Pro Gradu. relaatioiden yli

Pro Gradu Kvantifiointi määriteltävien relaatioiden yli Ville Hakulinen 24.03.1995 1. Kvantifiointi määriteltävien relaatioiden yli Tämä tutkielma käsittelee kahta toisen kertaluvun logiikan muotoa, joissa kaavat tulkitaan hieman eri tavalla kuin normaalissa toisen kertaluvun logiikassa. Näistä logiikoista käytetään nimiä ED ja EDP. Tavallisessa toisen kertaluvun logiikassa väite M = Xφ(X) tarkoittaa, että on olemassa relaatio X, joka toteuttaa kaavan φ, kun taas logiikassa ED vaaditaan, ettäkaavan toteuttava relaatio X on määriteltävissä struktuurissa M ensimmäisen kertaluvun logiikan kaavalla ilman parametreja. Logiikassa EDP kvantifiointi ulotetaan koskemaan myös parametrien avulla määriteltävissä olevia relaatioita. Tämän tutkielman päätulokset, ovat seuraavat: (1) Validisuus ei säily logiikkojen ED ja EDP kohdalla kielen laajennuksissa päinvastoin kuin ensimmäisen kertaluvun logiikassa. (2) Luonnollisten lukujen standardimalli voidaan karakterisoida logiikoissa ED ja EDP. (3) Sekä (ED,L)-validien että (EDP,L)-validien kaavojen joukko on Π 1 1-täydellinen, kun L on mielivaltainen numeroituva aakkosto. (4) Sekä logiikan ED että logiikan EDP -sulkeuma on sama kuin logiikan L(Q 0 ) -sulkeuma. (5) Kumpikaan logiikoista ED ja EDP ei ole -suljettu. 1

Tutkielman pohjana on Per Lindströmin artikkeli [4], jossa tulokset (1)-(3) on esitetty. Tulokset (4)-(5) perustuvat Jouko Väänäsen artikkeliin [8]. 1.1. Aakkostot. Termi, atomikaava ja kaava Tutkielman todistuksissa tarvitaan useita syntaksiltaan toisistaan poikkeavia logiikoita. Nämä ovat: L ωω L S ωω L F ωω L(Q 0 ) L F (Q 0 ) L SO L S SO L ω1 ω L F ω 1 ω Ensimmäisen kertaluvun logiikka Syntaksiltaan yksinkertaistettu ensimmäisen kertaluvun logiikka Ensimmäisen kertaluvun logiikka, jossa saa esiintyä vapaana toisen kertaluvun muuttujia Ensimmäisen kertaluvun logiikka, johon on lisätty yleistetty kvanttori on olemassa äärettömän monta Sama kuin L(Q 0 ), mutta lisäksi sallitaan toisen kertaluvun muuttujien esiintyminen vapaana Toisen kertaluvun logiikka Syntaksiltaan yksinkertaistettu toisen kertaluvun logiikka Ääretön kieli, jossa sallitaan äärettömän pitkien konjunktioiden ja disjunktioiden muodostaminen sellaisten kaavajoukkojen yli, joissa esiintyy äärellinen määrä vapaita muuttujia. Sama kuin L ω1 ω, mutta lisäksi sallitaan toisen kertaluvun muuttujien esiintyminen vapaana. Aakkostoksi kutsutaan mitä tahansa joukkoa L vakio-, funktio- ja relaatiosymboleita. L-termien joukoksi kutsutaan pienintä joukkoa T L, joka toteuttaa seuraavat ehdot: (1) v n T L,kunn IN (2) c T L,kunc L on vakiosymboli (3) f(t 1,..., t n ) T L,kunf L on n-paikkainen funktiosymboli ja t 1,..., t n T L Symboleita v n sanotaan ensimmäisen kertaluvun muuttujiksi ja näiden asemesta käytetään usein symboleita x, y, z, u, x n,y n,z n,u n. L ωω -atomikaavojen joukoksi kutsutaan pienintä joukkoa A Lωω, joka toteuttaa seuraavat ehdot: 2

(1) R(t 1,..., t n ) A L,kunR L on n-paikkainen relaatiosymboli ja t 1,..., t n T L (2) t 1 = t 2 A L, missä t 1,t 2 T L L SO -atomikaavojen joukko A LSO on pienin joukko, joka toteuttaa edellämainitut ehdot (1) ja (2) sekä lisäksi ehdon: (3) V m n (t 1,..., t m ) A L,kunm 1,n IN ja t 1,..., t m T L Symbolit Vn m ovat toisen kertaluvun muuttujia ja niiden asemesta käytetään usein symboleita X, Y, Z, U, X n,y n,z n,u n. L S ωω -atomikaavojen joukko A L S ωω on pienin joukko, joka toteuttaa ehdot: (1) R(v i0,..., v in ), kun R L on n-paikkainen relaatiosymboli ja i j IN, kun 0 j n. (2) f(v i0,..., v in )=v in+1,kunf L on n-paikkainen funktiosymboli ja i j IN, kun 0 j n +1. (3) c = v j,kunc on vakiosymboli ja j IN. L S SO-atomikaavojen joukko A L S SO on pienin joukko, joka toteuttaa edellämainitut ehdot (1), (2) ja (3) sekä lisäksi ehdon: (4) V m n (v i 0,..., v ij ) A L,kunm 1,n IN ja i k IN, kun 0 k j. Olkoon A jokin edellämainituista atomikaavajoukoista. Liiteään tähän joukkoon joukko F ωω (A), joka on pienin joukko, joka toteuttaa seuraavat ehdot: (1) φ F ωω (A), kun φ A (2) φ F ωω (A), kun φ F ωω (A) (3) φ ψ F ωω (A), kun φ, ψ F ωω (A) (4) v n φ F ωω (A), kun φ F ωω (A) jan IN Vastaavasti jokaiseen atomikaavajoukkoon A liitetään kaavajoukko F SO (A), jonka muodostamisessa käytetään edellämainittuja sääntöjä ja lisäksi sääntöä: (5) V m n φ F SO(A), kun φ F SO (A) jan, m IN Kaavajoukko F Q(0) (A) muodostetaan käyttämällä sääntöjen (1) - (4) lisäksi sääntöä: 3

(5) Q 0 v n φ F ωω (A), kun φ F ωω (A) jan IN Nyt voidaan muodostaa suurin osa tarvittavista kaavajoukoista: L ωω -kaavojen joukko F Lωω = F ωω (A Lωω ), L S ωω -kaavojen joukko F L S = F ωω ωω(a L S ωω ), L F ωω-kaavojen joukko F L F ωω = F ωω (A LSO ), L(Q 0 )-kaavojen joukko F L(Q0 ) = F Q(0) (A Lωω ), L F (Q 0 )-kaavojen joukko F L F (Q 0 ) = F Q(0) (A LSO ), L SO -kaavojen joukko F LSO = F SO (A LSO )ja L S SO -kaavojen joukko F L S = F SO(A SO L S SO ). Kaavaksi sanotaan mitä tahansa jonkin kaavajoukon alkiota. Lisäksi on käytössä seuraavat lyhenteet: φ ψ tarkoittaa kaavaa ( φ ψ), φ ψ tarkoittaa kaavaa φ ψ, φ ψ tarkoittaa kaavaa (φ ψ) (ψ φ), xφ tarkoittaa kaavaa x φ ja Xφ kaavaa X φ. Äärellisille konjuntioille ja disjunktioille käytetään seuraavia lyhenteitä: mi=n φ i tarkoittaa kaavaa φ n... φ m ja m i=n φ i tarkoittaa kaavaa φ n... φ m. Myöhemmin tarvitaan L ω1 ω-kaavojen määritelmässä yleisen konjunktion käsitettä. Jos A on joukko kaavoja, niin A on joukon A alkioiden konjunktio. Nyt voidaan määritellään vielä vapaan ja sidotun muuttujan käsitteet. Kaavan φ alikaavojen joukko saadaan seuraavien sääntöjen avulla: (i) (ii) (iii) (iv) (v) (vi) (vii) (viii) Jokainen kaava on itsensä alikaava. Jos kaava on muotoa φ, niin φ on sen alikaava. Jos kaava on muotoa φ ψ, niin φ ja ψ ovat sen alikaavoja. Jos kaava on muotoa v n φ, niin φ on sen alikaava. Jos kaava on muotoa Vn m φ, niin φ on sen alikaava. Jos kaava on muotoa Q 0 v n φ, niin φ on sen alikaava. Jos kaava on muotoa A, missä A on kaavajoukko, niin jokainen joukon A alkio sen alikaava. Jos φ on kaavan θ alikaava ja ψ on kaavan φ alikaava, niin ψ on kaavan θ alikaava. Muuttujan v n esiintymä kaavassa φ on sidottu, mikäli se osuu muotoa v n ψ olevaan kaavan φ alikaavaan. Vastaavasti muuttujan Vn m esiintymä kaavassa φ 4

on sidottu, mikäli se osuu muotoa V n ψ olevaan kaavan φ alikaavaan. Muussa tapauksessa muuttujan esiintymää sanotaan vapaaksi. Jos muuttujalla v n on vähintään yksi vapaa esiintymä kaavassa φ, sanotaan, että muuttuja on vapaa kaavassa φ. Jos muuttujat x 1,..., x n,x 1,.., X n ovat vapaita kaavassa φ, kÿtetään kaavasta merkintää φ(x 1,..., x n,x 1,..., X n ). Jos kaavassa ei esiinny vapaita muuttujia, kutsutaan sitä myös L-lauseeksi. Nyt voidaan määritellä L ω1 ω-kaavojen ja L S ω 1 ω-kaavojen joukot. Jokaiseen atomikaavajoukkoon A liitetään joukko F ω1 ω(a), joka on pienin joukko, joka toteuttaa samat ehdot kuin joukko F ωω (A) aiemmin, mutta (3) korvataan ehdolla: (3 ) B Fω1 ω(a), kun B F ω1 ω(a), joukko B on numeroituva, ja joukossa esiintyy enintään äärellinen määrä vapaita muuttujia ja relaatiomuuttujia. Nyt määritellään viimeiset kaksi tarvittavaa kaavajoukkoa: L ω1 ω-kaavojen joukko F Lω1 ω = F ω1 ω(a Lωω ), L F ω 1 ω -kaavojen joukko F L F = F ω 1 ω ω 1 ω(a L F ωω ). Lisäksi sanotaan joukkoa F a = F L F ωω F L F (Q 0 ) F LSO F Lω1 ω joukoksi. L a -kaavojen Olkoon φ(x) L SO -kaava, jossa n-paikkainen relaatiomuuttuja X esiintyy vapaana. Olkoon ψ(x 1,..., x n ) L ωω -kaava, jossa esiintyy n vapaata muuttujaa. Kaavalla φ(ψ) tarkoitetaan tällöin kaavaa, joka saadaan korvaamalla relaatiomuuttujan X esiintymät kaavassa φ kaavalla ψ. 1.2. Malli, tulkinta ja totuus L-malliksi sanotaan järjestettyä pariam = M,g missä M on epätyhjä joukko, jota kutsutaan L-mallin M universumiksi dom(m) sekä g on määritelty koko kielessä L siten, että g(c) M,kunc on vakiosymboli, g(r) M n, kun R on n-paikkainen relaatiosymboli ja g(f) on funktio joukolta M n joukolle M, kun f on n-paikkainen funktiosymboli. Kielen L symbolien tulkinnoista käytetään myös seuraavia merkintöjä: merkinnän g(c) asemesta kirjoitetaan c M, merkinnän g(r) asemesta R M sekä merkinnän g(f) asemesta f M. 5

Olkoot L L aakkostoja ja M L-malli. Mallin M rajoittuma aakkostoon L on se yksikäsitteinen L -malli M, jolle dom(m )=Msekä s M = s M kaikille relaatio-, funktio- ja vakiosymboleille s L. Lukuteorian aakkosto L IN on joukko {0, 1,, }. Luonnollisten lukujen struktuuriksi sanotaan L IN -mallia M, missä dom(m) =INja0 M =0,1 M =1, M = + ja M =. Tästä mallista käytetään merkintää IN, +,, 0, 1. Luonnollisista luvuista käytetään mm. merkintöjä 0, 1, n, m. Lukujen nimet ilmaistaan vahvennetuilla merkeillä siten, että n M = n. Ensimmäisen kertaluvun muuttujien tulkitsemiseksi mallissa M tarvitaan tulkintajonoa s :IN M, joka tulkitsee muuttujasymbolit v n mallin universumin alkioiksi. Lisäksi kvanttorien totuusmääritelmissä tarvitaan modifioitua tulkintajonoa s(n/a): s(n/a)(i) = { s(i), jos i n; a M, jos i = n. Olkoon M L-malli. Laajennetaan aakkosto L aakkostoksi L M lisäämällä uudet vakiosymbolit m kaikille m M. L M -termin t arvo L tulkintajonolla s, t M s määritellään seuraavalla tavalla: c M s = c M m M s = m vn M s = s(n) f(t 1,..., t n ) M s = f M (t M 1 s,..., tm n s ). Toisen kertaluvun muuttujien tulkitsemiseksi tarvitaan tulkintafunktiota S, joka kuvaa mielivaltaisen lukuparin (m, n) IN 2 joukon M m osajoukoksi. Tulkintafunktio S(n/A) määritellään seuraavasti: S(n/A)(i, j) = { S(i, j), jos j n; A M i, jos j = n. Olkoon M mielivaltainen L-malli ja φ mielivaltainen L a M-malli. Kaava φ toteutuu mallissa M tulkintajonolla s ja tulkintafunktiolla S jos ja vain jos: M = φ s, S 6

(i) M =(t = t ) s, S t M s = t M s (ii) M = R(t 1,..., t n ) s, S (t M 1 s,..., tm n s ) RM (iii) M =( φ) s, S M = φ s, S (iv) M =(φ ψ) s, S M = φ s, S ja M = ψ s, S (v) M =( v n φ) s, S M = φ s(n/a),s jollakin a M (vi) M =(Q 0 v n φ) s, S M = φ s(n/a),s äärettömän monella a M (vii) M = Vn m(t 1,..., t n ) s, S (viii) M =( Vn m φ) s, S (t M 1 s,..., tm n s ) S(m, n) M = φ s, S(n/A) jollakin A M m (ix) M =( A) s, S M = φ s, S kaikilla φ A. Totuusmääritelmästä havaitaan helposti, että kaavojen totuus ja epätotuus mallissa riippuu ainoastaan kaavassa esiintyvien symbolien tulkinnoista, ja että totuus ja epätotuus säilyvät kielen laajennuksissa. Luvussa 1.3 osoitetaan, että tätä ominaisuutta ei ole ED- ja EDP-totuusmääritelmillä. Mikäli kaavassa φ ei esiinny vapaana toisen kertaluvun muuttujia, niin käytetään merkintää M = φ s kömpelön ilmaisun M = φ s, S kaikilla S asemesta. Lemma 1.2.1 Olkoon L aakkosto, φl a -kaava ja M L-malli. Olkoon L φ kaavassa φ esiintyvien relaatio-, funktio- ja vakiosymbolien joukko ja M φ mallin M rajoittuma aakkostoon L φ.tällöin M = φ jos ja vain jos M φ = φ. Todistus. Totuusmääritelmästä nähdään välittömästi, että väite pätee L SO - atomikaavoille. Induktioaskeleet, joissa käydään läpi kaavat, jotka ovat muotoa φ, φ ψ, v n φ, Q 0 v n φ, Vn mφ ja A ovat triviaaleja. Vapaiden toisen kertaluvun muuttujien salliminen kaavoissa, ei muuta logiikkojen ilmaisuvoimaa tavallisen totuusmääritelmän mielessä, minkä seuraava lemma ilmaisee. Tämän takia usein toisen kertaluvun muuttujat samaistetaan relaatiosymbolien kanssa. Erottelu yksinkertaistaa merkintöjä joissakin tapauksissa ja lisäksi vapaiden toisen kertaluvun muuttujien käyttäytyminen poikkeaa relaatiosymbolien käyttäytymisestä ED-jaEDP-totuusmääritelmien mielessä, koska määritelmissä ei saa esiintyä vapaita toisen kertaluvun muuttujia (mutta kylläkin relaatiosymboleja). 7

Määritellään aakkoston Lφ-laajennus L φ seuraavasti: Olkoon A seuraava joukko: {(n, m) IN 2 Vm n esiintyy vapaana kaavassa φ}. OlkoonRm n uusia relaatiosymboleita, joiden paikkaluku on n, ja jotka eivät esiinny aakkostossa L. Asetetaan nyt L φ = L {Rm n (n, m) A}. Seuraavaksi määritellään L- mallin M (φ,s)-laajennus M (φ,s). M (φ,s) on se yksikäsitteinen L φ - malli, jonka rajoittuma aakkostoon L on M ja R n M (φ,s) m = S(n, m), kun (n, m) A. Lemma 1.2.2 Olkoon L aakkosto, φ F F L ωω F S L ω1 ω F S L(Q(0)), s tulkintajono, S tulkintafunktio ja φ L φ -kaava, joka on saatu korvaamalla relaatiomuuttujat V n m aakkoston L φ relaatiosymboleilla R n m.tällöin M = φ s, S jos ja vain jos M (φ,s) = φ s, S. Todistus. Suoraan totuusmääritelmän kohdista (ii) ja (vii). L-lausetta φ sanotaan validiksi jos ja vain jos se on tosi kaikissa L-malleissa M. Josφ(x 0,..., x n,x 0,..., X m )onl-kaava, jonka ainoat vapaat muuttujat ovat x 0,..., x n ja X 0,..., X m, niin kaavan φ universaaliksi sulkeumaksi kutsutaan L-lausetta x 0... x n X 0... X m φ. L-kaava on validi jos ja vain jos sen universaalinen sulkeuma on validi. 1.3. Elementaarinen määriteltävyys Olkoon φ(v 0,..., v n ) L ωω -kaava, M L-malli. Oletetaan, että kaavassa φ on täsmälleen n vapaata muuttujaa. Otetaan käyttöön seuraava merkintä: φ M = {(a 0,..., a n ) M n+1 M = φ(a 0,..., a n )}. Relaatio R on elementaarisesti määriteltävissä mallissa M, mikäli on olemassa elementaarinen kaava φ siten, että R = φ M. Relaatio R on elementaarisesti määriteltävissä parametrein mallissa M, mikäli on olemassa k + n- paikkainen relaatio S, joka on elementaarisesti määriteltävissä mallissa M ja R={(a 0,..., a k 1 ) M k (a 0,..., a k+n 1 ) S}. Nyt voidaan määritellä käsitteet ED-tosi, EDP-tosi, (ED,L)-validi ja (EDP,L)-validi. ED ja EDP ovat toisen kertaluvun logiikan modifikaatioita: Niillä on sama syntaksi kuin toisen kertaluvun logiikalla, mutta eri semantiikka. ED-totuusmääritelmä L SO -kaavoille on muuten samanlainen kuin totuus- 8

määritelmä, mutta kohdan (vii) ekvivalenssin oikeanpuoleinen osa korvataan ehdolla: M = ED φ s, S(n/A) jollakin A M m, joka on elementaarisesti määriteltävissä mallissa M. EDP-totuusmääritelmä saadaan vastaavalla tavalla: M = EDP φ s, S(n/A) jollakin A M m, joka on elementaarisesti määriteltävissä parametrein mallissa M. Luvussa 4 tarvitaan lauseissa samanaikaisesti tavallisella tavalla ja joko logiikan ED tai EDP mielessä tulkittuja kvanttoreita. Tällöin käytetään tällaisesta normaalisti tulkitusta kvanttorista merkintää ja S ( S ) ja se tulkitaan kuten eksistenssikvanttori tavallisessa totuusmääritelmässä. L SO -lause φ on (ED,L)-validi, jos ja vain jos se on ED-tosi kaikissa L- malleissa. (ED,L)-validisuus kaavoille määritellään kuten validisuuskin. (EDP,L)-validisuus määritellään kuten (ED,L)-validisuus. Lause 1.3.1 Jos φ(x) onl F ωω-kaava, jonka ainoa vapaa muuttuja on X ja M = ED Xφ(X), niin M = EDP Xφ(X). Todistus. Seuraa suoraan määritelmästä. Ylläannetussa määritelmässä on olennaista se, että validisuus on rajoitettu annettuun kieleen L. Seuraavassa annettaan esimerkki tilanteesta, jossa L SO -lause on (EDP,L)-validi, mutta ei (ED,L {P })-validi, missä P on yksipaikkainen predikaattisymboli. Olkoon L = {<}. Diskreettien lineaarijärjestysten teoria voidaan nyt aksiomatisoida kielessä L esimerkiksi seuraavalla tavalla: DIS 1 x (x <x) DIS 2 x y(x <y (y <x)) DIS 3 x y z(x <y y<z x<z) DIS 4 x y(x <y y<x x = y) DIS 5 x y(x <y x = y) DIS 6 x y(x <y z(x <z z<y)) DIS 7 x( y(y <x) y(y <x z(y <z z<x))) 9

Olkoon φ DIS edellisten kaavojen disjunktio. Malliteorian kurssilla on todistettu, että {φ DIS } on täydellinen elementaarinen teoria. Määritellään kaava θ(x) seuraavasti: θ(x) = x y((x <y= z((z = x) (z = y) (z <x)= (y <z)) (X(x) X(y))). Kaava sanoo, että x M kuuluu joukkoon X M jos ja vain jos sen seuraaja ei kuulu siihen. Lemma 1.3.2 Olkoon M sellainen {<}-malli, että M = φ DIS.Tällöin mikään X M, joka toteuttaa kaavan θ(x) mallissa M ei ole elementaarisesti määriteltävissä parametrein mallissa M. Todistus. Oletetaan, että on. Olkoon M mielivaltainen {<}-malli, jossa X olisi määriteltävissä parametrein. Olkoon φ(x, y 1,..., y n ) kaava, joka määrittelee joukon X parametreilla a 1,..., a n M mallissa M. Jos malli M = IN,<, valitaan Löwenheim-Skolemin lauseen perusteella mallille M ylinumeroituva elementaarinen laajennus N, muutoin asetetaan N = M. NytN = IN,<. Nyt siis N koostuu mallin IN,< kanssa isomorfisesta alkusegmentistä, jota seuraa vähintään yksi mallin Z,< kanssa isomorfinen segmentti. Käytetään tämän mallin ensimmäisen tälläisen segmentin alkioista merkintää b z,z Z ja segmentistä merkintää B. Nyt voimme määritellä seuraavanlaisen automorfismin f : M M f(x) = { x, jos x/ B; b z+1, jos x B ja x = b z. Nyt siis jos M = φ(b z,a 1,..., a n ) jollakin z Z, niin M = φ(b z+1,a 1,..., a n ) edellä konstruoidun automorfismin nojalla, mikä on ristiriidassa kaavan θ(x) kanssa. On helppoa antaa esimerkki lauseen φ DIS {<, P }-mallista, missä P on yksipaikkainen relaatiosymboli, jossa X on elementaarisesti määriteltävissä, vaikka se toteuttaa kaavan θ(x). Olkoon dom(m) = IN ja < luonnollisten lukujen tavallinen järjestys. Olkoon P M parillisten luonnollisten lukujen joukko. Nyt kaava P (x) määrittelee sellaisen joukon X, joka toteuttaa kaavan θ(x) 10

mallissa M. Edellisistä esimerkeistä seuraa, että vapaat relaatiomuuttujat käyttäytyvät eri tavalla kuin relaatiosymbolit ED- ja EDP- totuusmääritelmien mielessä. Nimittäin X x(p (x) X(x)) on sekä (ED,L)- että (EDP,L)-validi kaikilla L P, mutta toisaalta pätee IN,< = ED(P ) X x(x(x) V0 1 (x)) s, S, kaikilla S, joilla S(0, 1) on parillisten luonnollisten lukujen joukko. 1.4. Logiikoiden ED ja EDP upotus logiikkaan L ω1 ω Luvussa 4 osoitetaan, että logiikoilla ED ja EDP ei ole efektiivistä aksiomatisointia. Kyseisessä todistuksessa tarvitaan Löwenheim-Skolemin lauseen heikkoa muotoa (Lause 1.4.4). Tässä jaksossa lause todistetaan siten, että osoitetaan, että sekä ED että EDP voidaan upottaa äärettömään kieleen L ω1 ω,minkäjälkeen todistetaan lause 1.4.4. samaan tapaan kuin alaspäinen Löwenheim-Skolemin lause ensimmäisen kertaluvun logiikalle malliteorian luentomonisteessa [6] sivuilla 35-37. Lause 1.4.1 Jokaista L-kaavaa φ, jonka vapaat relaatiomuuttujat ovat X 1,..., X n, kohti on olemassa L F ω 1 ω-kaava ψ, jossa samat muuttujat esiintyvät vapaana, siten, että M = ED φ s, S (M = EDP S X 1... S X n φ) jos ja vain jos M = S X 1... S X n ψ,kunm on mielivaltainen L-malli, s mielivaltainen tulkintajono ja S mielivaltainen tulkintafunktio. Todistus. Rakennetaan kaava ψ induktion avulla. Jos kaava φ ei sisällä toisen kertaluvun kvanttoreita, on väite triviaali. Myös induktioaskeleet ψ ja ψ θ ovat triviaaleja. Oletetaan sitten, että φ on muotoa X 1 θ(x 1,..., X n ), ja että on olemassa L F ω 1 ω -kaava η(x 1,..., X n ) siten, että induktio-oletus pätee. Olkoon muuttujan X 1 paikkaluku m. Logiikan ED tapauksessa voidaan valita kaavaksi ψ kaava {θ(δ(v0,..., v m 1 ) δ elementaarinen L-kaava, jossa esiintyy täsmälleen muuttujat v 0,..., v m 1 vapaana}. 11

Logiikan EDP tapauksessa kaavaksi ψ valitaan kaava { vm... y m+k 1 θ(δ) δ elementaarinen L-kaava, jossa esiintyy täsmälleen muutujat v 0,..., v m+k 1 vapaana, missä k IN.}. Olkoon L mielivaltainen. Laajennetaan aakkosto L aakkostoksi L seuraavasti: (1) lisätään jokaista L ω1 ω-kaavaa φ(x) kohti uusi vakiosymboli c φ. (2) lisätään jokaista L ω1 ω-kaavaa ψ(x 1,..., x n+1 )kohtin-paikkainen funktiosymboli f ψ. Määrittellään aakkoston L skolemisointi L Sk seuraavasti: L 0 = L ja L n+1 = (L n ),kunn IN. L Sk = n=0 L n. Olkoon T numeroituva joukko L ω1 ω-lauseita. Määritellään teoriat T n induktiolla seuraavasti. Asetetaan T 0 = T.TeoriaT n+1 saadaan lisäämällä jokaista teorian T n kaavan alikaavaa φ(x) jaψ(x 1,..., x n ) kohti seuraavat Skolemaksioomat: (1) xφ(x) φ(c φ ) (2) x 1... x n ( x n+1 ψ(x 1,..., x n+1 ) ψ(x 1,..., x n,f ψ (x 1,..., x n ))) Teorian T skolemisointi, T Sk on teoria n=0 T n. Lemma 1.4.2 Olkoon T numeroituva L ω1 ω-teoria ja T Sk sen skolemisointi. Jokaista teorian T Sk kaavaa φ kohti on olemassa kvanttoriton kaava φ, jossa on yhtä monta vapaata muuttujaa kuin kaavassa φ ja väite pätee. T S = x 1... x n (φ(x 1,..., x n ) φ (x 1,..., x n )) Todistus. Käytetään induktiota kaavan φ pituuden suhteen. Jos φ on L Sk ω 1 ω - atomikaava, niin väite pätee. Väite pätee myös selvästi, kun φ on muotoa ψ ja väite pätee kaavalle ψ. Oletetaan seuraavaksi, että väite pätee kaavoille φ n, n IN ja että φ on muotoa n=0 φ n. Nyt on siis voimassa T Sk = φ n φ n kaikille n, joten seuraava on voimassa: T Sk = φ n φ n. n=0 12 n=0

Oletetaan lopuksi, että φ(x 1,..., x n )= x n+1 ψ(x 1,..., x n+1 ). Induktio-oletuksen nojalla on olemassa kvanttoriton kaava ψ, jolla T Sk = ψ ψ. Kaava ψ on kaavan φ alikaava ja φ on L n -kaava jollakin n IN. Oletetaan ensin, että kaavassa ψ on täsmälleen yksi vapaa muuttuja. On siis olemassa c ψ L n+1 L Sk.Nytpätee mistä saadaan välittömästi T Sk = xψ(x) ψ(c ψ ), T Sk = φ ψ (c ψ ). Oletetaan sitten, että kaavassa ψ on useampia vapaita muuttujia. On siis olemassa f ψ L n+1 L S. Nyt taas pätee: mistä seuraa, että T Sk = x n+1 ψ(x 1,..., x n+1 ) ψ(x 1,..., x n,f ψ (x 1,..., x n )), T Sk = φ(x 1,..., x n ) ψ (x 1,..., x n,f ψ (x 1,..., x n ))). Jos A on L-malli, niin mallin A Skolem-laajennus on sellainen L Sk -malli A Sk, että A Sk toteuttaa Skolem-aksioomat ja mallin A Sk rajoittuma aakkostoon L on A. Lemma 1.4.3 Jokaisella L-mallilla A on Skolem-laajennus A Sk Todistus. Konstruoidaan malli A Sk seuraavasti. Olkoon < joukon A hyvinjärjestys ja a joukon A<-pienin alkio. Määritellään L n -mallit A n induktiolla luvun n IN suhteen: (i) Asetetaan A 0 = A. (ii) Oletetaan, että A n on määritelty. Tulkitaan ensin aakkoston L n alkiot seuraavasti: mallin A n+1 rajoittuma aakkostoon L n on A n. Olkoon sitten c φ L n+1 L n, joka esiintyy teoriassa T Sk.Mikäli joukko {a A A = φ(a)} ei ole tyhjä, valitaan tästä joukosta <-pienin alkio a, ja asetetaan c An+1 = a. Muussa tapauksessa asetetaan c An+1 φ = a. Vastaavasti jos f φ L n+1 L n ja a 1,..., a n A, tarkastellaan joukkoa B = {a A A = φ(a 1,..., a n,a)}. JosB ei ole tyhjä, asetetaan fφ An+1 = a, missä 13

a on joukon B<-pienin alkio. Muussa tapauksessa asetetaan f An+1 φ = a. Olkoon lopuksi A Sk se yksikäsitteinen L Sk -malli, jolla mallin A Sk rajoittuma kieleen L n on A n kaikilla n IN. Lause 1.4.4 Jos M = ED(P ) T, missä T on numeroituva joukko L-lauseita ja M mielivaltainen L-malli, niin on olemassa numeroituva L-malli N siten, että N = ED(P ) T. Todistus. Olkoon T numeroituva L ω1 ω-teoria ja M = T.OlkoonM Sk mallin M jokin Skolem-laajennus. Nyt teorialle T voidaan konstruoida numeroituva malli N : Otetaan kaikki teoriassa T Sk esiintyvien vakiosymbolien tulkintojen joukko A M ja muodostetaan joukon A sulkeuma kaikkien mallissa M Sk esiintyvien funktiosymbolien tulkintojen suhteen. Selvästi N on numeroituva. Asetetaan dom(n S )=N, f N S = f MSk N n+1 ja R N S = R MS N n, missä f L S on n-paikkainen funktiosymboli ja R L S n-paikkainen relaatiosymboli. Olkoon malli N mallin N S rajoittuma aakkostoon L. Väitetään nyt, että N = T. Osoitetaan ensin, että N S on teorian T S malli. Olkoon φ mielivaltainen teorian T S lause. On siis olemassa kvanttoriton φ siten, että T S = φ φ. Oletetaan ensin, että φ on L S ω 1 ω-atomilause. Siis φ on muotoa R(t 1,..., t n ), missä R L on n-paikkainen relaatiosymboli ja t 1,..., t n ovat L S -vakiotermejä. Nyt M S = φ ja siis N S = φ,koska t MS = t N S kaikilla L S -vakiotermeillä t. Oletetaan kääntäen, että φ toteutuu mallissa N S. Samalla päättelyllä nähdään, että φ toteutuu myös mallissa M S. Oletetaan seuraavaksi, että φ on muotoa ψ ja että kaavalle ψ pätee: M S = ψ jos ja vain jos N S = ψ. Nyt selvästi: M S = φ jos ja vain jos N S = φ. Oletetaan lopulta, että φ on muotoa n=0 φ n ja että kaavoille φ n pätee: M S = φ n jos ja vain jos N S = φ n.jälleen selvästi M S = φ jos ja vain jos N S = φ. Koska N S on teorian T S malli, on N teorian T malli. 14

2. Robinsonin lukuteoria Q Robinsonin lukuteoria Q on merkittävä sen vuoksi, että se on lukuteorian äärellinen aksiomatisointi, jossa kaikki rekursiiviset relaatiot ovat esitettävissä. 2.1. Teorian Q aksioomat Robinsonin lukuteoria on L IN -teoria, joka koostuu seuraavista seitsemästä aksioomasta Q n, n =0, 1, 2, 3, 4, 5, 6: (Q 0 ) x( (x 1 = 0)) (Q 1 ) x y(x 1 = y 1 x = y) (Q 2 ) x(x 0 = x) (Q 3 ) x y(x (y 1) =(x y) 1) (Q 4 ) x(x 0 = 0) (Q 5 ) x y(x (y 1) =(x y) x) (Q 6 ) x( (x = 0) y(y 1 = x)) Koska teoria Q on äärellinen, voidaan puhua myös lauseesta Q, jolla tarkoitetaan lausetta: 6 i=0 Q i.välittömästi nähdään, että Q on lukuteorian aksiomatisointi, ts. IN, +,, 0, 1 = Q. 2.2. Rekursiiviset relaatiot ja funktiot Olkoon R(y,x 1,..., x n ) relaatio ja f(x 1,..., x n ) funktio. Sanomme, että f on saatu relaatiosta R minimalisaatiolla, jos ja vain jos kaikilla x 1,..., x n. (1) on olemassa y siten, että R(y, x 1,..., x n )ja (2) f(x 1,..., x n )=pieniny siten, että R(y, x 1,..., x n ) Funktio f onrekursiivinen,mikäli se kuuluu pienimpään joukkoon funktioita, joka sisältää funktiot Pri n(x 1,..., x n )=x i x + y = z x y = z f = (x, y) =z (projektiofunktio) (yhteenlasku) (kertolasku) (identiteettirelaation karakteristinen funktio) 15

ja on suljettu sekä funktioiden yhdistämisen että minimalisaation suhteen. Relaation rekursiivisuudella tarkoitetaan seuraavaa. Jos ehdot (i) R(x 1,..., x n ) f(x 1,..., x n )=1ja (ii) R(x 1,..., x n ) f(x 1,..., x n )=0 ovat voimassa, niin relaatio R on rekursiivinen jos ja vain jos funktio f on rekursiivinen. 2.3. Esitettävyys teoriassa Q Matemaattisen logiikan kurssilla ([7], s.60-63) on todistettu, että jokainen rekursiivinen funktio on määriteltävissä L ωω -kaavalla mallissa IN, +,, 0, 1. Tätä havaintoa käytetään hyväksi luvussa 4, kun todistetaan, että logiikoilla ED ja EDP ei ole korrektia ja täydellistä päättelysääntöjärjestelmää. Tässä luvussa todistetaan toisenlainen rekursiivisia relaatioita ja funktioita koskeva väite, joka koskee teorian Q sekä rekursiivisten relaatioiden ja funktioiden välistä suhdetta. Kaavan φ(x 1,..., x n ) sanotaan esittävän relaatiota R teoriassa Q, mikäli (i) (m 1,..., m n ) R Q φ(m 1,..., m n )ja (ii) (m 1,..., m n ) / R Q φ(m 1,..., m n ). Kaava φ(x 1,..., x n+1 ) esittää funktiota f teoriassa Q, mikäli pätee Q x n+1 (φ(m 1,..., m n,x n+1 ) x n+1 = m n+1 ), aina kun f(m 1,..., m n )=m n+1. Tämän luvun päätulos on lause 2.3.13, joka sanoo, että kaikki rekursiiviset relaatiot ja funktiot ovat esitettävissä teoriassa Q. Tätä tulosta tarvitaan luvussa 3, kun todistetaan, että logiikoissa ED ja EDP voidaan karakterisoida malli IN, +,, 0, 1 isomorfiaa vaille yksikäsitteisesti. Lemma 2.3.1 Kaava v 0 = v 0... v n = v n v n+1 = v i esittää projektiota Pri n teoriassa Q. Todistus. Kaavat x m+1 ((j 1 = j 1... j n = j n x n+1 = j i ) x n+1 = j i ) 16

ovat valideja kaikilla j 1,.., j n. Lemma 2.3.2 Kaava v 0 v 1 = v 2 esittää yhteenlaskua teoriassa Q. Todistus. Oletetaan, että i + j = k. Todistetaan ensin induktiolla, että Q i j = k. Olkoonj = 0. Aksiooman Q 2 perusteella Q i 0 = i. Olkoon sitten j = m + 1. Nyt oletetaan, että Q i m = n ja jollekin n pätee k = n +1jai + m = n. Tästä seuraa, että Q (i j) 1 = n 1, mistä seuraa aksiooman Q 5 nojalla Q i j = k. Koska x 3 (i j = x 3 x 3 = k) onkaavani j = k looginen seuraus, saadaan haluttu tulos. Lemma 2.3.3 Kaava v 0 = v 1 v 2 esittää kertolaskua teoriassa Q. Todistus. Oletetaan, että i j = k. Todistetaan ensin induktiolla, että Q i j = k. Olkoonj = 0. Aksiooman Q 4 perusteella Q i 0 = 0. Olkoon sitten j = m + 1. Nyt oletetaan, että Q i m = n ja jollekin n pätee k = n + i ja i m = n. Lemman 2.3.2 perusteella nyt on voimassa Q i m = n. Aksiooman Q 5 perusteella on saadaan nyt Q i (m 1) =(i m) i. Siispä Q i (m 1) =k, eliq i j = k, ja tästä edelleen x 3 (i j = x 3 x 3 = k). Lemma 2.3.4 Jos i j, niin Q i = j. Todistus. Todistetaan induktiolla. Voidaan ilman rajoitusta olettaa, että i<j.mikäli i = 0, niin j>0, ja sen takia jollekin n pätee j = n + 1. On siis todistettava Q 0 = n 1. Tämä seuraa suoraan aksioomasta Q 0.Olkoon sitten i = m + 1. Induktio-oletuksen nojalla Q m = n pätee. Aksiooman Q 1 nojalla pätee näin ollen Q m 1 = n 1. Lemma 2.3.5 Jos kaava (v 0 = v 1 v 2 = 1) ( v 0 = v 1 v 2 = 0) esittää identiteettirelaation karakteristista funktiota teoriassa Q. Todistus. Käytetään yllämainitustaa kaavasta merkintää φ EQ (v 0,v 1,v 2 ). Jos f = (i, j) = 1, niin i = j, joten Q i = j 1 = 1 ja siis Q φ EQ (i, j, 1) ja edelleen Q v 2 (φ(i, j,x 3 ) x 3 = 1). Mikäli f = (i, j) = 0, niin i j. Nyt Lemman 2.3.4 perusteella Q i = j. Tästä saadaan Q i = j 0 = 0, ja 17

edelleen Q v 2 (φ(i, j,x 3 ) x 3 = 0). Lemma 2.3.6 Jos kaava φ(x 1,..., x m,x) esittää funktiota f teoriassa Q ja kaavat ψ 1 (x 1,..., x n+1 ),..., ψ m (x 1,..., x n+1 ) esittävät funktioita g 1,..., g m teoriassa Q ja h on saatu yhdistämällä edellämainituista funktioista, niin kaava θ(x 1,..., x n,x)= y 1... y m (ψ 1 (x 1,..., x n,y 1 )... ψ m (x 1,..., x n,y m ) φ(y 1,..., y m,x)) esittää funktiota h teoriassa Q. Todistus. Hajoitetaan todistus kahteen osaan. Kaava x(θ(x 1,..., x n,x) x = c) onselvästi ekvivalentti kaavan θ(x 1,..., x n, c) x(θ(x 1,..., x n,x) x = c) kanssa. Todistetaan ensin konjuntion vasen puoli. Jos g i (t 1,..., t n ) = k i, niin Q ψ i (t 1,..., t n, k i ), ja jos f(k 1,..., k m ) = j, niin Q φ(k 1,..., k m, j). Näistä seuraaq θ(t 1,..., t n, j) (*). Samoin, jos g i (t 1,..., t n )=k i, niin Q x(ψ i (t 1,..., t n,x) x = k i ) (**) ja jos f(k 1,..., k m )=j, niin Q x(φ(k 1,..., k m,x) x = j) (***). Oletetaan nyt, että ψ i (t 1,..., t n,y i )pätee, ja että φ(y 1,..., y m,x) on voimassa. Nyt lauseita (**) käyttämällä saadaan y i = k i, joten φ(k 1,..., k m,x) on voimassa. Tästä saadaan lauseen (***) avulla x = j. Siis on voimassa: Q x( y 1... y m (ψ 1 (x 1,..., x n,y 1 )... ψ m (x 1,..., x n,y m ) φ(y 1,..., y m,x)) x = j), mistä saadaan Q x(θ(x 1,..., x n,x) x = j). Kun tämä yhdistetään lauseen (*) kanssa, on lemman todistus valmis. Seuraavissa lemmoissa v 0 <v 1 tarkoittaa kaavaa x 3 ((x 3 1) x 1 = x 2 ). Lemma 2.3.7 Kaikille i, Q x((x 1) i = x (i 1)). Todistus. Induktio muuttujan i suhteen. Olkoon i = 0. Aksioomista Q 2 ja Q 3 seuraa, että x((x 1) 0 = x 1 =(x 0) 1 = x (0 1)). Tästä seuraa edelleen Q x((x 1) 0 = x (0 1)). Jos i = m +1, niin induktiohypoteesin nojalla Q x((x 1) m = x +(m 1)). Aksioomasta Q 3 seuraa, että Q = x((x 1) (m 1) = ((x 1) m) 1) = 18

(x (m 1)) 1 = x ((m 1) 1)), ja tästä seuraa haluttu väite. Lemma 2.3.8 Jos i<j, niin Q i < j. Todistus. Jos i<j, niin jollekin m pätee (m +1)+i = j. Lemman 2.3.2 perusteella Q (m 1) i = j ja tästä seuraaq x 3 ((x 3 1) x 1 = x 2 ). Lemma 2.3.9 Kaikille i, Q x(x <i x = 0... x = i 1). (Tapauksessa i =0tyhjä disjunktio tulkitaan kaavaksi 0 = 0). Todistus. Oletetaan, että i = 0. Aksiooman Q 6 perusteella x(x = 0 y(y 1 = x)). Oletetaan, että x<0, eli että w((w +1)+x = 0). Jos x = 0 pätee, niin aksioomaa Q 2 soveltamalla saadaan w 1 =(w 1) 0 =(w 1) x = 0, mikä onmahdotontaaksioomanq 0 perusteella. Jos taas x = y 1 pätee, aksiooman Q 3 avulla saadaan ((w 1) y) 1 =(w 1) (y 1) = (w 1) x = 0, mikäonjälleen mahdotonta aksiooman Q 0 perusteella. Seuraavaksi oletetaan, että Q x(x < i x = 0... x = i 1). On todistettava, että Q x(x <i 1 x = 0... x = i). Oletetaan, että x<i 1, eli että w((w 1) x = i 1) pätee. Aksiooman Q 6 perusteella saadaan y(x = y 1 ) x = 0. Josx = y 1 pätee, niin saadaan i 1 =(w 1) x =(w 1) y1 =((w 1) y) 1 (Aksiooman Q 3 perusteella), mistä aksiooman Q 1 perusteella saadaan i =(w 1) y, joten y<i. Induktio-oletuksen perusteella saadaan nyt y = 0... y = i 1 (jos i = 0, saadaan 0 = 0). Tästä seuraa, että x = 1... x = i (tapauksessa i =0,pätee yhä 0 = 0), joten kokonaisuudessa saamme x = 0... x = i, mistä seuraaväite. Lemma 2.3.10 Kaikille i, Q x(i <x x = i 1 i <x). Todistus. Oletetaan, että i <x, eli, että w((w 1) i) =x pätee. Aksiooman Q 6 perusteella saadaan jälleen w = 0 y(w = y 1). Kaavoista w = 0 ja (w 1) i = x seuraa (0 1) i = x, mistä Lemman 2.3.2 perusteella saadaan x = i 1. Kaavoista w =(y 1) ja (w 1) i = x saadaan ((y 1) 1) =x, mistä Lemman 2.3.7 perusteella saadaan (y 1) (i 1) ja täten i 1 <x. Lemma 2.3.11 Kaikille i, Q x(i <x x = i x<i). 19

Todistus. Todistus perustuu induktioon luvun i suhteen. Oletetaan, että i = 0. Oletetaan, että x = 0. Aksiooman Q 6 perusteella saadaan y(x = y 1) ja aksiooman Q 2 perusteella saadaan y((y 1) 0 = x, toisin sanoen 0 <x. Oletetaan sitten, että Q x(i < x x = i x < i) pätee. Lemman 2.3.10 perusteella saadaan Q x(i <x x = i 1 i 1 <x). Lemman 2.3.8 perusteella Q x(x = i x<i 1) pätee. Lemmojen 2.3.8 ja 2.3.9 perusteella Q x(x <i x<i 1) on voimassa. Kolmesta edellisestä lauseesta seuraa välittömästi Q x(i 1 <x x = i 1 x<i 1). Seuraavaksi todistetaan, että minimalisaatiolla saadut funktiot ovat esitettävissä teoriassa Q. Lemma 2.3.12 Olkoon fn+1-paikkaisen rekursiivisen relaation R karakteristinen funktio. Jos g on saatu relaatiosta R minimalisaatiolla: g(x 1,..., x n )= pienin y siten, että R(x 1,..., x n ) ja φ(x 1,..., x n+2 ) esittää funktiota f teoriassa Q, niin kaava ψ(x 1,..., x n+1 )=(φ(x 1,..., x n,x n+1, 1) w(w <x n+1 φ(x 1,..., x n,w,1))) esittää funktiota g. Todistus. Oletetaan, että g(p 1,..., p n ) = i. Tällöin f(p 1,..., p n,i) = 0 ja kaikille j < i pätee, että f(p 1,..., p n,i) 0. Koska φ esittää funktiota f teoriassa Q, saadaan Q φ(p 1,..., p n, i, 1) jaq φ(p 1,..., p n, j, 1) kaikilla j < i.näiden ja lemman 2.3.9 perusteella saadaan Q w(w <i φ(p 1,..., p n,w,1)) (*) ja tästä edelleen Q ψ(p 1,..., p n, i). Nyt on vielä todistettava, että Q x n+1 (ψ(p 1,..., p n,x n+1 ) x n+1 = i). Oletetaan, että ψ(p 1,..., p n,x n+1 )pätee, eli toisin sanoen, että φ(p 1,..., p n,x n+1, 1) w(w < x n+1 φ(p 1,..., p n,w,1)) on voimassa. Koska Q φ(p 1,..., p n, i, 1) ja w(w <x n+1 φ(p 1,..., p n,, w, 1)) ovat voimassa, saadaan nyt i <x n+1. Toisaalta, kaavoista φ(p 1,..., p n,x n+1, 1) ja (*) seuraa x n+1 < i. Siten Lemman 2.3.11 perusteella x n+1 = i, mistäseuraa väitteen jälkimmäinen osa. Lause 2.3.13 Kaikki rekursiiviset relaatiot ja funktiot ovat esitettävissä teoriassa Q. 20

Todistus. Seuraa Lemmoista 2.3.1-2.3.3, 2.3.5, 2.3.6 ja 2.3.12. 3. Luonnollisten lukujen karakterisointi LogiikatED ja EDP poikkeavat huomattavasti ensimmäisen kertaluvun logiikasta, koska luonnolliset luvut voidaan karakterisoida niissä yhdellä lauseella θ 0 siten, että M = θ 0 jos ja vain jos M = IN, +,, 0, 1. Tästä seuraa se, että jos L on äärellinen aakkosto ja L IN L, niin sekä (ED,L)-validien että (EDP,L)-validien kaavojen joukko on Π 1 1-täydellinen. Tästä seuraamyös se, ettei kummallakaan logiikalla ole efektiivistä, täydellistä ja korrektia aksiomatisointia. 3.1. Äärellisten lukujonojen koodaaminen Seuraavana määritellään lukuteorian karakterisoinnissa tarvittava L IN ωω -kaava φ cod (v 0,v 1,v 2 ), jolla koodataan äärelliset lukujonot. Ideana on se, että jos v 0 on lukujonon koodi, niin v 2 on kyseisen lukujonon alkio, jonka paikkaluku on v 1. Koska ilmeisesti φ cod esittää funktiota, voimme käyttää merkintää v 0 [v 1 ]=v 2.Täsmällisemmin ilmaistuna, kaava v 0 [v 1 ]=v 2 koodaa äärellisen lukujonon mikäli seuraavat kaksi ehtoa C n, n =0, 1 toteutuvat kaikissa teorian Q malleissa: (C 0 ) x y z u(x[y] =u u = z) (C 1 ) x y z x 0 (x 0 [y] =z u w( u = y x 0 [u] =w) x[u] =w)) Tästä alkaen jono ja sen koodi samaistetaan, ellei voi syntyä sekaannusta. Olkoon x 0...x n äärellinen lukujono. Alkion x i kohdaksi sanotaan lukua i. Ehto C 0 sanoo, että φ cod määrittelee relaation, joka on funktio, ja on määritelty kaikilla lukupareilla x, y. Ehdon C 1 muotoilu takaa sen, että on olemassa ainakin yksi jono x 0 siten, että sen alkio, jonka kohta on y, onu. Lisäksi ehto sanoo, että jokaista jonoa x kohti on olemassa jono x 0 siten, että jonojen x ja x 0 alkiot ovat muuten samat, paitsi, että jonon x 0 alkio, jonka kohta on y, on u. Konstruoidaan nyt rekursiivinen funktio Cod(w, x), jota teoriassa Q esittävä kaava toteuttaa C-ehdot. 21

Funktio π(x, y) = 1 2 ((x + y)2 +3x + y) onbijektioin 2 IN. Tällöin sillä on rekursiiviset käänteisfunktiot ρ(z) ja σ(z): ρ(z) =(µx z)( y z)(π(x, y) =z) σ(z) =(µy z)( x z)(π(x, y) =z) Määritellään nyt rekursiosäännön ja funktioiden yhdistämisen avulla funktio Cod(w, x), jonka esitys teoriassa Q toteuttaa ehdot C 0 ja C 1. Olkoon funktio Sbl(w, x) seuraava funktio: Sbl(w, 0) = w Sbl(w, n +1)=σ(Sbl(w, n)) Asetetaan nyt Cod(w, x) = ρ(sbl(w, x)). Lause 3.1.1 L IN -kaava v 0 [v 1 ] = v 2, joka esittää funktiota Cod(w, x) teoriassa Q toteuttaa ehdon C 1 Todistus. Olkoon y ja u mielivaltaisia. Merkitään π 0 (q) =π(q, 0) ja π n+1 (q) = π(0,π n (q)). Asetetaan nyt x 0 = π y (u). Nyt selvästi Cod(x 0,y)=u. Siis ehdon C 1 ensimmäinen puoli on todistettu. Olkoon nyt x jonkin jonon koodi sekä y ja u jälleen mielivaltaisia. Olkoon n pienin m, jolle pätee, että Sbl(w, m) = 0 ja olkoon p = max(n, y). Olkoon nyt x = π(cod(x, 0),π(Cod(x, 1)...π(Cod(x, y 1),π(u, π(cod(x, y +1),π(...π(Cod (x, p), 0)...))))...)). Nyt x toteuttaa ehdon C 1 jälkimmäisen osan. 3.2. Totuusmääritelmän formalisointi Luonnollisten lukujen struktuuri karakterisoidaan logiikassa ED(P )siten, että liitetään ensin jokaiseen kaavaan φ luonnollinen luku φ, minkä muodostetaan kaava S(X, x) joka sanoo, että mikäli φ <xja IN, +,, 0, 1 = S(X, x) w, W, niin IN, +,, 0, 1 = px( φ,p) jos ja vain jos IN, +,, 0, 1 = φ. Lemman 3.3.3 avulla todistetaan, että jos M on teorian Q malli ja M = x XS(X, x), niin M = IN, +,, 0, 1, mikä on haluttu tulos. 3.2.1. Syntaksin aritmetisointi Seuraavana koodataan kaavat π-funktion avulla. 22

Olkoon L numeroituva. Käytännön asioiden helpottamiseksi liitetään jokaiseen aakkostoon L toinen aakkosto L seuraavasti: Olkoon f : L IN aakkoston L numerointi ja olkoon g : L IN funktio, jolle: n, jos s on n-paikkainen relaatiosymboli; g(s) = n + 1, jos s on n-paikkainen funktiosymboli; 1, jos s on vakiosymboli. Nyt L = {R g(s) f(s) s L}, missä symbolit Rn m ovat toisistaan poikkeavia n- paikkaisia relaatiosymboleita. Liitetään nyt jokaiseen L-malliin M L -malli M seuraavasti. Asetetaan ensin dom(m) =dom(m ). Määritellään sitten aakkoston L tulkinnat mallissa M seuraavasti: (1) (m 1,..., m g(p ) ) (R g(s) f(s) )M jos ja vain jos (m 1,...m g(p ) ) P M,kunP on relaatiosymboli, P M (m 1,..., m g(p ) 1 )=m g(p ),kunp on funktiosymboli ja P M = m 1,kunP on vakiosymboli. Liitetään sitten jokaiseen jokaiseen L SO-kaavoissa esiintyvään merkkiin oma koodinsa: #(=) = 1 #()) = 5 #([) = 2 #( ) = 6 #(]) = 3 #( ) = 7 #(() = 4 #( ) = 8 #(Q 0 ) = 9 #(v n ) = 10+3n #(Vn m ) = 11+3π(m 1,n) #(Rn m ) = 12+3n Nyt koodaus tapahtuu siten, että jos w on merkeistä 0, 1,,, =, [, ],,,,v n, muodostuva sana w 0...w n, niin sanan w koodi w, on π(w 0,π(w 1...π(w n 1,π(w n, 0))...)). Merkintä φ tarkoittaa kaavan φ koodia ja merkintä φ koodin nimeä. 23

Lemma 3.2.1 Jos ψ on kaavan φ alikaava, niin ψ φ. Jos muuttujalla v i on esiintymä kaavassa φ, niin i<φ. Todistus Triviaali. 3.2.2. Sijoitusoperaatio Luonnollisten lukujen joukon karakterisoinnissa tarvitaan kaavaa, joka esittää sijoitusoperaatiota teoriassa Q. Kaavan olemassaolon todistamiseksi todistetaan, että sijoitusoperaatio on rekursiivinen relaatio. Olkoon s p (m, n, k) seuraava relaatio: m = w,k = w ja w saadaan kaavasta w sijoittamalla muuttujan v p tilalle kaikkialla termi n. Relaation s p rekursiivisuuden todistamiseksi tarvitaan muutamia rekursiivisia funktioita, joiden avulla sijoitusoperaation määritteleminenonsuhteel- lisen helppoa. Olkoon Gett(n, m) seuraava rekursiosäännöllä määritelty rekursiivinen funktio: Gett(0,m)=m, Gett(n +1, m)=gett(n, σ(m)). Nyt voidaan määritellä seuraavat rekursiiviset funktiot: Strlen(m) =(µx)(gett(x, m) =0) Getlast(m) =Get(Strlen(m) 1,m) Vastaavasti voidaan määritellä rekursiivinen funktio Geth(n, m) seuraavasti: Geth(0,m)=0, Geth(n +1, m)=π(ρ(m), Geth(n, m)) Nyt voidaan määritellä loput tarvittavat rekursiiviset funktiot: Striplast(m) =Geth(Strlen(m) 1,m) Termadd(0,m)=m, Termadd(n +1, m)=π( 1, π(, Termadd(n, m))). 24

Sijoitusrelaatio saadaan suoraan seuraavan rekursiivisen funktion sovelluksena. Replacevar(0,m,k,q,p)=k, Replacevar(n +1, m, k, q, p)=replacevar(n, Striplast(m), Termadd( n 1,π( 1,k)),q,p), jos Getlast(m) = v p ja Replacevar(n +1, m, k, q, p)=replacevar(n, Striplast(m), π( Getlast(m),k),q,p) muutoin. Korollaari 3.2.2 Relaatio s p on rekursiivinen Todistus. s p (m, n, k) Replacevar(Strlen(m),m,0,n,p)=k. 3.2.3. Tulkinnan koodaaminen Olkoon L numeroituva ja L aakkosto, joka on saatu aakkostosta L korvaamalla funktio- ja vakiosymbolit relaatiosymboleilla kuten kappaleessa 3.2.1. Tulkinnan koodaamissa tarvitaan kaavoja, jotka esittävät seuraavia relaatioita: R R i j = {(x 1,..., x i,t) t = Rj i(v x 1,..., v xi ) }, kunrj i L R = {(t, ψ ) t = ψ } R = {(t, ψ, φ ) t = ψ φ } R 1 = {(t, j, ψ ) t = v j ψ } R 2 = {(t, i, j, ψ ) t = Vj iψ } Merkitään kaavoja, jotka esittävät yllämainittuja relaatioita seuraavasti: φ R i j, φ, φ, φ 1 ja φ 2. Oletetaan nyt, että L on äärellinen, L IN L ja että L on saatu kuten yllä. Olkoon q aakkostossa L esiintyvien symbolien lukumäärä jap maksimi aakkoston L symbolien paikkaluvuista. Olkoon S(X, w, u, u 0,u 1,y 1,..., y p ) seuraavien kaavojen S n, n=0,1,2,3 konjunktio: S 0 (X, w, u, y 1,..., y p ): R i L (φ j R i (y 1,..., y j i,u) (X(w, u) x 1... x i ( ik=1 (w[y k ]=x k ) Rj i(x 1,..., x i )))) S 1 (X, w, u, u 0 ): φ (u, u 0 ) (X(w, u) X(w, u 0 )) S 2 (X, w, u, u 0,u 1 ): φ (u, u 0,u 1 ) (X(w, u) (X(w, u 0 ) X(w, u 1 ))) 25

S 3 (X, w, u, u 0,y 0 ): φ 1 (u, y 0,u 0 ) (X(w, u) w 0 (X(w 0,u 0 ) z z 0 ( z = y 0 w 0 [z] =z 0 ) w[z] =z 0 ) Käytetään merkintää Cl(x, v) kaavastau x u 0 x u 1 x y 1 x... y p x. Merkintä St(X, x) tarkoittaa kaavaa w u u 0 u 1 y 1... y p (Cl(x, v) S(X, w, u, u 0,u 1,y 1,..., y p )). Kaava St(X, x) tarkoittaa intuitiivisesti, että X on toteutuvuusrelaatio L INS ωω -kaavoille, joiden koodi on pienempi kuin x. St s (φ, x, x 0,..., x n ), missä x 0,..., x n eivät esiinny kaavassa St(X, x), eikä kaavassa φ,tarkoittaakaavaa,joka saadaankaavastast(x, x) korvaamalla kaikki muuttujan X(u, y) esiintymät kaavalla φ(u, y, x 0,..., x n ). 3.3. Luonnollisten lukujen karakterisointi Luonnolliset luvut voidaan karakterisoida lauseella θ 0 = Q x X(St(X, x)). Tämän todistamiseksi todistetaan ensin kolme lemmaa. Lemma 3.3.1 Jos φ(v 0,..., v n ) on elementaarinen erikoiskaava, niin Q = ( φ x St(X, x)) (X(w, φ ) x 0... x n (( n k=0 w[k] =x k)) φ(x 0,..., x n ))). Todistus. Väite todistetaan induktiolla. Jos φ >x, pitää väite triviaalisti paikkansa. Oletetaan siis, että φ x ja St(X, x) voimassa. Oletetaan seuraavaksi, että φ on kaava R i j(v x1,..., v xi ). Tällöin pätee: φ R i j (x 1,..., x i, φ ). Lemman 3.2.1 perusteella Cl(x, v) pätee, joten saadaan S 0,mistäväite seuraa suoraan. Oletetaan seuraavaksi, että φ on muotoa ψ, ja että Lemman oletus pätee kaavalle ψ. Tällöin pätee φ ( ψ, ψ ). Nyt saadaan edellistä kappaletta seuraten X(w, ψ ) X(w, ψ ). Induktio-oletuksen mukaan väite pätee kaavalle ψ, joten saadaan: Q = ( φ x St(X, x)) (X(w, φ ) x 0... x n (( nk=0 w[k] =x k ) φ(x 0,..., x n ))) Q = ( φ x St(X, x)) (X(w, φ ) x 0... x n (( 26

nk=0 w[k] =x k ) φ(x 0,..., x n )). Koska on olemassa termit x 0,..., x n, joille pätee n k=0 w[k] =x k mielivaltaisella w, niin lause x 0... x n (( n k=0w[k] =x k ) φ(x 0,..., x n )) on lauseen x 0... x n (( n k=0 w[k] =x k) φ(x 0,..., x n )) kanssa loogisesti ekvivalentti, mistä seuraa väite negaatiolle. Olkoon φ nyt muotoa ψ θ, ja että lemman oletus pätee kaavoille ψ ja θ. Edellistä päättelyä seuraten päästään muotoon: Q = ( φ x St(X, x)) (X(w, ψ θ ) ( x 0... x n (( nk=0 w[k] =x k ) ψ(x 0,..., x n )) x n+1... x n+m+1 (( n+m+1 k=n+1 w[k] =x k) θ(x n+1,..., x n+m+1 )))) Koska kaavat φ x 0 ψ ja x 0 (φ ψ) ovat loogisesti ekvivalentteja, jos x 0 ei esiinny φ:ssä vapaana, saadaan haluttu väite. Olkoon sitten φ muotoa x 0 ψ. Nyt saadaan: Q = ( φ x St(X, x)) (X(w, x 0 ψ ) ( w 0 (( x 0... x n (( nk=0 w 0 [k] =x k ) ψ(x 0,..., x n ))) z z 0 ( z = 0 w 0 [z] =z 0 ) w[z] =z 0 )))) Edellisen kaavassa olevan ekvivalenssin vasen puoli sanoo, että on olemassa jono w 0 siten, että se on muuten sama kuin jono w, mutta ne poikkeavat nollannen alkion kohdalla siten, että jonon w 0 alkiot 0,..., n toteuttavat kaavan ψ. Toisin sanoen kaava x 0 ψ toteutuu jonolla w. Tämän takia edellinen kaava on ekvivalentti kaavan Q = ( φ x St(X, x)) (X(w, x 0 ψ ) ( x 1... x n (( nk=0 w[k] =x k ) x 0 ψ(x 0,..., x n )))), kanssa, mistä seuraaväite. Lemma 3.3.2 Jokaista luonnollista lukua m kohti on olemassa sellainen elementaarinen L-kaava θ(v 0,v 1 ) (jossa ei ole muita vapaita muuttujia kuin v 0 ja v 1 ), että Q = St(θ, m). Todistus. Kaavojen v 1 = φ x 0... x n ( k i=0 φ(v 0, k,x k ) φ(x 0,...x n )) disjunktio, missä φ käy läpi kaikki kaavat joille φ m, on haluttu kaava. 27

Seuraavan lemman avulla voidaan todistetaan se, että luonnollisten lukujen struktuuri on karakterisoitavissa logiikoissa ED ja EDP. Todistuksessa käytetään samanlaista diagonaalikonstruktiota kuin Gödelin epätäydellisyyslauseen todistuksessa. Lemma 3.3.3 Jokaista elementaarista L-kaavaa θ(v 0,..., v n+2 ) kohti on olemassa elementaarinen L-kaava ψ(v 0,..., v n ) siten, että T = St(θ, x, x 0,..., x n ) x ψ. Todistus. Lemman 3.3.1 perusteella mille tahansa elementaariselle L-erikoiskaavalle pätee: Q = ( φ x St(θ, x, x 0,..., x n )) (θ(w, φ,x 0,..., x n ) y 0...y n ( n k=0 w[k] =y k) φ(y 0,..., y n ))). Koska tämä lause pätee mielivaltaiselle jonolle w, niin se pätee erityisesti sellaiselle w, jolle w[k] =x k,elipätee (*): Q = ( φ x St(θ, x, x 0,..., x n )) ( w( n k=0 w[k] =x k θ(w, φ,x 0,..., x n )) φ(x 0,..., x n )). Käytetään nyt merkintää γ(v 0,..., v n+1 )kaavasta w( n k=0 w[k] = v k+1) θ(w, v n+1,v 0,..., v n )). Olkoon kaava δ(v 0,..., v n+1 )seuraavakaava: v n+2 (γ(v 0,..., v n,v n+2 ) σ n+1 (v n+1,v n+1,v n+2 )), missä σ n+1 on kaava, joka esittää sijoitusoperaatiota. Voidaan olettaa, että muuttujat v n+1 ja v n+2 eivät esiinny sidottuina kaavoissa γ ja σ n+1. Olkoon ψ(v 0,..., v n )seuraavakaava:δ(v 0,..., v n, δ(v 0,..., v n+1 ) ). Nyt on voimassa: γ(v 0,..., v n, ψ(v 0,..., v n ) ) γ(v 0,..., v n, δ(v 0,..., v n, δ(v 0,..., v n+1 ) ) ) v n+2 (γ(v 0,..., v n,v n+2 ) v n+2 = δ(v 0,..., v n, δ(v 0,..., v n+1 ) ) v n+2 (γ(v 0,..., v n,v n+2 ) σ( δ(v 0,..., v n+1 ), δ(v 0,..., v n+1 ),v n+2 )) δ(v 0,..., v n, δ(v 0,..., v n+1 ) ) ψ(v 0,..., v n ). Korvaamalla lauseessa (*) kaavan φ esiintymät kaavalla ψ saadaan Q = ( ψ x) St(θ, x, x 0,..., x n )), 28

eli toisin sanoen: Q = St(θ, x, x 0,..., x n ) ψ x. Lemma 3.3.4 Olkoon M L-malli, jonka rajoittuma aakkostoon L IN on isomorfinen mallin IN, +,, 0, 1 kanssa. Tällöin M = ED θ 0. Todistus. Olkoon M tällainen malli. Tällöin selvästi M = ED Q. Lemman 3.3.2 perusteella M = ED x X(St(X, x)). Tällöin siis M = ED θ 0. Lause 3.3.5 Jos M on L-malli ja M = EDP θ 0, niin mallin M rajoittuma aakkostoon L on isomorfinen mallin IN, +,, 0, 1 kanssa. Todistus. Olkoon lauseen ehto voimassa. Nyt on todistettava, että mielivaltaista a M kohti on olemassa L IN -termi n, joka ei sisällä muuttujasymboleita, ja n M = a. Koska nyt x X(St(X, x)) on EDP-tosi mallissa M, on olemassa kaava φ(v 0,..., v n ) ja joukon M alkiot a 0,..., a n 2 siten, että kaava St(φ, v n+1,v 2,..., v n ) toteutuu kaikilla tulkintajonoilla s, joille pätee: s(2) = a 0,..., s(n) =a n 2 ja s(n +1)= a. Lemman 3.3.3 nojalla on olemassa kaava ψ(v 0,..., v n 2 ) siten, että M = v n+1 ψ s. Nyt saadaan haluttu tulos korollaarina: Korollaari 3.3.6 Jos M on L-malli, niin seuraavat ehdot ovat yhtäpitäviä: (1) Mallin M rajoittuma aakkostoon L IN on isomorfinen mallin IN, +,, 0, 1 kanssa. (2) M = ED θ 0 (3) M = EDP θ 0. Todistus. Seuraa välittömästi Lemmasta 3.3.4, Lauseesta 3.3.5 ja Korollaarista 1.3.1. 29

4. Seurauksia Sen avulla, että luonnollisten lukujen struktuuri voidaan karakterisoida logiikoissa ED ja EDP saadaan seuraavat tulokset: (1) Kaikilla L pätee: (ED(P),L)-validien lauseiden joukko on Π 1 1 -täydellinen. (2) Ei ole olemassa efektiivistä aksioomajärjestelmää siten, että T φ T = ED(P ) φ. (3) Logiikan ED(P) -sulkeuma (ED(P )) = (L(Q 0 )). (4) Logiikka ED(P) ei ole -suljettu. 4.1. Π 1 1 -täydellisyys Kaava on Π 1 1,mikäli se on toisen kertaluvun logiikassa muotoa V 0... V n φ(v 0,..., V n,v 0,..., v m ), missä φ on L F ωω-kaava, jossa esiintyy vapaana korkeintaan relaatiomuuttujat V 0,..., V n. Kaava on Σ 1 1, jos se on toisen kertaluvun logiikassa muotoa V 0... V n φ(v 0,..., V n,v 0,..., v m ), missä φ on L F ωω - kaava, jossa esiintyy vapaana korkeintaan relaatiomuuttujat V 0,..., V n. Joukko A IN on Π 1 1,mikäli on olemassa LIN -kaava φ(v 0,..., V n,v 0 ), jolle pätee: A = {n IN, +,, 0, 1 = V 0... V n φ(v 0,..., V n, n)}. Joukko on A IN on Π 1 1 -täydellinen, mikäli jokaiselle joukolle B, joka on Π1 1, on olemassa rekursiivinen funktio f siten, että n B josja vain jos f(n) A. Kaavajoukko on Π 1 1 (Σ 1 1,Π 1 1-täydellinen), jos kaavojen koodien joukko on Π 1 1 (Σ1 1,Π1 1 -täydellinen). 4.1.1. Numeroituvien mallien koodaaminen Seuraavaksi on rakennettava menetelmä numeroituvien L-mallien koodaamiseksi luonnollisten lukujen osajoukoiksi. Olkoon L numeroituva ja M mielivaltainen numeroituva L-malli. Rakennetaan L-mallin M koodi vaiheittain seuraavasti. Korvataan ensin funktiosymbolit ja vakiosymbolit relaatiosymboleilla kuten kappaleessa 3.3.1, 30

jolloin saadaan aakkosto L ja L -malli M.Olkoonf injektio joukolta M joukolle IN, siten, että funktion f kuvajoukko on joko muotoa {x IN x n} tai koko IN. Seuraavaksi liitetään jokaiseen n-paikkaiseen relaatiosymboliin R joukon IN osajoukko A R seuraavasti: A R = {x IN x = π(f(a 1 ),π(...π(f(a n ))...)) ja (a 1,..., a n ) R}. Olkoon g n seuraava funktio IN IN: g n (m) =2 n (2m +1) 1jaolkoon h injektio joukolta X = {A R R L } joukolle IN siten, että funktion f kuvajoukolle annettu ehto täyttyy. Nyt voidaan määritellä mallin M koodi M : M = g 0 fm g n h ( 1) n n hx 4.1.2. ED(P)-totuusmääritelmän formalisointi Atomikaavojen käsittelyssä tarvitaan kaavaa φ tr R, joka toteaa, päteekö tutkittava kaava tarkasteltavassa L-mallissa. Tähän tarvitaan seuraavaa relaatiota: R tr = {(i, j, w, x) x = π(x 1,π(...π(x i, 0)...)) ja Y = M jos ja vain jos M = R i j (v x 1,..., v xi ) s, S kaikilla tulkintafunktioilla S ja kaikilla tulkintajonoilla s joille pätee, että s(i) =w[i] kaikilla i<max{x 1,..., x i }}. Olkoon φ tr R(Y,i,j,w,x) kaava, joka määrittelee edellämainitun relaation. Kaava on olemassa, koska kyseinen relaatio on rekursiivinen. Tämä kaava voidaan valita siten, että se ei riipu osajoukosta Y, koska relaatiomuuttuja Y voidaan samaistaa Lemman 1.2.2 perusteella predikaattisymbolin kanssa. Lisäksi tarvitaan kaava φ mod (Y,y), joka toteutuu täsmälleen, mikäli y esittää koodissa Y universumin alkiota, eli mikäli y on parillinen ja Y (y). Lisäksi tarvitaan jaksossa 3.2.3 määriteltyjä kaavoja φ, φ, φ 1 ja φ 2 sekä kaavoja φ rel, φ rep ED, φ rep EDP ja φ L fml, jotka määrittelevät seuraavat relaatiot: R rel = {(x, i, j, t) x = π(x 1,π(...π(x i, 0)...)) ja t = Rj i(v x 1,..., v xi ) }, R rep ED = {(i, j, φ(vj i), ψ(v 1,..., v i ),t) t = φ(ψ) }, R rep EDP = {(i, j, k, φ(vj i), ψ(v 1,..., v i+k ),t) t = v p+1... v p+k φ(ψ(v 1,..., v i,v p+1,..., v p+k )), kunp on suurin l siten, että v l esiintyy kaavassa φ(vj i ) vapaana.} ja 31