A-B, kun A < B 1 / 20

A-B, kun A < B 1 / 20 Ylivuoto Luvunk p esittäminen vaatiip+1merkkiä, joista 1. merkki on1ja loputpmerkkiä0:ia. Tapauksessa, missäajab ovat positiivisia,a > B, on lukua B:kin positiivinen, joten A B +k p = A+B > k p. ja esittäminen vaatiip+1merkkiä, joista ensimmäinen on1. p+1:n merkin tarvetta kutsutaan ylivuodoksi (overflow). KunA > B, niin pyyhkimälläa B :stä ylivuotomerkki pois saadaan erotus. Esityksessä A B = A+B k p vähentäminenk p :llä edustaa juuri ylivuotomerkin poispyyhkimistä. 2 / 20 Tapaus A<B KunAjaB ovat positiivisia jaa < B, ona B < 0 SilloinA B +k p on lukuak p pienempi ja sen esittämiseen ei tarvitakaanp+1:tä merkkiä eli ylivuotoa. Johtopäätös: KunA+B :ssä on ylivuoto, niin haettu erotus on positiivinen ja erotus saadaan pyyhkimällä ylivuotomerkki pois. KunA+B :ssä ei ole ylivuotoa on haettu erotus negatiivinen ja erotus saadaan määräämälläa+b :nk:n komplementti (mikä edustaak p :n vähentämistäa+b :stä) ja sijoittamalla eteen oikea etumerkki. Siis, kuna B, niin A B = A+B k p = (k p (A+B )) = (A+B ) = ((A+B ) +1) 3 / 20 1

Esimerkki 7.12 Laske A B, kun p = 5, k = 10 (eli käytetään 10- järjestelmän lukuja), A = 25 = 00025 jab = 183 = 00183. Ratk B = 99999 00183 = 99816 ja B = B +1 = 99817. A+B = 00025+99817 = 99842 Ei ylivuotoa, jotena B < 0. LuvunA+B 9:n komplementti on(a+b ) = 00157 ja 10:n komplementti (A+B ) = 00157+1 = 00158. A B = (A+B ) = 158. 4 / 20 Esimerkki 7.14. Laske ilman lainaamista(301) 6 (5001) 6 6-järjestelmässä. Ratk.... 5 / 20 2

8. Joukoista 6 / 20 Joukon määritelmä Joukko on alkioidensa kokoelma. Valitsemalla sopivat alkiot joudutaan tämän määritelmän kanssa vaikeuksiin, jotka voidaan välttää rakentamalla joukko oppi aksiomaattisesti. Näin ei tässä tehdä vaan tyydytään ns. naiviin joukko oppiin. Joukko tunnetaan luettelemalla/määrittelemällä sen alkiot. x A xona:n alkio (kuuluua:han). Esimerkiksi joukko R = {x x reaaliluku}; N = {x x luonnollinen luku} = {0,1,2,3,...}; A = {a,b,c,d}. 7 / 20 Naiivin joukko-opin ongelma Russellin paradoksi: P on kaupungin ainoa parturi ja miespuolinen. Jokainen kaupungin mies joko ajaa oman partansa tai parturi P ajaa hänen partansa. Parturi P ajaa siis vain sellaisten miesten parran, jotka eivät aja sitä itse. Kuka ajaa P:n parran? OlkoonS niiden kaupungin miesten joukko, joilta P ajaa parran. JosP S, niinp ajaa oman partansa, elip / S JosP / S, niinp :n parran ajaap, elip S Ratk. Tällaista parturia ei voi olla olemassa. 8 / 20 3

8.1. Määritelmiä JoukotAjaB ovat samat, elia = B, jos niiden alkiot ovat samat. Kun alkiox A niinx B ja kuny B niiny A Kun kaikkia:n alkiot kuuluvatb:hen, niinaonb osajoukko. A B Kunx A, niinx B. YlläolevaA = B:n määritelmä merkitsee sitä, ettäa = B (A B jab A). SelvästiA A. JosA B, mutta joukotajab eivät ole samat, niin joukkoaon silloin joukonb aito osajoukko. 9 / 20 Määritelmiä jatkoa Joukko, joka ei sisällä alkioita on tyhjä joukko. Aina kunaon joukko, A. Joukko voi olla myös joukkojen joukko eli sen alkiot ovat joukkoja: Esimerkiksi{,{a},{b},{a, b}} on joukkojen joukko. Joukon A potenssijoukko P(A) on kaikkien A:n osajoukkojen muodostama joukko. Esimerkki. Joukon A = {a, b, c} potenssijoukko on P(A) = {,{a},{b},{c},{a,b},{a,c},{b,c},{a,b,c}}. Lause. Jos joukossaaonnalkiota, niinp(a):ssa on2 n alkiota. Tod.... 10 / 20 4

Joukkojen toimituksia Unioni : A B = {x x A taix B} Leikkaus : A B = {x x A jax B} Komplementti : A = {x x A}; tällöin ajatellaan A:n olevan jonkin perusjoukonu osajoukko ja siis A A = U. Erotus\:A\B = {x x A ja x B} Esimerkki 8.2. A = {a,b,c,d} jab = {b,c,e,f}a B = {a,b,c,d,e,f} A B = {b,c} A\B = {a,d} B \A = {e,f}. Jos lisäksi perusjoukkou = {a,b,c,d,e,f,g}, niin joukkoa = {e,f,g} ja joukkob = {a,d,g}. 11 / 20 Joukot ja Boolen algebra PerusjoukonU osajoukot muodostavat toimitusten, ja suhteen Boolen algebran missä = 0 jau = 1. Silloin esimerkiksi de Morganin lait: (A B) = (A ) (B ) (A B) = (A ) (B ) ovat voimassa. 12 / 20 5

8.2. Joukon alkioiden lukumäärä Olkoon A joukonaalkioiden määrä. Kuinka monta alkiota on kahden joukonajab unionissaa B? Yleisesti A B A + B, sillä summassa A + B joukona B alkiot tulevat lasketuiksi kahteen kertaan. Täten leikkausjoukon alkioiden lukumäärä on vähennettävä joukkojenajab alkioiden summasta. Eli A B = A + B A B. Tapaus A B C?... 13 / 20 Inclusion exclusion Yleisesti: A 1 = A 1 A 1 A 2 = A 1 + A 2 A 1 A 2 A 1 A 2 A 3 = A 1 + A 2 + A 3 A 1 A 2 A 1 A 3 A 2 A 3 + A 1 A 2 A 3 A 1 A 2 A 3 A 4 = A 1 + A 2 + A 3 + A 4 A 1 A 2 A 1 A 3 A 1 A 4 A 2 A 3 A 2 A 4 A 3 A 4 + A 1 A 2 A 3 + A 1 A 2 A 4 + A 1 A 3 A 4 + A 2 A 3 A 4 A 1 A 2 A 3 A 4 14 / 20 6

Inclusion exclusion jatkoa Matemaattisella induktiolla voidaan näyttää todeksi n A 1 A 2 A n = A 1 A i A j + 1 i<j<k n 1 1 i j n A i A j A k +( 1) n+1 A 1 A 2 A n. 15 / 20 Esimerkki 8.3. Kuudensadan televisiokatsojan säännöllisiä katsomistottumuksia kyseltiin kolmen televisiosarjan perusteella. Sarjat olivat: Komeat ja urheat (=KR), Piilotetut hetket (=SE) ja Himakuja (=KK). Vastauksista saatiin seuraavat katsojalukumäärät: Sarjat KR SE KK KRSE KRKK SEKK KRSEKK Katsojia: 155 230 155 70 45 50 30 Missä esimerkiksi KK tarkoittaa sitä, että katsoja on seurannut säännöllisesti sarjaa KK ja KRKK tarkoittaa sitä, että katsoja on seurannut sää nnöllisesti sekä sarjaa KR että sarjaa KK. a) Kuinka moni kyselyyn vastanneista oli seurannut säännöllisesti ainakin yhtä sarjaa? b) Kuinka moni katselijoista oli seurannut säännöllisesti ainakin kahta sarjaa? Ratk.... 16 / 20 7

8.3. Suhteet eli relaatiot A jab ovat joukkoja. Karteesinen tuloa B on järjestettyjen alkioparien joukko: A B = {(a,b) a A ja b B}. Taso on kahden lukusuoran karteesinen tulo. YleensäA B B A (koskaa B:n pareissa ensina:n alkiot ja sittenb:n alkiot jab A:n pareissa ensinb:n alkiot ja sittena:n alkiot); poikkeuksia saadaan kuna = B ja kuna = taib =. 17 / 20 Relaation määritelmä OlkootAjaB joukkoja. Kaksipaikkainen suhde eli relaatio R A:sta B:hen on A B:n osajoukko: R A B. Tällöin tieto a on suhteessarb:hen merkitään (a,b) R tai arb, ja kunaei ole suhteessarb:hen, merkitään (a,b) R ja a Rb. MerkinnänaRb takana on reaaliluvuista tuttu suhde, jolla merkitään100 103 (tai95 13). Merkintä(100, 103) on outo. 18 / 20 8

Relaation määritelmä jatkoa KunA = B, niin suhdettara:stab:hen sanotaan lyhyesti suhteeksi joukossaa(esim. on suhde joukossa R). Esimerkiksi R = {(a,1),(b,2),(c,3)} on suhde joukossa{a, b, c} {1, 2, 3}, {(x,x 2 ) x R} on suhde joukossar. 19 / 20 Spesiaalisuhteita Suhde (=relaatio)rjoukossaaon (i)refleksiivinen jos(a, a) R aina kun a A, (ii) symmetrinen jos aina kuna,b A on voimassa(a,b) R (b,a) R, (iii) antisymmetrinen, jos aina kuna,b A jaa b on voimassa(a,b) R (b,a) / R. (iii) transitiivinen, jos aina kuna,b,c A on voimassa(a,b),(b,c) R (a,c) R. 20 / 20 9