 10 9 m). Tähden säde voidaan laskea myös suoraan kaavasta L = 4πσR 2 T 4, jolloin se saadaan metreinä. Tähti on Aurinkoa viileämpi ja siten väriltään punaisempi, mutta silti paljon kirkkaampi, joten sen täytyy olla kooltaan paljon suurempi. Kyseessä on punainen jättiläinen.
4. Auringon kokoisen tähden säteilyn vuontiheys 1 AU:n etäisyydellä on 3000 wattia neliömetrille. Mikä on tähden luminositeetti ja efektiivinen lämpötila? Auringon luminositeetti on L = 3.9 10 26 W ja säde R = 6.960 10 8 m. Säteily on jakautunut pallopinnalle, jonka ala on 4πr 2, missä nyt r on yksi AU. Luminositeetti on siten L = 4πr 2 F = 4π(1.5 10 11 m) 3000 W/m 2 = 8.5 10 26 W = 2.2L. Tähden pinnalta lähtevän säteilyn vuontiheys on L = 4πσR 2 T 4, josta T 4 = 8.5 10 26 /(4πσ(6.96 10 8 ) 2 ) = 2.5 10 15. Efektiivinen lämpötila on siten T = 7044 7000 K. Koska tähti on Aurinkoa kirkkaampi mutta saman kokoinen, sen täytyy olla kuumempi.
5. Eksoplaneetta kiertää tähteä, jonka massa on 3M. Planeetan kiertoaika on 1.5 vuotta. Jos planeetta liikkuu ympyräradalla, mikä on radan säde? Voidaan olettaa, että planetaan massa on paljon pienempi kuin tähden massa. Suureet on annettu valmiiksi sopivissa yksiköissä, joten nyt voidaan käyttää Keplerin 3. lakia muodossa a 3 = MP 2, josta a 3 = 3 1.5 2 = 6.75 ja a = 1.89 AU. Keplerin laki pätee yleisestikin ellipsiradoille. Sen sijaan fysiikan kurssin ympyräliikkeen kaavat soveltuvat vain ympyräradoille.
6. Marsin massa on 6.42 10 23 kg ja säde 3397 km. Laske painovoiman kiihtyvyys Marsin pinnalla ja pakonopeus pinnalta. Satelliitti kiertää Marsia radalla, jonka korkeus pinnasta on 200 km. Mikä on satelliitin kiertoaika ja ratanopeus? Tekijä GM esiintyy jatkossa useaan otteeseen, joten se kannattaa laskea ensiksi: GM = 6.671 10 11 6.42 10 23 = 4.28 10 13 m 3 /s 2. Lähtötiedot oli annettu SI-yksiköissä, ja kun tässä ei vaadita suurta tarkkuutta, laskut voidaan suorittaa SI-järjestelmässä. Jos olisi tarpeen laskea satelliitin rata muutaman metrin tarkkuudella, tämä gravitaatiovakion arvo olisi liian epätarkka. Tekijä GM tunnetaan kuitenkin hyvin tarkasti Marsin kuista ja satelliiteista tehtyjen havaintojen perusteella, joten sen arvoa voidaan käyttää suoraan tarkemmissa laskuissa. Painovoiman kiihtyvyys saadaan Newtonin kolmannen lain ja painovoimalain avulla: F = ma = GMm R 2, missä M on Marsin massa ja R säde. a = GM/R 2 = 3.7 m/s 2 = 0.38g.
Pakonopeus saadaan ehdosta, että äärettömän kaukana kappale on menettänyt kaiken liike-energian, jolloin sen energiaintegraali on nolla. Koska se on säilyvä suure, sen on oltava nolla myös planeetan pinnalla: h = v 2 e/2 µ/r = 0, josta v e = 2GM R = 2GM 5020 m/s. 3.397 106 Satelliitin kiertoaika saadaan Keplerin kolmannesta laista: P 2 = 4π2 a 3 GM = 4π2 3.597 10 6 GM = 4.3 10 7, josta P = 6550 s eli noin 1.8 tuntia. Ratanopeus on v = 2πa P = 3450 m/s.